（概率论与数理统计专业论文）非可加概率和倒向随机微分方程的研究.pdf

山东大学博士学位论文 非可加概率和倒向随机微分方程的研究 李文娟 ( 山东大学数学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 非可加集合函数，比如外测度，早在经典测度理论的初期就已出现 经典测度理论主要研究可数可加集合函数和更一般的有限可加集合函数 c h o q u e t 于1 9 5 3 年最早的提出了非可加集合函数理论，即他的容度理论 这个理论无论在数学，还是科学技术的其它不同领域都产生了巨大的影响 非可加集合函数应用广泛，在经济数学，决策理论，和人工智能等不同领域 被叫作不同的名字，比如合作博弈，容度，或者模糊测度近年来，很多学 者深入研究了不同类型的非可加集合函数，比如上概率，信念函数，二次交 替容度，零可加集合函数，以及其它各种形式的集合函数( 见【2 9 】， 3 1 】， 4 9 】，【8 4 】，【8 8 】等) 从倒向随机微分方程引出的驴概率就是其中之一 p a r d o u x 和p e n g ( 6 9 】引入了一类倒向随机微分方程，并且证明了其解的存 在唯性自此，倒向随机微分方程不仅在其自身理论方面得到了迅猛的发 展( 见 2 6 】， 5 0 】等) ，在金融数学和经济数学中也成为一强有力的工具( 见 5 8 】， 5 9 】等) p e n g 7 1 】通过倒向随机微分方程引进了g 一期望在生成 元g 和终端值满足一定的可积条件下，随机变量的夕一期望保持了经典 数学期望除线性之外的其它一些基本性质由夕一期望自然的可以定义一类 非可加概率：9 - 概率 本文致力于非可加概率和倒向随机微分方程的研究主要结果如下： 1 在上概率和二次交替容度下，分别证明了两两负相关随机变量序列 的大数定律 2 研究了夕概率的二次交替性，证明了夕一概率的切比雪夫不等式， 旷概率下的大数定律，介绍了9 一概率下随机变量的方差，相关性和相关系 数的定义及其性质 3 给出了广义的变分公式，并且利用倒向随机微分方程的方法证明了 一些结论 本文共包括三章，下面给出每一章的主要内容 山东大学博士学位论文 第一章，我们研究容度下的大数定律我们考虑了两两负相关随机变量 序列，分别证明了在上概率和二次交替容度下的大数定律对于上概率，我 们自然的想到利用经典测度理论中的已有结果，得出我们的结论对于二次 交替容度，由于它对应的c h o q u e t 积分具有次可加性，通过建立非可加概率 下的切比雪夫不等式和波雷尔一坎特利引理，得到了更强的结果我们可以 看到，对上概率来说，极限值在一个区间内，但是对于二次交替容度，极限 值仍旧是一个数。下面给出本章的核心定理 f 面的两个定理分别给出两两负相关随机变量序列在上概率下的强、弱 大数定律 定理1 4 3 令v 是一个连续的上概率，c 是对应的c h o q u e t 积分， ) n n 是关于v 两两负相关的随机变量序列假设对所有的1 1 ，存在常 数m ，使得c 瞬】m 记& = 竺，咒那么 y ( 甄，丢娄卅一x 】垴。鲁匾一鲁匾一三娄c 【奶= 1 w 垴。丢娄卅一咒】 。鲁m 匾+ 砥。三娄c 刚) ) - 0 定理1 4 6 在定理1 4 3 的相同条件下，对ve 0 ，有 l i mv ( s n 1 - 1l 叫x 】州u 鲁 0 ，有 q l i my ( i 詈l e ) ) = 0 山东大学博士学位论文 定理1 5 9 令v 是一个连续的二次交替容度，c 是对应的c h o q u e t 积 分，1 【k ) n n 是关于v 两两负相关的随机变量序列假设对所有的1 ：1 ，都 有c k 】= 0 ，而且存在常数m ，使得酬霹】m 记& = ：。五 那么 aa v ( 1 i m 丝0 ) = 0 ，v ( 1 i m 竺= 0 ) = 1 第二章，我们研究从倒向随机微分方程引入的一类非可加概率：旷概 率p a r d o u x 和p e n g 6 9 】证明了在函数9 满足假设( h 1 ) ：平方可积条件， 和( h 2 ) ：l i p s c h i t z 条件下，下面的倒向随机微分方程 尸厂t y t = + 9 ( 纨，z s ，s ) d s 一磊d 巩，0 t z ，t 存在唯一的适应解如果函数g 还满足假设( h 3 ) ：对任意的( y ，亡) ，g ( u ，0 ，t ) = 0 ，那么珈( ) ，记为岛罔，称为的驴期望特别的对于事件a ，毛阮】， 记为b ( a ) ，称为a 的9 概率显而易见，旷概率是一类容度本章围 绕9 概率的性质，四个方面展开我们的研究倒向随机微分方程可以作为 研究g 一概率的一个有利工具，这是其它非可加概率所不及的 首先，我们给出夕一概率和二次交替容度的关系目前对于容度的研究大 多致力于二次交替容度从以往对于旷概率和二次交替容度关系的研究， 我们看到很难建立它们之间的一个等价关系。但是当夕是一个奇函数的时 候，可以证明，如果夕一概率是二次交替的，那么它一定是线性的 定理2 2 6 假设函数g 满足条件( h 2 ) 和( h 3 ) ，且9 是一个奇函数 那么下面的两个条件等价： ( 1 ) 只是二次交替的 ( 2 ) 只是线性的 其次，我们考虑切比雪夫不等式切比雪夫不等式在证明各种大数定律 中起到了基本的作用，是现代概率理论中一个重要的工具我们自然的要 问：在什么样的假设条件下，9 - 概率也满足切比雪夫不等式? 在这章，我 们就要解决这个问题在函数夕满足( h 2 ) 和( h 3 ) 的条件下，如果g 还满 山东大学博士学位论文 足假设条件( h ) 。对任意的( 可，名，亡) ，a 0 ，g ( a y ，a z ，t ) = a g ( y ，z ，亡) ， 那么g 一概率满足切比雪夫不等式在同样的条件下，用类似的方法可以证 明俨概率的马尔可夫不等式和指数不等式 定理2 3 4 ( 切比雪夫不等式) 假设荨2 三2 ( q ，芦，p ) ，函数g 满足假设 条件( h 2 ) ，( h 3 ) 和( h ) 那么g 一概率的科比雪夫不等式成立，即对v e 0 ， 驯她鲣学 定理2 3 6 令蚓r l 2 ( q ，尸，p ) ，实数c 0 ，e c r l l 2 ( q ，厂，p ) 假设函数g 满足条件( h 2 ) ，( h 3 ) 和( h ) ，那么9 - 概率的马尔可夫不等式 成立； b ( e ) 掣，v e o ， 9 概率的指数不等式成立： 驹 c ) 警，v f o ，c o 基于切比雪夫不等式，如果g 还满足假设( h 4 ) ；次线性性，旷概率的 单边的切比雪夫不等式成立 定理2 3 7 ( 单边切比雪夫不等式) 假设2 l 2 ( q ，厂，p ) ，纠刳= 0 ， 函数g 满足假设( h 2 ) ，( h 3 ) 和( h 4 ) ，那么g - 概率的单边科比雪夫不等 式成立即若a 0 ，有 眯划晶， 若a n 在b 下服从广义下的弱( 强) 大数定律 定理2 4 1 8 令b 是夕一概率， n n 是l 2 ( q ，p ) 中的随机变量 序列假设 x ，) n 在只下服从广义下的弱( 强) 大数定律，那么对于p 中任意的概率测度q ，都有 ) n n 在q 下服从广义下的弱( 强) 大数定 律 切比雪夫不等式在证明各种形式的大数定律中起了重要的作用基于我 们得到的9 一概率下的切比雪夫不等式，下面给出由其推导出的9 概率下的 一个弱大数定律 定理2 4 2 3 令 ) n n 是l 2 ( q ，厂，尸) 中的随机变量序列假设函数 g 满足条件( h 2 ) ，( h 3 ) ，且g 是正齐的记晶= ：1x 如果当佗一o 。 时， 嘉岛 ( & 一岛【& 】) 2 】_ 0 那么 k ) h e n 在g - 概率下服从弱大数定 律即，对v e 0 ， n a n l 。i r a 。p a l 。，。 一岛i e ) = 0 在第二章的最后，我们引入了在驴期望的框架下，随机变量的方差， 相关性和相关系数，给出了它们的基本性质我们深入研究了这些性质在9 期望这种非线性情况下和经典的线性情况下的异同 定义2 5 1 3 令是属于l 4 ( q ，厂，p ) 的随机变量在g 一期望下的方 差定义为 岛( ) = 岛 ( 一纠副) 2 】 下面的定理说明了在9 满足( h 2 ) 一( h 4 ) 的条件下，一个随机变量的可能 取值与其它常数在旷期望下的平方距离可能会比方差小但是，其方差或 者距离一岛 一刳的扰动比距离区间【一岛卜刳，岛蚓】之外的常数的扰动总是 要小 v 山东大学博士学位论文 定理2 5 1 6 令是属于l 4 ( q ，厂，p ) 的随机变量假设函数g 满足条 件( h 2 ) 一( h a ) 那么对c 岛圈，有 岛【( 一c ) 2 】毛 一岛障】) 2 】， 对c 一毛 一刳，有 岛障】岛 一( 一岛 一纠) ) 2 】 我们给出两个随机变量相关性的定义，并且研究了一类特殊形式的随机 变量的相关性 定义2 5 1 9 令专，7 是属于l 4 ( q ，厂，p ) 的随机变量和叩在g 一期望 下的协方差定义为 c 叫，( ，7 7 ) = 岛 一毛睦】) ( 叩一毛 纠) 】 定义2 5 2 1 令毒，叩是属于己4 ( q ，厂，p ) 的随机变量我们称f 和叩是 正相关的，如果c 伽g ( ，叩) 0i 是负相关的，如果c d ( ，叼) 0 ；是不 相关的，如果c 伽口( ，叩) = 0 定理2 5 2 5 假设9 满足条件( h 2 ) 一( h 4 ) 令圣1 ( 磷) 和垂2 ( 砰) 是由 ( 2 5 2 5 ) 定义的随机变量假设圣1 和垂2 具有相同的单调性，且盯1 ( 亡，群) 0 ，( t 2 ( 亡，砰) 0 那么西1 ( 磷) 和圣2 ( 碍) 是正相关的，即 c o v g ( 垂1 ( 碍) ，垂2 ( 群) ) 0 定义2 5 2 8 令，叩是属于( q ，歹，p ) 的随机变量毒和叩在酽期望 下的相关系数定义为 一 c 鸭( 荨，7 7 ) p c , , 7 一俩俪。 假设函数夕满足条件( h 2 ) 一( h 4 ) 和( h 5 ) 。对所有的a ，g ( a z ) a g ( z ) 我们证明了两个随机变量的相关系数在一1 和l 之间，而且两个随机变量的 正的线性关系等价于它们的相关系数是1 定理2 5 3 1 令，刀是( q ，厂，p ) 中的随机变量假设函数g 满足 条件( h 2 ) 一( h 5 ) 那么 ( 1 ) i 成，叼i 1 ； v i 山东大学博士学位论文 ( 2 ) 雕，叩= 1 甘存在常数a 0 ，b ，使得尸( 叩= + b ) = 1 第三章，我们用一个具有二次增长系数的倒向随机微分方程 纨= f + 2 ( 扣+ ( y s , z s , s 胂s 一2 磊帆唆t 其中和h ( y ，z ，t ) = 砉9 ( 纱，e y z ，t ) 满足一定的假设条件，证明更一般的变 分公式 一l 喝2 q i n p f ( n ) 1 酽 1 nu q ( t ) 一 其中岛 】是由p e n g 7 1 】引入的g 一期望，胡( ) 是满足一个随机微分方程 的过程经典的变分公式在这里是当g = 0 时的一个特殊情况 定理3 3 2 令是( q ，尸) 上一个有界可测随机变量，函数g 满足假设 条件( h 2 ) 和( h 3 ) ，n q ( ) 是满足随机微分方程( 3 3 4 ) 的随机过程下面 结果成立： ( a ) 我们有一般的变分公式 一l 喝阅2 q i n p f ( q ) 俨 i nn q ( t ) 一o ( b ) 上面等式中的最小在q + 处唯一达到，且 m ( t ) = 水( t ) = e f 羽1 通过倒向随机微分方程的方法，我们还可以得到 9 】中标准空间下对布 朗运动的某些函数的变分表示 乩e e x p 州) ) 】= 刚i n f 吲1 荟1 卅d s + f ( w + f ov s d s ) ， 其中a 是所有循序可测函数集合 定理3 3 3 令，是一个有界波雷尔可测的函数，从( c o ，1 】：r ) 映射到 兄( kz ) 是当= 一，( ) 时倒向随机微分方程( 3 2 2 ) 的解那么 一l ne e x p - f ( w ) 】= e 丁石三l z 1 2 d s + f ( w 0+ z 0 忍d s ) 】 一 】= 2 + + 忍d s ) 】 j一、 v i i 山东大学博士学位论文 定理3 3 4 令，是一个有界波雷尔可测的函数，从( c o ，1 】：r ) 映射到 r 那么我们有变分表示 一l ne e x p 一，( ) ) 】- - - - i n f e f 。t 壶i 牡。1 2d s + ( w + u s d s ) 关键词：非可加概率；上概率；二次交替容度；大数定律；倒向随机微 分方程；g 一概率；切比雪夫不等式；相关性；相关系数；变分公式 i i 山东大学博士学位论文 r e s e a r c ha b o u tn o n a d d i t i v ep r o b a b i l i t i e sa n d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w e n j u a nl i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t n o n - a d d i t i v es e tf u n c t i o n s ，a sf o re x a m p l eo u t e rm e a s u r e s ，a p p e a r e d n a t u r a l l ye a r l i e ri nt h ec l a s s i c a lm e a s u r et h e o r yc o n c e r n i n gc o u n t a b l ea d d i - t i v es e tf u n c t i o n so rm o r eg e n e r a lf i n i t ea d d i t i v es e tf u n c t i o n s t h ep i o n e e ri n t h et h e o r yo fn o n - a d d i t i v es e tf u n c t i o n sw a sg c h o q u e t 【2 3 】f r o m1 9 5 3w i t h h i st h e o r yo fc a p a c i t i e s t h i st h e o r yh a de n o r m o u si n f l u e n c e so nm a n yp a r t s o fm a t h e m a t i c sa n dd i f f e r e n ta r e a so fs c i e n c e sa n dt e c h n i q u e n o n - a d d i t i v e s e tf u n c t i o n sa r eu s e di nm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s ，d e c i s i o nt h e o r ya n da r - t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，c a l l e db yv a r i o u sn a m e s ，s u c ha sc o o p e r a t i v eg a m e ，c a - p a c i t yo rf u z z ym e a s u r e r e c e n t l y , m a n ya u t h o r sh a v ei n v e s t i g a t e dd i f f e r e n t k i n d so fn o n - a d d i t i v es e tf u n c t i o n s ，a su p p e rp r o b a b i l i t i e s ，b e l i e ff u n c t i o n s ， 2 一a l t e r n a t i n gc a p a c i t i e s ，n u l l a d d i t i v es e tf u n c t i o n s ，a n dm a n yo t h e rt y p e s 0 fs e tf u n c t i o n s ( s e e 2 9 ， 3 1 ， 4 9 】， 8 4 ，【8 8 a n ds oo n ) a m o n gt h e mi s g - p r o b a b i l i t yi n t r o d u c e dv i ab a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( b s d e sf o rs h o r t ) p a r d o u xa n dp e n g 6 9 】i n t r o d u c e dak i n do fe q u a t i o n sc a l l e d b s d e sa n dp r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n s s i n c et h e n ， b s d eh a sn o to n l yd e v e l o p e dr a p i d l yi nt h ef u n d a m e n t a lt h e o r i e s ( s e e 2 6 】， 5 0 a n ds oo n ) ，b u ta l s ob e c o m e a p o w e r f u lt o o li na p p l i c a t i o n so fm a t h e m a t i c a lf i n a n c ea n dm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s ( s e ef 5 8 ，【5 9 a n ds oo n ) p e n g 【7 1 】 i n t r o d u c e dt h en o t i o no fg - e x p e c t a t i o nv i ab s d e s h es h o w e dt h a tu n d e r s u i t a b l ei n t e g r a b i l i t ya s s u m p t i o n so nt h eg e n e r a t o rga n dt h et e r m i n a lv a l u e ，t h eg - e x p e c t a t i o no far a n d o mv a r i a b l efp r e s e r v e sm o s tb a s i cp r o p e r t i e so f t h ec l a s s i c a lm a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o ne x c e p tl i n e a r i t ys i n c egi san o n l i n e a r f u n c t i o n a l v i ag - e x p e c t a t i o n ，an o n - l i n e a rp r o b a b i l i t y ：g - p r o b a b i l i t yw a s i n t r o d u c e dn a t u r a l l y i x 山东大学博士学位论文 t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt h er e s e a r c ha b o u tn o n a d d i t i v ep r o b a b i l i t i e sa n db s d e s m a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 l a w so fl a r g en u m b e r so fas e q u e n c eo fp a i r w i s en e g a t i v e l yc o r r e - l a t e dr a n d o mv a r i a b l e sf o ru p p e rp r o b a b i l i t i e sa n d2 - a l t e r n a t i n gc a p a c i t i e s a r ep r o v e d 2 w es t u d yt h e2 a l t e r n a t i n gp r o p e r t yo fg - p r o b a b i l i t y , p r o v ec h e b y - s h e v si n e q u a l i t ya n dl a w so fl a r g en u m b e r sf o rg - p r o b a b i l i t y , s t u d yt h ev a r i - a n c e ，c o r r e l a t i o na n dc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n to fr a n d o mv a r i a b l e su n d e rt h e f r a m e w o r ko fg - e x p e c t a t i o n 3 w ee s t a b l i s ha ne x t e n d e dv a r i a t i o n a lf o r m u l aa n dp r o v es o m er e s u l t s b ym e a n so fb s d e s t h i sd o c t o r a lt h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s ，w h o s em a i nc o n t e n t sa r e d e s c r i b e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yl a w so fl a r g en u m b e r sf o rc a p a c i t i e s w em a i n l y c o n s i d e ras e q u e n c eo fp a i r w i s en e g a t i v e l yc o r r e l a t e dr a n d o mv a r i a b l e s w e p r o v ew e a ka n ds t r o n gl a w so fl a r g en u m b e r sf o ru p p e rp r o b a b i l i t i e sa n d 2 - a l t e r n a t i n gc a p a c i t i e s an a t u r a la p p r o a c hi s t ou s et h er e s u l t si nt h e c l a s s i c a lp r o b a b i l i t yt h e o r yt oo b t a i no u rr e s u l t sf o ru p p e rp r o b a b i l i t i e s a s t o2 一a l t e r n a t i n gc a p a c i t i e s b e c a u s eo fi t so w ns u b - a d d i t i v i t yo ft h ei n d u c e d c h o q u e ti n t e g r a l ，w ec a ns t r e n g t h e nt h e r e s u l t sb ye s t a b l i s h i n gan o n - a d d i t i v e v e r s i o no fc h e b y s h e v si n e q u a l i t ya n db o r a l - c a n t e l l il e m m a w ew i l ls e et h a t t h el i m i to fa v e r a g e si san u m b e rf o r2 - a l t e r n a t i n gc a p a c i t i e sw h i l ei t i si n a ni n t e r v a lf o ru p p e rp r o b a b i l i t i e s o u rr e s u l t sh o l di nam e a s u r a b l es p a c e n o ww eg i v eo u rm a i nt h e o r e m si nt h i sc h a p t e r t h en e x tt w or e s u l t sa r es t r o n ga n dw e a kl a w so fl a r g en u m b e r so f r a n d o mv a r i a b l e sf o ru p p e rp r o b a b i l i t i e s t h e o r e m1 4 3l e tvb eac o n t i n u o u su p p e rp r o b a b i l i t y , cb et h e c h o q u e ti n t e g r a li n d u c e db yv ， k ) n nb eas e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s w h i c ha l ep a i r w i s en e g a t i v e l yc o r r e l a t e dr e l a t i v et ov s u p p o s et h e r ee x i s t s x 山东大学博士学位论文 ac o n s t a n tms u c ht h a t 叫霹】mf o ra l ln d e n o t e & = 竺1x t h e n y c 虹。丢砉卅一k ，虹鲁瓯鲁瓦+ 三喜c 嘲乩 w 虹丢喜一c - 五】 蛾。鲁) u i 面一o o 鲁 一l i r n n 。丢妻i = lc 阢】) ) = 。 t h e o r e m1 4 6u n d e rt h es a m ec o n d i t i o n si nt h e o r e m1 4 3 ，f o rv e 0 w ec a ng e t l i m n + o ov ( s - 冗 c 嘲+ c ) u 鲁 0 ， n l i m 。v ( i ? n - n - ” ) ) = o t h e o r e m1 5 9l e tvb eac o n t i n u o u s2 - a l t e r n a t i n gc a p a c i t y , cb et h e c h o q u e ti n t e g r a li n d u c e db yv ， k ) n nb eas e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s w h i c ha r ep a i r w i s en e g a t i v e l yc o r r e l a t e dw i t hr e s p e c tt ov s u p p o s ec 【】= 0f o ra l ln ，a n dt h e r ee x i s t sac o n s t a n tms u c ht h a tc 霹】mf o ra l l n d e n o t e & = ：1 托t h e n y ( 热鲁o ) = o ，口舢v ( 一l i r a s 礼= o ) = 1 x i n ! i 1 一佗 山东大学博士学位论文 i nc h a p t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t eg - p r o b a b i l i t yi n t r o d u c e dv i ab s d e s b y p a r d o u xa n dp e n g 6 9 ，w ek n o wt h e r ee x i s t sau n i q u ea d a p t e ds q u a r ei n t e - g r a b l es o l u t i o nt ot h ef o l l o w i n gb s d e ： ，t，i t 纨= + 夕( 纨，z 8 ，s ) d s 一z s d w 8 ，0 t 正 j t j t p r o v i d i n gt h a tt h ef u n c t i o ngs a t i s f i e st h es q u a r ei n t e g r a b l ea s s u m p t i o n ( h 1 ) a n dt h el i p s c h i t za s s u m p t i o n ( h 2 ) i ff u n c t i o n 夕a l s os a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( h 3 ) ：g ( y ，0 ，t ) = 0f o ra n y ( y ，t ) r 0 ，刁，t h e n 蜘( ) ，d e n o t e db y 岛蚓， i sc a l l e dg - e x p e c t a t i o no f ，a n df o ra ne v e n ta ，毛陬】，d e n o t e db y 局( a ) ， i sc a l l e dg p r o b a b i l i t yo fa i ti sw e l lk n o w nt h a tg - p r o b a b i l i t yi sak i n do f c a p a c i t i e s t h i sc h a p t e rs u r r o u n d st h es t u d yo fp r o p e r t i e so f9 一p r o b a b i l i t y a n dm a k e sar e s e a r c hf r o mf o u rr e s p e c t s w eh a v eb s d e sa st h et o o lt o s t u d y 夕一p r o b a b i l i t yi na l lt h r o u g h t h u si ti sm o r ec o n v e n i e n tt os t u d yt h a n o t h e rc a p a c i t i e s f i r s t l y , w es h o wt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ng - p r o b a b i l i t ya n d2 - a l t e r n a t i n g c a p a c i t y m o s tw o r ko nc a p a c i t i e sh a sf o c u s e do nt h e2 一a l t e r n a t i n gc a s e i t i sv e r yd i f f i c u l tt oe s t a b l i s ha ne q u i v a l e n c er e l a t i o nb e t w e e n2 - a l t e r n a t i n g c a p a c i t ya n dg - p r o b a b i l i t y b u tw h e ngi sa no d df u n c t i o n ，w ec a ns h o w t h a ta 夕一p r o b a b i l i t yw h i c hi s2 一a l t e r n a t i n gt u r n so u tt ob ea d d i t i v e t h e o r e m2 2 6 s u p p o s ef u n c t i o ngs a t i s f i e sa s s u m p t i o n s ( h 2 ) a n d ( h 3 ) ，a n dgi sa l lo d df u n c t i o n t h e nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa l ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) b i s2 - a l t e r n a t i n g ( 2 ) 岛i sl i n e a r s e c o n d l y , w ec o n s i d e rc h e b y s h e v si n e q u a l i t yw h i c hp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei nt h ec l a s s i c a lp r o b a b i l i t yt h e o r y t h i sd r a w so u tan a t u r a lq u e s t i o n ： u n d e r w h i c hc o n d i t i o n so ng ，d o e sag - p r o b a b i l i t ys a t i s f yc h e b y s h e vi n e q u a l - i t y ? i nt h i sc h a p t e r ，w es h a l ld e a lw i t ht h i sq u e s t i o n u n d e rc o n d i t i o n s ( h 2 ) a n d ( h 3 ) o ng ，w es h o w t h a ti fga l s os a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( h ) ：f o ra n y x i i 山东大学博士学位论文 w h e t e “i st h el i p s c h i t zc o n s t a n ti n ( h 2 ) t h ek e yo fo u i m e t h o dt i e s i n t h eg i v e ns e tpo fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n l a w so fl a x g en u m b e r si nab r o a ds e n s ef o rg - p r o b a b i l i t i e sa n d f o rp r o b a b i l i t y m e a s u r e si nt h eg i v e np r o b a b i l i t ys e tp w ec a nd r a wt h ec o n c l u s i o n ：w e c o u l ds t u d yt h ec o r r e s p o n d i n gl a w so fl a r g en u m b e r si na b r o a ds e n s et o r p r o b a b i l i t ym e a s u r e si npi no r d e rt oe s t a b l i s hl a w so fl a r g en u m b e r sf o r g - p r o b a b i l i t i e s w eg i v eo u rm a i n t h e o r e m s t h e o r e m2 4 1 6l e tp 口b eag p r o b a b i l i t y , k ) n e nb eas e q u e n c e o fr a n d o mv a r i a b l e si nl 2 ( q ，厂，尸) s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t sap r o b a b i l i t y m e a s u r eq 0i np ，s u c ht h a t 【) n no b e y sw e a k ( s t r o n g ) l a wo fl a r g en u m - b e r si nab r o a ds e 璐eu n d e rq 0 ，t h e n ) 厶) n o b e y sw e a k ( s t r o n g ) l a wo f l a r g en u m b e r si na b r o a d8 e i h s eu n d e rb t h e o r e m2 4 1 8l e t 尸口b eag - p r o b a b i l i t y , ) n e nb eas e q u e n c eo f r a n d o mv a r i a b l e si n 三2 ( q ，厂，p ) s u p p o s et h a t k ) n o b e y sw e a k ( s t r o n g ) l a wo fl a r g en u m b e r si nab r o a ds e n s eu n d e rg - p r o b a b i l i t yb ，t h e nf o re v - e r yp r o b a b i l i t ym e a s u r eq i np ， ) n no b e y sw e a k ( s t r o n g ) l a wo fl a r g e n u m b e r si nab r o a ds e n s eu n d e rq i nt h ec l a s s i c a lp r o b a b i l i t yt h e o r y , c h e b y s h e v si n e q u a l i t yp l a y sa f u n - d a m e n t a lr 0 1 ei np r o o f so fv a r i o u sf o r m so fl a w so fl a r g en u m b e r s b a s e d o nt h ec h e b y s h e v si n e q u a l i t yf o rg - p r o b a b i l i t y , w ec o u l de s t a b l i s ha n o t h e r v e r s i o no fw e a kl a wo fl a r g en u m b e r sf o rg - p r o b a b i l i t y t h e o r e m2 4 2 3l e t k ) n b eas e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e si n l 2 ( q ，厂，尸) s u p p o s ef u n c t i o ngs a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( h 2 ) ，( h 3 ) ，a n dg i s p o s i t i v e l yh o m o g e n e o u s d e n o t e & = ：lx i fw h e n 佗_ o c ，嘉岛【( & 一 岛【】) 2 】一0 ，t h e n aw e a kl a wo fl a r g en u m b e r so f k ) n h o l d sf o rg