四年级奥数教程第6讲：利用等差规律计算.doc

四年级奥数教程第6讲：利用等差规律计算若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到三个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”跟求总和公式。求总和公式:总和=（首项+末项）项数2第几项公式：第几项=首项+（项数1）公差项数公式：项数=（末项首项）公差1【例题1】 有一个数列：4，10，16，22，52.这个数列共有多少项？项数=（末项首项）公差1=（52-4）6+1=486+1=9【思路】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=（524）61=9，即这个数列共有9项。【练习1】1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？项数=（末项首项）公差1=（39-1）2+1=382+1=202.有一个等差数列：2.5，8，11.，101.这个等差数列共有多少项？项数=（末项首项）公差1=（101-2）3+1=993+1=343.已知等差数列11.16，21.26，1001.这个等差数列共有多少项？项数=（末项首项）公差1=（1001-11）5+1=9905+1=199【例题2】有一等差数列：3，7，11，15，这个等差数列的第100项是多少？第几项=首项+（项数1）公差=3+（100-1）4=3+994=399【思路】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差（项数1）”进行计算。第100项=3+4（1001）=399.【练习2】1.一个等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？第几项=首项+（项数1）公差=3+（10-1）2=3+92=212.求1.4，7，10这个等差数列的第30项。第几项=首项+（项数1）公差=1+（30-1）3=1+293=883.求等差数列2，6，10，14的第100项。第几项=首项+（项数1）公差=2+（100-1）4=2+994=398作业：熟背公式；P33页，随堂练习1三题；P36页填空题15.作业写在练习本上！书本不用带！【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，99，100。请求出这个数列所有项的和。【思路】如果我们把1.2.3.4，99，100与列100，99，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。【练习3】计算下面各题。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，48，50的和。【思路】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1=（502）2+1=25首项=2.末项=50，项数=25等差数列的和=（2+50）252=650.【练习4】计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270【例题5】计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50【练习5】用简便方法计算下面各题。（1）（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998）【例2】计算:1+11+21+1991+2001+2011=第九届“希望杯”初赛第2题)分析根据题意可知:要求本题的和必须先求项数,根据项数(末项一首项)公差+1,可求得项数再根据和=(首项+末项)项数2,可求得和解项数=(2011-1)10+1=201+1=2021+11+21+1991+2001+2011能OE的=(1+2011)2022=20122022=203212随堂练习1计算(1)1+3+5+197+199=项数=（末项-首项）公差+1=（199-1）2+1=100总和=（首项+末项）项数2=（1+199）1002=10000(2)81+79+13+11=项数=（首项-末项）公差+1=（81-11）2+1=36总和=（首项+末项）项数2=（11+81）362=1656(3)1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+2007-2008+2009-2010+2011=（1+3+5+7+9+2011）-（2+4+6+8+10+2010）（1+3+5+7+9+2011）=1012036-1011030=1006项数：（末项-首项）公差+1=（2011-1）2+1=1006总和=（首项+末项）项数2=（1+2011）10062=1012036（2+4+6+8+10+2010）=1011030项数：（末项-首项）公差+1=（2010-2）2+1=1005总和=（首项+末项）项数2=（2+2010）10052=1011030【例3】编号是1,2,3,36的36名同学按编号顺序面向里站成一圈.第1次,编号是1的同学向后转;第2次,编号是2、3的同学向后转;第3次,编号是4、5、6的同学向后转第36次,全体同学向后转，这时,面向里的同学还有几名？1+2+3+4+5+36=（首项+末项）项数2=（1+36）362=666（次）66636=18（次）1836-18=18人分析根据题意可知:第1次向后转1个人,第2次向后转2个人,第3次向后转3个人第35次向后转35个人.这时,向后转的同学总数为:1+2+3+35=(1+35)352=630(名)可是,学生只有36名,所以63036=1718.这说明每个学生向后转了17次后,各有18名同学面向里、面向外解1+2+3+35=(1+35)352=630(名)63036=17(次)。18(名)这时,面向里的同学还有18名.第36次,全体同学向后转,这时,面向里的同学仍然是18名.了【例4】某体育馆西侧看台有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,最后一排有132个座位,体育馆西侧看台共有多少个座位?项数：30；末项 ：132；公差：2第几项：末项=首项+（项数-1）公差 132=首项+（30-1）2，首项=132-58=74总和=（首项+末项）项数2=（74+132）302=3090分析要求这30个数的和,必须知道第一排的座位数,而最后一排座位数是由第一排座位数加上(30+1)2得出来的,这样就可以求出第一排的座位数.“解第一排座位数为子限的年:意原得(30-1)12-58-74(个),(首一页末)所以(74+132)302=206302=3090(个答西侧看台共有3090个座位.随堂练习2(1)按一定规律排列的算式:4+2,5+8,6+14,7+20,8+26,那么第100个算式是什么?第几项：末项=首项+（项数-1）公差作业：P35页：随堂练习3:1,2两题；P37页：选择题7，8,9,10全写，简答题：11,12,14,15【例5】学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他选手赛1场(1)若有20人参赛,那么一共要进行多少场选拔赛?19+18+17+16+1=（首项+末项）项数2=（19+1）192=190（场）(2)若一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=7812+1=13人分析设20个选手分别是A1, A2,A顺序分析比赛场次A20,我们从选手A1开始按A1必须和A2,A3,A4,A20这19人各赛1场,共计19场;诗得A2已和A1赛过,他只需和A3,A4,A5,A2这18名选手各赛1场,共计18场;A3已和A1,A2赛过,他只需与A4,A5,A6,A20这17名选手各赛1场,共计17场依次类推,最后,A只能和A20赛1场然后对各参赛选手的场次求和即可.解(1)这20名选手一共需赛19+18+17+2+1=(19+1)192=190(场)(2)设参赛选手有n人,则比赛场次是平,平是去1+2+3+(n-1),长一民不根据题意有平1的不1+2+3+(n-1)=78经过试验可知1+2+3+.羊12=78,(“:于是n-1=12,n2=13所以,一共有13人参赛说明(1)也可这样想:20人每人都要赛19场,但“甲与乙”、“乙与甲”只能算一场,因此,共进行20192=190(场)比赛.曾5所次:米资(2)采用了试验法,这是一种很实用的方法,希望同学们能熟练掌握.随堂练习3(1)有12个同学聚会,如果见面时每个人都和其余的人握手1次,那么一共握手多少次?1+2+3+4+5+10+11=66次项数：（末项-首项）公差+1=（11-1）1+1=11总和=（首项+末项）项数2=（1+11）112=66(2)聚会结束时,统计出一共握手36次,如果参加聚会的每个人都和其他人握手1次,问:有多少人参加聚会?36=1+2+3+4+5+6+7+88+1=9人填空题1、0+1+2+100+101=项数=（末项-首项）公差+1=（101-1）2+1=51总和=（首项+末项）项数2=（1+101）512=51512、2+5+8+299=项数=（末项-首项）公差+1=（299-2）3+1=100总和=（首项+末项）项数2=（2+299）1002=150503、(7+9+11+23+25)-(5+7+9+11+23)= 160-140=20(7+9+11+25)=160项数=（末项-首项）公差+1=（25-7）2+1=10总和=（首项+末项）项数2=（7+25）102=160(5+7+9+23)=140项数=（末项-首项）公差+1=（23-5）2+1=10总和=（首项+末项）项数2=（5+23）102=1404、在1100这100个自然数中,能被3整除的数的和是：3+6+9+12+99=1683项数=（末项-首项）公差+1=总和=（首项+末项）项数2=5、1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+1997-1998-1999+2000=06、现有10个盒子,用下面方法往盒中装小球儿:第1个盒装1个,第2个盒装4个,第3个盒装7个照这样的装法,则将10个盒都装完,共需几个小球.三、选择题()将下面两个式子的结果进行比较,得到的结论是( A )(1)(2+4+6+100)-(1+2+3+48+49+50);(2)(1+3+5+99)-(50+49+48+3+2+1)(A)(1)式比(2)式多50(B)(2)式比(1)式多50(C)(1)式等于(2)式(D)以上答案都不对(8如果1,a2,a3,a4,25组成等差数列,那么a3是( B )(A)11(B)13(C)15(D)175第几项：末项=首项+（项数-1）公差25=1+（5-1）公差 公差=6(9有一本书共169页,小明第一天看了1页,以后每天都比前一天多看2页,则看完这本书需用( )试数法(A)12天(B)13天(C)14天(D)29天1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25=169（25-1）2+1=1310某班共买来66本课外书,把它们分别放在书架上,每次摆放都是下面层比上面一层多放1本书,则至多要放的层数为( C )(A)9(B)10(C)11D)121+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66简答题 计算:880-3-6-9-57=880-（3+6+9+12+15+57）=880-570=3103+6+9+12+15+57=（3+57）192=570项数：（57-3）3+1=192(1)所有两位偶数的和是多少?10+12+14+16+18+96+98=（10+98）452=2430项数：（98-10）2+1=45(2)所有除以3余2的两位数的和是多少?11+14+17+20+23+95+98=（11+98）302=1635项数：（98-11）3+1=3013已知数列5,7,1117,按照前几项的规律,写出该数列的第项14小青蛙沿着台阶往上跳,每跳一次都比上一次升高4厘米.它从离地面10厘米处开始跳,这一处称为小青蛙的第一个落脚点,如果它的第100个落脚点正好在台阶尽头的亭子内,那么这个亭子距地面多少厘米?末项：10+（100-1）4=406厘米15