（无线电物理专业论文）光子晶体光纤分析中的梯度纤芯近似.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：丝堡坚墨 日期：竺! ：竺堕 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：互龇导师签名：复! 匿日 期：! ! ：竺! ! 山东大学硕b 学位论文 摘要 本文采用等效折射率模型计算了光予晶体光纤的包层区折射卒，又把光了晶 体光纤等效为纤芯折射率按平方律分布的变折射率光纤。采用标量法进行推导， 得出了全反射型光了晶体光纤中的场解。在此基础上，借助于m a t l a b 数学工具， 讨论了光子晶体光纤结构参数和频率对场的影响，以及光纤的“无尽”单模特性， 进而给出了几个低阶模的场分布。 本文第一章简要回顾了光纤理论和应用的发展历史，介绍了光子晶体光纤的 分类，对不同光纤模型的数理推导方法也做了概要的介绍。第二章介绍了当前关 于光子晶体光纤的理论研究的大致状况。在此基础上提出了本文的研究方向，并 对其可行性做了讨论。第三章针对全反射型光予晶体光纤进行了理论推导，根据 特征方程得到了包层的等效折射率及纤芯折射率随波长和等效芯径的变化曲线。 第四章讨论了光了晶体光纤中的模式和场分布。第五章对上述工作做了总结。 关键词： 光子晶体光纤；包层等效折射率；梯度纤芯；标量法 山东人学硕l ：学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r t h ee f f e c t i v er e f r a c t i v ei n d e xi nt h ec l a d d i n go fap h o t o n i cc r y s t a l o p t i c a lf i b e ri sa n a l y z e da c c o r d i n gt o t h em o d e lo fe f f e c t i v er e f r a c t i v ei n d e x t h e p h o t o n i co p t i c a lf i b e ri st r e a t e da saf i b e rw h o s e r e f r a c t i v ei n d e xo f c o r ed i s t r i b u t e da s s q u a r el a wi nr a d i u s t h ef o r m u l a ef o ro p t i c a lf i e l di nt h et o t a l r e f r a c t i v e - k i n df i b e r s a r ed e d u c e di ns c a l a rm e t h o d o nt h i sb a s e t h ei n f l u e n c e so fc o n s t r u c t i v ep a r a m e t e r s o ff i b e ra n df r e q u e n c yt ot h ef i e l d ，a n dt h es o - c a l l e d “e n d l e s ss i n g l em o d ep r o p e r t y ”， a r ed i s c u s s e dw i t ht h eh e l po ft h em a t h e m a t i ct o o l ，m a t l a b s e v e r a ld i s t r i b u t ec u r v e s f o ri o w e ro r d c rm o d e sa r ed r a w n i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eh i s t o r yo ft h e o r ya n da p p l y i n go fo p t i c a lf i b e r , a n dt h e c l a s s i f i c a t i o no fp h o t o n i co p t i c a lf i b e r , f i r er e v i e w e ds i m p l y s e v e r a la n a l y z i n g m e t h o d sf o rd i f f e r e n tm o d e so f o p t i c a lf i b e r sa r eo u t l i n e d ，t o o i ns e c o n dc h a p t e r , t h e r o u g hs i t u a t i o na b o u tr e s e a r c h i n gw o r ko np h o t o n i cc r y s t a lo p t i c a lf i b e ri si n t r o d u c e d o nt h i sb a s e ，t h er e s e a r c hd i r e c t i o no f t h i sp a p e ri sb r o u g h tf o r w a r d ，a n di t sf e a s i b i l i t y i sd i s c u s s e d t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sf o rt o t a l - r e f l e c t i o n - k i n dp h o t o n i cc r y s t a lo p t i c a l f i b e ri sm a d ei nt h i r dc h a p t e r a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ，t h ec u r v e so f e f f e c t i v er e f r a c t i o ni n d e xo fc l a d d i n g ，a n dt h er e f r a c t i o ni n d e xo fc o r e ，v a r y i n gw i t h w a v el e n g t ha n de f f e c t i v er a d i u so fc o r ea l eo b t a i n e d i nf o u r t hc h a p t e r , t h ep r o p e r t y o fm o d e sa n dr a d i a ld i s t r i b u t i o no ff i e l da r ed i s c u s s e d t h ef i r hc h a p t e ri sa n c l u s i o n ? k e y w o r d s ： p h o t o n i cc r y s t a lo p t i c a lf i b e r ；, e f f e c t i v er e f r a c t i v ei n d e xo f c l a d d i n g ；g r a d e dc o r e ； s c a l a rm e t h o d 2 山东大学硕1 ：4 仲论文 第一节光纤 第一章前言 光纤是连接万维网节点的物理链路，它象一根极细的“导线”，穿越大陆和 海洋，把经过编码的光信号传输到千万公里之外。传统光纤出现于上个世纪8 0 年代初，如今己得到广泛的应用，获得了巨大的成功。传统光纤的工作机制是光 的全反射( t o t a li n t e r n a lr e f l e c t i o n ，t i r ) 现象，由英国物理学家j o h nt y n d a l l 于1 8 7 0 年率先提出。通常情况下，光线象质点一样沿直线传播。j o h nt y n d a l l 当时设计了这样一种光通道，就是一束从水槽一侧的小孔中流出的细水流，当光 线直接射入水槽穿过小孔时，就被水流传导向下弯曲。他指出，光线完全可以通 过这样一种两层媒质的结构沿弯曲路径传播。 传统光纤的摹本结构就是如图i - i 左侧所示的这样一种两层圆柱状媒质。内 一、 c l a d d , n g 一；湾 i k 一 、 o p t i c a l 、 f i b r e 图卜1传统光纤与头发的比较 层为纤芯，外层为包层纤芯的折射率比包层的折射率稍大包层外径比人的头 山东人学倾上学付论文 发略租，纤芯直径大约只有人的头发直径的十分之一，当光线满足一定的入射条 件时，就可以产生全反射( t i r ) 现象：在纤芯到包层界面上，入射的光线被全 部反射回来，光线的传播路径完全限制在“芯”区内，光就能沿着纤芯向前传播。 如图1 - 2 所示。实际的光纤在包层外还有一层保护层，其用途是保护光纤免受环 境污染和机械损伤。 图1 - 2 光纤中光线的全反射现象 光纤的分类方法有多种。一是按照传输的模式数量分类，可分为单模光纤和 多模光纤。所谓模式，就是光波在光纤中传播时，由于纤芯边界的限制，其电磁 场解是不连续的，这种不连续的场解称为模式。只能传输一种模式的光纤称为单 模光纤，能同时传输多种模式的光纤称为多模光纤。二是按照纤芯折射牢分布的 方式分类，可分为阶跃光纤和梯度光纤。阶跃光纤纤芯折射牢分布是均匀的，折 射率在纤芯和包层的分界面上发生突变( 或阶跃) 。梯度光纤纤芯折射率分布是 按照一定的函数关系，随光纤中心径向距离的变化而变化。三是按照制造光纤的 材料分类，可分为玻璃光纤、石英光纤、塑料光纤、液芯光纤和光子晶体光纤。 玻璃是最早被用来制造光学纤维的材料，2 0 世纪6 0 年代，就已经用光学玻璃制 4 山东大学硕十学位论文 造出了光学纤维，但是由于其损耗太高，无法实现光信号的长跑离传播。虽然经 过技术改进降低了玻璃光纤的材料损耗，但相对来说，其损耗依然较大。玻璃光 纤的优点是纤芯一包层折射率可在较大范围内变化，因而有利于制造大数值孔径 的光纤“1 。1 9 6 6 年华裔科学家高锟在其论文中解决了石英光纤损耗的理论问题， 提出了研制低损耗光纤的可能性，1 9 7 0 年美国康宁公司研制成功了第一根低损 耗石英光纤。石英光纤是一种以高折射率的纯石英玻璃材料为纤芯，以低折射牢 的有机或无机材料为包层的光学纤维，石英光纤的特点是材料的光传输损耗低。 由于石英光纤传输波长范围宽( 从近紫外到近红外，波长从0 1 9 1 6u m ) ，所 以石英光纤适用于紫外到红外各波长信号及能量的传输，石英光纤还有具数值孔 径大、光纤芯径大、机械强度高、弯曲性能好和很容易与光源祸合等优点，故 在传感、光谱分析、过程控制及激光传输、激光医疗、测量技术、刑侦，信息传 输和照明等领域的应用极为广泛。塑料光纤( p l a s t i co p t i c a lf i b e r 简称p o f ) 又称聚合物光纤，是采用聚合物材料或有机材料制备而成的可传导光功率的传输 线。塑料光纤结台声? 光：，宅等技术广泛痉尾予币；砖蹶当；产：医才；雯孚：广告、 装饰装潢等领域。特别是，近年来塑料光纤在室内照明、工程照明上的应用逐渐 深入和日臻成熟，如珠宝照明、室内装饰照明、博物馆文物照明、水下照明、广 场台阶照明、建筑物轮廓照明等。塑料光纤的特点是成本低，缺点是材料损耗大、 温度性能较差。液芯光纤的纤芯是液体，能够满足某些特殊需要。 制造光纤的方法很多，目前主要有：管内c v d ( 化学气相沉积) 法，棒内c y d 法，p c v d ( 等离了体化学气相沉积) 法和v a d ( 轴向气相沉积) 法但不论用哪一种 方法，制作过程大体相同。首先，在高温下做成预制棒，然后在高温炉中加温软 山东人学硕 二学位论文 化，拉成长丝，第二步是进行涂覆、套塑，成为光纤芯线。当前，国际上较为先 进的是p c v d 技术，其制作工艺大体如下： 沉积：把一根洁净的石英管作为p c v d 沉积的衬管，固定在真空泵与气流 控制器之间。气流控制器可控制四氯化硅、四氯化锗、氟里昂气体与氧气充分精 确地按预先设定的比例混合，并在特定的低压下注入衬竹内。往返流动的；旨振腔 包围着部分衬僻，通过波导将数千瓦的微波能量耦合至气体混合物。微波能在石 英管内产牛出一个局部非等温、低压的等离子体。等离了体内气体相瓦作用，发 牛反应。等离了体电了运动产牛等量于6 0 ，0 0 0 摄氏度的高温，远远高于周围保 温炉的温度。四氯化硅与氧气发牛反应后牛成纯二氧化硅，四氯化锗与氧气发生 类似反应后，产生可提高折射串的掺杂物质二氧化锗。同时，氟里昂气体中的主 要成份氟反应牛成物降低了折射率。通过这种方法可灵活地改变光纤折射率，且 沉积直接在透明的管壁上进行，无任何粉尘产生。谐振腔的每次往返，气体的混 合比例都可以改变，直到多达数千层的沉积层，这样可得到极其精确的预制棒芯 层以及光纤的折射事剖面曲线。 熔缩：沉积后的下步就是把沉积毹7 熔缩成实心棒。由沿管子方向往返移 动的石墨电阻炉对不断旋转的管予加热至大约2 ，2 0 0 0 c ，在表面张力的作用下， 分阶段将沉积好的石英符熔缩成一根实心棒( 预制棒) 。 套棒：为获得光纤芯层与包层材料的适当比例，将熔缩后的石英棒套入一 根套铃中。这样装配后即可进行拉丝。 拉丝：套棒被安装在拉丝塔的顶部，下端缓缓置入约2 ，1 0 0 。c 高温的炉中 熔化后被拉成所需包层直径的光纤，并同时进行双层涂覆和紫化固化。 6 山东大学硕士学位论文 光纤的制造要求每道工序都要相当精密在制造光纤的过程中，光纤原材料 的纯度必须很高：必须防止杂质污染，以及气泡混入光纤；要正确控制折射率的 分布；正确控制光纤的结构尺寸；尽量减小光纤表面的伤痕损害，提高光纤机械 强度。 第二节光子晶体光纤 光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ，p c f ) 是摹于光予晶体技术发展起来 的新一代传输光纤。光予晶体光纤在外观上和传统的普通单模光纤非常相似，但 微观上光子晶体光纤的横截面完全不同。光子晶体光纤的横截面由非常微小的孔 阵列组成，类似于晶体中的晶格，这也是光子晶体名称的由来。实际上这些小孔 是一些直径为光波长量级的毛细管，平行延伸在光纤中。所以光子晶体光纤又称 为多孔光纤( h o l e yf i b e r ) 或微结构光纤( m i c r o s t r u c t u r e df i b e r ) 嘲。光 子晶体光纤和普通单模光纤相比有3 个突出的优点：第一，光了晶体光纤可以在 很大的频率范围内支持光的单模传输 暑争= j 尤予晶1 搴光纤r 亢许改变纤：卷面积， 以削弱或加强光纤的非线性效应；第三，光子晶体光纤可灵活地设计色散和色散 斜窄，提供宽带色散补偿。光子晶体光纤可以把零色散波长的位置移到11 1i t i 以 下。 光子晶体光纤的概念最早由s t j r u s s e l l 等人提出直到1 9 9 5 年，随着制 作工艺的完善，才由b l a z e p h o t o n i c 公司在英国b a t h 大学的p h i l i pr u s s e l l 先 生的指导下生产出第一根光子晶体光纤。1 9 9 9 年p h i l i pr u s s e l l 先生成功地进 行首次中空光子晶体光纤光导演示。目前r u s s e l l 已经是b l a z e p h o t o n i c s 公司 7 山东犬学硕士学位论文 的首席技术官。如今b l a z e p h o t o n i c s 已经推出数十款光子晶体光纤。其中一个 应用就是产生超连续光谱( 宽带“白光”) ，今年初，b l a z e 曾发布了一款新型 p c f ，该光纤是针对传统的n d 3 + 微芯片激光器特别优化设计的，可产生超连续光 谱，这种光谱可以横跨一个倍频程( o c t a v e ) ，可在单模光纤上产生一个宽带输 出，光谱亮度超过太阳1 0 0 0 0 倍。b l a z e 表示利用微芯片激光器和p c f 可获得高 性能的光源，将会取代传统的宽带光源，如照明灯和超高亮度的l e d 。它的应用 领域包括光通讯设备的光谱响应测试，光相干成像( o c t ) ，多光了光谱显微镜以 及化学传感领域。 光子晶体光纤又可分为全反射光子晶体光纤和光子带隙光纤，这两种光纤的 结构不同，光在其中的传播机制也不同哪。全反射光予晶体光纤的芯层和包层由 同一种材料构成，去掉其中的一个或多个孔，形成周期性结构缺陷，这个缺陷就 相当于纤芯，而外围的周期性区域相当于包层，两者之间形成一定的有效折射率 差，从而使光可以在芯层中传播，传输机理是全内反射。但由于包层含有气孔， 与传统光纤的“实芯”熔融硅包层不同，因而可叫做改进的全反射( m o d i f i e d t o t a li n t e r n a lr e f l e c t i o n ) 原理；光子带隙光纤形成周期性结构缺陷的是空 气，传输机理是利用包层对一定波长的光形成光子带隙，光波只能在气芯形成的 缺陷中存在和传播，叫做光子带隙效应( p h o t o n i cb a n d g a pe f f e c t ) 原理。 第三节全反射先子晶体光纤 全反射光子晶体光纤的导波机制为全反射“1 ，与传统光纤相同这种光予晶 体光纤的结构与传统光纤类似，也有纤芯和包层与传统光纤不同的是，传统光 山东大学硕士学位论文 纤的芯层和包层是由两种不同的材料构成的，两种材料的折射率不同，芯层的折 射率高，包层折射率低。而光子晶体光纤的芯层和包层是由同一种材料制成的。 包层是由在纯石英的衬底上规则排列的细微毛细孔构成，是一种光子晶体结构。 芯层是实心的，相当于在规则排列的毛细孔中去掉了一个或多个孔，形成了缺陷。 这就使得芯层与包层的有效折射率出现差别，从而使得光线能够按照全反射原理 在芯层中传播。 我们知道，光是电磁波，它具有电磁波的一般性质，只不过与无线电波相比， 光波的频率要高得多。因此，光波在光纤中的传播的一些基本性质可以从电磁波 的基本方程推导出来，这些方程就是麦克斯韦方程组。由麦克斯韦方程组可进一 步推导出光纤的芯层和包层中的电磁场波动方程，然后根据边界条件解此波动方 程，就得到光纤中的场鳃。 第四节光子带隙光纤 光予带隙光纤的导波机制是光子带嘹t 确i t o n 缸b a n d 。g a p ，简写为p b g ) 效应伽。光子带隙光纤的中心是中空的，周围包裹着数百根仍旧是中空的微细管， 所以也称为中空光子晶体光纤。光子带隙光纤包层中空气孔的排列规律是有着严 t 格要求的，空气孔中心的定位也要十分精确，相比而言，全反射光子晶体光纤包 层中的空气孔定位没有如此严格。 光子带隙效应是在假设光子也可以具有类似于电子在普通晶体中传播的规 律的摹础上发展出来的。在普通晶体内部，原子是周期性有序排列的，正是这种 周期势场的存在，使得运动的电子受到周期势场的散射，从而形成能带结构，带 9 山东大学硕士学位论文 与带之间可能存在带隙。电子波的能量如果落在带隙中，就无法继续传播。其实， 不论是电磁波还是光波，只要受到周期性调制，都有能带结构，也都有可能出现 带隙，而能量落在带隙中的波同样不能传播。1 9 8 7 年，e y a b l o n o v i t c h 和s j o h n 分别提出了光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l ) 的概念，希望由介电常数周期 分布构成的介质材料能够改变在其内部传播的光的性质。就象半导体材料在晶格 结点( 各个原子所在位点) 周期性地出现离子，形成电子的能带结构一样，光子 晶体是在高折射率材料的某些位置周期性的出现低折射率( 如人工造成的空气空 穴) 的材料，使得在其内部传播的光子形成祭带结构。观察从一维到三维的光子 晶体，都可以明显看出周期性结构的存在，而且三维光予晶体的结构与普通的硅 晶体结构是很相似的。高低折射率的材料交替排列形成周期性结构就可以产生光 子晶体带隙( 类似于半导体中的禁带) 。而周期排列的低折射率位点之间的距离 大小不同，导致了一定距离大小的光子晶体只对r 定频率的光波产生能带效应。 也就是只有某种频率的光才会在某种周期距离一定的光子晶体中被完全禁止传 播。 如果只在一个方向上存在周期性结构，那么光子带隙只能出现在这个方向 如果在三个方向上都存在周期结构，那么可以出现全方位的光予带隙，特定频率 的光进入光子晶体后将在各个方向都禁止传播。这对光子晶体来说是一个最重要 的特性。而且实际上，这种三维光予晶体也是最先被制造出来的。因为光被禁止 出现在光子晶体带隙中，所以我们能够控制光的行为例如，考虑引入一种光辐 射层，该层产生的光和光子晶体中的光子带隙频率相同，那么由于光的频率和带 隙一致则禁止光出现在该带隙中，这样就可以避免光辐射的产生这就使我们可 1 0 山东大学硕士学位论文 以控制以前不可避免的自发辐射。而如果我们通过引入缺陷破坏光子晶体的周期 结构特性，那么在光子带隙中将形成相应的缺陷能级。将仅仅有特定频率的光可 在这个缺陷能级中出现。 在光予带隙光纤包层中，空气孔按照一定的规律排列，形成了一种二维晶体 结构，它阻止一定频率的光向包层中散射，由于引入了中心缺陷，就在光纤的纵 向上形成了一条光的通路，类似于电流在导线中传播一样，只有沿着。光子导线” ( 即中心缺陷) 传播的光子得以顺利传播，其它任何试图脱离导线的光子都将被 完全禁止。理想状态下我们已经实现了一条无任何损耗的光通路。这种光通路理 论上比传统光纤更有效。 光子带隙光纤理论上可以具有零损耗的潜力，因为光是沿着光纤里的空隙传 播的，而不是传统的波导材料。光子带隙光纤包层的结构是数百根中空的微细管。 这种管起着在纤芯中传导的光线“绝缘体”的作用。其优点在于能够将传输损耗 和光线散射控制得非常低。因为与普通光纤不同，其芯线是中空的。尤其是对散 射的控制，即便是过去在光通信中- 凳法使屠争麓色帝紫外线激光波长，也能控制 得非常低。研究表明，超过9 9 的光可以在该空间传播。 山东大学硕士学位论文 第二章光子晶体光纤的理论研究现状 由于光予晶体光纤具有很多传统光纤不具备的有趣特点，比如无尽单模 ( e n d l e s ss i n g l e - m o d e ) 特性嘲、高非线性( h i g hn o n - l i n e a r ) 啪、大有效模 场面积( l a r g em o d ea r e a ) 嘲、高模式双折射特性嘲等，使它成为目前光纤理论 研究的一个热点。 第一节光子带隙光纤的研究理论 对于光子带隙光纤的理论研究，主要是运用固体能带理论的部分方法对其 中的光子运动进行分析。在固体晶体中，当把晶体的运动近似地看作在一个等效 一篆v 2 甲l他， 2 m 、 l，、 y ( ，) ：矿( ，+ r 。)j v ( r ) 表示位能，具有周期性，周期为晶格常数艮。 光在周期性介质中传播时，其电矢量满足麦克斯韦方程： 衲三6 等( r 参雷 z ， c c t，11 、 d ，) =+ 蜀)j 岛是介质的平均介电系数，s ( r ) 是扰动介电系数。 山东大学硕士学位论文 比较( 2 1 1 ) 式和( 2 1 2 ) 式，可以看出两个公式的形式非常相似，即介 电系数的周期性变化相当于势能的变化。有人尝试用计算电子能带的各种方法来 计算光予能带，如平面波法( p w ) ，缀加平面波法( a p w ) 等。将光波当作标量波， 利用薛定谔方程计算光子能带，发现在包括f c c 晶格在内的许多结构中都有光子 能隙出现。但是后来的研究表明，由标量波近似方法得到的结果与实验结果不符 合。原因在于电子与光子有着本质区别。光子是自旋为1 的玻色予，光波是矢量 电磁波，而电子是自旋为1 2 的费米子，对应标量波。因此，要正确描述光子晶 体中光的性质，必须要首先从求解周期性介质中的麦克斯韦方程组出发，用矢量 波理论来计算光子晶体的能带结构。在各种理论中普遍采用而且较为成功的方法 是平面波展开法，将光子晶体中电磁场和介电函数作平面波展开，代入麦克斯韦 方程组，可以得到关于光子的色散关系的本征方程。通过求解本征方程，可得到 光子晶体的光子能带分布。由于在光子晶体中，光子与光子之间的相互作用可以 被忽略，光子能带的计算是一个单体问题，这就意味着利用麦克斯韦方程组可以 精确地描述和预言光子晶体的性质宁但是，赔侮惩过对浇予麓带孵讲锋研究光子 在能带缺陷中的传播规律，进而对光子带隙光纤中的导波模式和色散等问题进行 进一步的研究，目前在理论界还没有统一的看法，相关的理论文献也很少见。 第二节全反射光子晶体光纤的研究理论 对于全反射光予晶体光纤，主要是应用电磁场理论进行分析通过建立数值 模型，将之带入麦克斯韦方程求解，进而对光子晶体光纤的相关特性进行分析 这方面的报道和文献比较多比如j c k n i g h t 等发表的a l l - s i l i c a 山东大学硕士学位论文 s i n g l e - m o d eo p t i c a lf i b e rw i t hp h o t o n i cc r y s t a lc l a d d i n g 、t 丸b i r k s 等发表的( e n d l e s s l ys i n g l e - m o d ep h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ) 、任国斌等发表 的应用等效折射率模型研究光子晶体光纤以及宋俊峰等发表的利用模式的 对称性研究光子晶体光纤的色散等等但如何可靠、准确地预测光子晶体光纤 的传输特性，似乎还没有一个令人满意的结果。下面是几种主要的分析光子晶体 光纤的理论模型和方法。 2 2 1 等效折射率模型 等效折射率模型1 是由t a b i r k s 等人最早提出的分析光子晶体光纤的一 种标量模型。其方法是把光子晶体光纤的横截面上芯区和包层区人为地划分开 来。芯区由纯石英柱构成，包层区是空气孔在石英衬底上按照三角排列形成周期 结构。如图2 一l 所示。空气孔的半径用口表示，孔中心的间距( 孔径) 用人表示。 显然，包层区的平均折射率要低于芯区，只要求出包层区的等效折射率，就可以 用已有的阶跃光纤理论对其进行分析。 1 4 l 矧2 一l 折射率导梭光子晶体光纤的撤截颡 s c h e m a t i cd i a g r a mo ft i r p ( ：f 山东丈学硕士学僦论文 吲2 2 包屈塔巾的单元与其迈衄单元 考虑包层区为无限大周期性结构，对于其中一个单元，如图2 2 左侧所示， 可通过等面积转换变为右侧的环形结构，这种变换不是通过保角变换等方法得到 的，而仅仅是使得变换前后单元内各部分面积不变。对变换后得到的这样一种结 构，采用标量法进行分析，标量场可写为 甲e x p i ( 脚t + z + r a p ) ( 2 2 1 ) v 满足方程： 【v ；+ ( 七2 n 2 一2 ) 】甲= 0 ( 2 2 2 ) 其中v ，表示对光纤的横向坐标求导数。 在空气孔内，标量波动方程为虚宗量b e s s e l 方程： 等+ 吾詈邯2 一瑶彳+ 争= 伊 泣：。 其中啊为空气的折射率，玛= 1 ，方程的解可写成： 甲：l ( 里，)( o ，口) a 2 = a 2 ( 2 - k 0 2 4 ) 其中l ( 曲为历阶的第一类虚宗量b e s s e l i 蕊数。 ( 2 2 4 ) 山东大学倾t 学位论文 在孔外介质圆环中，标量波动方程为b e s s e l 方程： 等专雾埘瑶+ 等肌。 亿z s ， 其中为介质的折射率。方程( 2 2 5 ) 的解可写成： 甲：彳厶( 旦r ) 4 - b n ( u ，) ( 口r 6 口口 u 2 = a 2 ( k o 2 一2 ) ( 2 2 6 ) 州a 亿z ， 黑：竺堕竺塑竺 旺：。， u 厶( ) j , ( - b u ) n o ( 一j o ( u ) n , ( b - u ) ” 疗。，= p l k o ，毛是自由空间的波矢量，f 就是包层区的等效折射率有了包 层区的等效折射率，就可以用阶跃光纤的理论对光子晶体光纤的有关特性进行分 析。 应用等效折射率模型分析包层区的折射率与波长的关系，可以发现。包层 区的等效折射率与芯子折射率的差，随着波长的增长而增加，只要控制f = a l a 小于某一值。就可控制归一化频率矿在单模传输的阈值内，光子晶体光纤就可以 山东人学硕上学位论文 在极宽的波长范围内实现单模工作。由此可以解释光子晶体光纤的“无尽单模” 特性。但当包层区的空气孔大到一定程度，通过等面积变换不能转变为圆环形结 构时，此方法不再适用。 2 2 2 正交函数模型 正交函数模型“”是将光了晶体光纤的横向折射率和横向电场用正交函数展 开，通过直接求解麦克斯韦方程，得到模式场的传播常数和场分布。使用这种方 法的关键，是如何对光了晶体光纤的横向折射率分布进行表达，对光予晶体光纤 横向折射率表示的越精细，结果就越准确。 光子晶体光纤横向折射率分布分为包层区和芯区两个部分，可以看作是存 在缺陷的二维光予晶体。将存在缺陷的二维光子晶体看作是两种周期性结构的叠 门n 门n n n n 门n n n 门厂p c p c 2 盯 l + ， 图2 _ 3c o n s w r u c t i o no f2 - dp h o t o n i cc r y s l a ls u p e r l a t l w e 加，如图2 - 3 所示。图中p c i 表示包层区光予晶体结构，p c 2 表示由中心缺陷( 芯 区) 构成的周期结构。p c 2 的周期长度是p c i 的m ( 整数) 倍，p c i 、p c 2 的叠加就 1 7 山东大学硕士学位论文 构成了二维光了晶体的超格了( s u p e rl a t t i c e ) ，m 是超格了的归一化大小，超 格了中的周期性单元称为超原胞( s u p e rc e l l ) ，见图2 4 25 2o 飞l5 l0 o5 1 0 图2 - 4 分别对p c i 、p c 2 作傅立叶变换： o 耶) = 去妒) e x p ( 埘k ) d s ( 2 2 9 ) 其中a 为元胞面积，( r ) 表示元胞介电常数分布，g 为倒格予空间的矢量。根据 周期性结构的傅立叶变换理论，具有反演对称性的周期性结构的傅立叶变换可推 导出解析形式。用上述方法可以得到表示p c f 的横向折射率分布疗2 和i n n 2 ： 以w ，= 兰气c o 等州芋，+ 互d - ! 啪s c 等灿c 静4 扣qtv a b 柚川l 1 ， 胁k 加圳h2 z a x c o “挚+ 意d - i 渊2 册z a x ) c 。“等)口一o j y 口一椰j ， 1 8 ( 2 2 1 0 ) 山东大学颂1 = 学位论文 其中匕，比，础，比分别为两种周期性结构的展开式系数，可以由式( 2 2 9 ) 中 的f ( g ) 得到，p 、d 为展开式项数，、l 分别是周期性折射率在x 、y 方向上的周 期长度。 用这种超格子构造方法，可以准确地描述光子晶体光纤横向折射率的分布， 通过对傅立叶变换中基矢量的变换，还可以构造其他结构的超元胞格子，来描述 各种结构的光予晶体光纤的横向折射率。 假设光了晶体光纤的纵向折射率均匀，则模式电场可写为： 盂( x ，) ，z ) = 【t ( x ，y ) + t ( x ，y ) e x p ( i f l z ) e x p ( 一a z ) 其中卢为模式的传播常数，口为p c f 的衰减系数，己( 五y ) = 巳x + q y 和t ( 石，y ) 分别是电场的横向分量和纵向分量，在不考虑衰减时口= 0 。将( 2 2 1 1 ) 式代 入矢量波动方程，就可以得到横向模式电场的耦合波动方程，若不考虑两偏振模 的相互耦合过程，就可得到： 其中展、e 绷l h x 、y 方向两个偏振模式的传播常数，行2 = 疗2 k 力是横向折 射率分布。如果忽略方程式右边两项，( 2 2 1 2 ) 式即成为标量波动方程。由摹 模的对称性，选取j 巨密一高斯函数将模式电场展开： f - ! q ( x ，) = 艺( 力( y ) a , b - - o 卜1 勺( 工，y ) = 屹虼( z ) ) f 是展开式的项数，￥a s ) ( f = 口，6 ；j = 毛) ，) 是正交归一化的厄密一高斯函数： ， ；， 丝如 坚砂 引一 子一 略 a 一缸 a 一缈 t 一勺 群 形 山东大学硕二学位论文 删= 羞嘉e 醑驴s 2 风c 其中j 。o ) 是2 m 阶厄密函数，d 是特征宽度。 将模式电场的厄密一高斯展开式代入( 2 2 1 2 ) 式，就可以得到两个偏振模 式的特征方程： 其中： ， p ，：。r 耐x f - 删( 1 ) + 七2 ，兰0 + j ：淼】= 所占二 f d = 0 f 屹【，+ 后2 璐+ ，黜】= 刃屹 c d = o 虢。= 7 。( x ) ( y ) 甲；【坼( x ) ( ，) 】出砂 一 + ( 2 ) 一- - 珍2 栅渺) 嘣却渺) 出方 蹬。= 蛳帆( 力知删拿争出砂 ，戮= m 小呐) 扣删等姗 将两个偏振模式的特征方程简写为： 和 m s v 3 = p y 3 m 。= j 1 + i 2 ，2 + j 3 ( j = x ，y ) ( 2 2 1 8 ) 这样就把求解特征方程的解的问题转化为求解矩阵肘的本征值问题矩阵肘 的本征值中大部分没有实际物理意义，只有当p k 落在纯石英在工作波长处的 折射牢和包层区等效折射率之间时，才对应光子晶体光纤中模式的传播常数。根 山东人学硕十学付论文 据传播常数对应的特征向量，代入电场展开式可以求出对应的模式电场分布，进 而就可以分析光子晶体光纤的模场分布、偏振特性、色散特性和有效面积等传播 特性。 正交函数模型采用两种周期性结构的叠加来表示光子晶体光纤的横向折射 率，对光子晶体光纤横向折射率的描写可以达到非常高的精确度。利用正交函数 的性质，将全矢量波动方程转换成矩阵的本征值问题，通过求解本征值及其对应 的特征向量而得到模式的电场分布。这是一种通用、准确的分析光子晶体光纤的 模型，可以表示各种结构的光子晶体光纤。其缺点是，表达式复杂，转换后得到 的矩阵是一个四维矩阵，要进一步简化矩阵才能求解特征值。 2 2 3 全矢量模型 全矢量模型“”是一种把光在光纤中传播的全矢量特征考虑在内，适合双正 交基模式的方法。这种方法可以恰当地表示实际的带有中心缺陷的二维周期结 构，能够分析不同设计参数的光纤。 光纤的导波模可以用一组空间上简化了的方程来表示： 铲( a 囊= ( ：；：) ( 2 2 1 9 ) 方程中只包含横截面的x 和y 方向。假定电磁场是单频的并且只在z 轴上有谐波。 即电磁场的传播常数户已知。我们就可从麦克斯韦方程得到这组方程。根据横截 面上电磁场的分布和方程就可以写为： 2 l 山东大学硕士学位论文 其中 l h t = _ b 2h t r 互= 屹弓 q = ( 2 2 2 0 ) 亏和r 是上的伴随矩阵， 号表示取复共轭，微分矩阵l 中每个元素k ，的 形式如下： k ；( v 2 + k 2 n 2 ) 5 。，唯卵孚删( u c , y , r , 沌力 占a ，是在x y 方向上的完全反对称张量，疗是介质的折射率，k 是自由空间波数。 v 2 是拉普拉斯算子，v 。是横截面分量梯度算符。 公式( 2 2 2 0 ) 的最大特点是组成了算符三和它的伴随矩阵r 的特征值方 程如果方程中简单的使用吃和q 代替弓，就很难得到伴随矩阵r ，因为啊和瓦 分别是三和r 算子的特征函数，且密切相关，是双正交的关系( 虿l 矽) = 瓯， 这个特性对于求解全矢量问题至关重要。 该方法的主要目的是把微分方程( 2 2 2 0 ) 式( 含有高阶导数边值条件) ， 转化成包含对角线化了的矩阵工的代数方程。方程的解分为约束状态和连续状态 两种，约束状态对应于导波模，因为电磁场在横截面方向急剧衰减。而在连续状 态，由于电磁场呈现放射性散射，是不能在光纤中传播的 对辅助条件的适当选择能够提高这种方法的运算效率对于光子晶体光纤 的特殊情况，这种选择必须要有更高的精确性。其主要原因是，实际光纤折射率 山东丈学硕十学位论文 的复杂空间结构转化成矩阵上元素的运算过程是非常困难的。对实际光纤的模拟 必须包含将近1 0 0 个独立结构( 光子晶体光纤的空气孔) 的二维离散折射率。因 此，对矩阵元素的简单转化因精密度的严重降低而变得毫无实际意义。 该方法是把此系统置于有限的二维平面内( x ，y 方向的长度为以和d y ) ， 且使得电磁场满足x ，y 方向的周期边界条件。那么就可以通过构造仿真晶格一 在横截面两个方向上都包含中心缺陷的一周期结构来表示。这种新的超级晶格是 将原来的小单元复制到整个二维横截面平面。虽然原来的小单元不具有周期结 构，但是整个超级晶格确实是一种周期结构。由这种周期所必备的条件，可以将 二维电磁场按照指数函数z ( t ) = e x p ( i k 墨) 拓展为离散的傅立叶级数，其中 吒= 2 n ( n x 皿，咒y q ) 足离散的横截面波矢量。 因为超级晶格的周期性及其被定义为有限的数值( 超级晶格组成单元的大 小为皿乘以d y ) ，这个基函数就具有一个重要特性，即它是一个与转换无关的 不变式。这个基函数所表现出的对称性，是这种方法可行的重要保证。这种对称 性转换韵优点是劢重盼，一方面，它可以很容易绻在算狰中侄阿矩阵元素问建立 表示任意位置的孔与表示位于坐标原点的孑l 的联系。因为表示光子晶体光纤结构 的整个矩阵能够写为表示每个子结构( 孔) 的矩阵的和，而且，这些子结构是完 全相同的( 仅仅是位置不同) 。这就可能把问题简化为对单个矩阵的计算。另一 方面，对单个矩阵中任意元素的计算能由基函数的解析式得出( 假定用环形阶跃 折射率对孔进行表示) 。另外，由于孔外是具有对称性的正六边形结构，由孔所 定位的外围正六边形的总和也可以解析地求得。那么，选择指数函数作为基函数 来确定实际的光子晶体光纤算符上的矩阵元素，就可以把问题大大地简化由此， 山东人学硕士学位论文 就解决了为表示光子晶体光纤复杂的空间结构而使精密度大大降低的问题。 由全矢量算符工的对角化程序不仅可以得到一组特征值，而且还可以得到特 征值对应的特征矢量，进而进一步计算横截面上导波模电磁场的强度分布。 第三节我们的研究方向及可行性 我们注意到，在光子晶体光纤中，芯层与包层区之间没有明显的分界线。 通过等效折射率模型计算得到的包层区折射率，只能用于远离纤芯的包层区，而 在靠近纤芯的区域，等效折射率将与实际情况不符。越靠近纤芯，实际的折射率 与计算得到的值相差越大。从总体上看，芯层到包层区的折射率变化不是突变， 而是一个渐变的过程。因此，我们考虑光子晶体光纤的折射率曲线从芯层到包层 区是连续变化的，可等效为渐变光纤。对于不同结构参数的光子晶体光纤，可等 效为不同结构参数的渐变光纤，对于同一结构参数的光子晶体光纤，在不同的工 作波长下，其芯区折射率的径向变化曲线也不相同。波长越长，包层区的等效折 射率越小，从芯层到包层区的折射率曲线的变化率就越大。因此，我们打算对芯 层采用渐变折射牢模型，对光子晶体光纤的传播特性进行分析，具体的做法如下： 设纤芯折射率按照平方率分布且轴对称： 珂2 ( ，) = 疗；【l 一2 a ( v - ) 2 】( o ，s a ) ( 2 3 1 ) 口 其中啊= ，o ) 是光纤轴心处的折射率，= n 2 1 ( o ) - 矿n z ( a ) ，耐口) 为包层区的等效 折射率，口是纤芯半径( 有关文献中取口= 全) 这样，我们把梯度纤芯的光子母 体光纤变换为变折射率光纤来讨论，但这里要注意的是，包层区的等效折射率是 2 4 山东大学硕七学侥论文 i i 随光纤的结构参数以及波长的变化而变化的，如果要保持折射率分布从纤芯到包 层区连续，则在芯区与包层区的分界面上，折射牢应该是连续的，由公式( 2 3 1 ) 可以看出，纤芯中折射牢的分布由中心处向包层区逐渐变小，直到芯区与包层区 的交界面上变成等于包层区的折射率，而包层区的等效折射率是频率的函数，因 此芯区折射牢的变化与入射光线的频牢有关。 山东大学颂l 学佩论文 第三章光纤中场的分析 第一节 包层区等效折射率 3 1 1 等效折射率 在等效折射率模型中，考虑周期性单元的边界条件，当r = 口时，v 及其一 阶导数连续，当r = b 时，掣的一阶导数为零。根据两个b e s s e l 方程的解，可 以得到如下方程组： i m ( 形) = a 厶( 【，) + b n 。( u ) 孵l m = a u j ：, + b u n m 娜、 彳l ( 鱼u ) + b n ( b u ) ：o 口 口 堕盟：坐些塑二生竺兰竺n ， u 7 m ( 矿) l ( u ) ：( 鱼u ) 一j 。( b u ) n a u ) 根据b e s s e l 方程的递推公式： l ( 矿) = ，。