2011年浙江省高中数学竞赛试题及参考答案.pdf

2011 年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评 分标准 一 选择题 本大题共有 10 小题 每题只有一个正确答案 将正确答案的序号填入 题干后的括号里 多选 不选 错选均不得分 每题 5 分 共 50 分 1 已知 53 42 则 1 sin21sin2 可化简为 d a 2sin b 2sin c 2cos d 2cos 解答 因为 53 42 所以 1 sin21sin2 cossincossin 2cos 正确答案为 d 2 如果复数 21aii 的模为 4 则实数 a 的值为 c a 2b 2 2c 2 d 2 2 解答 由题意得 2 2442aa 正确答案为 c 3 设 a b 为两个互不相同的集合 命题 p xab 命题 q xa 或xb 则 p 是 q 的 b a 充分且必要条件b 充分非必要条件 c 必要非充分条件d 非充分且非必要条件 解答 p 是 q 的充分非必要条件 正确答案为 b 4 过椭圆 2 2 1 2 x y 的右焦点 2 f作倾斜角为45 弦 ab 则ab为 c a 2 6 3 b 4 6 3 c 4 2 3 d 4 3 3 解答 椭圆的右焦点为 1 0 则弦 ab 为1 yx 代入椭圆方程得 22 1212 44 2 3400 2 33 xxxxabxx 正确答案为 c 5 函数 1 50 510 x x x f x x 的解为 c a 3x 或2x或1x 或1x d 13x 正确答案为 c 二 填空题 本大题共有 7 小题 将正确答案填入题干后的横线上 每空 7 分 共 49 分 11 函数 2sin3cos 2 x f xx 的最小正周期为 4 解答 最小正周期为 4 12 已知等差数列 n a前 15 项的和 15 s 30 则 1815 aaa 6 解答 由 151 3072sad 而 18151 3 7 6aaaad 13 向量 1 sin a cos 3 b r 则ab 的取值范围为 1 3 解答 22 1cos sin3 52 cos3sin ab 54sin 6 其最大值为 3 最小值为 1 取值范围为 1 3 14 直三棱柱 111 abca bc 底面abc 是正三角形 p e 分别为 1 bb 1 cc上的动 点 含端点 d 为 bc 边上的中点 且pdpe 则直线 ap pe的夹角为 90 解答 因为平面 abc 平面 11 bcc b ad bc 所以 ad 平面 11 bcc b 所以 ad pe 又 pe pd pe 平面 apd 所以 pe pd 即夹角为90 15 设yx 为实数 则 max 22 1045 22 yx xyx 4 解答 2222 54104105002xyxyxxx 2222222 4 1025 5 2534xyxxxxy 16 马路上有编号为 1 2 3 2011 的 2011只路灯 为节约用电要求关闭其中的 300 只灯 但不能同时关闭相邻两只 也不能关闭两端的路灯 则满足条件的关灯方 法共有 300 1710 c 种 用组合数符号表示 解答 问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯 所以共有 300 1710 c种关灯方法 17 设zyx 为整数 且3 3 333 zyxzyx 则 222 zyx 3 或 57 解答 将3zxy 代入3 333 zyx得到 8 3 9xyxy xy 因为 x y都是整数 所以 1428 25116 xyxyxyxy xyxyxyxy 前两个方程组无解 后两个方程组解得 1 4 5xyzxyz 所以 222 zyx3 或 57 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 17 分 共计 51 分 18 设2 a 求xxy 2 在 2 a上的最大值和最小值 解答 当 2 0 1 1 xyx 当 2 0 1