第10章_动能定理.ppt

1 理论力学 10动能定理 2019 12 20 2 第10章动能定理 10 1力的功 10 2质点和质点系的动能 10 3动能定理 10 4功率功率方程机械效率 10 5势力场势能机械能守恒定律 10 6普遍定理的综合应用举例 3 10 1力的功 一 常力在直线运动中的功 功是代数量 在国际单位制中 功的单位为j 焦耳 上式也可以写成 4 力在全路程上作的功等于元功之和 力在无限小位移dr中作的功称为元功 力f从m1到m2的过程所作的功 在直角坐标系中 i j k为三坐标轴的单位矢量 则 上两式也可写成以下矢量点乘形式 二 变力在曲线运动中的功 10 1力的功 5 根据质心坐标公式 有 三 几种常见力的功 1 重力的功 重力 重力作功为 对于质点系 设质点i的质量为mi 运动始末的高度差为 zi1 zi2 则全部重力作功之和为 在直角坐标轴上的投影为 所以 10 1力的功 6 质点m由m1运动到m2时 弹性力作功为 2 弹性力的功 弹性范围内 弹性力大小为 k 弹性刚度系数 或刚性系数 弹性力 10 1力的功 7 当质点从m1运动到m2时 引力f作的功为 3 万有引力的功 万有引力所作的功只与质点的始末位置有关 与路径无关 质量为m2的质点m受到另一质量为m1的固定点o的引力f的作用 由牛顿万有引力定律知 式中f为万有引力常数f 6 667 10 11m3 kg s2 10 1力的功 8 如果刚体上作用一力偶 则力偶所作的功仍可用上式计算 其中mz为力偶对转轴z的矩 也等于力偶矩矢m在轴上的投影 4 转动刚体上作用力的功 力f在切线上的投影为 刚体转动时 力f的元功为 因为ftr等于f对于转轴z的力矩mz 于是 10 1力的功 9 10 1力的功 5 平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功 等于刚体上所受各力作功的代数和 平面运动刚体上力系的功 也等于力系向质心简化所得的力与力偶所作功之和 证明 平面运动刚体上受多个力作用 取刚体的质心c为基点 当刚体有无限小位移时 任一力fi作用点mi的位移为 10 10 1力的功 力fi在作用点mi位移上所作元功为 如刚体无限小转角为d 则转角位移 所以 fi与转动位移dric间的夹角 mc fi fi对质心c的矩 11 10 1力的功 力系全部力所作元功之和 结论 平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得力和力偶作功之和 12 正压力 摩擦力作用于瞬心c处 而瞬心的元位移 fn 常量时 w f fns 与质点的路径有关 若m 常量则 10 1力的功 13 7 质点系内力的功 只要a b两点间距离保持不变 内力的元功和就等于零 不变质点系的内力功之和等于零 刚体的内力功之和等于零 不可伸长的绳索内力功之和等于零 10 1力的功 14 拉紧时 内部拉力的元功之和恒等于零 10 1力的功 15 一 质点和质点系的动能 设质点的质量为m 速度为v 则质点的动能为 动能是标量 恒取正值 在国际单位制中动能的单位也为j 焦耳 2 质点系的动能 质点系内各质点动能之和称为质点系的动能 即 10 2质点和质点系的动能 1 质点的动能 16 转动刚体的动能 平动刚体的动能 10 2质点和质点系的动能 17 平面运动刚体的动能 点c 质心 点p 某瞬时的瞬心 角速度 10 2质点和质点系的动能 18 10 2质点和质点系的动能 例 均质细长杆为l 重q 上端b靠在光滑的墙上 下端a以铰链和圆柱的中心相连 圆柱重为p 半径为r 放在粗糙的地面滚而不滑 图示位置时 点a的速度为v 求此时系统的动能 解 圆柱与杆都做平面运动 各点速度如图 圆柱的速度瞬心为d点 杆的速度瞬心为p点 p 各速度为 19 10 2质点和质点系的动能 p 20 10 2质点和质点系的动能 练习 图示各均质物体的质量都是m 物体的尺寸及绕轴转动的角速度或质心速度如图示 试分别计算各种情况下物体的动能 作业 10 2 10 3 10 4 10 5 21 一 质点的动能定理 取质点运动微分方程的矢量形式 因 得 上式称为质点动能定理的微分形式 即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功 上式称为质点动能定理的积分形式 在质点运动的某个过程中 质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功 10 3动能定理 22 上式称为质点系动能定理的积分形式 质点系在某一段运动过程中 起点和终点的动能的改变量 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和 二 质点系的动能定理 质点系内任一质点 质量为mi 速度为vi 有 式中 wi为作用于这个质点上的力fi作的元功 设质点系有n个质点 将n个方程相加 得 上式称为质点系动能定理的微分形式 质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和 上式积分 得 10 3动能定理 23 质点系内力的功 只要a b两点间距离保持不变 内力的元功和就等于零 刚体的内力的功之和等于零 不可伸长的绳索内力的功之和等于零 10 3动能定理 24 理想约束反力的功 1 光滑固定面约束 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束 2 活动铰支座 固定铰支座和向心轴承 10 3动能定理 25 5 柔性约束 不可伸长的绳索 4 联接刚体的光滑铰链 中间铰 3 刚体沿固定面作纯滚动 10 3动能定理 26 例 图示的均质杆oa的质量为30kg 杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态 设弹簧常数为k 3kn m 为使杆能由铅直位置oa转到水平位置oa 在铅直位置时的角速度至少应为多大 解 取oa杆研究对象 得 由 10 3动能定理 27 例 均质圆盘a m r 滑块b m 杆ab 质量不计 平行于斜面 斜面倾角 摩擦系数f 圆盘作纯滚动 系统初始静止 求 滑块的加速度 解 取整体为研究对象 运动学关系 由动能定理 对 求导 得 10 3动能定理 28 例 图示系统中 均质圆盘a b各重p 半径均为r 两盘中心线为水平线 盘a上作用矩为m 常量 的一力偶 重物d重q 问下落距离h时重物的速度与加速度 绳重不计 绳不可伸长 盘b作纯滚动 初始时系统静止 10 3动能定理 29 解法一 用动能定理 取系统为研究对象 由运动分析知 10 3动能定理 30 上面 1 式求导得 1 10 3动能定理 31 10 3动能定理 练习 10 8 解法二 用动量矩定理 1 取圆盘a及重物为研究对象 由动量矩定理 2 取圆盘b为研究对象 由平面运动微分方程 32 10 3动能定理 10 8在图示滑轮组中悬挂两个重物m1和m2 质量分别为m1与m2 定滑轮o1的半径为r1 质量为m3 动滑轮o2的半径为r2 质量为m4 两轮均可视为均质圆盘 如绳重和摩擦略去不计 并设m2 2m1 m4 求重物m2由静止下降距离h时的速度 题10 8图 33 一 功率 单位时间内力所做的功称为功率 以p表示 因为 所以 功率等于切向力与力作用点速度的乘积 作用在转动刚体上的力的功率为 式中mz是力对转轴z的矩 是角速度 即 作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积 10 4功率 功率方程 机械效率 34 取质点系动能定理的微分形式 两端除以dt 得 上式称为功率方程 即质点系动能对时间的一阶导数 等于作用于质点系的所有力的功率的代数和 每部机器的功率可分为三部分 输入功率 无用功率 或耗损功率 有用功率 或输出功率 在一般情况下 功率方程可写成 或 二 功率方程 10 4功率 功率方程 机械效率 35 如一部机器有n级传动 设各级的效率分别为 1 2 n 则总效率为 有效功率 机械效率 表示机器对输入功率的有效利用程度 它是评定机器质量好坏的指标之一 显然 机械效率用 表示 即 三 机械效率 10 4功率 功率方程 机械效率 36 例 车床的电动机功率为5 4kw 由于传动零件之间的摩擦耗损功率占输入功率的30 如工件的直径d 100mm 转速n 42r min 问允许切削力的最大值为多少 若工件的转速改为n 112r min 问允许切削力的最大值为多少 解 由题意知 当工件匀速转动时 动能不变 有用功率为 设切削力为f 切削速度为v 则 即 10 4功率 功率方程 机械效率 37 当n 112r min时 允许的最大切削力为 当n 42r min时 允许的最大切削力为 10 4功率 功率方程 机械效率 38 例 电动机车质量为m 由静止以匀加速度a沿水平直线轨道行驶 如电动机车所受的运动阻力等于kmg 其中k是常数 求电动机车的功率 解 设电动机车行驶距离s时的速度为v 发动机所做的功为w 由动能定理得 将上式对时间求导 并注意 及 得电机车的功率 将 代入上式 得 10 4功率 功率方程 机械效率 39 例 均质圆轮半径r 质量为m 受到轻微扰动后 在半径为r的圆弧上往复滚动 如图所示 设表面足够粗糙 使圆轮在滚动时无滑动 求质心c的运动规律 解 取轮为研究对象 均质圆轮作平面运动 其动能为 只有重力作功 重力的功率为 10 4功率 功率方程 机械效率 40 应用功率方程 得 当 很小时sin q 于是得质心c的运动微分方程为 10 4功率 功率方程 机械效率 作业 10 6 10 7 10 13 41 一 势力场 如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用 则这部分空间称为力场 例 重力场 太阳引力场等等 如果物体在力场内运动 作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关 而与该点的轨迹形状无关 这种力场称为势力场 或保守力场 在势力场中 物体受到的力称为有势力 或保守力 例 重力场 弹性力场都是势力场 重力 弹性力 万有引力都是有势力 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 42 在势力场中 质点由点m运动到任选的点m0 有势力所作的功称为质点在点m相对于点m0的势能 以v表示为 点m0称为零势能点 在势力场中 势能的大小是相对零势能点而言的 零势能点m0可以任意选取 对于不同的零势能点 在势力场中同一位置的势能可有不同的数值 二 势能 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 43 1 重力场中的势能 质点重力mg在各轴上的投影为 取mo为零势能点 则质点在点m的势能为 几种常见势能的计算 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 44 2 弹性力场中的势能 设弹簧的一端固定 另一端与物体连接 弹簧的刚度系数为k 取m0为零势能点 则物体在点m的势能为 如取弹簧的自然位置为零势能点 则有 0 0 则 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 45 3 万有引力场中的势能 设质量为m1的质点受质量为m2的物体的万有引力f作用 取点m0为零势能点 则质点在点m的势能为 式中f为引力常数 因为 所以 如选取点m0在无穷远处 即r1 则 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 46 如质点系受到多个有势力的作用 各有势力可有各自的零势能点 质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置 称为质点系的 零势能位置 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 质点系从某位置到其 零势能位置 的运动过程中 各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能 例如 质点系在重力场中 取各质点的z坐标为z10 z20 zn0时为零势能位置 则质点系各质点z坐标为z1 z2 zn时的势能为 47 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 例 一质量为m 长为l的均质杆ab a端铰支 b端由无重弹簧拉住 并于水平位置平衡 此时弹簧已拉长 0 如弹簧刚度系数为k 质点系重力势能 其中m为质点系全部质量 zc为质心的z坐标 zc0为零势能位置质心z坐标 48 2 如取杆的平衡位置为系统的零势能位置 杆于微小摆角j处 势能为 1 如重力以杆的水平位置为零势能位置 弹簧以自然位置为零势能点 则杆于微小摆角j处势能为 注意 可得 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 49 质点系在势力场中运动 有势力的功可通过势能计算 设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中 从点m1到点m2 该力所作的功为w12 取点m0为零势能点 则 因有势力的功与轨迹形状无关 从m1经m2到m0 即有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和终了位置的势能的差 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 50 质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为机械能 由质点系动能定理 如只有有势力作功 则 移项后 即质点系在运动的过程中 只有有势力作功 其机械能保持不变 这种质点系称为保守系统 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 51 如质点系还受到非保守力的作用 称为非保守系统 非保守系统的机械能是不守恒的 设保守力所作的功为w12 非保守力所作的功为w 12 由动能定理有 因 则 如w 12为负功 质点系在运动过程中机械能减小 称为机械能耗散 如w 12为正功 质点系在运动过程中机械能增加 这时外界对系统输入了能量 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 52 例 长为l 质量为m的均质直杆 初瞬时直立于光滑的桌面上 当杆无初速度地倾倒后 求质心的速度 用杆的倾角 和质心的位置表达 解 取杆为研究对象 由于水平方向不受外力 且初始静止 故质心c铅垂下降 由于只有重力作功 因此机械能守恒 取地面为零势能面 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 53 由机械能守恒定律 将 代入上式 化简后得 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 54 例 两根均质杆ac和bc各重为p 长为l 在c处光滑铰接 置于光滑水平面上 设两杆轴线始终在铅垂面内 初始静止 c点高度为h 求铰c到达地面时的速度 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 55 解 取整体为研究对象 由于只有重力作功 因此机械能守恒 取地面为零势能面 分析ac杆运动 由机械能守恒定律 va a点为其速度瞬心 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 56 例 均质圆轮半径r 质量为m 受到轻微扰动后 在半径为r的圆弧上往复滚动 如图所示 设表面足够粗糙 使圆轮在滚动时无滑动 求质心c的运动规律 解 取轮为研究对象 此系统的机械能守恒 取质心的最低位置o为重力场零势能点 圆轮在任一位置的势能为 同一瞬时的动能为 由机械能守恒 有 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 57 把v和t的表达式代入 取导数后得 于是得 当 很小时 于是得 因 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 58 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 59 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 60 10 5势力场 势能 机械能守恒定律 作业 10 9 10 11 10 14 61 质点和质点系的普遍定理包括动量定理 动量矩定理和动能定理 动量定理和动量矩定理是矢量形式 动能定理是标量形式 他们都用于研究机械运动 而动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题 应用动量定理或动量矩定理时 质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩 只需考虑质点系所受的外力 应用动能定理时 要考虑理想约束力和内力作不作功 10 6普遍定理的综合应用举例 62 式为质点系动量定理的积分形式 即在某一时间间隔内 质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和 或 即质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和 上式也可写成 动量定理 63 在应用时应取投影形式 在直角坐标系的投影式为 和 动量定理 64 质点系动量守恒定律 则 即质点系的动量保持不变 1 如果 2 如果 则 即质点系的动量在x轴上投影保持不变 以上结论称为质点系动量守恒定律 动量定理 65 质心运动定理 或 上式表明 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和 即等于外力的主矢 质心运动定理 66 质心运动定理是矢量式 应用时取投影形式 直角坐标轴上的投影式为 自然轴上的投影式为 质心运动定理 67 质心运动守恒定律 即质心作匀速直线运动 若开始静止 则质心位置始终保持不变 2 如果 则 所以 即质心速度在x轴上的投影保持不变 若开始速度在x轴上的投影等于零 则质心沿x轴的坐标保持不变 1 如果 则 所以 以上结论 称为质心运动守恒定律 质心运动定理 68 上式称为质点系动量矩定理 质点系对于某定点o的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和 外力对点o的主矩 应用时 取投影式 动量矩定理 69 三 动量矩守恒定律 质点 如果 则 常矢量 如果 则 常量 上述两种情况就是质点的动量矩守恒定律 质点系 如果 则 则 如果 常矢量 常量 上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律 动量矩定理 70 刚体绕定轴的转动微分方程 主动力 f1 f2 fn 轴承约束力 fn1 fn2 由质点系对z轴的动量矩定理 有 或 以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程 转动惯量是刚体转动惯性的度量 71 设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系f1 f2 fn 则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理 得 上式也可写成 以上两式称为刚体的平面运动微分方程 刚体的平面运动微分方程 72 上式称为质点系动能定理的积分形式 质点系在某一段运动过程中 起点和终点的动能的改变量 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和 质点系的动能定理 上式称为质点系动能定理的微分形式 质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和 上式积分 得 动能定理 73 取质点系动能定理的微分形式 两端除以dt 得 上式称为功率方程 即质点系动能对时间的一阶导数 等于作用于质点系的所有力的功率的代数和 功率方程 功率 功率方程 机械效率 74 如只有有势力作功 则 即质点系在运动的过程中 只有有势力作功 其机械能保持不变 这种质点系称为保守系统 势力场 势能 机械能守恒定律 75 10 6普遍定理的综合应用举例 应用动力学普遍定理的解题思路与应用原则 1 首先以整体为研究对象 判断是否有守恒条件 如动量守恒 动量矩守恒 质心运动守恒或机械能守恒 应优先考虑守恒情况 2 解刚体系动力学问题同解刚体系平衡问题一样 一般以整体为研究对象 求解部分未知量 然后将刚体系分解 选取适当的研究对象 求出其余未知量 3 有些动力学问题可用不同的定理求解 这时可比较其烦简而选用某一定理 求物体的运动 速度 加速度 时 有时几个定理都可求解 而往往用动能定理较简捷 转动问题宜用动量矩定理 移动问题宜用动量定理或质心运动定理 76 10 6普遍定理的综合应用举例 力是距离的函数宜用动能定理 力是时间的函数宜用动量定理 力是常量则都可用 碰撞问题宜用动量或动量矩定理 4 有些动力学问题不能用某些定理求解 应根据题意而选用 需求力时几个普遍定理各有其局限性 动量定理和动量矩定理不能求内力 须取分离体或用动能定理 动能定理中不反映理想约束力 如果求固定支座反力 应选用动量定理或质心运动定理 5 有时问题较复杂 则应综合 运动学 动力学 运用 例如同时求力和运动 或系统运动的自由度大于一 77 解 取杆为研究对象 或由动能定理 功率方程 例 均质杆oa 重p 长l 绳子突然剪断 求该瞬时 杆的角加速度及o处约束力 对o点应用动量矩定理 10 6普遍定理的综合应用举例 78 10 6普遍定理的综合应用举例 由质心运动定理 79 a b 例 图示弹簧两端各系以重物a和b 放在光滑的水平面上 重物a和b的质量分别为m1 m2 弹簧的原长为l0 刚度系数为k 若将弹簧拉到l然后无初速地释放 问当弹簧回到原长时 重物a和b的速度各为多少 10 6普遍定理的综合应用举例 是否有物理量守恒 80 a b 解 取整体为研究对象 m1g m2g fa fb va vb x 应用动量定理 应用动能定理 2 1 由 1 2 两式解得 10 6普遍定理的综合应用举例 81 例 图示圆环以角速度 绕铅垂轴ac自由转动 此圆环半经为r 对轴的转动惯量为j 在圆环中的点a放一质量为m的小球 设由于微小的干扰小球离开点a 小球与圆环间的摩擦忽略不计 求当小球到达点b和c时 圆环的角速度和小球的速度 10 6普遍定理的综合应用举例 是否有物理量守恒 82 解 取整体为研究对象 z mg p fy f1z f1x f1y fx 1 小球a b 应用动量矩定理 应用动能定理 10 6普遍定理的综合应用举例 83 z mg p fy f1z f1x f1y fx 2 小球a c 应用动量矩定理 应用动能定理 解得 解得 10 6普遍定理的综合应用举例 练习 10 20 84 例 如图所示两均质圆轮质量均为m 半径为r a轮绕固定轴o转动 b轮在倾角为 的斜面上作纯滚动 b轮中心的绳绕到a轮上 若a轮上作用一力偶矩为m的力偶 忽略绳子的质量和轴承的摩擦 求 1 b轮中心c点的加速度 2 绳子的张力 3 轴承o的约束力 4 斜面的摩擦力 10 6普遍定理的综合应用举例 85 解 1 取整体为研究对象 假设轮b的中心c由静止开始沿斜面向上运动一段距离s 则各力所作功的和为 由动能定理 得 将上式对时间求导 得 10 6普遍定理的综合应用举例 86 2 取轮a为研究对象 应用定轴转动微分方程 其中 得 3 应用质心运动定理 得 因aox aoy 0 得 10 6普遍定理的综合应用举例 87 3 取轮b为研究对象 代入已量 得 本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解 应用质心运动定理 得 10 6普遍定理的综合应用举例 88 例 均质细长杆为l 质量为m 静止直立于光滑水平面上 当杆受微小干扰而倒下时 求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力 c a 10 6普遍定理的综合应用举例 89 解 取杆为研究对象 由于水平方向不受力 倒下过程中质心将铅直下落 由动能定理 得 当时解出 mg fn va vc p 设任一瞬时杆与水平线的夹角为 如图所示 p为杆的瞬心 由运动学知 杆的角速度 10 6普遍定理的综合应用举例 90 杆刚到达地面时 由于质心运动在水平方向守恒 ac应为铅垂 以点a为基点 沿铅垂方向投影 得 mg fn a c 由刚体平面运动微分方程 得 由运动学知 10 6普遍定理的综合应用举例 91 例 两个相同的滑轮a和b 半径各为r 重量各为p 用绳缠绕连接 两滑轮可视为均质圆轮 系统从静止开始运动 求轮b质心c的速度v及加速度a与下落距离h的关系 10 6普遍定理的综合应用举例 92 解 取整体为研究对象 fx fy p p v 由运动学知 fx fy p p v f f 取轮a为研究对象 取轮b为研究对象 由动能定理 应用动量矩定理 10 6普遍定理的综合应用举例 93 由于f f 开始时系统静止 所以 代入上面的方程 得 上式两边求导 得 10 6普遍定理的综合应用举例 94 例 图示三棱柱体abc的质量为m1 放在光滑的水平面上 可以无摩擦地滑动