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决策树 1 决策树法将损益期望值法中的各个方案的情况用一个概率树来表示 就形成了决策树 它是模拟树木生长的过程 从出发点开始不断分枝来表示所分析问题的各种发展可能性 并以各分枝的损益期望值中的最大者作为选择的依据 2 决策树的画法 A 先画一个方框作为出发点 又称决策节点 B 从出发点向右引出若干条直线 这些直线叫做方案枝 C 在每个方案枝的末端画一个圆圈 这个圆圈称为概率分叉点 或自然状态点 D 从自然状态点引出代表各自然状态的分枝 称为概率分枝 E 如果问题只需要一级决策 则概率分枝末端画三角形 表示终点 3 图4 1决策树 4 应用决策树来作决策的过程 是从右向左逐步后退进行分析 根据右端的损益值和概率枝的概率 计算出期望值的大小 确定方案的期望结果 然后根据不同方案的期望结果作出选择 5 计算完毕后 开始对决策树进行剪枝 在每个决策结点删去除了最高期望值以外的其他所有分枝 最后步步推进到第一个决策结点 这时就找到了问题的最佳方案方案的舍弃叫做修枝 被舍弃的方案用 的记号来表示 最后的决策点留下一条树枝 即为最优方案 6 例题1 假设有一项工程 施工管理人员需要决定下月是否开工 如果开工后天气好 则可为国家创收4万元 若开工后天气坏 将给国家造成损失1万元 不开工则损失1000元 根据过去的统计资料 下月天气好的概率是0 3 天气坏的概率是0 7 请做出决策 现采用决策树方法进行决策 7 例题1 解 第一步 将题意表格化 8 例题1 第二步 画决策树图形 根据第一步所列的表格 再绘制决策树 如下图 9 第三步 计算期望值一般按反向的时间程序逐步计算 将各方案的几种可能结果的数值和它们各自的概率相乘 并汇总所得之和 其和就是该方案的期望值 第四步 确定决策方案 在比较方案考虑的是收益值时 则取最大期望值 若考虑的是损失时 则取最小期望值 根据计算出的期望值分析 本题采取开工方案较好 10 例2 某承包商拥有的资源有限 只能在A和B两个工程中选A或B进行投标 或者对这两项工程都不参加投标 但根据过去该承包商投标经验资料 他对A或B投标又有两种策略 一种是投高标 中标的机会是0 3 另一种是投低标 中标的机会是0 5 这样共有A高 A低 不投 B高和B低五种方案 该承包商过去也承包过与A B类似的工程 根据统计资料 每种方案的利润和出现的概率如下表所示 投标不中时 则对A损失50万元 对B损失100万元 根据上述情况 试画出决策树 11 12 例题2 13 例题2 今以方案A高为例 说明损益期望值的计算 概率分叉点7的损益期望值为 5000 0 3 1000 0 5 3000 0 2 1400万元概率分叉点2的损益期望值为 1400 0 3 50 0 7 385万元同理 可得概率分叉点3 4 5 6各方案的损益期望值分别为125 0 620和1100 至此 承包商可做出决策 如投A工程 宜投高标 如投B工程 宜投低标 而且从损益期望值角度看 选定B工程投低标更为有利 14 例题 为了适应市场的需要 某地提出了扩大电视机生产的两个方案 一个方案是建设大工厂 第二个方案是建设小工厂 建设大工厂需要投资600万元 可使用10年 销路好每年赢利200万元 销路不好则亏损40万元 建设小工厂投资280万元 如销路好 3年后扩建 扩建需要投资400万元 可使用7年 每年赢利190万元 不扩建则每年赢利80万元 如销路不好则每年赢利60万元 试用决策树法选出合理的决策方案 经过市场调查 市场销路好的概率为0 7 销路不好的概率为0 3 15 1 4 2 3 6 5 719万元 建大厂 建小厂 680万元 719万元 销路好 0 7 销路差 0 3 200万元 40万元 销路好 0 7 销路差 0 3 930万元 扩建 不扩建 930万元 560万元 销路好 0 7 190万元 销路好 0 7 80万元 60万元 前3年 第一次决策 后7年 第二次决策 16 计算各点的期望值 点 0 7 200 10 0 3 40 10 600 投资 680 万元 点 1 0 190 7 400 930 万元 点 1 0 80 7 560 万元 比较决策点4的情况可以看到 由于点 930万元 与点 560万元 相比 点 的期望利润值较大 因此应采用扩建的方案 而舍弃不扩建的方案 把点 的930万元移到点4来 可计算出点 的期望利润值 点 0 7 80 3 0 7 930 0 3 60 3 7 280 719 万元 17 最后比较决策点1的情况 由于点 719万元 与点 680万元 相比 点 的期望利润值较大 因此取点 而舍点 这样 相比之下 建设大工厂的方案不是最优方案 合理的策略应采用前3年建小工厂 如销路好 后7年进行扩建的方案 18 决策树计算题 某工厂为生产一种新产品 制定三个基建方案 一是新建车间生产 二是改建原有车间进行生产 三是先改建 生产3年后当产品销路好时再进行扩建 新建和改建车间所需投资分别是300万元和140万元 若要在改建的基础上扩建车间 还需要追加投资140万元 产品生产期定为10年 根据以往同类产品统计资料及市场预测 10年中的前3年产品销路好的概率为0 7 如果前三年销路好 则后7年销路好的的概率可以提高到0 9 若前3年销路差 则后7年销路肯定也差 通过计算 不同状态下各方案的每年损益值见下表所示 请运用决策树方法 分析采用哪种方案使该工厂在回收基建投资后能获得最大的期望收益值 19 不同状态下各方案的每年损益值 万元 20 解题步骤 1 画出多级决策树 2 计算各节点的期望收益 3 通过比较各期望收益 选择方案 21 解 1 画出多级决策树 E 4 0 9 100 7 0 1 30 7 609 万元 22 E 4 0 9 100 7 0 1 30 7 609 E 5 1 0 30 7 210 前三年的期望收入 0 7 100 3 0 3 30 3 183 E 1 183 0 7 609 0 3 210 300 246 3 E 10 0 9 100 7 0 1 30 7 140 469 E 11 40 0 9 10 0 1 7 259 前三年的期望收入 0 7 40 3 0 3 10 3 93 E 3 93 0 7 469 0 3 70 140 302 3 E 9 E 7 1 0 10 7 70 E 6 0 9 40 7 0 1 10 7 259 E 7 1 0 10 7 70 前三年的期望收入 0 7 40 3 0 3 10 3 93 E 2 93 0 7 259 0 3 70 140 155 3 23 2 计算各节点的期望收益 第一步 对于机会节点1即新建车间 后七年的期望收入 0 7 E 4 0 3 E 5 E 4 0 9 100 7 0 1 30 7 609 万元 E 5 1 0 30 7 210 万元 前三年的期望收入 0 7 100 3 0 3 30 3 183 万元 E 1 183 0 7 609 0 3 210 300 246 3 万元 24 第二步 对于节点2即改建车间后七年的期望收入 0 7 E 6 0 3 E 7 E 6 0 9 40 7 0 1 10 7 259 万元 E 7 1 0 10 7 70 万元 前三年的期望收入 0 7 40 3 0 3 10 3 93E 2 93 0 7 259 0 3 70 140 155 3 万元 25 第三步 对于节点3即改建后扩建 后七年的期望收入E 10 0 9 100 7 0 1 30 7 140 469 万元 E 11 40 0 9 10 0 1 7 259 万元 E 10 E 11 选择E 10 即应该扩建 则E 8 E 10 469 万元 E