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非线性偏微分方程及其数值计算 摘要 本文的研究对象是非线性偏微分方程，由于这些偏微分方程来源于物理和其它应 用学科，具有鲜明的物理意义，因此又称为非线性数学物理方程。本文讨论几个经典 的非线性偏微分方程及他们的孤立波解，特别是较为详细地介绍了反演散射方法，以 及利用这一方法来求k d v 方程的单孤立波解和多孤立波解。反演散射法是解非线性 偏微分方程的最常用，也是最普遍的方法，许多方程都可以利用这种方法来求解，目 前也取得了一些结果。 本文概述了非线性偏微分方程的一种数值解法a d o m i a n 分解方法( a d m 法) ， 包括基本原理，a d o m i a n 多项式，噪声现象和收敛性分析。这种方法是比较简单实用 的，它对方程和解法的要求都不高，但是它的缺点也是明显的，就是收敛区间比较小， 我们通过对a d m 法解出的级数解使用p a d 6 逼近，有效地改进a d m 法的这一缺陷， 取得了良好的效果。通过对形变b o u s s i n e s q 方程的实验，我们验证了a d m 方法的应 用，同时，通过这一例子，也说明了p a d 6 逼近对a d m 法的改进效果是非常明显的。 关键词：非线性偏微分方程，k d v 方程，反演散射方法，a d o m i a n 分解方法，p a d s 逼近 n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i rn u m e r i c a i c o m p u t i n g a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h em a i nr e s e a r c hi sa b o u tn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a st h e s e e q u a t i o n so r i g i n a t ef r o mp h y s i c sa n do t h e r a p p l i e ds u b j e c t s ，w i t ho b v i o u sp h y s i c a l m e a n i n g , t h e y a l ea l s oc a l l e dn o n l i n e a rm a t h e m a t i c a l p h y s i c se q u a t i o n s w em a i n l y s u m m a r i z e ss o m ec l a s s i c a ln o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i rs o l i t a r yw a v e s o l u t i o n s ，e s p e c i a l l ye m p h a s i z e st h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r mm e t h o d ( i s t ) u s i n gt h i s m e t h o d , w eg e tt h es i n 西es o l i t o ns o l u t i o na n dm u l t i p l e s o l i t o ns o l u t i o n so fk d v e q u a t i o n i s ti st h em o s tc o m m o nm e t h o di ns o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e m i a le q u a t i o i l s w ea l s oc o n s i d e ran u m e r i c a lm e t h o do fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o i l s a d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( a d m ) t h em a i np o i n t so ft h e d e c o m p o s i t i o nm e t h o d i s ：t h ep r i n c i p l e , t h ea d o m i a np o l y n o m i a l s , t h en o i s et e r m sa n dt h ec o n v e r g e n c er e s u l t s t h i s m e t h o di s v e r ye a s ya n dp r a c t i c a l ，b u tt h e d i s a d v a n t a g e o ft h i sm e t h o di s v e r y o b v i o u s - t h ec o n v e r g e n td o m a i ni sv e r yn a r r o w u s i n ga d m ，w eg e tas e r i e ss o l u t i o n i n t h i sp a p e r , w eu s e dt h ep a d 6a p p r o x i m a n tw i t ha d m i no v e r c o m i n gt h i sd r a w b a c k t h e a d mm e t h o dt o g e t h e rw i t hp a d 6a p p r o x i m a n te x t e n d st h ed o m a i no fs o l u t i o na n dg i v e s b e t t e ra c c u r a c ya n db e t t e rc o n v e r g e n c et h a n u s i n ga d ma l o n e k e y w o r d s ：n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；k d ve q u a t i o n ；i n v e r s e s c a t t e r i n g t r a n s f o r mm e t h o d ( i s t ) ；a d o m i a n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( a d m ) ；p a d 6 a p p r o x i m a t i o n 插图清单 图4 - 1 矽f ) 在区间x ( - 2 ，2 ) ，f ( 2 ，2 ) 时的图形4 2 图4 2u ( x ，f ) 在区间x ( - 2 ，2 ) ，t ( 2 ，2 ) 时的图形4 3 图4 3 矽( x ，f ) 在区间x ( - 4 ，4 ) ，f ( - 4 ，4 ) 时的图形4 3 图4 4u ( x ，f ) 在区间x ( - 4 ，4 ) ，( - 4 ，4 ) 时的图形4 4 图4 5f = l 时，实线是u ( x ，d ，虚线是妒( x ，d 4 4 图4 6f = 2 时，实线是u ( x ，f ) ，虚线是( x ，f ) 4 4 图4 7t = 3 时，实线是u ( x ，f ) ，虚线是( _ ) c ，f ) 4 5 图4 8 ，= 4 时，实线是u ( x ，) ，虚线是矽( z ，f ) 4 5 图4 - 9f = 5 时，实线是u ( x ，i l ) ，虚线是矽( x ，f ) 4 5 图4 1 0 x = 1 时，实线是u ( x ，f ) ，虚线是( x ，f ) 4 7 图4 1 1x = 1 时，实线是掰( x ，f ) ，虚线是【二】( 1 ，f ) 4 7 斗 图4 1 2x = 2 时，实线是u ( x ，f ) ，虚线是( x ，f ) 4 8 图4 1 3x = 2 时，实线是“( x ，f ) ，虚线是【二】( 2 ，f ) 4 8 斗 图4 1 4x = 3 时，实线是u ( x ，) ，虚线是庐( x ，f ) 4 8 图4 15z = 4 时，实线是u ( x ，f ) ，虚线是( x ，f ) 4 9 图4 16x = 5 时，实线是u ( x ，0 ，虚线是( 而，) 4 9 图4 1 7x = 3 时，实线是甜( x ，f ) ，虚线是日( 3 ，f ) 5 0 图4 18x = 4 时，实线是甜化，) ， 图4 19 石= 5 时，实线是u ( x ，f ) ， 虚线是唔】( 4 ，) 5 0 虚线是唔】( 5 ，f ) 5 0 表格清单 表3 - 1 晚o ) 的误差尽( x ) = s i n x - 3 ( x ) 19 表4 - l 如( 1 ) 与互。( 1 ) 之数值比较3 7 表4 - 2x = 2 时，如( 2 ) 时的误差3 7 表4 3t = l ，2 ，3 ，4 ，5 时，( x ，f ) 与u ( x ，f ) 的误差u ( x ，f ) 一g ( x ，f ) 4 6 表4 - 4x = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，u ( x ，t ) 与矽( x ，f ) 的误差5 l 广 1 表4 5 甜( x ，f ) 与l 丢i ( x ，f ) 的误差5 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金胆王些厶堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字京强签字日期加f 。年牛月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金e 巴王些太 三l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：孕辛易 签字日期_ 夕卜年午月z 日侈f9 。1 多7 v 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 张x 签字日期：2 ，矿卜年名月z 。日 电话： 邮编： 致谢 在本人读研期间，有幸得到系里多位老师的指导，从他们那里我不仅学到了知识， 为我的论文打下了必要的基础，而且从他们身上学到了严谨的求学，做事的态度，这 必将在我今后的工作和学习生活中受益无穷。 尤其要向我的导师林京教授表示衷心的感谢! 在我的研究生学习期间，无论是学 习上，思想上，还是生活上，林老师都给予了耐心细致的教导和无微不至的关怀。在 论文的选题、研究以及撰写过程中，导师倾注了大量的心血。导师严谨的治学态度， 一丝不苟的敬业精神，诲人不倦的高尚师德，将使我终身受益。 感谢2 0 0 7 级3 5 班的全体同学对我的关心和帮助，从你们身上我学习到好多东西， 同时也认识到自己的不足之处。非常荣幸和你们在一起生活和学习了三年。 我还要感谢我的家人，是他们长期默默地付出和支持，才能使我j i l 页n 完成学业， 在此表示我衷心的感谢。 最后感谢论文评阅专家在百忙之中对我的论文做出的评判和指导。 作者：梁小磊 2 0 1 0 年4 月8 日 1 1 研究背景简介 第一章绪论 本文是以介绍非线性偏微分方程( 或称非线性数学物理方程) 及其数值解为 主要内容的。非线性偏微分方程研究的热潮兴起于2 0 世纪6 0 年代，至今只有 几十年的发展时间，相应于数学的其它学科，可谓是非常年轻的学科【5 。 含有时空变量的非线性偏微分方程的数学形式通常可以表示为 p ( t ，x ，u ，u ，u f ，u 嚣，u 耐，“l l ，) = o 其中“= u ( x ，f ) 是系统的目标物理量，即未知函数；x 表示空间坐标，有时可能 是二维( x ，y ) ，三维( x ，y ，z ) 甚至是多维( 而，x 2 ，) ；f 是时间坐标。蚝，u t ，u x x ，u n 分别表示对坐标x 和t 的一阶和二阶偏导数。所谓非线性偏微分方程，是指在偏 微分方程中含有未知函数和( 或) 未知导数的高次项而不能写成线性形式。目前 引入的有物理意义的非线性偏微分方程有几百种，典型的具有代表性的有k d v 方程，s i n e 。g o r d o n 方程和s c h r o d i n g e r 方程，等等。这些方程的形式虽然简单， 但本质却与线性微分方程有很大的不同 s h 。 这些方程大致可分为两类【5 0 】：类是所谓可积的或微不可积的方程，这些 方程具有孤立子( s o l i t o n ) 或类孤立子解( l i k es o l i t o n ) ，它们都可以用反演散射法 求解。另一类方程属于不可积的，都存在一定耗散结构，其解可出现混沌( c h a o s ) 现象。本文重点介绍前一类方程。 本文介绍了求非线性偏微分方程的一种主要的方法一一反演散射法【5 ，并 利用反演散射法求解k d v 方程的多孤立子解，取得了良好的效果。 反演散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 在量子力学中起源于2 0 世纪3 0 年 代，当时利用半经典方法，通过散射数据来构造势能曲线，以了解原子与分子 结构。这种方法在2 0 世纪5 0 年代有了较大发展。其中g e l f a n d 和l e v i t a n 做了 较大贡献，他们提出的积分方程方法成为求反演散射问题的一种标准模式。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 等人用反演散射方法求解k d v 方程获得成功，使其逐渐 发展成为一种新的数学物理方法，通常称为反演散射变换方法( i n v e r s es c a t t e r i n g t r a n s f o r mm e t h o d ) ，简称i s t 方法，方法的实质是将非线性偏微分方程化成几 个线性问题来处理，方法的基础是函数变换。 2 0 世纪8 0 年代以来，a d o m i a n 提出和发展了一种叫做区域分解的方法 【l ，3 , 4 , 6 ，7 ，8 ”。用来解决线形或非线形的微分方程。a d o m i a n 的方法包括将给定的 方程分解成线形的和非线形部分，逆高阶微分算子包含在包含在两边的线形算 子中。分解这些未知函数成为分量可定的的级数，分解这些非线形的函数成为 称作a d o m i a n 多项式的特殊多项式，并用a d o m i a n 多项式找出这些连续的级数 解。这种方法被称作a d o m i a n sd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( a d o m i a n 分解方法) ，简 称a d m 法。a d m 法是定量的而不是定性的分析，它既不要求线形化也不要求 有扰动。它是连续的，因此不要求助于离散化。 p a d 6 逼近法( 亦称p a d 6 逼近) 就是从幂级数出发获得有理函数逼近式的一种 十分便捷而且非常有效的方法。其基本思想就是对于一个给定的形式幂级数。 构造一个有理函数，称其为p a d 6 逼近式，使其t a y l o r 展开有尽可能多的项与 原来的幂级数相吻合。利用p a d 6 逼近，可以有效地改善a d m 法的不足【1 ，3 ，6 ，7 1 ， 扩大级数解的收敛范围。我们通过对形变b o u s s i n e s q 方程的数值试验，很好地 证明了这一点。 1 2 文章的章节分布 第一章是绪论。 第二章主要介绍几个经典的非线性偏微分方程及他们的孤立波解，特别是 反演散射方法的介绍，较为详细地介绍了反演散射方法，以及求k d v 方程的单 孤立波解和多孤立波解。 第三章主要是介绍一种求解非线性微分方程或方程组的数值方法一一 a d o m i a n 分解方法( a d m 法) ，介绍了a d o m i a n 方法的基本原理，以及计算 a d o m i a n 多项式的两个新的算法，对a d o m i a n 方法产生噪声项的原因和克服方 法有较为详细的论述，最后还讨论了a d o m i a n 方法所产生级数解的收敛性。 第四章主要是介绍一种有理逼近一一p a d 6 逼近对a d m 法的改进作用，因 为a d o m i a n 方法产生的级数解有一个收敛的范围，在这个范围之内，收敛性较 好，在收敛区域外，误差很大，而p a d 6 正好可以扩大收敛区间，提高收敛精度。 通过对形变b o u s s i n e s q 方程的数值试验，验证了这一观点。 第五章是对全文的总结和展望。 2 第二章典型非线性偏微分方程及其孤立波解 “非线性偏微分方程 研究作为数学模型描述出现在物理学、化学、信息 科学、生命科学、空间科学、地理科学和环境科学等领域中的非线性偏微分方 程的解法以及解的性质等问题。是非线性科学的主要组成部分；所用方法和手 段是“数学 的，因此常常被称为“非线性 ，是交叉性、融合性很强的一门 学科。 关于非线性偏微分方程的研究从1 9 世纪末就已经开始，但由于自身的复杂 性，似乎每一个方程都有各自不同的解法，很难有共同的方法和技术来解，所 以被认为是一个个性很强、极难处理的问题。这种局面发生根本的变化是从2 0 世纪6 0 年代开始的。这时发现了许多不同的偏微分方程有某些共同的性质，有 共同的求解方法和性质相似的解。这就使得“非线性偏微分方程成为研究非 线性现象共性的一门新兴的交叉学科。今天，非线性偏微分方程的研究已经渗 透到自然科学、工程科学、数学和社会科学的几乎每个学科门类。目前发现的 具有物理意义的非线性偏微分方程有几百种，大量新的非线性偏微分方程还在 不断从各个学科涌现出来。 2 1 早期的历史：k d v 方程的发现 孤立子( s o l i t o n ) 是具有弹性性质的孤立波( s o l i t a r yw a v e ) ，起源于英国著名科 学家、造船工程师j o h ns c o t tr u s s e l l 在运河河道中观察到的奇特现象1 5 。1 8 4 4 年9 月，r u s s e l l 在英国科学促进协会第十四届会议( f o u r t e e n t hm e e t i n go ft h e b r i t i s ha s s o c f o rt h ea d v a n c e m e n to fs c i e n c e ) 以“论波动”( o nw a v e s ) 为题所作 的报告中谈到自己的一次不寻常的发现，他描述到：“我正观察一条船的运动， 这条船由两匹马拉着，沿着狭窄的河道迅速前进着，突然船停下来，河道被船 体带动的水团并不停止，他们聚集在船头周围激烈地扰动着，然后水浪呈现一 个滚圆而又平滑，轮廓分明的巨大孤立波峰，它一很快的速度向前滚动，急速 地离开船头，在行进中他们的现形状和速度并没有明显的改变，我骑在马上紧 跟着观察，它以没小时8 - 9 英里的速度滚滚向前，并保持长约3 英尺，高约l 1 5 英尺的原始形状。渐渐地它的高度下降了，当我跟踪1 2 英里后，它终于消失 在逶迤的河道中。这就是我在1 8 3 4 年8 月第一次偶然遇见的奇特而美丽的景 象 r u s s e l l 当时认识到他所发现的孤立的耸起的水峰不是通常的水波，通 常的水波一部分在水面之上，另一部分在水面之下，而孤立波是一个完整的全 部位于水面之上的波。孤立波也不同于那种在波前有奇异性的冲击波，因为它 有滚圆而光滑的波形，即孤立波处处正则，没有奇异性。此外，它与任何一种 由通常的平面波组成的波包都不相同。这是由于它实际上表现为流体力学的一 个稳定解。 直到6 0 多年后的1 8 9 5 年，荷兰著名数学家d k o r r t e w e g ( 柯特维格) 和他的 学生g d ev r i e s ( 德佛累斯) 研究浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定下， 求得了单向运动的浅水波方程，即著名的k d v 方程 鲁一2 、匡i 旦& l , 2 + 詈割 仁， 其中，r = 刁( x ，t ) 是高于平衡水面的波峰高度，x 是平衡水面上沿波传播方向上 的坐标，t 表示时间，l 为水深，g 为重力加速度，口是与液体均匀运动有关的 常数，仃是由 盯：三z s 一旦 一 3 p g 定义的常数，t 是毛细现象的表面张力，p 是液体的密度。 作数学变换r 。= 丢捂f ，x = 一去x ，“= 丢7 7 一j 1 口，通过运算，并去掉变 量上的 号，得到 6 u u , + “勰= 0( 2 1 2 ) d k o r t e w e g 和g d ev r i e s 从方程( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 中求出与r u s s e l l 所发现的 孤立波现象一致的、具有形状不变的脉冲孤立波解 心，f ) = 互1c s e c h 2 l 圭以x - c t + x o ) l ( 2 1 3 ) 其中c 0 为孤立波的传播速度，为任意常数。 2 2b u r g e r s 方程及其孤立波解 现在考虑高速公路上行驶的交通车辆的流动问题【”】。以x 轴表示公路，x 轴 的正方向表示车辆前进的方向，我们研究何时可能发生交通堵塞，以及如何避 免的问题。 采用连续模型，设u ( x ，f ) 为，时刻交通车辆沿x 方向分布的密度，即在t 时刻， 在 五x + d x 】段中的车辆数等于u ( x ，t ) a x 。再设q ( x ，) 为车辆通过x 点的流通率， 即在时间段【f ，f + 衍】中，通过x 点的车辆流量为q ( x , t ) d t 。 利用车辆数守恒的事实有：在时间段i t ， + d t 】中，在区间【x ，x + d x 】内的车辆 数的增量应该等于在时间段i t ，t + d t 】中通过x 点的车辆流量减去在时间段 i t ，f + 衍】中通过点x + 出的车辆流量，即有 u ( x ，t + d 1 ) d x - u ( x ，t ) d x = q ( x ，f ) 出一g ( x + d x ，o a t ( 2 2 1 ) 假设有关函数都连续可微，则由上式得 4 了o u ( x , o + 了o q ( x , t ) ：0 ( 2 2 2 ) 西缸 。一一7 为了预报车辆密度u ( x ，f ) 的变化，必须知道q ( x ，f ) 的情况。而为了确定q ( x ，t ) ， 还必须利用车辆流的特点。在具体给出车辆流的情况之前，我们注意到，式( 2 2 2 ) 的推导过程，也适用于其它的一维流动，如河流中污染物的分布和流动，热量 在细杆中的流动，或导线中电子的浓度和流动等。对于每个不同的流动， q ( x ，f ) 的意义有所不同。例如在热传导问题中，热量服从f o u r i e r 实验定律： g = 一尼娑( | j 为传导系数) ，这时方程( 2 2 2 ) 就变成了热传导方程 o u i ( x , 一t ) 一k0 2 u 。( x ： t ) ：0 ( 2 2 3 ) 甜锄 、 现在通过车辆交通的特点来确定q 依赖于u 的具体形式，称之为结构方程。 例如可以取结构方程为 q = g ( “) = - a u ( u - b u ，) ( 2 2 4 ) 其中口= 吩，吩，b = 哟，而吁为车辆的自由速度，吩为出现交通堵塞时的车辆 密度，u x 表示密度的变化率。将式( 2 2 4 ) 代入( 2 2 2 ) ，就得到u 满足的方程 _ o u ( x , t ) 一a 掣t - a b 0 2 u ，( x 。 t ) ：0 ( 2 2 5 2 ) a t a xa p 进行适当的标度变换，就得到b u r g e r s 方程 昙+ 宴一厂磐：0 m262ut z ) + 一一，i 2 o j 街叙缸2 。 其中y o 为常数，b u r g e r s 方程是一个著名的非线性偏微分方程，它被称为“最 简单”的非线性偏微分方程，下面我们讨论它的行波解和它与热传导方程之间 的一个著名的变换。 2 2 1b u r g e r s 方程的孤立波解5 1 1 将行波变换 代入方程( 2 2 6 ) 得到 对孝积分一次，得到 甜= “( 孝) ，孝= x c 一c 骞+ 面d u y 睾= 。唧面栅面一y 万刈 ( 2 2 7 ) 一十丢甜2 一厂磊d u = 彳2。d 芒 ( 2 2 8 ) 共甲a 为积分帚致，将导数擂牟出，有 万d u ：i ( u - - 2 甜一2 a ) ( 2 2 9 ) d 专一| 。 设“2 - 2 c u - 2 4 = 0 的两个根是 l ，“2 ，则 均= 叶厕，屹：f 一历( 2 2 1 0 ) 显然c 2 + 2 a 0 ，r u l + u 2 = 2 c ，u l 一“2 = 2 x j + 2 a ，这样方程( 2 2 9 ) n - - 丁以写成 骞= 专( 铲坝：) ( 2 2 1 1 ) 即在u - - - - - u i ，u = 1 1 2 处琵d u = o ，2 ，取极值，将( 2 2 “) 分离变量并积分得到 ，( ud u 二面2 专( 孝一彘) ，磊为积分常数 即 去h l 嚣旧1 c ，亿2 m ， 从中解出u ，得 甜一屹。警确坤口 三= 一e 7= 一e “ 其中取负号是为了解收敛。于是有 “= 1 u l e 再。t + f u 2l + e 4 经过整理得 “= 丢 蝴+ 半鼬薹 肠t a n h 等( ) 这里振幅口= 丢( 一甜：) ，波速为c = 圭( + 屹) 。 6 ( 2 2 13 ) 2 2 2 h o p f - c o l e 变换【5 1 】 b u r g e r s 方程( 2 2 6 ) 的线性部分是热传导方程，令 u = 掣( 2 一2 一1 。4 ) = ( 1 、， o 代入方程( 2 2 6 ) ，对x 积分一次，令积分常数为0 ，得到 警4 - 丢( 筹一7 窘= 0 一 一一i i 一 ，= 西2l 叙j。缸2 现在我们来建立b u r g e r s 方程和线性耗散方程( 热传导方程) 加a 2 v 面2y 面街缸 之间的联系，为了消去非线性项，令 v = f ( w ) 其中f 为待定函数，因为有 害“c 们詈棚警= 南鲁 塞纠c 尝棚芸= 志象 幽珊 戗 ，i wj 饿 骞_ f - ( ( 筹+ f t ( 们可t 9 2 w 从而有 0 矿2 _ _ z 而1 p 0 2 v 川( 南姻2 _ 而1 虿c 3 2 v 一器( 罢) 2 带入到方程( 2 2 1 6 ) ，得到 詈= 7 鬻f 2 + 7 窘 研 7 ( w ) l 觑叫础2 将方程( 2 2 1 8 ) 和( 2 2 1 5 ) l g 较，得 等= 整理耵+ 万1 儿of 。2 2 y 这个常微分方程的通解是 f ( 们= c l + c 2 e 2 1 7 w 取积分常数g ：o ，岛= 1 ，得到特解 7 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ，( 川= p 2 f 2 2 2 1 ) 由( 2 2 1 7 ) 得 。 1 ，= p2 ，或w = - 2 y i n v 就将b u r g e r s 方程( 2 2 6 ) 变成线性扩散方程( 2 2 1 6 ) 。由式( 2 2 1 4 ) ，上述变换还 可以写成 ：a i w ：- 2 y i o l n _ v (222u 22 2 ) = i 一2 一( 2 劣蹴 式( 2 2 2 2 ) 称为h o p f - c o l e 变换。h o p f - c o l e 变换将b u r g e r s 方程变成了线性扩散 方程，这样就可以根据式( 2 2 1 6 ) 的解来求b u r g e r s 方程的解，比如，热传导方 程显然有一个解 1 ，= 1 + p 肛t ar k = 一二，彩= k c ( 2 2 2 3 ) 7 将( 2 2 2 3 ) 代入式( 2 2 2 2 ) 求得 一2 厂昙h1 + e - 争x - a l = c1 - 蛐割 亿2 以， 它是在式( 2 2 1 3 ) 中磊= 0 ，4 = o , u l 一“2 = 2 c 的结果。 值得提出的是，在h o p f - c o l e 变换之后，数学家们对其它非线性偏微分方程 也试图找到类似的变换，取得了一些成果，但也有许多方程找不到这样的变换， 因此，下面一节介绍的反演散射方法可以说是另一种尝试。 2 3 反演散射方法与k d v 方程的多孤立波解 在这一章中，我们将介绍求解非线性偏微分方程的一个普适方法一一反演散 射法，用它不仅能求非线性偏微分方程的单孤立波解，还可以求出多孤立波解。 在量子力学中散射问题是己知相互作用力或作用势求散射数据，包括反射与透 射系数，散射振幅等。反散射问题就是已知散射数据，即反射与透射系数，散 射振幅等来求相互作用势或作用力，以了解物质的内部结构。从科学研究来说 这是非常重要的，它是了解物质深层结构的重要方法。 反演散射方法【5 0 , 5 1 l ( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 在量子力学中起源于2 0 世纪 3 0 年代，当时利用半经典方法，通过散射数据来构造势能曲线，以了解原子与 分子结构。这种方法在2 0 世纪5 0 年代有了较大发展。其中g e l f a n d 和l e v i t a n 做了较大贡献，他们提出的积分方程方法成为求反演散射问题的一种标准模式。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 等人用反演散射方法求解k d v 方程获得成功，使其逐渐 发展成为一种新的数学物理方法，通常称为反演散射变换方法( i n v e r s es c a t t e r i n g t r a n s f o r mm e t h o d ) ，简称i s t 方法，方法的实质是将非线性偏微分方程化成几 个线性问题来处理，方法的基础是函数变换。 3 19 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l ，m i u r a ( 简 g g k m ) 试图将k d v 方程 线性化的时候，将如下变换( h o p f - c o l e 变换的推广) ： 材：监+ 名材= 鲨+ 以 缈 其中，五是待定常数，可改写成 一( 甜一元) y = 0 的形式。如果将u = u ( x ，r ) 中的t 视为参数，这个方程就是量子力学中的一维 s c h r o d i n g e r 方程，沙相当于在具有位势甜的外部场作用下运动粒子的波函数 ( w a v ef u n c t i o n ) ，甜相当于位势( p o t e n t i a l ) ，名相当于能级( e n e r g yl e v e l ) 或特征值。 一般来说，由于“中含有f ，a 将会与参数f 有关。但是g g k m 却发现了一个重 要事实：当u ( x ，f ) 按k d v 方程变化时，即u ( x ，0 是k d v 方程的解，且 u ( x ，f ) 哼o i x i 专) 时，特征值五与，无关。根据这个事实，位势u ( x ，r ) 与其初值 u ( x ，o ) 将对应于相同的特征值。这样一来，他们利用量子力学中的s e h r o d i n g e r 方程的特征值问题( 正散射问题) 与其反问题( 反散射问题) 的关系，导出了 k d v 方程初值问题的解依赖于一个线性积分方程( g e l f a n d l e v i t a n 积分方程) 并取得许多结果，包括任意书目的孤立波相互作用的显式解。 2 3 1s c h r o d i n g e r 方程的散射与反散射问题1 5 0 , 5 1 1 s c h r o d i n g e r 方程 妙舡一( 甜一无) = 0 ( 2 3 1 ) u 为相互作用势，旯是特征值，y 为波函数，它是量子力学的基本方程，其势 能具有孤立子解，方程( 2 3 1 ) 具有以下性质。 对给定的位势u ( x ) ，特征值五可以是离散的或是连续的，离散的特征值是负 的，取 a = 一砰，一砖，一群， 有时也称局为特征值，对应于束缚态，当h 寸o o ，( x ) 一0 ，连续特征值对应于 非束缚态，散射态，特征值为正 a = k 2 , 足 0 缈在无穷远处是振荡函数。 若h o d ，势u ( x ) 寸0 ，则在无穷远处s c h r o d i n g e r 方程为 + a y - 0 ( 2 3 2 ) 对连续特征值，方程可写为 + 七2 缈= 0 其解为杪= a ( k ) e 出，当取时间因子为e 一枷，则萨表示在x 正方向传的波，而e - 淑 为负x 方向传播的波，对于散射可以表示为 9 y e 一缸+ r ( k ) e 触 x 专- t o o y t ( k ) e - 血 x - 4 嘲 ( 2 3 3 ) 式中r ( 后) 为反射系数，丁( 七) 为透射系数，方程( 2 3 3 ) 的物理意义是来自z = 的 单位振幅平面波p 一妇与位势u ( x ) 作用后分两部分，一部分反射回佃去，反射系 数为r ( 七) ，另一部分透射到一处，透射系数为丁( 露) ，由能量守恒有 1 - - i r l 2 + l r l 2 ( 2 3 4 ) 对于离散特征值，方程为 一砖y = 0 解为= c ( k ) e ，当x 寸佃时，取e - k x ， 件 e 阮陆= 1 少册在x 一+ o o 时取 当x 哼咖时，取e u ，满足归一化条 ( 2 3 5 ) 。( k x ) 一c 掰( k ) p 吨工 xj - b o o ( k x ) q ( k ) p ” x 专- - 0 0 ( 2 3 6 ) k ，c m ( k ) ，r ( 后) ，r ( 露) 称为s c h r o d i n g e r 方程的散射数据( s c a t t e r i n g d a t a ) s c h r o d i n g e r 方程是二阶线性微分方程，若妒是其中一个解，可以证明另一个解 是 = 却略 ( 2 3 7 ) 下面证明这一点，若取 矽= y ( x ) x ) ( 2 3 8 ) 将( 2 3 8 ) 代入s c h r o d i n g e r 方程( 2 3 1 ) 有 l 矿搿x ( x ) + 2 虬以+ 沙叉乙一( 见一“) y x = 0 利用方程( 2 3 1 ) ，消去上式第一，四项，则有 墨+ 2 丝：o x x v ( 沙2 以) ，= o 积分得y 2 鼍= a 再积分得x = 彳聘 代回( 2 3 8 ) 可得 = 匆r 参 ( 2 3 9 ) l o 得证。 在量子力学中，s c h r o d i n g e r 方程的散射问题的提法是，给定位势u ( x ) ，求 散射数据屯，c m ( ) ，r ( 后) ，t ( k ) 以及在佃处的有界波函数。 反散射问题的提法是，已知散射数据k ，q ( k ) ，r ( 七) ，r ( 七) 以及波函数在无穷 远处的性质求位势甜( 柏。 散射势将由以下方程给出 u ( x ) = - 2 - 5 ”5 ，x ，f ) ( 2 3 1 0 ) 其中函数 ，o 满足_ k ( x k ( xy g e l f a n dl e v i t a n 积分方程 k ( x ，y ，f ) + b ( x ，y ，f ) + i 召( y + z ，t ) k ( x ，z ，t ) d z = 0 ( 2 3 1 1 ) 其中积分方程的核b ( 孝) 与散射数据有关，其关系为 聪) = 善n 啄2 乃矿够+ 去e 删k d k c d k ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 2 ) 式中n 是离散的非简并的特征值个数，求和部分对应离散特征值，积分 部分对应连续特征值，显然积分方程的核b ( 孝) 依赖于散射数据。 散射数据随时间发展表现为三个定理，限于篇幅，下面不加证明地给出这 三个定理t 5 0 1 。 定理2 3 1 若位势阮，) 满足k d v 方程 坼一6 甜心+ 够w = 0( 2 3 1 3 ) 且当h 寸o o 时，“与一0 ，则以u ( x ，t ) 为位势的s c h r o d i n g e r 方程 一p ，t ) - a g t = o ( 2 3 1 4 ) 的离散特征值丸( ，l = 1 ，2 ，n ) 与f 无关，即 a z ：0 ( 2 3 1 5 ) 出 定理2 3 2 若s c h r o d i n g e r 方程的位势u ( x ，f ) 满足k d v 方程，且当h 哼o o ，u 与 坼j 0 ，特征函数5 f ，随时间f 的演化满足以下方程 = 2 ( u + 2 旯) 虬+ ( c 一吣) 妙 其中c 为常数。 定理2 3 3 若s e h r o d i n g e r 方程 f ，o 一【甜( x ，f ) 一力】5 f ，= 0 其位势u ( x ，力满足k d v 方程，且当h _ 时，u 与珥寸0 ，则方程的散射数据满 足方程 g ( 屯，f ) = g ( 屯，o ) e 4 碲 r ( k ，f ) = r ( k ，o ) e 8 舻 t ( k ，f ) = 丁( 七，o ) ( 2 3 1 6 ) 其中，g ( 吒，0 ) ，r ( k ，o ) 与r ( k ，o ) 是位势为u ( x ，o ) = ( x ) 时方程的散射数据。 总结以上三个定理，第二个定理给出波函数妒随时间发展得演化方程，而 第一个和第三个定理给出散射数据随时间变化得结果，利用这些结果，可以从 ，= 0 时散射数据求出时刻，的数据。 2 3 2 反散射法求k d v 方程 有了上一小节的预备知识，可以利用s c h r o d i n g e r 方程的反散射问题给出 k d v 方程初值问题的解，本节给出反散射问题求解k d v 方程的单孤立子解和 多孤立子解【5 0 1 。 i 单孤立子解 对应于s c h r o d i n g e r 方程的每一个离散的特征值，将有k d v 方程的一个孤 立子解。单孤立子解对应一个束缚态，相应势阱比较浅。 考虑k d v 方程的初值问题 坼一6 u u , , + z k = 0 ，1 4 0 ( 力= - 2 s e e h x 2( 2 3 1 7 ) 此方程相应的的s c h r o d i n g e r 方程为 + 2 s e c h x 2 + 少】五= 0( 2 3 1 8 ) 散射问题的相应边界条件 连续谱 缈e - 胀+ r ( k ) e 胀 x + 妒t ( k ) e 一缸x 哼哪( 2 3 1 9 ) 分离谱 ( k ，x ) 一q ( 吒) p ux 一佃 ( k ，x ) 一q ( 吒) p ” x 寸- - 0 0 ( 2 3 2 0 ) 当势阱深度u o = 2 相应一个束缚态，其特征值 五= 一砰= - 1 特征函数少= a s e c h x 利用归一化条件 1 ：f - 口2s e c h x 2 d x 2 a 2 j m 1 可得口= ；，从而归一化特征函数 、，2 l y = s e e h x ( 2 3 2 1 ) 2 相应散射数据 c j ( 毛，o ) = l i m y ( 力p = 2 由于势是凹的，波通过时没有反射，因此相应的 r ( k ，o ) = 0 1 2 这样给出f = 0 时的散射数据 五= 一1 ，c j ( 1 ，0 ) = 2 ，犬( 七，0 ) = 0 ( 2 3 2 2 ) 由上一小节的三个定理得t 0 散射数据为 = 一1 ，r ( k ，f ) = o , c , o ，f ) = 2 口4 ( 2 3 2 3 ) g e l f a n d l e v i t a n 积分方程核为 b ( 乎，) = 2 e 射 相应的