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基于动力系统模型的资金投资策略研究摘要本文依据大量统计数据，及相关经济学知识。通过建立动力系统模型计算投资人投资收益，并依据结果，对现有四种投资策略进行分析。在分析的基础上，针对不同的投资情况，提出了相应的投资建议。在模型建立中，我们利用金融学中投入和收益的关系得出具体问题下的收益率公式，依据大量统计数据建立动力系统模型。通过编写相关程序，对模型求解得出具体的数据后，全面分析四款基金产品分别在四种投资策略下的表现，从而选择最优策策略，得到最大收益。之后通过对历史数据的分析，得出市值的变化走向，并利用动力系统模型，计算平均年化收益率，分析投资年限是否固定对收益的影响。在讨论收益率与通货膨胀速率的关系中，通过构建另一个动力系统模型来模拟通货膨胀原理从而比较投资产生的收益与通货膨胀速率的关系。最后，基于降低亏损的原理，我们制定出了一种新的，简单可行的投资策略，使投资人在有限的条件下，可以获得最大收益。关键词：动力系统模型，数据分析，傻瓜式投资。一、 问题重述随着生活压力增大，现在越来越多的上班族开始考虑理财这一问题。然而对于上班族而言，专门抽出时间专门学习如何投资、如何理财实在是困难。于是，他们中很多人决定像巴菲特对多数人建议的那样，定期投资于指数基金。对于投资，现在一共有四种策略：策略1（固定日期按份额定投）：每月选择固定一天（比如第一天）以当天净值买入固定份额基金（份额记为b）。比如当天净值为0.8元，买入500份，就需要投资400元。 策略2（固定日期按金额定投）：每月选择固定一天（比如第一天）以当天净值买入固定金额基金（金额记为d）。比如d=400元时若当天净值为0.8元则可以买入500份，若净值为1.0元则可以买入400份。策略3（固定日期随机定投）：每月选择固定一天（比如第一天）随机买入一定额度（不超过a）基金。策略4（月内新低按金额定投）：每月出现月内第一个低点（即当天净值低于本月之前任何一天）那天以当天净值买入固定金额基金（金额记为d），每月只买入一次（本月内出现更低低点时不再买入基金）。如果月内没有出现在月内低点买入的机会，就在月内最后一天以当天净值买入固定金额基金（金额记为d）。题目给出的假设有：开始按前述策略投资的那一天（记为T）的净值为单位1；通货膨胀速率为固定值每年5%以减化计算；在除掉生活所需的费用后，投资者每月可留下a=1000元用于投资或储蓄（活期），且用于投资的钱N年内不会用到；基金的净值当天可知。本题主要问题是要通过建立模型，分析四种策略相对于四款基金产品的优劣势，从中给出简单明了，且收益最大的投资建议。问题1：对T2006.1.1,研究N=1到9时4种不同策略针对4个不同指数的投资表现，计算平均年化收益率。不同的指数投资效果有何不同？各种策略哪个有较好的表现？投资年限N起什么样的作用？试分析你所看到的结果的背后原因。问题2：将T从2006年2011年间变化时，再进行一下讨论。当N固定时投资起始时间对投资收益有无显著的影响？问题3：考虑更大的投资年限N=10以及N=20，以标普500指数来分析以上投资策略自1990年以来的投资表现。这些策略能否跑赢通货膨胀速率？问题4：你能否找到新的傻瓜投资策略？给出一些你的想法。二、 问题分析首先要解释两个关键概念，即指数基金与通货膨胀。指数基金就是指按照某种指数构成的标准购买该指数包含的全部或者一部分证券的基金，其目的在于达到与该指数同样的收益水平，实现与市场的同步成长。指数基金采用被动式投资，选取某个指数作为模仿对象，按照该指数构成的标准，购买该指数包含的证券市场中全部或部分的证券。简单来说，指数基金即是一种以大盘指数涨跌作为盈亏判断依据的基金。指数基金拥有众多优势，其中尤以风险小，业绩表现稳定，费用低廉而使指数基金收到投资者青睐。目前，国内市场上最为主流的指数基金，共有：标普500、沪深300、上证综指、深证成指四款。通货膨胀在经济学上意指整体物价水平持续性上升。一般性通货膨胀为货币贬值或购买力下降，而货币贬值为两经济体间之币值相对性降低。前者用于形容全国性的币值，而后者用于形容国际市场上的附加价值。两者之相关性为经济学上的争议之一。通货膨胀之反义为通货紧缩。无通货膨胀或极低度通货膨胀称之为稳定性物价。在若干场合中，通货膨胀一词意为提高货币供给，此举有时会造成物价上涨。若干（奥地利学派）学者依旧使用通货膨胀一词形容此种情况，而非物价上涨本身。因之，若干观察家将美国1920年代的情况称之为“通货膨胀”，即使当时的物价完全没有上涨。以下所述，除非特别指明，否则“通货膨胀”一词意指一般性的物价上涨。通货膨胀之反义可为“通货再膨胀”，即在通货紧缩的情况下物价上涨，或紧缩的程度降低。也就是说，一般物价水平虽然下降，但幅度缩小。相关词为“通货膨胀率减缓”，即通货膨胀上升速率减缓，但不足以造成通货紧缩。简单而言，通货膨胀可以理解为货币购买力下降。如果假定一种物品本身的价值不变，则在通货膨胀情况下，该物品的货币价格呈上涨状态，依照本题假设，其上涨速率为5%每年。在基金投资过程中，投资人所投资本，实际上是购买了多份基金产品。简单而言，即投资人购买的基金，事实上是由多个完全相同而又相互独立的基金共同构成的。基金市场的价格波动，会对基金产品的单价造成影响，进而影响投资人所投资本。在基金投资中，投资人收益是由投资人所购买的基金份数，与基金成交总额决定的。即投资人所得收益，为：（卖出基金单价-买入基金单价）*基金份数。由此可见，尽管基金市场行情随时变动，但除了投资人买入和卖出时基金市值外，这些变动并不会对投资人收益造成任何影响。在本题中，投资人以月份为单位，连续买入基金。所以其买入基金单价是一个动态变量。当达到投资时限时，投资人一次性将基金全部卖出。因为投资时限固定，所以可以认为卖出单价为一定值。在问题二中，投资起始时间的改变，本质上是改变了投资人买入的价格和卖出基金的价格。由通货膨胀的相关定义，我们认为通货膨胀实际上可以理解为一种投资。因为我们计算的是货币价格，而通货膨胀是货币价格相对于物品价值而言的。所以当通货膨胀造成物品货币价格相对于其价值升高时，在以起始时间的状态为参考下，可以看做物品价格的上涨。而物品可以视为另一种另类的投资。所以对于问题三，我们认为其本质是对比两种不同的投资对象所带来的收益。即如果指数基金所带来的收益，大于通货膨胀所带来的货币价格相对于物品价值的的提升，则指数基金的投资表现可以跑赢通货膨胀，反之则不能跑赢。三、 模型假设1、 基金交易不存在交易费用，投资人所投资本可以完全进入市场。2、 投资人在投资过程中，严格执行投资策略，中途不会中断或退出。四、 符号说明T投资人开始投资时间N投资人投资时限K平均年化收益率Ki阶段收益率E投资总收益E买入买入总价格E卖出卖出总价格Ei每次买入价格通货膨胀速率Y通货膨胀率五、 模型的建立与求解由问题分析，我们认为投资收益与投入资金有如下关系：E=E卖出-E买入国际市场上，一般使用年化收益来描述一支基金、股票的收益情况，及投资表现。年化收益计算公式如下：K=i=1Ki对于Ki而言，其大小取决于投资人买入与卖出基金的价格，其关系公式如下：Ki=(E卖出-E买入)E买入在问题分析中，我们将基金收益投资过程简化，忽略其过程状态，只考虑始末状态。因此，我们只会得出由投资人买入、卖出基金价格所决定的Ki。所以在本题中：K=Ki=(E卖出-E买入)E买入在本题中，由于投资人购买基金，是一个连续、动态的过程。所以：E买入=i=1Ei综上所述，我们可以建立一个由以下公式构成的动力系统模型：K=(E卖出-i=1Ei)E买入其中，E卖出与Ei均是由统计数据所得。在建立以上模型的基础上，我们通过在code:blocks环境下编写程序，对四款基金产品分别在四种投资策略下的表现进行计算运行程序后，得到如下结果：标普500：策略一策略二策略三策略四N=11.089751.091361.089491.0951N=21.061361.066671.076361.07276N=30.6639920.6742320.6789180.679756N=40.9065780.9417210.9107330.951597N=51.02791.061091.03771.07164N=61.025261.053561.027491.06362N=71.120681.149551.125531.15955N=81.41691.461421.428331.47318N=91.523611.593541.529021.60589沪深300：策略一策略二策略三策略四N=11.500361.574141.475141.58662N=22.010573.019571.907193.05047N=30.6407930.9155250.6114150.927551N=41.233191.656361.188651.67907N=51.048441.347671.014021.36087N=60.7894630.9764330.7682050.986542N=70.8692551.044370.8480161.05489N=80.8194340.9643440.7955820.973597N=91.255071.453121.22021.43599上证综指：策略一策略二策略三策略四N=11.642531.703381.665451.71061N=21.840772.527141.773492.54542N=30.6348610.827540.6236030.836253N=41.142481.411841.124341.42832N=50.9677681.152470.9535141.16548N=60.770550.8945120.765560.903174N=70.8154540.9319170.8135490.941157N=80.7851350.8867170.7864710.894829N=91.205981.34871.209561.36047深证成指：策略一策略二策略三策略四N=11.604511.66121.545921.6793N=22.067713.130352.031343.16454N=30.7145311.021830.6955041.83823N=41.419361.946671.412321.9788N=51.210171.624281.193411.64817N=60.853871.120690.8481851.1348N=70.8907091.127640.8874681.1414N=80.8026590.9876980.7984590.999047N=91.101711.328651.091061.29738 对以上策略进行横向对比，得出N取不同值时应该选择的最优策略：N=1上证综指策略四N=2深证成指策略四N=3深证成指策略四N=4深证成指策略四N=5深证成指策略四N=6深证成指策略四N=7标普500策略四N=8标普500策略四N=9标普500策略四可见投资年限N较小时，选择深证成指会有较好的收益，而N较大时，则应选择标普500作为主要投资方向。但是无论N怎样变化，策略四都体现出明显优势，所以为了更好的效益应选择策略四。问题二：我们选取标普500为例，在计算它每一时间点上的市值后，用曲线图将它市值的走势描绘出来：由图可见，自2006年以来，标普500的市值随时间的变化而变化。由于投资人买入基金时，买入价格为基金现实市值，所以不难理解，在不同时间点买入基金，会对投资总金额造成影响。而投资总资金的不同，会直接影响投资人的回报率。因此，当N固定时投资起始时间对投资收益是有影响的。为验证这一观点，我们再次以标普500为例，利用第一问中的动力系统模型，计算当T=2006，T=2010，N=1时，投资的平均年化收益率。计算结果如下：策略一策略二策略三策略四T=20061.089751.091361.089491.0951T=20101.100221.10251.109331.11089为直观的展现这种差异，我们将两组数据以折线图表现出来：可见，当N固定时投资起始时间T对投资收益有显著的影响。问题三：首先，我们利用第一问所建立的模型与程序，对当T=1990时，N=10及N=20两种情况进行计算，得到结果：策略一策略二策略三策略四N=102.264252.753922.30212.76649N=201.353441.69521.307721.7046之后，我们要对通货膨胀情况进行计算，通过问题分析，我们认为通货膨胀的工作方式与基金涨跌原理是相同的，在此，我们通过构建一个动力系统模型来描述通货膨胀的原理：Y=(1+)N其中，N为所研究的时限。由题目假设，=0.05。对动力系统模型求解得：通货膨胀N=101.62889N=202.6533由于投资收益仅与买入价格与卖出价格相关，所以我们可以将折线图简化为几条直线：由图像可清晰直观的看出，以标普500的投资表现，在1990年后的10年，投资产生的收益可以跑赢通货膨胀速率，然而在1990年后的20年，投资产生的收益就不足以跑赢通货膨胀速率了。问题四：由标普500的市值趋势图，不难看出，在2008年与2009年两年期间，其市值一直处于下降状态。对比其他三款基金产品，他们均存在同样的问题。如果要使得收益最大化，显然规避基金市值的下降期是最好的选择。所以最为直接，有效的方法，就是在基金市值下降期，将基金全部抛售，将抛售所得与每月固定的盈余存入银行，然后在基金市值下降期，把钱从银行中全部取出，再次投资于基金市场。我们对以上思想进行总结，得出策略五：当基金增长率与银行活期存款利率对比，如果基金增长率大，则本年全部投资于基金市场，若银行活期存款利率大，则本年全部投资于银行活期存款。目前国家规定的银行活期存款利率为0.35%，即1.0035。通过与第一问中所得数据进行对比，得出投资方式：在N=3和N=4时，即在2008年和2009年两年中，将基金市场中的资本全部取出，并把它们全部存入银行。等到2010年，再将这些资本连同每月固定存入的资金全部投入基金市场。六、 模型评价投资收益模型评价：本模型对四款不同的基金产品，以及相应的四种投资策略进行了深入分析，在统计数据的基础上，提出了简单有效的投资方法。本模型充分考虑了投资人动态投资过程，很好的模拟了投资人资产状况的改变。同时，模型基于大量真实的数据分析，可靠性不言而喻。但是由于计算机精度有限，所以运行结果存在一定误差。如果计算数值过大，则误差值也会相应变大。模型改进：投资者投资，更多看重对未来市场行情的预估分析。如果可以在本模型的基础上，建立一个相匹配的的行情预测模型，则可以大大提升模型的实用性及价值。通货膨胀模型评价：本模型主要用于计算通货膨胀情况。本模型简单易懂，操作简便，很好的刻画出通货膨胀速率与时间的关系，且误差较小。但由于模型数据基于题目假设，所以局限性较大，不能广泛运用。模型改进：通货膨胀是由一个国家、社会中的多种因素决定的。所以我们还可以将这些因素数字化，将数字化结果作为参数，带入模型中。使模型更好的贴近真实情况，反映更多具体细节。七、 参考文献1 苦行者等，通货膨胀的定义，/wiki/%E9%80%9A%E8%B4%A7%E8%86%A8%E8%83%80#.E8.8F.B2.E5.88.A9.E6.99.AE.E6.96.AF.E6.9B.B2.E7.BA.BF，2015/5/32 Angle Roh等，指数基金，/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%9F%BA%E9%87%91，2015/5/23 Xiusidun等，年化收益率，/wiki/%E5%B9%B4%E5%8C%96%E6%94%B6%E7%9B%8A%E7%8E%87，2015/5/24 姜启源，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2005年八、 附录C语言程序代码：#include #include #include #define Y1 259#define Y2 502#define Y3 748#define Y4 1007#define Y5 1253#define Y6 1497#define Y7 1740#define Y8 1978#define Y9 2223void Print(int year,float fina,float res) printf(The money person got in %d is: %gn,year,fina); printf(The rate is: %gn,(fina+res)/res); printf(He totally put %g in marketn,res); printf(Now his totally money is: %gn,fina+res);int PlanOne(float x,int n) int date,par,i,a,val9,pars=0; float res=0,start=1,fina; for(i=0;i9;i+) vali=0; printf(Please select a date:); scanf(%d,&date); printf(Please select pars:); scanf(%d,&par); a=n/(9*12); for(i=0;i=Y1&val0!=1) fina=xY1*pars-res; Print(2006,fina,res); val0=1; if(i=Y2&val1!=1) fina=xY2*pars-res; Print(2007,fina,res); val1=1; if(i=Y3&val2!=1) fina=xY3*pars-res; Print(2008,fina,res); val2=1; if(i=Y4&val3!=1) fina=xY4*pars-res; Print(2009,fina,res); val3=1; if(i=Y5&val4!=1) fina=xY5*pars-res; Print(2010,fina,res); val4=1; if(i=Y6&val5!=1) fina=xY6*pars-res; Print(2011,fina,res); val5=1; if(i=Y7&val6!=1) fina=xY7*pars-res; Print(2012,fina,res); val6=1; if(i=Y8&val7!=1) fina=xY8*pars-res; Print(2013,fina,res); val7=1; if(i=Y9&val8!=1) fina=xY9*pars-res; Print(2014,fina,res); val8=1; return 0;int PlanTwo(float x,int n) int date,money=0,i,a,val9,pars=0,par=0; float res=0,start=1,fina; for(i=0;i9;i+) vali=0; printf(Please select a date:); scanf(%d,&date); printf(Please select money:); scanf(%d,&money); a=n/(9*12); for(i=0;i=Y1&val0!=1) fina=xY1*pars-res; Print(2006,fina,res); val0=1; if(i=Y2&val1!=1) fina=xY2*pars-res; Print(2007,fina,res); val1=1; if(i=Y3&val2!=1) fina=xY3*pars-res; Print(2008,fina,res); val2=1; if(i=Y4&val3!=1) fina=xY4*pars-res; Print(2009,fina,res); val3=1; if(i=Y5&val4!=1) fina=xY5*pars-res; Print(2010,fina,res); val4=1; if(i=Y6&val5!=1) fina=xY6*pars-res; Print(2011,fina,res); val5=1; if(i=Y7&val6!=1) fina=xY7*pars-res; Print(2012,fina,res); val6=1; if(i=Y8&val7!=1) fina=xY8*pars-res; Print(2013,fina,res); val7=1; if(i=Y9&val8!=1) fina=xY9*pars-res; Print(2014,fina,res); val8=1; return 0;int PlanThree(float x,int n) int date,par,i,a,val9,pars=0; float res=0,start=1,fina; for(i=0;i9;i+) vali=0; printf(Please select a date:); scanf(%d,&date); srand(time(NULL); a=n/(9*12); for(i=0;i=Y1&val0!=1) fina=xY1*pars-res; Print(2006,fina,res); val0=1; if(i=Y2&val1!=1) fina=xY2*pars-res; Print(2007,fina,res); val1=1; if(i=Y3&val2!=1) fina=xY3*pars-res; Print(2008,fina,res); val2=1; if(i=Y4&val3!=1) fina=xY4*pars-res; Print(2009,fina,res); val3=1; if(i=Y5&val4!=1) fina=xY5*pars-res; Print(2010,fina,res); val4=1; if(i=Y6&val5!=1) fina=xY6*pars-res; Print(2011,fina,res); val5=1; if(i=Y7&val6!=1) fina=xY7*pars-res; Print(2012,fina,res); val6=1; if(i=Y8&val7!=1) fina=xY8*pars-res; Print(2013,fina,res); val7=1; if(i=Y9&val8!=1) fina=xY9*pars-res; Print(2014,fina,res); val8=1; return 0;int PlanFour(float x,int n) int date,money=0,i,a,val9,pars=0,par=0,j; float res=0,start=1,fina; for(i=0;i9;i+) vali=0; printf(Please select a date:); scanf(%d,&date); printf(Please select money:); scanf(%d,&money); a=n/(9*12); for(i=0;in;) s