2011-2012第一学期《数学建模》选修课试题卷.doc

2011-2012第一学期数学建模选修课试题卷班级:姓名：学号：成绩：一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1模型: 指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物如地图、苯分子图2数学模型：由数字字母或其他数学符号组成的，描述显示对象数量规律的数学结构具体地说，数学建模也可以描述为：对于现实世界的一个特定的对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到一个数学结构称之为数学模型如概率的功利化定义3抽象模型：抽象模型是为了便于研究而建立的一种高度抽象的理想客体实际的物体都是具有多种属性的，例如固体具有一定的形状、体积和内部结构，具有一定的质量等但是，当我们针对某种目的，从某种角度对某一物体进行研究时，有许多对研究问题没有直接关系的属性和作用却可以忽略.二、简答题（每小题满分8分，共24分）1模型的分类:1:按照人们对原型的认识过程来分.2:按照模型的应用领域分.3：按照建立数学模型的方法分.4:按照模型的特征分.5：按照对模型结构了解的程度分.2数学建模的基本步骤:1建模准备：确立建模课题的过程建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择适当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻化实际问题的数学模型模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用3数学模型的作用：数学模型的根本作用在于他将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用，数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学建模还物化于各中高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。三、解答题（满分20分）b 题 (7n+1, 7n+3) 国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持花环组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米,方阵纵列95人，每列长度192米，试问第一、二两排间距多大能够达到满意的观礼效果？d 题 (7n+3, 7n+4) 1997年11月8日电视正在播放长江三峡工程大江截流的实况，截流从8:55开始,当时龙口的水面宽40米，水深60米。11:50时，播音员报告水面宽为34.4米，到13:00时，播音员又报告水面宽为31米。这时，电视机旁的某位同学说，现在可以估算下午几点合龙。从8:55到11:50，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从11:50到13:00，进展的速度每小时宽度减少2.9，该同学认为回填速度是越来越快的，近似于每小时速度加快1米。从下午1点起，大约需要5个多小时，即下午6点钟左右能合龙。因此，该同学上街到书店去买有关三峡工程介绍和数学建模方面的书籍，但当他坐车返回时，突然从广播里听到了大江截流成功的消息，该同学非常后悔没有看到大江截流成功时的实况，这时他忽然反应过来，赶快看了看手表，此时正好是下午3点30分。请你根据上面的数据，建立一个合理的数学模型进行计算，使你的计算结果更切合实际；并帮助该同学分析他出错的原因，并对该同学应提出那些合理化的建议？ 四、综合题（41分）i. 养鱼问题(6n+2, 6n+4, 6n+5)我国为支持农村经济发展, 免费提某种鱼苗用以支持某地区养殖业的发展。设某地区有一池塘，其水面面积100100平方米，根据当地环境测出每平方米养鱼不超过1公斤，每公斤鱼苗大约有500条，鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼自重成正比，360天可长成成鱼，其重量为2公斤，每公斤鱼每天需要饲料0.005公斤,给鱼池内只投放鱼苗，池内鱼的繁殖与死亡均可忽略不计，市场上鱼饲料价格0.2元/公斤,此种鱼的销售价格为：每条鱼重量（公斤）0.2-0.750.75-1.51.5-20.2每公斤的售价（元）68100请你为一承包户设计一下最优方案. 1. 此承包护承包期为一年；2.此承包护承包期为三年；此承包护承包期为三十年. 假设：研究获得三年养鱼利润最优模型摘要在我们日常生活中，都有这么些相关的例子。那么这里我们将基于求利润最优化的养鱼规划问题，根据鱼的存活空间有限，以及鱼本身的生长情况，可以假设鱼在长成成鱼后生长非常缓慢，近似为不生长，未成年鱼的生长模型为指数增长模型,得出鱼的增长函数，对于的价格进行预知，将利润的最大化问题着手于研究养鱼周期、捕鱼次数及每次捕鱼的重量，结合鱼的生长模型充分利用池塘空间，在合理假设条件下建立数学模型，并借助matlab软件编程计算，通过比较分析各模型的最优解，确定出三年获得较大利润的最优养鱼方案，为养殖户提供有用的参考。关键字： matlab 指数增长模型 养鱼周期 捕鱼次数 捕鱼重量 较大利润一、 问题重述设某地有一池塘，其水面面积约为100100，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 鱼的存活空间为1kg /； 每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg； 鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼； 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg；池内鱼的繁殖与死亡均忽略；若q为鱼重，则此种鱼的售价为：该池内只能投放鱼苗。二、 模型假设（1）、养鱼者的经营模式为“放鱼苗喂饲料捕捞，销售全部捕捞”周期循环，每个周期只投放一次鱼苗。（2）、在饲养过程中，不考虑意外灾害，如洪灾、旱灾，台风等等。（3）、鱼可以一年四季生长，未成年鱼每天生长的重量与鱼的自重成正比。（4）、鱼的繁殖和死亡均可以忽略。（5）、捕捞鱼时采取承包不放水的方式。（6）、每个周期分n次捕捞销售，每相隔两次捕捞时间间隔相同，n=2；且在捕捞时，部分鱼对其它鱼的生长不造成影响，捕出的鱼能全部按预定价格销售。三、 符号及说明s：池塘水面面积（平方米）；u：池塘单位面积鱼的最大存活量重（公斤/平方米）；n：每次放养鱼苗的尾数（万尾）；r:鱼每天生长的重量与鱼自重成正比的比例系数；y：每条鱼的重量（公斤）；t：鱼的生长天数（天）；p:销售鱼的价格（元/公斤）；a：每公斤鱼每天要喂的饲料重量（公斤）；b：市场上饲料的价格（元/公斤）；p0：每次捕捞鱼的费用（元/次）；h0：购买鱼苗时的价格（元/万尾）；x0：每条鱼苗的重量（公斤）；n：每个养鱼周期的捕捞次数（次）；ts：在每个周期的第s次捕捞鱼的时间（天）；：池塘饱和时鱼的总重量（公斤）；：在每个周期的第s次捕捞鱼的重量（公斤）；y：三年养鱼获得的较大利润（元）。四、 问题分析名词解释1)、池塘饱和：鱼的生存空间达到最小时2）、未成年鱼：体重没达到成鱼重量的鱼3）、养鱼周期：每次放养鱼苗后饲养的时间问题的数据分析在池塘第一次达到饱和时鱼刚好能够上市的前提下，考虑充分利用池塘空间，容易知道每个周期放养鱼苗数为万尾。由假设3可得鱼的生长函数为: 由条件3、4可求得：由条件6可得销售鱼时的价格函数为：将其转化为时间的函数：由销售鱼的价格函数可知，每次放养鱼苗后，第一次捕捞的时间是在第240天，为获得较大利润，在三年时间可进行4个周期的循环或3个周期循环。且最后一次捕捞应在第274天和第360天将鱼全部捕捞并销售。五、 模型建立与求解模型1：三年中4次放养鱼苗用表示三年中4次放养鱼苗，每个养鱼周期分n次捕捞销售后获得的利润。由前面问题分析可得，4次放养鱼苗获得的较大利润函数为：约束条件： 模型2：三年中3次放养鱼苗 用表示三年中3次放养鱼苗，每个养鱼周期分n次捕捞销售后获得的利润。由前面问题分析可得，3次放养鱼苗获得的较大利润函数为：约束条件： 模型求解经过调查多家养鱼专业户及网上查询，可获知常见家常鱼的价格为10元/万尾。捕鱼采取承包不放水方式，费用一般为每次12001500元不等，这里，我们研究的是如何获得较大利润，不妨取元/次。利用matlab软件编程计算并作图，在同一坐标系中回话出及与n的关系图像，如下图：051015202530354045505560657012345678模型结论 由图1可获知为获得三年养鱼的较大利润应采用模型2，再由计算结果知，当n=13时，取得最大利润元。当n=13带入方程（6）、（7）可得在轮个养鱼中前12次每次大捞鱼的重量为1745公斤，从第240天开始，每10天打捞一次，最后一次将鱼全部捕捞完。这即是三年获得较大利润的最优方案。六、模型评价及改进方向优点：1、 通过两种模型的求解、分析、对比获得最优养鱼方案，使最优设计方案的结果更具有实际性、可行性、合理性，在进行设计变量的过程中具体分析关系量，所假设的变量清晰、全面、合理、不混淆，使得建立的模型简单易懂，可行性高。2、 采用matlab软件编程求解并作图，对结果分析有很大帮助。图示中可观察出相应变量对目标函数的影响，通过对两种模型的比较，获得三年养鱼中获得较大利润的最优方案，为养殖户提供了有价值的参考。缺点：忽略了鱼在生长过程中的繁殖和死亡，同时没有考虑鱼生长时的种族斗争与生存竞争，因此可能与实际的情况出现一定的误差