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数系的扩充和复数的概念 2 一 创设情景 探究问题 联系从自然数系到实数系的扩充过程 你能设想一种方法 使这个方程有解吗 3 自然数 整数 有理数 实数 负整数 分数 无理数 回忆数的扩充 1 在原有数集中某种运算不能进行 想一想 数系为什么要扩充 在扩充过程中什么是保持不变的 2 原数集中的运算规则在新数集中得到了保留 5 思考 上述方程在实数中无解 联系从自然数系到实数系的扩充过程 你能设想一种方法 使这个方程有解 二 合情推理 类比扩充 6 为了解决负数开平方问题 数学家大胆引入一个新数i 把i叫做虚数单位 并且规定 问题解决 2 实数可以与i进行四则运算 在进行四则运算时 原有的加法与乘法的运算律 包括交换律 结合律和分配律 仍然成立 1 1 注 虚数单位i是瑞士数学家欧拉最早引用的 它取自imaginary 想象的 假想的 一词的词头 7 由它所创造的复变函数理论 成为解决电磁理论 航空理论 原子能及核物理等尖端科学的数学工具 实际应用 8 1 下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算 说一说 2 这些数的形式有什么共同点 你能用一个式子来表示这些数吗 9 定义 把形如a bi的数叫做复数 a b是实数 其中i叫做虚数单位 复数全体组成的集合叫复数集 记作C 1 复数的概念 10 自然数 整数 有理数 实数 负整数 分数 无理数 数系的扩充 复数 虚数 11 2 复数代数形式 注 对于复数以后不作特殊说明 都有 12 13 观察下列复数 你有什么发现 1 14 1 复数z a bi 3 复数的分类 当b 0时 z是实数 当b 0时 z是虚数 当a 0且b 0时 z是纯虚数 当a 0且b 0时 z是0 i不存在 i要存在 只有i 15 2 复数z a bi 3 即时训练 若m m 1 i为实数 则m 若x 2x 1 i为纯虚数 则x 16 复数集与实数集 虚数集 纯虚数集之间有什么关系 想一想 由上可知 实数集R时复数集C的真子集 17 4 复数相等 注 两个虚数不能比较大小 只能由定义判断它们相等或不相等 18 若2 3i a 3i 求实数a的值 2 若8 5i 8 bi 求实数b的值 3 若4 bi a 2i 求实数a b的值 即时训练 19 虚数 例1 完成下列表格 分类一栏填实数 虚数或纯虚数 三 典例分析 巩固提升 20 例2 实数m取什么值时 复数是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解 1 当 即时 复数z是实数 2 当 即时 复数z是虚数 21 解 根据复数相等的定义 得方程组 得 例3 已知 其中 求与 四 当堂检测 1 以的虚部为实部 以的实部为虚部的复数是 A 2 3iB 3 3iC 3 3iD 3 3i2 若复数是纯虚数 则实数的值为 3 复数与复数相等 则实数的值为 23 z a bi a b R 复数的分类 当b 0时z为实数 当b 0时z为虚数 当b 0且a 0时z为纯虚数 复数的相等 a bi c di a b c
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