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关于算子矩阵谱配置及方根与范数不等式相关问题研究 李启慧 摘要算子理论产生于2 0 世纪初，由于其在数学和其它科学中的广泛应用， 在2 0 世纪的前三十年就得到了很大的发展一个算予矩阵是一个以算子为元素 的矩阵，这些算子都是相应h i l b e r t 空间上的有界线性算子而一个缺项算子矩阵 就是一个一些元素是已知的，其余元素都是未知的的算子矩阵算子补问题是对 一个缺项算子矩阵去讨论所缺的项对整个算子矩阵的影响本文以系统理论中引 出的可控算子对及相容算子对两个概念的基础上研究算予补问题中的谱配置问 题，同时利用算子矩阵研究算子n 次方根的唯一性问题由于算子范数不等式或 等式蕴涵着算子自身的诸多性质，所以针对算子范数等式与不等式的研究由来已 久，在本文的最后我们对两类特殊的算子范数不等式进行了研究 本文共分四章； 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义及其一些比较著名的或已 知的一些定理等首先我们介绍了一些符号的表示意义，接着引入了数值域，凸 集。凸集端点，极大部分等距等概念，而后给出一些广泛熟知的定理如k r e i n - m i l m a n 定理，极分解定理，谱定理等 第二章我们在可控算子对与相容算子对这两个概念基础上对算子补问题进行 了研究分别得出n ( x ，y ) 日( w ，) 。8 ( ) 。( ( 未y 。) ) = o 当且仅当算子对( a ，b ) 是 可控的；n f e b ( n , l c ) o ( a + b f ) = 0 当且仅当( a ，b ) 是可控的，以及算子对( a ，b ) 是相容的且d i m r ( b ) = o o ，记o ( a ，b ) ：= a c ：( a a ，b ) 不是右可逆的) 则分 别有n ( x ，y ) 8 ( w ，丘) 。b ( ) 。( ( x “。y ) ) = o ( a ，b ) 和n f b 何c ) o ( 4 + b f ) = o ( a ，b ) 成立 第三章对有限维空间上算子平方根的存在性及唯一性进行分析，更进一步 的，我们就无限维空间上的有界线性算子n 次方根进行了研究，分别对算子的 谱与数值域进行了限制得出其n 次方根的唯一性，覆盖了c h a r l e sr j o h n s o n 。 k a z u y o s h io k u b o 等的结论 第四章我们对集合 b 4 ：存在一个o t 0 使得+ a b | j = i i a a 驯= a 1 1 ) 进行刻画，并证出i i a + 驯+ i i a b l l = 2 1 1 a l l 当且仅当悄+ b i i l l a b l l i v ( a * a - b b ) 同时我们用算子范数不等式来定义算子的正交性，它是对h i l b e r t 空间向量正交概念的延拓我们定义如果算子a ，b 满足对任意a c 均有m + a b f j l i a l i 成立则称4 正交于b c k l i ，r b h a t i a 和p s e m r l 分别对有限维空 间上的算子a 正交于算子b 进行研究，我们在无限维对这类算子进行刻画，证明 完全不同于r b h a t i a 关键词：算子矩阵可控算子相容算子算子n 次方根范数不等式算 子正交性 r e s e a r c ho ns p e c t r a la s s i g n m e n ta n dn t hr o o t so f o p e r a t o rm a t r i x a sw e l la sn o r mi n e q u a l i t i e so fo p e r a t o r s a b s t r a c t ：t h e s t u d yo f o p e r a t o rt h e o r yb e g i n i n2 0 t hc e n t u r y s i n c ei ti su s e d w i d e l y i nm a t h e m a t i c sa n do t h e rs i n e n t i f i cb r a n c h e s ，i tg o tg r e a td e v e l o p m e n ta tt h eb e g i n n i n g o ft h e2 0 t hc e n t u r y ao p e r a t o rm a t r i xi sam a t r i xw h o s ee n t r i e sa r eb o u n do p e r a t o r so n t h ec o r r e p o n d i n gh i l b e r ts p a c e s t h ep a r i t a lo p e r a t o rm a t r i xi sao p e r a t o rm a t r i xw h o s e s o h l ee n t r i e sf i x e da n do t h e r sa r eu n k n o w n o p e r a t o rc o m p l e t i o np r o b l e mc o n c e n t a t eo n t h ei m p a c to ft h eu n k n o w ne n t r i e so i lt h ew h o l eo p e r a t o rm a t r i x i nt h i sa r t i c l ew ed i s c u s s t h es p e c t r a la s s i g n m e n tp r o b l e mb a s e do nt h ec o n t r o l l a b l eo p e r a t o rp a i r sa n da d m i s s i b l e o p e r a t o rp a i r sw h i c h a r eo r i g i n e df r o m s y s t e m st h e o r y m e a n w h i l e w e s t u d y t h eu n i q u e n e s s o fo p e r a t o rn t hr o o t sb ym e a n so f o p e r a t o rm a t r i x s i n c e n o r m e q u a l i t i e sa n di n e q u a l i t i e s o fo p e r a t o r sc o n t a i nl o t se l e m e n t a r yp r o p e r t i e so fo p e r a t o r s ，m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e d m a n y c l a s s e so fn o r m e q u a l i t i e sa n di n e q u a l i t i e so fo p e r a t o r s t w os p e c t i a lc l a s s e so fn o r m i n e q u a l i t i e sa r es t u d i e di nt h ea r t i e a l t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s c h a p t e r1m a i n l yi n t r o d u c e ss o m en o t a t i o n s ，d e f - i n i t i o n sa n ds o m ew e l l - k n o w nt h e o r e m s ，f i r s t l y , w eg i v es o m et e c h n o l o g i e sa n d n o t a t i o n s ， a n di n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fn u m e r i c a lr a n g e ，c o n v e xs e t ，e x t r e m ep o i n t ，m a x i m a l p a r t i a li s o m e t r ye t c s u b s e q u e n t l yw eg i v es o m e w e n - k n o w nt h e o r e m ss u c ha st h ek r e i n - m i l m a nt h e o r e m ，p o l a rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e ma n ds p e c t r a lt h e o r e m c h a p t e r 2w ed i s c u s ss p e c t r a la s s i g i m e n tp r o b l e mb a s e do nt h ec o n t r o l l a b l eo p e r a t o r p a i r 8a n da d m i s 8 i b l e 。p e r a t o rp a i r s w e g e tt h a tn x , r l e s ( n , r ) 。b q c ) a ( ( x a y b ) ) = 。 i fa n do n l yi fo p e r a t o rp a i r ( a ，b ) i sc o n t r o l l a b l e ，n f 8 m ，捌盯( a + b f ) = 0i fa n do n l y i f ( a ，b ) i sc o n t r o l l a b l e i fo p e r a t o rp a i r ( a ，b ) i sa d m i s s i b l ea n dd i m r ( b ) = o o ，d e n o t e a ( a ，b ) ：= t a c ：( a a ，b ) n o tr i g h ti n v e r t i b l e ) t h e nw eh a v e n a ( ( x ay b ) ) = e ( a ，b ) ( x ，y ) e b ( n ，k ) 蓐( ) 、 7 a n d n f b ( w ，咒) o ( a + b f ) = o ( a ，日) ，r e s p e c t i v e l y , c h a p t e r3w ea n a l y s i st h eu n i q u e n e s sa n de x i s t e n c eo fo p e r a t o rs q u a r er o o t si nf i n i t e d i l n e n s i o n a ls p a c e ，f u t h e r m o r ew es t u d yt h eo p e r a t o rn t hr o o t si ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l s p a c ea n dd r a wt h ec o n c l u s i o n sb yr e s t r i c ts p e c t r aa n dn u m e r i c a lr a n g eo fo p e r a t o r si n as u b s e to fc o m p l e xp l a n e t h er e s u l t sc o v e rt h ec o n c l u s i o n so fc h a r l e sr j o h n s o n ， k a z u y o s h io k u b o i i i c h a p t e r4 w ec h a r a c t e r i s et h es e t b 4 ：t h e r ei saa 0s u c ht h a t i i a + q 日| f = l i a a 日| i = l i a i i a n dg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ro p e r a t o rp a i r ( a ，b ) s a t i s f i e di i a + b | | + i a b | | = 2 1 1 a 1 1 i nt h es e c o n ds e c t i o no ft h i sc h a p t e rw eg i v et h e d e f i n i t i o no fo r t h o g o n a l i t yo fo p e r a t o r s ，w h i c hi sae x t e n t i o no ft h ec o n c e p ti nh i l b e r t s p a r e ai so r t h o g o n a lt ob i f i i a + 口| | i i a i if o re v e r ys c a l a ra k l i ，r b h a t i a a n dp s e m r lc o n c e r t r a t eo nf i n t ed i m e n s i o ns p a c e ，i nt h i sa r t i c l e w ec h a r a c t e r i s et h e o r t h o g o n a l i t yo ft w oo p e r a t o r si ni n f i n i t ed i m e n s i o nh i l b e r ts p a c e ，t h ep r o o fi sd i f f e r e n t w j t hr b h a t j a k e y w o r d s ：o p e r a t o rm a t r i x ，c o n t r o l l a b l eo p e r a t o rp a i r ，a d m i s s i b l eo p e r a t o rp a i r n t hr o o t so f o p e r a t o r ，n o r mi n e q u a l i t i e s ，o r t h o g o n a l i t yo fo p e r a t o r s i v 前言 算子理论产生于2 0 世纪初，由于其在数学和其它科学中的广泛应用，在2 0 世纪的前三十年就得到了很大的发展，b a n a c h ，h i l b e r t ，v o nn e u m a n ，r e i s z 等人对此做出了巨大贡献目前，算子理论不仅深入到了矩阵论，微分方程，最 优化理论，统计学等众多数学分支，而且它也是量子力学，物理学，化学等学科 中一种不可缺少的重要研究工具 一个算子矩阵是一个以算子为元素的矩阵，这些算子都是相应h i l b e r t 空间上 的有界线性算子而一个缺项算子矩阵就是一个一些元素是已知的，其余元素都 是未知的的算子矩阵算子补问题是对一个缺项算子矩阵去讨论所缺的项对整个 算子矩阵的影响，如谱补问题，或者是去求解所缺的项使得整个算子矩阵具有某 种性质。如是一个正算子，是一个压缩算子，是一个幂等算子，或具有给定的谱 等。算子补问题不仅自身是一个非常有趣的研究课题，而且它有着广泛的应用背 景算子补问题在统计学( 如熵方法) ，化学( 如分子结构) ，系统科学，离散最优化 ( 如松弛方法) ，数据压缩等学科中都有非常广泛的应用同时这些领域的研究也 为深入研究算子补问题提出很多有价值的课题如可控算子对与相容算子对就是从 系统理论中引入的概念近十年来，一大批学者如h o n g - k ed u ，c a i x i n gg u ， k a t s u t o s h it a k a h a s h i ，j i a n - l i a nc u i ，j i n - c h u a n h o u ，l r o d m a n ，s p o t k o s k y 等， 先后对fa 。b ，1 ，fa ，b ，1 等几类缺项算子矩阵的一些补问题进行了深入的研 究本文第二章我们在可控算子对与相容算子对这两个概念基础上对算子补问题 进行了研究分别得出n ( 置y ) b ( 钟，c ) 。8 ( ) a ( ；) ) = o 当且仅当算子对( a ，口) 是可控的；n f 日( w 心口( a + b f ) = 0 当且仅当( a ，b ) 是可控的，以及算子对( a ，b ) 是相容的且d i m r ( b ) = 0 0 ，记o ( a ，b ) ：= a c ：( a 一 ，b ) 不是右可逆的) 则分 别有n ( x ，y ) 8 ，) 8 ( 苊) 。( ( ；) ) = o ( a ，b ) 和n f e 日( w ，芄) o ( a + b f ) = o ( a ，b ) 成立 通常由空间分解我们可以将一个算子写成算子矩阵的形式，利用算子矩阵 我们可以对无限维空间上的有界线性算子方根进行研究一般情况h i l b e r t 空间 上的一个算子是否有平方根这个问题是没有固定答案的，例如复数域c 上算子 a = ( ：l 就没有平方根如果a 是h i l b e r t 空间w 上的一个可逆算子，且有 、” 一条光滑曲线连接0 点与无穷远点使得a 的谱与之不相交，由r i e s z 函数演算容 易知道此算子a 存在一个平方根，所以在考虑有限维空间时，由于每一个算子的 谱至多有有限个，故可逆算子必有平方根那么不可逆算子是否有平方根? 若托 是h i l b e r t 空间且具有w 1o w 2 空间分解，且爿上的幂零算子a 相对此空间分解有 形如a ：f ：a 1 ) 的算子矩阵易验证a 2 = 0 ，故a 为的0 平方根，可见0 的平 方根有很多而且由于惮| | 2 = 0 岔a i i = i i a ；a i l ，所以完全可以做到0 的平方根范数 充分大，但由谱映射定理可知0 的平方根有相同的谱半径，均为0 可见一个算子 有平方根但不能保证它的唯一性，但若对算子自身或其平方根加以限制是否可做 到平方根是唯一的呢? c r ，j o h n s o n 和k o k u b t ) 对有限维空间上的算子平方根 的唯一性进行了讨论，他们证明了有限维空间上的算子a 如果o ( a ) n ( 0 0 ，0 = 0 ， 则a 有唯一满足谱在开右半平面的平方根；如果w ( a ) n ( 0 0 ，0 = o ，则a 有唯 一满足数值域在闭右半平面的平方根本文第三章对有限维空间上平方根的存在 性及唯一性进行分析，更进一步的，利用算子矩阵我们就无限维空间上的有界线 性算子n 次方根进行了研究。分别对算子的谱与数值域进行了限制得出其n 次方 根的唯一性，覆盖了c h a r l e sr j o h n s o n ，k a z u y o s h io k u b o 等的结论 h i l b e r t 空间上的有界线性算子a 的范数定义为i i a ij = s u p a z 1 ：i i = 1 l = 1 ) ，它满足范数的所有要求算子范数不等式或等式蕴涵着算子自身的诸多性 质m b a r r a a 与m b o u m a z g o u r 利用序列逼进的方法证明两个8 何) 中的非零算 子a ，b ，满足i i a + b 1 = i i a l + l i b f 当且仅当l i a i i i i b i l w ( a b ) c l l i n 证明如果 怕一圳= j i a i l + j i b i i ，则。为j 圳a 十惮忙的近似谱点c a k e m a n n 从一代数 的角度论证4 为b ( n ) 中的驴一代数，a a 满足i i a = l 为部分等距当且仅当集 合 b a ：对所有复数6 ， i a + 6 驯= m a x t ，i i b b i m 与集合 b a ：存在一个o t 0 使得怯+ o b 0 = 怕一a b 0 = 1 ) 相等，同时可验证算子a 为一4 的单位球的端点 当且仅当 口4 ：存在一个n 0 使得m + o 酬= l i a q 刚= 1 ) = o ) 本文第四 章我们对集合 口a ：存在个o t 0 使得惮+ 口口| | = i i a a 日i = i i a i i 进行刻 画，并证出j j a + b l + 惮一b ij = 2 1 1 a l i 当且仅当怛+ 口圳a b | j 职不万= 百呵 同时在第四章中我们用算子范效不等式来定义算子的正交性，它是对h i l b e r t 空 间向量正交概念的延拓由于口) 本身只是一个b a n a c h 代数，所以对向量正交 性概念的延拓只继承了正交性了的某方面特征在第四章第三节我们定义如果算 子a ，b 满足对任意a c 均有惮+ a 圳i l a lj 成立则称a 正交于b c k l i ，r b h a t i a 和p 鸢e m r l 分别对有限维空间上的算子 正交于算子口进行研究，我们 在无限维对这类算子进行刻画，证踞完垒不同手r 1 3 h a t i a 的证明，并且对紧算子 的结论使得有限维的情况成为它的一个推论 2 第一章预备知识 1 1 基本概念 设“表示一个h i l b e r t 无穷维的复可分h i l b e r t 空间，口) 表示无穷维的复 可分h i l b e r t 空闫上的有界线性算子组成的全体令c 表示复数域，r 表示实数 域，z 表示整数集，j 表示w 上的单位算子( - ，) 和j 分别表示复可分h i l b e r t 空间w 上的内积和范数设a 8 ) ，令r ( a ) 和n ( a ) 分别表示算予a 的值域和 零空间，表示a 的伴随耳表示一个集合k 的闭包，c o ( i f ) 表示集合的凸 包，面( k ) 表示集合的凸闭包，d i m n 表示空间的维数，上表示空间的 正交补，曲表示空集对b a n a 1 l c h 空间尼用l 表示它的单位球 定义1 1 1 【5 1 设a g 僻) ，m 为咒的子空间，如果a a 4 m 员i j 称m 是a 的不变子空间，如果a m m 且a m 上朋上则称为a 的约化子空间 定义1 | 1 2 【5 】设线性变换t ：w - 瓦满足t ( 7 1 ) 在空间中有紧闭包，则称 t 为紧算子 定义1 1 3 【5 】如果k 是向量空间c 的凸子集，则在耳中一点口如果满足没 有一个含有a 的真开线段含予蜀中，则称n 为蜀的端点x 的全体端点记为 e 矾( 耳) 定义1 1 4 【3 】设t 日) ，称w ( t ) = ( ( n ，。) ，z 咒，j i x l i = 1 ) 为算子t 的数 值域 定义1 1 5 f 3 设t b ) ，称w ( t ) ；s u p m a ( t ) ) 为t 的数值域半径 定义1 i 6 【5 1 设t 召洱) 如果a c 使得t 一 是不可逆的，称 为丁的 谱记口( t ) = n c ，a t 是不可逆的) 定义1 1 7 f 5 】设t 8 泳) ，称7 ( t ) = s u p l a i ：d 口( t ) ) 为t 的谱半径 定义1 1 8 【5 设t b ) 若卵= t + z 则称t 为正规算子； 若t + = 正则称t 为白伴算予； 若竹”= t + t = j ( 等价于t + = t - 1 ) ，则称t 为酉算子； 若t = t + = t 2 ，则称t 为正交投影算子 定义11 9 c 6 】设t 舀( w ) 如果对于任意的h 斜都有( a x ，2 ) o ，则称t 是 一个正算子，记作t 0 定义1 1 1 0 嘲设x 是一个集合，q 是x 的一个子集且是一个a 一代数， ( x ，n ，“) 上的谱测度是指一个函数e ：q + b ( h ) 满足以下条件， 3 ( 1 ) 对于n 中的任一个集合，e ( a ) 是一个投影； ( 2 ) e ( 圣) = 0 ，e ( x ) = 1 ； ( 3 ) 对于n 中的两个集合l ，a 2 ，e ( lna 2 ) = e ( a 1 ) e ( a 2 ) ； ( 4 ) 如果 。 器l 是n 中的互不相交的集合，则e ( u 。o o ：la 。) = 罢l e ( a 。) 定义i ，l 1 1 【5 j 如果算子u 满足对任意h ( ( ，) 上，有l i u h l i = f l h l i ，则称u 为部分等距，( u ) 上称为u 的起始空间，空间兄( u ) 称为u 的终止空间 定义1 1 1 2 【5 】如果u 是部分等距，且满足u + u = l 或者u u + = 1 则称u 为 极大部分等距 1 2 预备定理 命题1 2 1 【鄙设t 8 ) ，则以下结论成立： ( 1 ) t 是正规算子当且仅当0 t z | | = i i t + $ i i ( w 就) ( 2 ) t 是自伴算子当且仅当( t x ，) 酞( h ) ( 3 ) t 是酉算子当且仅当t ：w 寸爿是等距同构 ( 4 ) t 是正交投影算子当且仅当存在正交分解w = w 1o w ，饨1 是w 的闭子 空间，t 是从w 到咒1 的投影算子 定理1 2 2 【5 1 设t b ( “) ( 1 ) 若丁是正规算子。则7 ( r ) = i i t i i ( 2 ) 若t 是自伴算子，则f ( t ) c r ( 3 ) 若t 是酉算子，贝4 口( t ) cs 1 ：= a c ：= 1 ) 定理1 2 3 i s 如果a u ( n ) 是正规的，那么有7 ( a ) = “似) = 怕m 定理1 , 2 ，4 【5 设8 是任意一代数，令。是b 中的一个正规元，如果c ( o ) 由。与1 生成的交换c 一代数，则p ：g p ) _ c ( g ) 是c 代数闯的同构 ，a ( a ( n ) ) 定义i ( a ) ；p ( i ) ，则映射，一，( n ) 称为。的函数演算 定理1 2 5 【5 】设t b ) 是正算子，则存在唯一正算子a 舀) ，使得 a 2 = t ；且当t 与s 可交换时，a 亦于s 可交换称a 为t 的平方根，记作t 定理1 2 6 1 5 1 ( t o e p l i t z h a u s d o r f f 定理) 设t 8 ) ，w ( t ) 是复平面内的凸集 正翅我们早已熟知的一个算子的谱包含在数值域的闭包中豇是有限维时， w ( a ) 是复平面中的闭凸子集 4 定理1 2 7 5 】( 谱定理) 如果n 是一个正规算子，那么存在叮( ) 的子集上的 谱测度e 满足： ( 1 ) n = j z d e ( z ) ； ( 2 ) 如果g 是a ( ) 中非空相对开子集，则有e ( e ) o ； ( 3 ) 如果a 口僻) ，则a n = n a 和a n = n + a 当且仅当对于任意的都有 a e ( ) = e ( a ) a 若算子a b ( n ) ，则正算子a a 的谱表示为 心= 圳9 凇， 如果 j a i l 2 5 0 ，贝j 用他记胃的子空间e ( 刮2 一司，i i a i l 2 】) 笼，h 记空间 e ( 【o ，i i a i l 2 一d ) ) w 定理1 2 8 5 】( k r e i n - m i l m a n 定理) 如果k 是局部凸空间l 的非空紧凸子集， 则e x t k 口且k = 历( e x t k ) 定理1 2 9 ，【1 5 】设u b ) ，以下命题等价， ( 1 ) u 是部分等距； ( 2 ) u + 是部分等距； ( 3 ) u + u 是一个投影； ( 4 ) u u + 是一个投影 定理1 2 t 0 f 1 5 】 设笼为h i l b e r t 空间，则艿( 就) 单位球上的端点为所有极大部 分等距 定理1 2 1 1 【5 】( 极分解定理) 设a 8 ( w ) ，则存在一个部分等距算子u 使得 a f ( a ) 为其的起始空间，砸i 为终止空间，且满足a ：u 定理1 2 1 2 【5 】 如果a 为紧算子则丑( a ) 中不含有无限维子空间 5 第二章算子矩阵谱配置问题 2 1 引言 一个算子矩阵是一个以算子为元素的矩阵，这些算子都是相应h i l b e r t 空间上的有 界线性算子而一个缺项算子矩阵就是一个一些元素是已知的。其余元素都是未 知的的算子矩阵算子补问题是对一个缺项算子矩阵去讨论所缺的项对整个算子 矩阵的影响，如谱补问题，或者是去求解所缺的项使得整个算子矩阵具有某种性 质，如是一个正算子，是一个压缩算子，是一个幂等算子，或具有给定的谱等可 控算子对与相容算子对是从系统理论中引入的概念，本章第二节我们在这两个概 念基础上对算子补问题进行了研究分别得出n ( x ，y ) 5 ( 耳，) 。8 o ( ( x “；) ) = o 当且仅当算子对( a ，b ) 是可控的；n f e b 柚口( a + b f ) = 0 当且仅当( a ，b ) 是 可控的，以及算子对( a ，b ) 是相容的且d i m r ( b ) = 0 0 ，记9 c a ，b ) ：= a c ： ( a a ，b ) 不是右；- f 逆的) 则分别有n ( x ，y ) e b ( n , l c ) 。8 ( e ) a ( ( ；孑) ) = 9 ( a ，b ) 和 n f 日f w 。肼a ( a + b f ) = e ( a ，b ) 成立 2 ，2 可控算子对 定义2 2 1 【3 2 】对于一个算予对( a ，b ) 召) b ( i c ，7 t ) ，如果存在一个正整 数n 使得 r ( a 卜1 b ) = 爿 ，= l 我们称算子对( a ，b ) 是可控的 由上式可知，线性算子 b ，a b ，a ”1 是从空间。饕1 尼到7 - l 上的满值域算 子 ，引理2 2 ，2 若算子a 屡( ) 为正算子且满值域，则a 为可逆算子 证明如果a 为正算子，则n ( a ) = o ) ，r c a ) = 7 - 1 a 是既单又满，所以a 为可逆算子 引理2 2 3 【3 2 对算子( a l ，a 2 ，a 。) 8 ( o 坠l 他，丸) ，以下命题等价 ( 1 ) ( a 1 ，a 2 ，a 。) 为右可逆算子； ( 2 ) 皂i r ( a i ) = ； ( 3 ) 存在一个实数d 满足墨1 a i a ： d 6 证明只对算子对( 4 ，丑) 证明引理2 2 3 成立，( a ，a 2 ，如) 的情况类似 ( 1 ) = ( 2 ) 如果( a ，b ) 为右可逆算子，则存在算子c b c n ) ，口8 ，坛) 满足 ( a ，b ) ( ：) = a c + b d = 巩，那么对w 中的任意向量z 均有a ( c x ) + b ( d x ) = z “ 因此乱亡r ( a ) + r ( b ) ，故n ( a ) + r c b ) = w ( 2 ) 爿( 3 ) 令 = ( 吾言) 为空间w 圆| c 上的算子。由于纵+ = ( 削+ 言船4 ：) 而且由假设知7 4 0 = ( r ( a ) + r ) ) 0 0 = _ r ( 4 ) = r ( c a + ) ，所以r ( a a + + b b ) = 丸 由于a + b b + 为正算子，则由引理2 2 2 可知a 小+ b b + 可逆因此存在一个 d 0 使得a a + + b b + 8 1 ( 3 ) = 亭( 1 ) 如果a a + b b + d ， 0 ，可知a 小+ b b + 为可逆算子令g 为 a a 4 + b b 4 的逆算子，则( a + b b + ) g + g ( a + b b + ) = h 因此( a ，口) ( 尝：g ) = h ，故( a ，b ) 是右可逆的证毕 引理2 2 4 【3 2 】如果算子对( a ，b ) 8 ( n ) 口( ，7 t ) 。则以下命题等价 ( 1 ) ( a ，b ) 是可控的； ( 2 ) ( 谱配置) ：存在r 和玛使得口+ b f l ) n a ( a + 引巳) = d ( 3 ) ( 点配置) ：对每一个a c ，存在f 使得 o ( a + b f ) ( 4 ) ( h a u t u s 条件) ：对任意 c 均有r ( a 一 ) + r ( b ) = w 如果a 召) ，定义v ( a ) = i n f l l a h l | ：i i h l i = 1 ， 上( a ) ，则有： 引理2 , 2 5 【5 】5设a eb ( n ) 则以下命题成立 ( 1 ) l ，( ) 0 当且仅当r ( a ) 是闭集； ( 2 ) p ( a ) = v ( a ) 引理2 2 6 设a b ( n ，) ，则以下命题等价 ( 1 ) r ( a ) 是闭集 ( 2 ) r ( a ) 是闭集 ( 3 ) r ( a + a ) 是闭集 ( 4 ) r ( a a + ) 是闭集 ( 5 ) 0 不是a ( a a + ) 的聚点 证明( 1 ) 乍亭( 2 ) 与( 3 ) = 争( 4 ) 由引理2 2 5 显然 7 ( 2 ) = j ( 3 ) 由于n ( a ) = n ( a + a ) 且对任意h ( a ) 上有a n ( a + ) 1 ，知 i i a + a h l i ( a 4 ) h a h i p ( a ) 2 l hjj 故由引理2 2 5 当v ( a + ) = v ( a ) 0 时r ( a + a ) 是闭集 ( 3 ) 爿( 1 ) 由于r 婵+ a ) 是闭集知”( a ) 0 ，所以由j i a t t l l a h l i i i a + a h l f ( a + a ) h h h ，有i i a h l l 铲| 由此可知p ( a ) 气铲 0 由引理2 2 5 知 r ( a ) 是闭集 ( 3 ) 碎( 5 ) 若a ( a + a ) 是闭集，而0 是a ( a a * ) 的聚点，如果础川”l d e a 为算子 a + a 的谱表示，则取 e n ) 器1 使得e 。_ 0 且后“a d e a 0 由于i i 露”a d e l i e 。_ + 0 ，所以存在 。) 器1cn ( a a ) 上使得i f 片”a d e x x 。| | e 。- + 0 ，因此v ( a ) = 0 与引理2 2 5 矛盾 ( 5 ) = 辛( 3 ) 若0 不是a ( a a + ) 的聚点，则爿 “ d 职i e ( 。，| | a | j z m 为可逆算子且由 r ( a + a ) = r ( j ；j a d j h i e ( 训a | | 。w ) 知r ( a + a ) 为闭集 如果r ( a ) 不是闭集，且a 的极分解为a = u l a i ，u 是一个部分等距，设= 剧4 l i d 职是i a i 的谱表示当e 0 时，定义j a i 。和a 。分别为i aj 。= f t t 驯ia d 毋， a 。= 矽h 。我们称算子也是a 的e 一限制显然冗( a ) 是一个闭集 弓罔l2 2 7 【1 1 1 如果也是算子a 的t 限制，且用a 记算子止的广义逆， 贝0 有4 a = a 。 证明设a = v i a i 是算子a 的极分解，i a l = ： a d 毋是算子川的谱 表示且设i aj 。= 一”| | d 毋，则r ( i a i 。) 是一个闭集，因此它的广义逆存在由 于f a 苎= 型j a j j a - 1 魍x ，贝i a l l a i + i a i 。= 爿 | ja 勰x = 1 a i 。所以a = ( v i a l 。) + = 1 a i 。+ u + 又因为冗( 定) r ( a ) 且u + u 是一个丽上的正交投影，可知a a + a 。= u i a n a u 4 v i a l 。= u i a i a i 。= v l ar 。= a 。 引理2 2 8 口5 】设( c a 舅) 8 。) 其中。是可逆算子，则算子( g a 可逆的充分必要条件是算子a b d _ 1 g 可逆 由引理2 2 8 ，可得推论 推论2 2 9 设a 舀( ，咒) ，则以下命题等价 ( 1 ) 存在f 8 ，丘) 使得a + b f 是可逆算子 ( 2 ) 存在f 8 ，尼) 使得7 。k ：上的算子( 二b j ) 可逆 ( 3 ) 存在x 廖，尼) 及可逆算子ya b ( ) 使得算子( x a 多) 是可逆的 8 定理2 2 i 0 设a 矗( 饨) ，b 艿( 坛，“) ，则以f 命题成立 ( 1 ) n ( x 朋b ( w 艄。日( ) 9 ( ( x ay b ) ) = 。当且仅当算子对( a ，b ) 是可控的 ( 2 ) n p b 丘】o ( a + s f ) = 口当且仅当( a ，b ) 是可控的 证明( 1 ) 如果对每一个a c 郡存在一个算子对( 墨y ) 使得( a ；1 】，b a ) 是可逆的，则r ( a a ) + r ( b ) = “由引理2 2 4 可知( a ，b ) 是一对可控算子 如果( a ，b ) 是可控算子，预证明n ( x , y ) e b ( 丸。日( k ) 。( ( x ab y ) ) = 口由引 理2 2 4 可知对每一个a c ，( a 一 ，b ) 是可控的则存在最肟，t c ) 使得 0 隹a 一a + b 毋) ，因此a a + 丑r 是可逆算子，又因为 ( x 一3y b 一 ) ( b i ，0 ) ( ；一a 一1 b b 一1 b ) ，a a + b r 0 、 一x + ( y 一 ) 兄( y 一 ) 一( x + ( y a ) 。r ) ( a a + b 最) 一1 日 所以( a ；3y b a ) 是可逆的当且仅当算子( y - x ) - ( x + _ 一 ) 以) 似一 + b 足) 一1 b 是可逆的令y = q + i ) f ，g 仁) = 僻+ 最) 弘一a + b 毋) ，其中i 是b u t ) 中的单位算子由a ( 咒，咒) = 曩陋) ：x 8 何，) ) 可知存在x b ( n ，咒) 使得0 瓦) b i | 0 由此可知算子对( a ，b 。) 是可控的且由r ( 展) 9 b 分别具有以下算子矩阵形式a = ( 置。1 。1e 1 2 1 2 2 1 ， 2 1 耻( 1 ：) 其中算子皿。是一个从空间r ( 联) 到r ( 鼠) 上的可逆算子如果f = ( f 1 f 2 1 1f 2 f 1 2 2 ) 是一个从空间“= a ( b 。) o ( 彤) 到空间咒= r ( 瞿) o ( 展) 的算子，则 a 旭f = ( a 1 警 川1 2 麓舟2 ) 由算子b 。的可逆性可知 s ( r ( b e ) ) = a u + b 。f n ：f 1 l b ( r ( b o ) ，r ( b ：) ) ) 及 8 ( ( 日：) ，r ( b 。) ) = f a l 2 + 画i f 】2 ：f 】2 b ( n ( b ，1 凡( b ：) ) 如y ：) ) 其中x 8 ( 最) ) ，y b ( n ( 蝶) ，r ( 日。) ) 由( a ，b ) 可控性可推知算子对( a 2 2 ，a 2 1 ) 可控性， n ( x 。( ( x 。，a y 。) ) = 。由于下式a + b 。f = a + b b 寸最f 成 立，可知 ，。q 。( a + b f ) c ，q ，a ( ( 硒x 如y ) 瑚。 f 嚣( 咒，丘)( x y ) 。7 所以n f u ( n ，目o ( a + b f ) = 口证毕 2 3 相容算