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第1章数据在计算机中的表示形式 1 本章主要内容 1 机器数与真值的概念 2 常见的机器数表示形式 3 数的定点表示与浮点表示 2 1 1机器数与真值 电子计算机实质上是一个二进制的数字系统 在机器内部 二进制数总是存放在由具有两种相反状态的存储元件构成的寄存器或存储单元中 即二进制数码0和1是由存储元件的两种相反状态来表示的 另外 对于数的符号 正号 和负号 也只能用这两种相反的状态来区别 也就是说 只能用0或1来表示 例如 3 例1 正二进制数N1 1011001 在计算机中可表示为 符号位 数值位 2 负二进制数N1 1011001 在计算机中可表示为 符号位 数值位 定义 一个数 连同符号 在机器中加以数码化后的表示形式 称为机器数 而把机器数所代表的实际值称为机器数的真值 4 1 2常见的机器数表示形式 1 2 1原码约定数码序列中的最高位为符号位 符号位为0表示该数为正数 为1表示该数为负数 其余有效数值部分则用二进制的绝对值表示 例如 真值x x 原 0 10010 1001 0 10011 1001 100101001 100111001定点数又有定点小数和定点整数之分 下面分别给出定点小数和定点整数的原码定义 5 若定点小数原码序列为x0 x1x2 xn 则 x 原 x0 x 11 x 1 x 0式中x代表真值 x 原为原码表示的机器数 例如 x 0 1011 则 x 原 0 1011x 0 1011 则 x 原 1 0 1011 1 0 1011 1 1011 若定点整数原码序列为x0 x1x2 xn 则 x 原 x0 x 2n2n x 2n x 0 6 例如 x 1011 则 x 原 01011x 1011 则 x 原 24 1011 10000 1011 11011对于原码表示 具有如下特点 原码表示中 真值0有两种表示形式 以定点小数的原码表示为例 0 原 0 00 0 0 原 1 0 00 0 1 0 00 0 1 00 0 在原码表示中 符号位不是数值的一部分 它们仅是人为约定 0为正 1为负 所以符号位在运算过程中需要单独处理 不能当作数值的一部分直接参与运算 7 原码表示简单直观 而且容易由其真值求得 相互转换也较方便 但计算机在用原码做加减运算时比较麻烦 比如当两个数相加时 如果是同号 则数值相加 符号不变 如果是异号 则数值部分实际上是相减 此时必须比较两个数绝对值的大小 才能确定谁减谁 并要确定结果的符号 这在手工计算时是容易解决的 但在计算机中 为了判断同号还是异号 比较绝对值的大小 就要增加机器的硬件设备 并增加机器的运行时间 8 1 2 2补码定点小数补码定义如下 若定点小数的补码序列为X0 X1 Xn 则式中 x代表真值 为补码表示的机器数 若定点整数的补码序列为 则 9 例如 x 0 1011 则 x 补 0 1011x 0 1011 则 x 补 2 0 1011 10 0000 0 1011 1 0101对于补码表示 具有如下特点 与原码表示不同 补码的符号位是数值的一部分 因此在补码运算中符号位像数值位一样直接参加运算 在补码表示中 真值0只有一种表示 即00 0 10 由原码转换为补码的规律 当x 0时 原码与补码的表示形式完全相同 当x 0时 从原码转换为补码的变化规律为 符号位保持不变 仍为1 其他各位求反 然后末位加1 简称 求反加1 例如 x 0 1010 则 x 原 0 1010 x 补 0 1010 x 0 1010 则 x 原 1 1010 x 补 1 0110容易看出 当x 0时 若把 x 补除符号位外 求反加1 即可得到 x 原 也就是说 对一个补码表示的数 再次求补 可得该数的原码 11 1 2 3反码定点小数反码定义如下 若定点小数的反码序列为X0 X1 Xn 则式中 x代表真值 x 反为补码表示的机器数 若定点整数的补码序列为 则 12 反码与原码相比 两者的符号位一样 即对于正数 符号位为0 对于负数 符号位为1 在数值部分 对于正数 反码的数值部分与原码按位相同 对于负数 反码的数值部分是原码的按位求反 0的反码有两种表示 分别为全0或者全1 由原码表示容易得到相应的反码表示 例如 x 0 1001 x 原 0 1001 x 反 0 1001x 0 1001 x 原 1 1001 x 反 1 0110 13 原码 反码 补码之间的转换转换规则如下图所示 14 1 2 4移码设定点整数移码形式为 则其中式中x为真值 x 移为其移码 把真值x在数轴上向正方向平移单位 移码由此得名 又叫增码 15 移码特点 1 移码是把真值映射到一个正数域 因此移码的大小可以直观地反映真值的大小 无论是正数还是负数 用移码表示后 可以按无符号数比较大小 2 移码的数值部分与相应的补码各位相同 而符号位与补码相反 在移码中符号位为0表示真值为负数 符号位为1表示真值为正数 3 移码为全0时 它对应的真值最小 4 真值0在移码中的表示是唯一的 即 16 四种机器数的比较和小结 原码 补码 反码和移码均是计算机能识别的机器数 机器数与真值不同 它是一个数 连同符号 在计算机中加以数码化后的表示形式 正数的原码 补码和反码的表示形式相同 负数的原码 补码和反码各有不同的定义 它们的表示形式不同 相互之间可依据特定的规则进行转换 17 四种机器数形式的最高位均为符号位 原码 补码和反码表示中 为0表示正数 为1表示负数 在移码表示中 为0表示负数 为1表示正数 原码 补码和反码既可用来表示浮点数中的尾数 又可用来表示其阶码 而移码则主要用来表示阶码 0在补码和移码表示中都是唯一的 0在原码和反码表示中都有两种不同的表示形式 18 1 3数的定点表示与浮点表示 定点表示法定点小数 定点整数浮点表示法编码格式 通常由尾数和阶码组成 其中尾数表示有效数字 阶码表示小数点位置 表示如下 其中M是尾数 R是基数 常取2 E是阶码 S是符号位 在计算机中表示形式为 其中S是符号位 E是阶码 M是尾数 19 浮点数的规格化 不丢失数字 提高运算精度 1 如果阶码以2为底 则规格化浮点数的尾数M的绝对值应满足 2 对于原码 M1 1 3 对于补码 正数时 M1 1 负数时M1 0 即 尾数最高位与符号位相反 即为判断浮点数是否为规格化数的标志 20 例将浮点数转换为规格化表示 解析 该数据为负数 符号为为1 尾数的补码为1 1101 由规格化步骤 将尾数左移2位 阶码减2 从而使小数点后第一位为0 规格化后为 21 IEEE754标准 对浮点数的编码格式的标准化 以便于实现不同计算机之间的软件移植 其中的浮点编码有32位 64位和80位三种格式 分别称为短实数 Shortreal 长实数 Longreal 和临时实数 Temporaryreal 短实数 其中 S为符号位 E为阶码 M是尾数 22 在IEEE754浮点数格式中 符号位S仍然用0表示正数 1表示负数 对于32位格式 阶码为8位 正常数的阶码E的取值范围为1 254 偏移值为127 尾数M可以取任意的23位二进制数值 加上隐含的M0 1 位 可达到24位的运算精度 阶码E是一个带偏移的无符号整数 从中减去相应的偏移值即为浮点数的实际阶码值 23 例试给出十进制数 0 625的IEEE754单精度数标准代码 解先将 0 625转换为二进制形式为 0 101 相应的浮点数表示形式为 再转换为IEEE754标准的规格化形式为 再由IEEE754单精度数值公式转换 可得到E 126 01111110 所以 0 625的IEEE754单精度标准代码为 S 1 E 01111110 M1 M23 01000000000000000000000 24 例试给出如下IEEE754单精度标准代码的十进制数表示S 0 E 10000011 M1 M23 10000000000000000000000 解S 0 E 10000011B 131D 规格化的尾数为1 1B 由IEEE754单精度标准的数值公式 可得所求十进制为 25 1 4二 十进制编码 用几位二进制码来表示一位十进制数的方法称为十进制数的二进制编码 简称BCD码 BinaryCodeDecimal 常见的BCD码有8421码 余3码 格雷码等 平常说到BCD码 通常指的是8421码 26 1 有权码和无权码的概念有权码 代码中的各位有固定的权值 如8421码 无权码 只依靠某种规则进行编码 如 相邻代码只有