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静定结构的位移计算 第六章 6 1概述 6 2变形体虚功原理及位移计算一般公式 6 3支座移动和温度变化时的位移计算 6 4静定结构在荷载作用下的位移计算 6 5图乘法 6 6互等定理 6 7结构位移计算公式的另一种推导 1 6 1概述 一 静定结构的位移 静定结构在荷载 温度变化 支座移动以及制造误差等因素作用下 结构的某个截面通常会产生水平线位移 竖向线位移以及角位移 1 截面位移 桁架受荷载作用 刚架受荷载作用 2 2 广义位移 通常把两个截面的相对水平位移 相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移 a 支座B下沉 温度变化 3 b c 相对竖向位移 相对水平位移 4 A左 右截面相对转角 e d 5 次梁跨中挠度主梁跨中挠度楼盖跨中挠度吊车梁跨中挠度 二 位移计算的目的 1 验算结构的刚度 6 2 为超静定结构的内力和位移计算准备条件 求解超静定结构时 只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解 还要补充位移条件 12kN 7 5kN m 9kN m 2m 2m A B 7 三 实功和虚功 1 实功 力在由该力引起的位移上所作的功称为实功 即 右图中 外力是从零开始线性增大至 位移也从零线性增大至 也称为静力实功 8 2 虚功 力FP在由非该力引起的位移 上所作的功叫作虚功 9 实功 虚功 虚功强调作功的力与位移无关 10 6 2变形体虚功原理及位移计算一般公式 一 变形体虚功原理 定义 设变形体在力系作用下处于平衡状态 又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形 则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi 即W Wi 11 下面讨论W及Wi的具体表达式 12 13 外力虚功 微段ds的内虚功dWi 整根杆件的内虚功为 14 根据虚功方程W Wi 所以有 结构通常有若干根杆件 则对全部杆件求总和得 15 16 变形体虚功原理有两种应用形式 即虚力原理和虚位移原理 虚力原理 虚设平衡力系求位移 虚位移原理 虚设位移求未知力 用变形体虚力原理求静定结构的位移 是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题 二 位移计算的一般公式 所以 在变形体虚功方程中 若外力只是一个单位荷载 则虚功方程为 17 下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明 给定位移 变形 虚设平衡力系 1 欲求 则在C截面加上竖向单位载荷 则该静定刚架就产生了一组平衡力系 18 2 位移计算一般公式外力虚功内虚功所求位移 给定的位移和变形 力和位移无关 19 2 正负号规则 若及使杆件同侧纤维伸长 则乘积为正 反之为负 乘积及的正负号分别由力与应变的正负号确定 使隔离体产生顺时针转动为正 反之为负 以顺时针方向为正 反之为负 以拉力为正 压力为负 以拉应变为正 压应变为负 若与同向 则乘积为正 反之为负 20 4 根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷 图示单位荷载分别求位移 5 求位移步骤如下 沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷 求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力 利用位移计算一般公式求位移 21 例6 2 1已知杆AB和BC在B处有折角 见图a 求B点下垂距离 a 1 将制造误差明确为刚体位移 即在B截面加铰 见图b 解 22 2 虚设平衡力系如图c 所示 运用虚功方程W 0得 1 3 23 例6 2 2已知杆AB在B左 右截面有竖向相对错动见图a 求 24 解 1 将制造误差明确为刚体位移 将截面B变为滑动联结 见上页图b 2 虚设平衡力系如图c 所示 运用虚功方程W 0得 25 例6 2 3已知一直杆弯曲成圆弧状 求杆中挠度 解 虚设平衡力系如图所示 运用变形体虚功方程得 给定位移 虚设平衡力系 26 三 广义位移的计算 求图a 结构A B截面相对水平位移 a 给定位移 27 虚设单位载荷如上图c d 所示 由上图b 可得 所以得 28 所以 为了求两个截面的相对位移 只需要在该两个截面同时加一对大小相等 方向相反 性质与所求位移相应的单位荷载即可 下面给出几种情况的广义单位荷载 29 2 30 例6 2 4因温度变化底板AB弯曲成半径R 10m之圆弧状 求截面C D的相对水平位移 给定位移 虚设平衡力系 在截面C D上加一对大小相等 方向相反 沿水平方向的单位荷载如图所示 解 31 注意 AC BD杆无弯曲变形 32 6 3支座移动和温度变化时的位移计算 一 支座移动时的位移计算 若静定结构只有支座移动而无其他因素作用 则结构只产生刚体位移而无变形 故对于杆件的任意微段 应变均为零 所以支座移动时的位移计算公式为 33 例6 3 1已知刚架支座B向右移动a 求 解 1 求 求 34 2 求 3 求 35 二 温度变化时的位移计算 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形 所以结构不产生内力 1 是温度改变值 而非某时刻的温度 36 2 温度沿杆件截面厚度方向成线性变化 截面上 下边缘温差 对于矩形截面杆件 杆轴线处温度改变值 37 3 微段ds的应变 拉应变 弯曲应变 剪应变 4 位移计算公式 38 小结 2 39 解 40 41 6 4静定结构在荷载作用下的位移计算 一 基本公式 求下图示结构在荷载作用下的位移 42 若结构只有荷载作用 则位移计算一般公式为 上式适用的条件是 小变形 材料服从虎克定律 即体系是线性弹性体 43 正负号规则 44 若结构除荷载外 还有支座移动和温度变化 则位移计算公式为 2 和以拉力为正 压力为负 3 和的正负号见下图 45 二 各类结构的位移计算公式 1 梁和刚架 在梁和刚架中 由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略 故位移计算公式为 在高层建筑中 柱的轴力很大 故轴向变形对位移的影响不容忽略 对于深梁 即h l较大的梁 剪切变形的影响不容忽略 46 2 桁架 桁架各杆只有轴力 所以位移计算公式为 4 拱 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略 3 组合结构 用于弯曲杆 用于二力杆 47 例6 4 1求简支梁中点竖向位移 并讨论剪切变 形对位移的影响 48 解 49 若杆截面为矩形 则k 1 2 又 1 3 则E G 2 1 8 3 I A h2 12 若h l 1 10 则 h l 1 2 则 可见 剪切变形的影响不能忽略 50 6 5图乘法 图乘法是一种求积分的简化计算方法 它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算 一 图乘法基本公式 51 52 说明 1 条件 AB杆为棱柱形直杆 即EI等于常数 Mi与Mk图形中有一个是直线图形 2 y0与 的取值 y0一定取自直线图形 则取自另一个图形 且取 的图形的形心位置是已知的 不必另行求解 3 若y0与 在杆轴或基线的同一侧 则乘积y0 取正号 若y0与 不在杆轴或基线的同一侧 则乘积y0 取负号 53 二 常见图形的几何性质 54 三 图乘法举例 运用图乘法进行计算时 关键是对弯矩图进行分段和分块 尤其是正确的进行分块 55 分段 图均应分为对应的若干段 然后进行计算 56 分块 只对或中的一个图形进行分块 另一个图形不分块 57 例6 5 1求 解 作图图 如上图所示 分段 分为AC CB两段 分块 图的CB段分为两块 MP 58 此题还可以这样处理 先认为整个AB杆的刚度是 再加上刚度为的AC段 再减去刚度为的AC段即可 59 例6 5 2求 EI等于常数 解 作图图 如右图所示 分段 分为AC CB两段 分块 图的AC段分为两块 60 如果将AC段的图如下图那样分块 就比较麻烦 图 例6 5 3求 EI等于常数 作图图 如下页图所示 解 61 62 例6 5 4求 EI等于常数 解 作图及图 如右所示 分段 分为AB BC两段 分块 图的BC段分为两块 63 64 例6 5 5求 CH EI等于常数 解 作MP图和图见下页图 分块 MP图的AB段分为两块 65 66 6 6互等定理 互等定理适用于线性变形体系 即体系产生的是小变形 且杆件材料服从虎克定律 一 功的互等定理 功的互等本质上是虚功互等 下图给出状态I和状态II 67 68 同样 令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功 得到 所以 即 69 定理在任一线性变形体系中 第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21 二 位移互等定理 定理在任一线性变形体系中 由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数 21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 12 即 12 21 即 70 由功的互等定理可得 在线性变形体系中 位移 ij与力FPj的比值是一个常数 记作 ij 即 或 于是 所以 71 72 例6 6 1验证位移互等定理 解 73 所以 例6 6 2验证位移互等定理 74 解 所以 75 三 反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构 因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移 其内力和支座反力均等于零 根据功的互等定理有 76 在线性变形体系中 反力FRij与Cj的比值为一常数 记作rij 即 或 所以 得 说明 rij也称为刚度系数 即产生单位位移所需施加的力 其量纲为 i产生支座反力的方位 j产生支座移动的支座 77 例6 6 3验证反力互等定理 可见 r12 r21 定理在任一线性变形体系中 由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12 78 四 位移反力互等定理 根据功的互等定理有 令 上述支座可以是其它种类的支座 则支座位移 支座反力应与支座种类相应 79 位移反力互等定理在混合法中得到应用 所以 由此得到 即 定理在任一线性变形体系中 由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数 但二者符号相反 80 例6 6 4验证位移反力互等定理 81 6 7结构位移计算公式的另一种推导 本节讨论问题的思路是 先导出局部变形时的位移公式 然后运用叠加原理 导出结构位移计算的一般公式 一 局部变形时静定结构的位移计算公式 先讨论三个例题 例6 7 1下图示悬臂梁B左右截面有相对转角 试求A截面竖向位移 82 令虚设平衡力系在实际位移上做虚功 可得出 解 83 b 在截面B上加上滑动连结 把实际位移表示为刚体位移 在截面A沿 方向加上单位荷载 在B左右截面虚设一对剪力如图所示 显然 令虚设平衡力系在实际位移上做虚功 可得出 解 例6 7 2图示悬臂梁B截面有相对剪切位移 试求A截面沿方向位移 84 在截面B上加上轴向连结 把实际位移表示为刚体位移 在截面A沿 方向加单位荷载 在B左右截面虚设一对轴力如图所示 显然 令虚设平衡力系在实际位移上做虚功 可得出 解 C 例6 7 3图示悬臂梁B截面有相对轴向位移 试求A截面沿方向位移 85 二 微