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1 第十二章全等三角形总复习 全等形 全等三角形 性质 应用 全等三角形对应边 高线 中线 相等 全等三角形对应角 对应角的平分线 相等 全等三角形的面积相等 SSS SAS ASA AAS HL 解决问题 角的平分线的性质 角平分线上的一点到角的两边距离相等 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 判定 判定三角形全等必须有一组对应边相等 3 三边对应相等的两个三角形全等 可以简写为 边边边 或 SSS 在 ABC和 DEF中 ABC DEF SSS 用符号语言表达为 三角形全等判定方法1 全等三角形的判定方法 4 三角形全等判定方法2 用符号语言表达为 在 ABC与 DEF中 ABC DEF SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可以简写成 边角边 或 SAS F E D C B A 5 在 ABC和 DEF中 ABC DEF ASA 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角边角 或 ASA 用符号语言表达为 F E D C B A 三角形全等判定方法3 6 三角形全等判定方法4 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角角边 或 AAS 在 ABC和 DEF中 ABC DEF AAS 7 三角形全等判定方法5 有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 在Rt ABC和Rt DEF中 ABC DEF HL A B C D E F 8 1 全等三角形的性质 对应边 对应角 对应线段相等 周长 面积也相等 2 全等三角形的判定 知识点 一般三角形全等的判定 SAS ASA AAS SSS 直角三角形全等的判定 SAS ASA AAS SSS HL 9 知识点 3 三角形全等的证题思路 10 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 QD OA QE OB QD QE 已知 点Q在 AOB的平分线上 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 QD OA QE OB 点Q在 AOB的平分线上 已知 QD QE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 二 角的平分线 1 角平分线的性质 2 角平分线的判定 11 2 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 PD AB于D PE BC于E PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 同理 PE PF PD PE PF 即点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD AB于D PE BC于E PF AC于F 12 3 如图 已知 ABC的外角 CBD和 BCE的平分线相交于点F 求证 点F在 DAE的平分线上 证明 过点F作FG AE于G FH AD于H FM BC于M G H M 点F在 BCE的平分线上 FG AE FM BC FG FM 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 又 点F在 CBD的平分线上 FH AD FM BC FM FH 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 FG FH 等量代换 点F在 DAE的平分线上 二 全等三角形识别思路复习 如图 已知 ABC和 DCB中 AB DC 请补充一个条件 使 ABC DCB 思路1 找夹角 找第三边 找直角 已知两边 ABC DCB SAS AC DB SSS A D 90 HL 如图 已知 C D 要识别 ABC ABD 需要添加的一个条件是 思路2 找任一角 已知一边一角 边与角相对 AAS CAB DAB或者 CBA DBA A C B D 如图 已知 1 2 要识别 ABC CDA 需要添加的一个条件是 思路3 已知一边一角 边与角相邻 A B C D 2 1 找夹这个角的另一边 找夹这条边的另一角 找边的对角 AD CB ACD CAB D B SAS ASA AAS 如图 已知 B E 要识别 ABC AED 需要添加的一个条件是 思路4 已知两角 找夹边 找一角的对边 AB AE AC AD 或DE BC ASA AAS 17 例题选析 例1 如图 D在AB上 E在AC上 且 B C 那么补充下列一具条件后 仍无法判定 ABE ACD的是 A AD AEB AEB ADCC BE CDD AB AC B 例2 已知 如图 CD AB BE AC 垂足分别为D E BE CD相交于O点 1 2 图中全等的三角形共有 A 1对B 2对C 3对D 4对 D 18 19 例4 下面条件中 不能证出Rt ABC Rt A B C 的是 A AC A C BC B C B AB A B AC A C C AB B C AC A C D B B AB A B C 20 例5 如图 在 ABC中 AD BC CE AB 垂足分别为D E AD CE交于点H 请你添加一个适当的条件 使 AEH CEB BE EH 21 例7 如图 ABC中 AD BC 垂足为D BE AC 垂足为E AD BE相交于点F 如果BF AC 那么 ABC的度数是 A 400B 450C 500D 600 B F D E B C A 例8 如图 在 ABC中 两条角平分线BD和CE相交于点O 若 BOC 1200 那么 A的度数是 600 23 例9 如图 在 ABC中 C 900 AD平分 BAC DE AB交AB于E BC 30 BD CD 3 2 则DE 12 c A B D E 24 10 如图 ACB 90 AC BC BE CE AD CE于D AD 2 5cm DE 1 7cm 求 BE的长 25 1 已知BD CD ABD ACD DE DF分别垂直于AB及AC交延长线于E F 求证 DE DF 证明 ABD ACD EBD FCD 又 DE AE DF AF 已知 E F 900 在 DEB和 DFC中 DEB DFC DE DF 全等三角形的对应边相等 AAS 垂直的定义 等角的补角相等 已知 26 2 点A F E C在同一直线上 AF CE BE DF BE DF 求证 AB CD 证明 3 如图CD AB BE AC 垂足分别为D E BE与CD相交于点O 且 1 2 求证OB OC 证明 1 2CD AB BE AC OD OE 角平分线的性质定理 在 OBD与 OCE中 OBD OCE ASA OB OC 28 28 4 如图 CA CB AD BD M N分别是CA CB的中点 证明DM DN 29 5 已知 ABC和 ECD都是等边三角形 且点B C D在一条直线上求证 BE AD 6 如图A B C在一直线上 ABD BCE都是等边三角形 AE交BD于F DC交BE于G 求证 BF BG 证明 ABD BCE是等边三角形 DBA EBC 60 A B C共线 DBE 60 ABE DBC在 ABE与 DBC中 ABE DBC SAS 2 1 在 BEF与 BCG中 BEF BCG ASA BF BG 全等三角形对应边相等 31 7 如图 已知E在AB上 1 2 3 4 那么AC等于AD吗 为什么 解 AC AD 32 32 8 已知 ABC和 BDE是等边三角形 点D在AE的延长线上 求证 BD DC AD 分析 AD AE ED 只需证 BD DC AE ED BD ED 只需证DC AE即可 9 如图AB CD B 90 E是BC的中点 DE平分 ADC 求证 AE平分 DAB C D B A E F 证明 作EF AD 垂足为F DE平分 ADCAB CD C B又 B 90 C 90 又 EF AD EF CE又 E是BC的中点 EB EC EF EB B 90 EB AB AE平分 DAB BC DC 34 34 10 如图 AB DE AF CD EF BC A D 试说明 BF CE 35 E 证明 36 12 如图 已知AC BD EA EB分别平分 CAB和 DBA CD过点E 则AB与AC BD相等吗 请说明理由 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 1 可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段 然后证明剩余的线段与另一条线段相等 割 2 把一个三角形移到另一位置 使两线段补成一条线段 再证明它与长线段相等 补 37 13 如图 已知 A D AB DE AF CD BC EF 求证 BC EF 38 14 已知 如图21 AD平分 BAC DE AB于E DF AC于F DB DC 求证 EB FC 39 15 已知 如图 在 ABC中 BE CF分别是AC AB两边上的高 在BE上截取BD AC 在CF的延长线上截取CG AB 连结AD AG 求证 ADG为等腰直角三角形 40 16 如图 在R ABC中 ACB 450 BAC 900 AB AC 点D是AB的中点 AF CD于H交BC于F BE AC交AF的延长线于E 求证 BC垂直且平分DE 41 14 如图 在 ABC中 AD为BC边上的中线 试说明AB AC与2AD之间的大小关系 解 延长AD至E 使DE AD 在 ABD与 ECD中 BD DC 中线的定义 ADB EDC 对顶角相等 AD DE ABD ECD SAS 根据全等三角形对应边相等 AB EC 在 AEC中 AC EC AE 又 AE 2AD AB AC 2AD 小结 对于三角形的中线 我们可以通过延长中线的1倍 来构造全等三角形 联想 对于三角形的角平分线 有时我们也可进行翻折构造全等三角形 42 15 已知在 ABC中 AD是角平分线 且AC AB BD 试说明 B 2 C 解 在AC上截取AE AB 连结DE 在 AED与 ABD中 AE AB EAD BAD 角平分线的定义 AD AD 公共边 AED ABD SAS 根据全等三角形对应边 对应角相等 ED BD AED B 又 AC AB BD CE DE 根据等腰三角形的两个底角相等 C EDC 又 AED C EDC AED 2 C B 2 C E C A B D 四 小结 找夹角 SAS 找第三边 SSS 找直角 HL 已知两边 找任一角 AAS