（运筹学与控制论专业论文）bs推广模型的亚式期权定价.pdf

摘要 摘要 本文主要讨论算术平均亚式期权的定价问题在著名的b s 模 型中，标的资产价格是时间的连续函数，且波动率，无风险利率 都是常数，于是可以得到欧式期权定价的一个闭式解公式而在 实际中，资产价格在发生重大信息时，会发生不连续的变动，即 跳跃，而且，实证研究已表明波动率一般是非常数的为此，我 们首先对b s 模型进行修正，使其更符合实际情况 我们主要讨论了两种推广模型：一、假设波动率是随机的， 且资产价格由布朗运动驱动，得到b s 模型的一个推广：二、假 设波动率是随机的，且资产价格服从l 6 v y 过程，即在前述模型基 础上作了进一步推广然后，再假设标的资产价格分别服从此模 型，给出了算术平均亚式看涨期权的显式表达式或上界 关键词：b s 模型；测度变换；l _ 石v y 过程；亚式期权定价 a b s t r a c t = ! 苎苎! ! ! i ；= ：i ! ! ! ! ! 苎! 竺! 竺= ! 苎竺! = ! = ! 竺! ! 苎! 竺! ! ! 竺竺! ! ! a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ep r i c i n go fa r i t h m e t i c a v e r - a g ea s i a no p t i o n s i nt h ec e l e b r a t e db - sm o d e l ，t h eu n d e r l y i n g 勰 s e ti sc o n t i n u o u s t i m ea n dv o l a t i l i t ya n dr i s k l e s sa r ec o n s t a n t s ，h e n c e ac l o s e df o r ms o l u t i o nf o rt h ep r i c i n gp r o b l e mi sg i v e n b u ti nf a c t ，e m p i r i c a ls t u d i e ss h o wt h a ts o m eg r e a te v e n t sc a l l l e a dt ob r u s q u e v a r i a t i o n si np r i c e ，n a m e l ya s i a no p t i o nw i t hj u m p sa n de m p i r i c a l s t u d yh a sp r o v e dt h a tv o l a t i l i t yi sn o t c o n s t a n ti ng e n e r a l s ow en e e d t om o d i f yt h eb sm o d e ls ot h a ti tc o n f o r m st ot h er e a l i t ys i t u a t i o na t f i r s t w em a i n l yd i s c u s st w og e n e r a l i z e dm o d e l s ：w h i c ho n ei st h a tt h e v o l a t i l i t yi sa s s u m e dt ob es t o c h a s t i ca n d t h ep r i c eo ft h eu n d e r l y i n g a s s e ti sd r i v e nb yb r o w nm o t i o n ，s ot h a tw ec a l lp r o p o s ean e wg e n 。 e r a l i z e dm o d e lo ft h eb sm o d e l ；t h eo t h e ri st h a tt h ev o l a t i l i t yi sa s 。 s u m e dt ob es t o c h a s t i ca n dt h ep r i c eo ft h eu n d e r l y i n ga s s e ti sal 6 v y p r o c e s s ，n a m e l y w ec a nf u r t h e rp r o m o t et h em o d e lo nt h eb a s i so ft h e f i r s to n e t h e nw ea s s u m et h a tt h ep r i c eo ft h eu n d e r l y i n ga s s e ts u b 。 j e c t st ot h et w om o d e l sr e s p e c t i v e l y ，a n d d e r i v et h eo b v i o u sf o r m u l a o ru p p e rb o u n d sf o ra r i t h m e t i ca v e r a g e a s i a no p t i o np r i c e s k e y w o r d s ：b sm o d e l ；m e a s u r et r a n s f o r m s ；i 叠v yp r o c e s s e s ；a s i a n o p t i o np r i c i n g l v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：丕扭拯 t 日期： 口z ! 羔：迦 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名： 日期；q 幺：堇：堕 第1 章引言 第1 章引言 在过去的若干年中，全球金融市场正在发生深刻变革，流动性过剩， 金融资产规模日益膨胀，其衍生品市场也取得了长足进步期权交易是金 融衍生品交易的一个重要组成部分，其萌芽形式的最初出现和使用可以追 溯到1 7 世纪荷兰郁金香球茎交易狂热时期，但较早的期权交易主要是现货 期权交易2 0 世纪2 0 年代，在西方工业发达国家集中进行股票交易之前产 生了期权交易的萌芽，但在7 0 年代以前期权交易在美国是受到禁止的，直 到1 9 7 3 年4 月2 6 日，期权市场发生了堪称是划时代的历史性变化，芝加哥期 权交易所开创了期权在场内集中交易的先例，此后，传统商品期货交易及金 融期货的期权交易逐步发展起来，期权交易规模逐年增长目前，期权交易 市场已成为世界衍生品市场的重要角色 随着期权交易，特别是场内期权交易的扩大与发展，期权的合理定价理 论是困扰投资者的一大难题，其与投资组合理论，资本资产定价理论，市场 有效性理论及代理问题一起构成现代金融学的五大理论早在1 9 0 0 年法国金 融专家劳雷斯巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章，此后，各种经 验公式或计量定价公式模型纷纷面世，但因各种局限难于得到普遍认同直 到2 0 世纪7 0 年代初麻省理工学院教授b l a c k , e 和数学家m s c h o l e s 1 在股票期 权无合理定价方法，投资者和交易商只能凭自己的主观推测和判断而估价的 情况下，他们联手设计，在期权定价理论领域做出了突破性的工作，提出了 第一个完整的期权定价模型，即b l a c k - s c h o l c s 定价公式，被理论和实业界广 泛接受和应用，成为发生在金融领域内的一次重大变革 b s 模型成功地解决了有效市场下的欧式期权定价问题，然而在现 实的证券市场中，投资者将面临数量可观，不容忽视的交易成本 自b s 模型问世以来，期权定价问题引起了越来越多的研究者和投资 商的不断关注，有对其准确性开展了深入的检验，还有不少经济学家 对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展b s 模型的 角度出发，对之进行了扩展1 9 7 7 年美国学者g a l a i 2 利用芝加哥期权 交易所上市的股票期权的数据，首次对b s 模型进行了检验此后，不 少学者在这一领域内作出了有益的探索其中比较有影响的代表人物 有：t d p p i 、c h i r a s 、m a n u s t e r 、m a c b e t h 及m e r r i u e 3 5 】等综合起来，得到一 第1 章引言 些结论：对于高度增值或减值期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期 权而低估增值期权，另外，对临近到期日的期权估价存在较大误差但总体 而言，b s 模型仍相当准确，具有较强的实用价值对b s 模型的检验着眼于 从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估：而另外的一些研究则从理论 分析入手，提出了b s 模型存在的问题b s 模型的一个核心假设就是股票价 格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价 是连续的m e r t o n 、c o x 、r u b i n s t e i n 以及r o s s 6 7 】等人指出，股价的变动不 仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情况，忽略 后一种情况是不全面的，他们用二项式分布取代对数正态分布，构建了二项 分布期权定价模型( b o p m ) 随后，h a r r i s o n 及k r e p s 8 提出了一种求解金 融衍生产品的定价方法鞅定价方法在鞅定价方法下，证券的价格可由折 现值得到，且期望值折现在风险中性下计算。1 9 8 5 年l e l a n d 9 考虑了有交易 成本的期权定价模型这些以b s 模型和b o p m 模型为代表的西方期权定价理 论，基本是以期权交易的实践为背景，并直接服务于这种实践，具有一定的 科学价值与借鉴意义 上面的期权定价模型都是针对标准的期权，即欧式期权和美式期权， 但随着金融衍生品市场的需求，出现了大量的由标准期权组合，派生 而来的新品种，即新型期权，亚式期权是当今融衍生品市场上交易最 为活跃的新型期权之一，其收益依赖于标的资产在有效期内某段时间 内的平均价格，由于其具备路径依赖特征，所以亚式期权的定价模型 与标准期权的定价模型相比呈现出较大差异，从而使亚式期权定价问 题比欧式期权的定价更为复杂除t g c m a n 和y o r ( 1 9 9 3 ) 1 9 l 利用b e s s c l 过程 给出了b - s 型亚式期权的闭式定价公式以外，关于亚式期权的各种类型 的定价还没有找到可以得到闭式解的方法于是，如何找到最为贴近 其实际市场价格的定价模型及能够完全对冲其风险的套期保值策略便 成为很多学者关注的问题，近期也有不少文献研究了亚式期权的定价 问题：c r u z - b d e z 和g o n z 6 1 c z r o 矗g u e z ( 2 0 c r 7 ) 【2 0 】不同于g e m a n 和y o r , 利用偏微 分方程、积分变换和计算数学的方法得到了与后者相同的结果；c h i n g s u n gc h o u 和h s i e n - j e n l i n ( 2 0 0 6 ) 1 0 得到标的资产带跳的亚式期权定价公式， 推广了b s 模型，同样可以处理复合跳情形，得到了期权定价公式的一 个改进：h a n s j o r ga l b r e c h e r 署l j m a r t i np r e x l o t a ( 2 0 0 4 ) 1l 】利用e s s c h e r 变换的方法 讨论了正态逆高斯过程的亚式期权定价：s a l b e v e r i o 和e 1 u t k c b o h m e r t 1 2 计 算了由“唧过程驱动的亚式期权价格，并得到了方差伽玛情 一2 一 第1 章引言 形时的亚式期权定价公式；s s i m s o n , m j g o o v a c r t s 和j d h a e n e 1 3 利用 停止损失序列定理的结论，得到算术亚式平均期权的一个上 界；v a n m a e l e 、d e e l s t r a 和d h a e n e 等( 2 0 0 6 ) 1 2 1 , 冽则给出了离散时间算术平均亚 式期权的价格上界和下界；k u a n w e nc h e n 和y u h - d o u hl y u u 1 4 从数值上用 一个有效而又精确的方法对亚式期权进行定价等等总之亚式期权定价问题 是目前理论界和实业界所关注的重点，各种定价公式也随之出现，对深化期 权市场的研究也具有一定的意义 本文的主要工作是在推广的b s 模型基础上讨论了算术平均亚式期权定 价问题，并得到了算术平均亚式期权价格的显式表达式或上界文章的结构 安排如下：第一章，引言；第二章，介绍了期权的基本概念、资产定价的基本 定理及l 6 v ) ，型随机积分的基本理论；第三章，将b s 模型推广到随机波动率 下的情形，并将之进一步推广到了带跳的情形；第四章，给出了本文的主要 结果，讨论了上述推广模型下算术平均亚式期权的定价问题，在一定条件下 给出了期权价格的显式表达式或期权价格的上界第五章，总结与展望 一3 一 第2 章基本知识和基本理论 第2 章基本知识和基本理论 2 1 期权的基本知识 期权是褒易双方签订的一种合约。它给予期权购买者在未来的某一时间 以约定国价裔买进或卖邕规定数量瓣某一资产豹权利( 而非义务) 在期权 合约中厮约定的买进或寞出的资产拣为标韵资产，约定买进或卖出标的资产 的价掐r 器为敲定价，约短买迸或卖? 盐标豹资产莉时翔豫为到期日标的资产 可以是荽材，也i 拟是股票、债券。市i 场指数。货币、期货、期权本身镣广 泛类鳓雀融及至激衍生产鼹 辫激- ，持有者硼以选择执行期极畚鳓，? 稻勉励衙极一也可以选择蒽巍新 权，蝴必要嫩损失另褂，农臌翳神，作锄缭勰权卖出者承扫鼗务 的报嘲0 期权买谨要支付给期权卖者定费阑”称艺撕期权价格 2 11 期叔的类型 朔权有两种袭型：看涨期权和看溅期槭 、 蓬涨期权给帚期权购买者在幕激某卜雅定的时间以规定的价格买进规为 数量辐韵费产的握利，而看趺期杩臻翮买黜来来某一确定的时间以规凳 的价罐族拙规定型量标的资产的秘秕 翔救有两种疆本形式；欧式期锚酸和囊式期投 欧蝴：i t 只葡芷到期日硝能执行买卖，面美式期权可以在到期日前的任 何时间擞牙买卖还有一些转标准饿舰叔在敲定价或到期日上采取非标准化 条款采撇不同擞者需要，如亚式期视，俄式期权、二值期权、回顾期权 等多种彩砖 按期楹合约中标的资产划盼，期权有实物期权( 相应的标的资产为实 初) ，如萄油期权等：非实物期权，包括金融衍生朔权( 相应的标的资产是 股票、赞甄、利率，期货等金融及金融衍生产品) 目前交易所买卖的期权主 要有股票腻股票指数期权、货币期权和期货朔权 一4 一 第2 章基本知识和基本理论 2 1 2 期权市场的交易机制 早在1 8 世纪，期权市场在欧洲和美国出现了，到现在，期权交易已遍布 全世界许多地方期权既可以在交易所交易，也可以在柜台上买卖以适应某 些投资者的特别需要投资者利用期权可以对冲风险、投机和套利，因此期 权交易愈来愈受到投资者的青睐 投资者的投资损益函数： 一般地，当标的资产的价格超过敲定价时，看涨期权的购买者应该行 权；否则，应该放弃行权因此看涨期权的购买者总希望标的资产的价格上 涨，而且上涨得越高越好令期权敲定价为耳，相应标的资产在到期日的价 格为曲，则看涨期权的购买者在到期日获得的收益函数为： ( 昂一k ) + = m 凹( 岛一k ，o ) 同理，看跌期权的购买者在到期日获得的收益为： ( k 一昂) + = m 凹( 曲一ko ) 2 1 3 期权定价模型的发展过程 期权是购买方支付一定的费用后所获得的在将来允许的时间买或卖一定 数量的标的资产的选择权期权价格是期权合约中唯一随市场供求关系变化 而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核 心问题早在1 9 0 0 年法国金融专家劳雷斯巴舍利耶就发表了第一篇关于期权 定价的文章此后，各种经验公式或计量定价公式模型纷纷面世，但因各种 局限难于得到普遍认同7 0 年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定 价理论的研究取得了突破性的发展 在国际金融衍生市场的形成和发展中，期权的合理定价一直是困扰投资 者的一大难题第一个完整的期权定价模型由b l a c k , e 和m s c h o l e ss c h o l e 创立 于1 9 7 3 年并公之于世，这项工作对金融创新和各种新兴的金融产品问世起到 了重大的推动作用b s 模型主要是针对欧式期权，有精确的定价公式 由于b - s 模型中股价波动假设过严，未考虑股息派发的影响等问题， 在1 9 7 9 年，c o x ，r o s s ，和r u b i n s e t e i n 的论文： 期权定价一种简化的方 一5 一 第2 章基本知识和基本理论 法提出了二项式模型，该模型建立了期权定价数值法的基础，解决了 美式期权定价问题 h a r r i s o n 和k r e p s 于1 9 7 9 年提出了一种求解金融衍生产品的定价方法鞅定 价方法在鞅定价方法下，证券的价格可由折现值得到，且期望值折现在风 险中性下计算 9 0 年代以后，很多经济学家对b s 模型进行了修正发展与推广，极大地 推动了期权定价的理论研究 2 1 4 亚式期权 亚式期权是当今金融衍生品市场中最为活跃的奇异期权之一它的重要 特点在于：其到期回报依赖于标的资产在一段特定时间( 整个期权有效期或 其中部分时段) 内的平均价格它属于强式路径依赖期权，因为其平均价格 将成为定价公式中的一个独立状态变量按结算方法不同可以分为平均资产 价期权和平均执行价期权，按平均类型可分为算术平均和几何平均亚式期权 在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解几何平均期权 的解析公式之所以存在，是因为b s 模型中假设标的资产价格服从对数正态 分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均仍为对数正态分布 亚式期权中更为常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分布值 的算术平均并不服从对数正态分布为了解决这一问题，人们采用了各种方 法，但是仍无法得到解析的定价公式对标的资产算术平均亚式期权更多的 是采用数值方法或以标的资产几何平均亚式期权来近似逼近，常见如下：二 阶矩近似法，控制方法，相似变量代换法 2 2 资产定价的基本定理 在一个未定结构中考虑所有类型的可能期权，在到期1 3 t 定义一个非 负野可测的随机变量，则称这个随机变量为未定权益现假设标的资产为 一支股票到期日为n ，执行价格为k 的欧式看涨期权，在时刻n 的股价为s ， 令h = ( s n k ) + ，则h 就为一个未定权益若在市场上，不存在押成本为零， 收益为正一或者。成本为负，收益非负。的交易策略或者资产组合，则称市 场无套利，一个无套利的金融市场称为可行市场，若存在一个可取策略，使 一6 一 第2 章基本知识和基本理论 其资产组合为上述定义的未定权益值h ，则称未定权益h 是可达的，若对任给 的未定权益h 都是可达的，则称市场是完全的在完全市场，对任意给定的 一个未定权益h ，都可以理解为一个期权，若如此定义的期权h 的价值与可取 策略无关，则称使h 可取的策略为套期保值策略或复制期权的可取策略，此 时也称期权h 是可复制的 定理2 2 1 ( 资产定价的基本定理1 )若市场为无套利市场，则存在等价 鞅测度q ，在q 下s 是一个鞅 定理2 2 2 ( 资产定价的基本定理2 )一个无套利市场是完全的铮存在唯 一的等价鞅测度q ，q p ，且折现价值s 在q 下是一个鞅 2 3l 6 v y 型随机积分的基本理论 2 3 1 m v y 过程的基本概念与性质 定y 2 3 1 叫、r y 过程)定义在概率空间( m 莎，尸) 上的随机过 程x = ( 五，t o ) ，如果满足： ( 1 ) 弱；o 口s ( 2 ) x 有独立稳定增量，即如果，0 t l t 2 t 时l 口) = 0 t _ 定义2 3 2 叫v y 测度) 设v 为定义在序一0 = 伽，z o ) 上的b o r e l 测 度，如果满足下面公式：岛一o ( 1 y 1 2a1 ) z ，( 匆) 0 0 ，则称z ，为一个l 6 、r y 测度 定义2 3 3 ( 特征函数与矩母函数) 令概率空间( q ，矿，p ) 上的随机 一7 一 第2 章基本知识和基本理论 过程x = ( 噩，t 0 ) 取值于，以取为概率分布，定义： 西x ( t ) = e ( e 似z 订) = 五“而( “p ( 寥) 2 厶似神取t ( 咖) 讹e j q jr | ! i 则称西x ( t ) 为x 的特征函数 如果蜥( t ) = c x ( 一i u ) = e e ( 0 ，噩) 】在t 拳。的领域存在，则 称蛾( u ) 为x 的矩母函数 定理2 3 4 ( l 6 v y 过程的l - k 公式) 设xz ( 五，t 0 ) 为一d 一维的m v y 过 程，则有： c x , ( u ) = e ( e 似噩) ) = e 铆( q ) = e x p 协m ) 一互1 啦，删+ t 厶一。【e t 似力一l 叫郴) i 1 ) 】( 如) ) 其中：7 “) 是x l 的指数，a 为一对称非负定dxd 阵，l ，为一 o ) 上的测度， 则上述表达式是唯一的，测度称为五的k v y 测度，( 6 ，a ，l ，) 称为x 的特 征 因为d - 维随机变量x = ( 咒，t o ) 的矩母函数为：m x ( u ) = e e ( u 魁) 】，如 果e 【e 似- ) 】 0 0 ，则e 【e 似噩) 】= n i x 。( t ) ，g i l a ，有结论： 朋文，( = 刀【e ( 诮- ) 】= 圣墨( 一 = 唧 互1 伽2 + 他+ 厂( 严一1 一纰& m ) 矽( 出) ) ，u e m x , ( u ) = 驯e ) j = 【圣尥( 一i 让) 】2 = 唧纠三2 + 他+ 厂( r 一1 一锻丑蚓 - 渺( 如) m 牡e 其中：( r ，c z ，) 为x 的特征 2 3 3 l 6 v y 过程的跳- p o i s s o n 随机测度 一8 一 第2 章基本知识和基本理论 设x = ( x t ，t o ) 为一“谌程，忱，0 t _ l 珧如)。砖黛 其中：巩( t ) 为具有协方差阵为a 的矽d 的前胡运动 定义2 3 8 ( 布朗随机积分) - 令f 忍( 卵恳= f ：f o 明q r 可料 映射，p ( j 孑i e c t ) 1 2 d t c o ) - - - 1 ，定义布朗随机积分；y = f ( s ) d b ( s ) ， 则有y 是连续的若g = ( g ( 略t o ) 为l 址的可料过程，议1 ) = l 1 【0 ，卅， 一9 一 第2 章基本知识和基本理论 则z = ( z ( t ) ，亡0 ) 是适应的且连续，其中： 邵) = z f ( s ) 倒s ) + o t g ( s ) 幽 定j y 2 3 9 ( 泊松随机积分) 令e = 蜃一 o ) = o 吲 1 ) 是肘 一 o ) 上的泊松随机积分测度，的强度矿为一个l 6 v y 测度，其中：恳( ze ) = f ：【o ，卅e q r 可料映射，p ( 口f ei f ( t ，z ) 1 2 ( 如) 出 o o ) = 1 ) 定 义h 关于的泊松随机积分： 羽_ rl 聊澉蛐) = rl 聃蚺fl 聊m 舭 定义2 3 1 0 ( m v y 型随机积分) 记： 邢) - y ( 。) + r g ( s ) 凼+ r f ( s ) 删+ z 。f i ：。l - 1 a 8 成立， 则取z 为m v y 指数，其可表为：e y = ( e r ( t ) ，t o ) ，其定义为： 掣v ( t = 唧( y 一扣) 。塾。【i + a y ( s ) f y ( 引，t o 定理2 3 1 3 d e r ( t ) = e r ( t 一) d y ( t ) ，其中：e y ( t ) = e s y ( ) d s y ( t ) = f ( t ) d b ( t ) + 【g c t ) 一言f 0 ) 2 d t + l n 【1 + k ( t ，z ) 】( 出，出) + l n f l + h ( t ，x ) n ( d t ，d x ) ，i s l _ lj l = l 1 + h a 1 + 日( t ，z ) 】一量( 亡，。) ，( 如) 出 ( 2 3 2 ) j i z l l 于是，满足随机微分方程：d s ( t ) = 盯s ( t - ) d x ( t ) + l , s ( t - ) d t = s ( t - ) d z ( t ) ，z ( t ) = a x ( t ) + g t 的股票价格过程s 的解为： s ( o 1s ( o ) e x p c a x ( t ) + 肛一去f 磊，磊】( t ) ) 【1 + 矿x ( s ) 】e q a x ( 一 o s s s t 墨s ( o ) e x p ( 矿x ) + 肛一吉盯2 t ) 【1 + 盯x ( s ) 1 e 以x ( | ) 二 。杀t ! ! 竺! ! ! 苎! ! ! ! ! ! ! ! 尘z 旱垄伞刘岷利壑今i 理纪 * _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ i 或 即) = s c o ) j ( o f () + z f g ( s ) 一互1 f ( s ) d b ( s j 0 耶) 2 1 如s 0 ) = s) + f g ( s ) 一若f ( s ) 2 1 a b - ，o 石 + r 乞k 【1 + ) 】( 如，如) + z 五l 一石1 ，v s c o ，司，特别的，当x ( 亡) = b ( o ，其中：b = ( b ( t ) ，孟o ) 为标准的 布朗运动，则上式的解为： s ( o = s ( o ) e ) ( p ( 盯b ) + ( 肛一壶盯2 t ) ) 2 3 4 测度变换一g i r s a n o v 定理 定理2 3 1 4 设y 是形如( 2 3 1 ) 式的k v y 型随机积分，则e y 是鞅的充要条 件为：e ( e n ) = 1 ，且： g + 三碍+ 五l z 对几乎- - 切( l c b c s g u c 意义下) s o 成立 定理2 3 1 5 ( o i r s a n o v 定理) 假设丑满足n i v i l o v 条件- e 【唧( 三f m 出】 0 为常数，b t 为标准布朗运动，6 为资产收益率，仃为波动 ：率则方程( 3 1 1 ) 的解为： & = s o e x p c b t 一百0 - 2 亡+ 口最) ，。 ( 3 1 2 ) 此时风险资产价格过程 & ，t o ) 具有下列性质： 1 样本轨迹连续； 2 相对增量独立； 一1 5 一 第3 章b s 模型及其推广 3 相对增量平稳 3 2b s 模型的推广 b s 模型具有良好的易于数学处理的性质，但它的假设过于严格例 如，假设波动率是常数等，以至于它并不能很好地拟合实际数据 事实上。以上的一些常数参数往往都是随时间变化的，可能是时间 变化的函数而且，资产价格在重大信息到达时，往往会发生不连续酶 变动，即跳跃对此，人们已给出了较为符合实际的连续时间模型鼻 例如，c e v 模型( c o x 和r o s s 1 9 7 6 ) ；h u l l m i t 濮型( h u u 和w h i t e ，1 9 8 舳 括h e n s t o n 模型( h e n s t o n ，1 9 9 3 ) ；以及带跳扩散的模型( 如，m e r t o n hl 鲫研 3 2 1b $ 模型的推广之一 抽s 模型中波动粞是常数，而一般情况下波动率是变化荫，近 期，髓k 幽嘲鉴于此对b s 模型进行了推广，将( 3 i 圆式改成如下形式： & = 岛矿f 耐嘏+ 鳓一譬。讹盘1 ) 这里： 1 b 为流概率空阆( 蹈。罗愆统) t 芝缈四止魄布朗运动舅慨) t o 是由穹生 成蝓； 、 z 入是瓣忡。霉( ：瓤朝上给定哟测度，满足：n 月o ) 之1 ，f 以( 如) o o ； 3 ，r ，i d 为常数 从模型中可以看出随机过程s 为几何布朗运动的加权平均，务 件j 矿以( 如) 保证了随机确b i n i 定理的应用 3 2 2b s 模型的推广之二 在b s 模型中，0 1 1 ) 式中波动项是由布朗运动驱动的，于是股票价格过 程的路径是连续的考虑到实际情况中价格往往发生跳跃从而价格的路径 是带跳的，当将( 3 1 1 ) 式中波动项改由k v y 过程x = ( 五，t o ) 驱动时，便得 一1 6 一 第3 章b s 模型及其推广 到m e r t o n 的跳扩散模型即 d & = & 一( 肚+ a d 噩) i 扫d o l c a n s d a d e ( 或随机指数) 公式，得到： 岛= s ；d e 印+ 减一三【口五，。五】) i i ( 1 + a a 咒) e 一口五 0 0 ，为方便，记c = 一a - 1 ，且设k 0 y 测 度l ，满足：j ? 0 2v z ) | ，( 如) 0 0 ，e p x t 具有i - ，二阶矩如果o 口 1 ，于 是c 0 为常数此时，我们可以进行测度 变换，使得资产价格的折现过程 & o t 夕是一鞅事实上，我们可选择指数 鞅e y ，y ( t ) 为k v y 型随机积分 d y ( t ) = g ( 亡) 出+ f ( t ) d b t + h ( t ，z ) ( 出，d x ) ( 3 2 5 ) d r - ( o ) 其中，日死( t ，r 一 o ) ) ，耽0 作测度变换 筹- - e y 于是，由g i r s 越o v 定理2 3 1 6 ，对v 05t za 留( 【c co ) ) 一1 7 一 ( 3 2 6 ) 第3 章b s 模型及其推广 卵= 鼠一f 苫f ( s ) d a ，是q - b r a l 托运动， 醌( t ，a ) = 丙 ，a ) 一峋( t ，a ) ，是q 鞅 其中， 峋( t ，a ) = 厶( e h ( 。声 一1 ) ( 如) 出， 萨( 醌( t ，4 ) 2 ) = 露厶e q ( e 烈叩) | ，( 如) 如 由定理2 3 1 7 知，当目仅蝥 瑚 m a + p r + g a f t ) + 口z ( e 日( 耻) 一1 ) 王，( 如) 如= 0 口s ( 3 2 ，) ，c t _ r 厂矿毗聃砂( 蛐 是局部有界时，前黾! q ：鞅并且 磊= 毳唧 砌p 一三黼 + e h ( 1 i - a x ) n q ( 4 譬；蝴 七f 娜侧一毗如赡 脚) 或 & = 南 们印一互1 8 2 c r 2 t + 厂l n ( 1 侧醌( 啪) + 厂岬删一叫舭如) ) 9 ) 由于所作的测度变换不唯一，由资产定价基本定理可知，此时，帚场是无套 利的，但却是不完全的 剩田k a 廿爿对r s 糙型讲行推广- 的隰捐惫们对卜诛m 酣o n 檬酗椎 第3 章b s 模型及其推广 类似的推广假设a 是( 兄卜+ ，留( 皿+ ) ) 给定的测度，满足：入( 风+ ) = l ，铲盯a ( 打) ，由( 3 2 9 ) 式，再关于测度a 取平均作为风险资产价格肆， 即有： s = & 入( 打) ，0 或 篷= 蔑一e 唧 们b 尹一抖r 厂h ( 1 侧醌( 蛐) + z 2 厂【l n ( 1 删一叫叼( 舭枞如) ( 3 2 1 0 ) 其中：岛= s o 模型( 3 2 1 ) 与模型( 3 2 8 ) 正是本文所要研究的股票价格模型，我们将在下 一章中分析标的股票价格分别在相应模型下的算术平均亚式看涨期权的价 格，并将给出我们的主要结果 第4 章基于随机波动率的算术平均亚式期权的定价公式 第4 章基于随机波动率的算术平均亚式期权的 定价公式 随着全球金融衍生品市场的发展，出现了大量的由标准期权组合、派生 而来的新品种，即新型期权，其中亚式期权已发展成为当今融衍生品市场上 交易最为活跃的新型期权之一而亚式期权的收益依赖于标的资产在有效期 内某段时间内的平均价格，由于其具备路径依赖特征，所以亚式期权的定价 模型与标准期权的定价模型相比呈现出较大差异，从而使亚式期权定价问题 比欧式期权的定价更为复杂 如前所述，虽然g e m a n 和y o r ( 1 9 9 3 ) 利用b e s s e l 过程为我们给出了亚式 期权的闭式定价公式，c r u z b 五e z 和g o n 沈l e z - r o 矗g u e z ( 2 0 0 7 ) 也利用不同 于前者的方法而得到了与之相同的结果：尽管c h i n g s u n gc h o u 和h s i e a - j e n l i n ( 2 0 0 6 ) 等得到了标的资产带跳的亚式期权定价公式，推广了b s 模 型，得到了g e m a n 等的期权定价公式的一个改进但我们看到，他们 的模型是基于标准的资产价格模型，即标准的b s 模型( 3 1 1 ) 式或标准 的m e r t o n 模型( 3 2 2 ) 式即便如此，对于后者，我们也并没有真正得到 亚式期权价格的闭式解，而且往往不便于实际处理或计算于是人 们转而去寻求一些便于处理和计算的尽可能逼近实际价格的理论或 方法，以得到亚式期权的近似价格例如，s a l b e v e r i o 和e 1 u t k e b o h m e r t 计 算了由l 6 v y 过程驱动的亚式期权价格，并得到了方差伽玛情 形时的亚式期权定价公式；s s i m s o n ，m 3 g o o v a e r t s 和j d h n 硎用停 止损失序列定理的结论，得到算术亚式平均期杈的一个上 界；v a n m a e l c 、d e e l s t r a 和d h a e n e 等( 2 0 0 6 ) 则给出了离散时间算术平均亚式期 权的价格上界和下界a l b r e c h e r 和p r e