（基础数学专业论文）关于算子偏序及算子不等式的若干研究.pdf

x j j g 1 0 1 2 3 关于算子偏序及算子不等式的若干研究 庞永锋 摘要在这篇论文中我们研究了算子偏序、算子不等式及一代数交换性 的凸函数特征全文分三章 第一章的内容是算子的星序，左星序、右星序及最小序这一章是论文的核 心内容近来关于矩阵的这些方面的研究吸引了许多的国内外的学者 g r 妒， j k b & k s a l a r y 和j a nh a u k e 等人在这些方面做出了许多的工作详见参考文献 1 【2 】 3 4 在上述文章中，他们分别给出了矩阵的四种偏序的刻画、性质及它们 之间的关系同时还给出了矩阵的偏序和矩阵方幂的偏序之间的关系在第一章 中，我们定义并讨论了h i l b e r t 空间上算子的四种偏序一星序、左星序、右星序及 最小序，使用了与他们完全不同的方法一算子分块矩阵的思想，给出了它们几何 结构的简洁而又明了的刻画，进一步用它们研究了几种偏序的性质及其关系 第二章的内容是算子不等式及范数不等式不等式是数学中古老的问题之一， 今天它在数学的各个领域里都起着重要的作用，并且提供了一个非常活跃而又有吸 引力的研究领域不等式的理论也随着算子论与算子代数的不断发展逐渐渗透进 来，并成为泛函分析中的热点问题e f b e e k e n b a c h 和r b e l l m a n 在i n e q u a l i t i e s ( 见 文献 8 】) 一书中给出了当时关于不等式的新结果d s m i t r i n o v i c 在解析不等 式( 见文献 9 ) 一书中给出了大量的经典不等式j b e n d a t 和s s h e r m a n 在文 献 6 】中给出算子单调函数和算子凸函数的刻画f h a e n 和g k p e d e r s e n 在文 献( 5 l 中给出关于j e n s e n 算子不等式及j e n s e n 迹不等式t a n d o 在文献 7 】中给 出关于几何均值和调和均值的算子不等式，算子单调函数和算子凸函数的刻画 在第二章中，作者以谱分解、函数演算等为工具，给出一些重要的算子不等式与 范数不等式我们还给出了r n a k a m o t o 在文献【1 9 】中所研究的一个范数不等式的 另一证明 第三章的内容是g + 一代数交换性的凸函数特征关于口代数的交换性有许 多的刻画。其中最著名的一种是s t r i n e s p r i n g 定理。即一个g 4 一代数4 是可交换 的充要条件是任何一个从口一代数a 到矿一代数日的正线性映射是完全正的； 另一种是利用矿一代数上的算子单调函数来完成的吉国兴和j t o m i y a m a 在文 献【1 1 】中考虑了一般的非二阶矩阵单调函数在矿一代数4 上的单调性问题。证明 了一代数4 是交换的当且仅当存在一个非二阶矩阵单调的函数在上是算子 单调的，在第三章中，我们考虑一代数以的交换性的凸函数特征，证明了a 一 代数4 是可交换的当且仅当存在一个非二阶矩阵凸函数是上的算子凸函数 关键词：算子分块矩阵算子偏序算子不等式算子凸函数 r e s e a r c h e so np a r t i a lo r d e r so fo p e r a t o r sa n do p e r a t o r i n e q u a l i t i e s y o n g f e n gp a n g a b s t r a c ti nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yf o u rt y p e so fo p e r a t o rp a r t i a lo r d e r s ，o p e r a t o ri n e q u a l - i t i e sa n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o n sf o rc o n v e xf u n c t i o no fc o m m u t a t i v i t yo f ac + 一a l g e b r a w e d i v i d et h i sa r t i c l ei n t ot h r e ec h a p t e r s t h ec o n t e n t so ft h ef i r s tc h a p t e ra r es t a ro r d e r ，l e f t - s t a ro r d e r ，r i g h t s t a ro r d e ra n d m i n u so r d e ro fo p e r a t o r s t h i ss e c t i o ni st h em o s ti m p o r t a n to n ei nt h i sa r t i c l e v e r y r e c e n t l y , t h es t u d yo ft h e s ea s p e c t so n m a t r i c e sa t t r a c t sm u c ha t t e n t i o no fm a n ya u t h o r s g r o 3 ，j k b a k s a l a r ya n d j a nh a u k eh a v e g o t t e ng r e a td e v e l o p m e n t i nt h e s ea s p e c t s s o m e r e s u l t so nt h e s ep r o b l e m sc a nb es e e ni n 【1 】【2 】，【3 】， 4 i nt h e s ep a p e r s ，t h ea u t h o r sh a v e g i v e nt h ec h a r a c t e r i z a t i o n s ，p r o p e r t i e sa n dr e l a t i o n s h i p so ff o u rt y p e so fm a t r i xp a r t i a l o r d e r s m e a n w h i l e ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e np a r t i a lo r d e r so fm a t r i c e sa n dt h e i rp o w e r s a l s oh a v eb e e ng i v e n i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v et h ed e f i n i t i o n so ff o u rp a r t i a lo r d e r so n c o m p l e xh i l b e r ts p a c e s u s i n gt h em e t h o do fb l o c km a t r i xo fo p e r a t o r ，w h i c hi sd i f f e r e n t f r o mt h ea b o v ea u t h o r s ，w eg i v ec o n c i s ea n dp r e c i s eg e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a t i o n so ff o u r t y p e s o f o p e r a t o r p a r t i a l o r d e r s f u r t h e r m o r e ，w es t u d y p r o p e r t i e s o f f o u r t y p e so f o p e r a t o r p a r t i a lo r d e r sa n dr e l a t i o n s h i p sb e t w e e np a r t i a lo r d e r so fo p e r a t o r sa n dt h e i rp o w e r s t h ec o n t e n t so ft h es e c o n dc h a p t e ra r eo p e r a t o ri n e q u a l i t i e sa n dn o r m i n e q u a l i t i e s r e s e a r c h e so fi n e q u a l i t i e se m e r g e d v e r ye a r l yi nm a t h e m a t i c s t o d a yi n e q u a l i t i e sp l a ya n i m p o r t a n tr o l ei ns e v e r a lm a t h e m a t i c a lf i e l d s a n di tp r o v i d e sam o r ea c t i v ea n da t t r a c t i v e r e s e a r c hf i e l df o rm a t h e m a t i c s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fo p e r a t o ra l g e b r a sa n do p e r a t o r t h e o r y , t h et h e o r yo fi n e q u a l i t i e sh a sb e c o m ei n t e r e s t i n gp r o b l e m si nf u n c t i o n a la n a l y s i s e f b e c k e n b a c ha n d r b e l l m a n ( s e e 8 1g a v em a n y n e wc o n c l u s i o n so n i n e q u a l i t i e si nb o o k n a m e d i n e q u a l i t i e si nt h a tt i m e d s m i t r i n o v i c ( s e e 9 ) g a v es e v e r a lc l a s s i c a li n e q u a l i t i e s i nb o o kn a m e d a n a l y t i ci n e q u a l i t i e s j b e n d a ta n ds s h e r m a ni n 6 】g a v ec h a r a c t e r i z a - t i o n so fm o n o t o n ea n d c o n v e x i t yo p e r a t o rf u n c t i o n s f h a n s e na n dg k p e r d e r s e ni nf 5 】 g a v es e v e r a li m p o r t a n tr e s u l t so nj e n s e n so p e r a t o ri n e q u a l i t ya n dj e n s e n st r a c ei n e q u a l - i t y t a n d oi n 【7 】g a v es o m ei m p o r t a n ti n e q u a l i t i e so ng e o m e t r i ca n dh a r m o n i cm e a n s i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v es o m eo p e r a t o ri n e q u a l i t i e sa n dn o r mi n e q u a l i t i e sb ym e a n so f s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o na n df u n c t i o n a lc a l c u l u s w ea l s og i v ea n o t h e rp r o o fo ft h en o r m i n e q u a l i t yp r o v e db yr n a k a m o t oi n 【a 9 t h ec o n t e n to ft h et h i r dc h a p t e ri sc h a r a c t e r i z a t i o n sf o rc o n v e xf u n c t i o no fc o m m u - i i t a t i v i t yo f ac + 一a l g e b r a t h e r ee x i s ts e v e r a lc h a r a c t e r i z a t i o n sf o rt h ec o m m u t a t i v i t yo f g + 一a l g e b r a o n et y p ei s t h ew e l l - k n o w ns t i n e s p r i n gt h e o r e m t h a ti s ac + 一a l g e b r a i sc o m m u t a t i v ei fa n do n l yi fe v e r yp o s i t i v el i n e a rm a pf r o mc + 一a l g e b r aat og + 一 a l g e b r a 廖b e c o m e sc o m p l e t e l yp o s i t i v e a n o t h e rt y p ei sb a s e do na no p e r a t o rm o n o t o n e f u n c t i o no nac + a l g e b r a g u o x i n gj ia n dj t o m i y a m ai n 1 1 g a v ea n o t h e rc h a r a c - t e r i z a t i o nf o rc o m m u t a t i v i t yb a s e do nt h ep r o p e r t yo ff u n c t i o n se x pza n d 扩w h i c ha r e m o n o t o n e i n c r e a s i n gf u n c t i o n so nt h ep o s i t i v ea x i sb u tn o to p e r a t o rm o n o t o n e o n m 2 ，t h e m a t r i xa l g e b r ao fa l lc o m p l e x2 2m a t r i c e s t h a ti s ac + 一a l g e b r a4 i sc o m m u t a t i v e i fa n do n l yi ft h e r ee x i s t sa c o n t i n u o u sf u n c t i o nw h i c hi sn o tm a t r i xm o n o t o n eo n b u t o p e r a t o rm o n o t o n eo na g 一a l g e b r a i nt h i sc h a p t e r w eg i v ec h a r a c t e r i z a t i o n sf o rc o n v e x f u n c t i o no fc o m m u t a t i v i t yo fa e + 一a l g e b r a t h a ti s t h e r ee x i s t sac o n t i n u o u sc o n v e x f u n c t i o nw h i c hi sn o tm a t r i xc o n v e xo nm 2b u t o p e r a t o rc o n v e xo nag + 一a l g e b r aa k e y w o r d s ： b l o c km a t r i xo fo p e r a t o r p a r t i a lo r d e ro fo p e r a t o r o p e r a t o r i n e q u a l i t y c o n v e xo p e r a t o rf u n c t i o n i i i 前言 算子理论产生于二十世纪初，由于其在数学和其它科学中的广泛应用，在二 十世纪的前三十年就得到了很大的发展，并很快成为一门独立的学科，二十世纪 六十年代以后，不仅算子理论本身有了深入的发展，而且算子理论还深入到了矩 阵论，微分方程，最优化理论，统计学等众多数学分支，更值得注意的是它在量 子力学、物理学等许多领域都获得了广泛的应用，已经成为研究自然科学与工程 技术理论不可缺少的重要研究工具( 见文献【8 】) 近来关于矩阵的星序、左星序、右星序、最小序的研究吸引了国内外许多学 者g r 卵在文献【1 中给出了星序、最小序的性质刻画j k b a k s a l a r y 和j a n h a u k e 在文献【1 】中推广和补充了其它的刻画 b a k s a l a r y 和p u k e l h e i m 研究了非 负矩阵和其他的矩阵在星序及最小序方面的关系j k b a k s a l a r y 和j a nh a u k e 在文献【2 】2 中推广并强化了他们的结果h a r t i n g 和p u k e l h e i m 给出了星序及最 小序的刻画j k b a k s a l a r y 和o m b a k s a l a r y 在文献【3 】中给出了附加的一些结 果b a k s a l a r y 和p u k e l h e i m 得到了矩阵的这些偏序与他们的方幂及交换性的关 系j k b a k s a l a r y 和o m b a k s m a r y 在文献 4 】中推广了他们的结果在本文中， 作者定义并讨论了h i l b e r t 空间上算子对的四种偏序一星序、左星序、右星序及最 小序，使用了与他们完全不同的方法一算子分块矩阵的思想，研究了算子代数上 的上述四种算子偏序结构，给出了它们几何结构的简洁而又明了的刻画，进一步 用它们研究了几种偏序的性质及其关系 不等式是数学中古老的问题之一，今天它在数学所有的领域里都起着重要 的作用，并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究领域不等式理论是从 c f g u a s s ，a l c a u c h y ( 见文献【9 】) 奠定近似方法的理论基础开始发展起来的 1 9 3 4 年g h h a r d y , j e l i t t l e - w o o d 和g p o l y a 出版了经典著作不等式使得不等 式从孤立公式的汇集发展成为系统的科学e f b e c k e n b a c h 和r b e l l m a n 在不等 式( 见文献 8 】) 一书中给出了当时关于不等式的新结果d s m i t r i n o v i c 在解 析不等式( 见文献【9 】) 一书中给出了大量的经典不等式随着算子论与算子代 数的不断发展，不等式的理论也逐渐渗透进来，并成为泛函分析中的热点问题 j b e n d a t 和s s h e r m a n 在文献【6 1 中利用差分给出算子单调函数和算子凸函数的刻 画f h a n s e n 和g k p e d e r s e n ，在文献 5 1 中给出关于j e n s e n 算子不等式及j e n s e n 迹不等式r ，b h a t i a ，f k i t t a n e h ，t y a m a z a k i ，m i t o 等人在关于矩阵和算子的范数 不等式方面做出了许多优秀的工作关于他们的工作可参考文献【1 2 1 1 19 】不等式 理论关于算子单调函数的研究有着广泛的物理背景e p w i n g e r 的工作对于量子 力学，及h a m b u r g e r 矩问题，等许多问题的解决有很大的帮助( 见文献 9 】) 在本 文中，作者以谱分解、函数演算等为工具，将许多经典的不等式加以推广给出一 系列重要的算子不等式与范数不等式我们还给出了r n a k a m o t o 在文献【19 中所 研究的范数不等式的另一证明 关于c + 代数的交换性有许多刻画其中最著名的一种是s t r i n e s p r i n g 定理 即一个c + 一代数4 是可交换的充要条件是任何一个从c + 一代数4 到c 一代数 日的正线性映射是完全正的；另一种是利用c + 一代数上的算子单调函数来完成 的w u 在文献【l o 】中利用函数e x p x 给出c + 一代数交换性的另一刻画吉国兴 和j t o m i y a m a 在文献f 1 1 1 中考虑了一般的非二阶矩阵单调函数在g 4 一代数4 上 的单调性问题，证明了g 一代数是交换的当且仅当存在一个非二阶矩阵单调 的函数在4 上是算子单调的在第三章中，我们考虑了一代数4 交换性的凸 函数特征，证明了g + 一代数4 是可交换的充要条件是存在一个非二阶矩阵凸函 数是4 上的算子凸函数 预备知识 在本文中，我们用丸和咒表示h i l b e r t 空间用( ，g ) 表示h i l b e r t 空间丸和尼 中的任何向量，和g 的内积用8 ，尼) 表示从? - l 到的有界线性算子的全体 当7 - l = 时，有日何) 兰b ( n ，p c ) 对于任意的算子a b ( n ，c ) ，我们用兄) ，n ( a ) 和瓦丽分别表示算子a 的值域、核及值域的闭包对于任一a 8 ) ，我们用 和a ( ) 分别表示算子a 的伴随算子和a 的谱用r ( a ) 表示嚣) 上的有界线性 算子a 的谱半径设t 口( 丸) ，如果有姐”= t + t ，t 称为是正规的如果t ；t + ， t 称为是自伴的如果有( t x ，z ) 0 对于所有的z 咒成立，t 称为是正的显 然，正算子一定是自伴算子，自伴算子一定是正规算子对于正规算子t b ( n ) 有，r ( t ) = i l t l l 设t 启) ，我们定义i t i = ( t + t ) 设i ( x ) 是定义在区间，r 上的连续实函数我们用谱定理定义一个算子函 数 ，r ，：8 ) ：。_ + 8 ) 。其中i ( x ) = i ( a ) d e ( a ) ， j 这里日) 二表示h i l b e r t 空间上谱在区间j 上的有界自伴算子构成的凸集，昆表 示茹的谱测度设，( 。) 是从j r 的连续函数如果对于任意谱在区间j 上的 自伴算子。，y 召) ，当。y 时，有，( 。) ，( ) 称为，( z ) 是算子单调递增的 如果函数，( 。) 对于n 维的h i l b e r t 空间上的自伴算子z ，日何) ，( z ) 满足上述条 件，则称，( 。) 是n 阶矩阵单调递增函数如果对于任何a 0 ，1 】及任意谱在区间 j 上的自伴算子。，y b ( n ) 有， ，( ( 1 一a ) z + a 口) s ( 1 一a ) l ( x ) + a i ( y ) 2 称f ( x ) 是算子凸的如果函数f ( x ) 对于n 维的h i l b e r t 空间上的算子满足上述条 件，则称，( z ) 是n 阶矩阵凸函数我们知道，一个函数是算子单调韵当且仅当它 是任意阶矩阵单调函数，一个函数是算子凸的当且仅当它是任意阶矩阵凸函数 关于算子单调函数和算子凸函数的知识可参考文献 5 】i 6 1 ，1 2 6 3 第一章算子偏序 1 1 引言 我们用k + 表示算子k 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆即，满足算子方程 k k + k = k ，k + k k + = k + ，k + = ( k k + ) + ，( + k ) + = k + k 的唯一算子耳+ 我们知道一个算子的m o o r e - p e n r o s e 广义逆存在的充要条件是 算子k 的值域r ( k ) 是闭的 定义1 1 1 如果r ( a ) = r ( a ) ，则称a 是e p 类算子显然自伴算子是e p 类 算子 定义1 1 2 设a ，b b ( n ，芘) 如果 a + a = a + b 且a a + = b a + ， 则称a 与b 是星序关系记为a 圭b 定义1 1 3 设a b s ( n ，_ i c ) 如果 a 4 a = a + b 且r ( a ) r ( b ) ， 则称a 与嚣是左星序关系记为a + b 定义1 1 4 设a ，b t 3 ( n ，) 如果a + b + ，即 a a + = b a + 且r ( a + ) r ( b + ) ， 则称a 与口是右星序关系记为a + 日 定义l 1 5 设a ，b 且，1 c ) 如果r ( b ) 是闭的， t a b + b = a ，b b + a = a 且a b + a = a 则称a 与b 是最小序关系记为a s b ， 引理1 1 6 ( d o u g l a s 值域包含定理) 2 0 】设a ，b 日何，i c ) ，则r ( a ) r ( b ) 当 且仅当存在一个算子x b ) 使得a = b x 引理1 1 7 设算子a ，b 8 ，厄) 则 b b + a = a 当且仅当r ( a ) er ) ， a b + b = a 当且仅当r ( a + ) r ( b + ) 4 证明：由b ( b + a ) = a ，及引理1 1 _ 6 ，有r ( a ) r 旧) 反之，当w = r ( b + ) o ( b ) ， 对于任何z 7 4 且z = z l + z 2 ，其中z 1 r ( b + ) ，z 2 旧) 又由b b + = p r f 口) 及 r ( a ) r ( b ) ，则b b + ( a x ) = a x ( a x r ( 口) ) 因此b b + a = a 由a b + b = a ，则a = b + ( b + ) + a + 引理1 1 6 ，则r ( a + ) r ( b + ) 反之，由 于r ( a ) r ( b + ) ，则n ( b ) ( a ) 设“= r ( b + ) o 旧) 对于任何z “且 。= x l + x 2 ，其中x l r ( b + ) ，。2 ( 口) ，则b + b x = 日+ ( b x x + b x 2 ) = b + b x l = p r ( s ) x l = z 1 故a b + b x = a x l 又由于a x = a x l + a x 2 = a x l ( 对于。2 n ( b ) ( a ) ) ，则a b + b = a 引理1 1 8 设a ，b 召( 丸，l c ) ，且r ( b ) 是闭的，则 a b 当且仅当r ( a ) 兄( b ) ，r ( a ) r ( b ) 且a b + a = a 引理1 1 9 f 2 1 设a b ( n ，) 如果且是一个紧亚正规算子，则a 是一个正 规算子 引理1 1 1 0 设a 召，l c ) ，p 8 ( 咒，c ) ，p 是可逆的，则r ( a ) 是闭的充要条 件是r ( p a ) 是闭的类似地，设a z ( n ，p c ) ，q 8 ( c ，w ) ，q 是可逆的，则r ( a ) 是闭的充要条件是r ( a q ) 是闭的 1 2 算子偏序的刻画 本节中，我们将给出h i l b e r t 空间上算子对四种偏序关系的几何刻画设a ，b 廖似，瓦) ，则a 和b 是从7 4 = i 丽o 厂( 4 ) 到= 瓦两o ) 的算子，它们分 别有如下的算子分块矩阵 = a 1 ： 和b = 玩s l 。l 玩b 1 。2 ， c 2 ，卜 由上面的空间分解显然有，a 1 是一个从丽到可可的单射稠值域算子 因此，a 1 + 是一个从顽可到丽的单射稠值域算子 定理1 2 1 设算子a ，b 日，t o ) 如果a 和b 有( 1 2 1 ) 式的算子分块矩阵 则有a 量b 当且仅当 胙 a lz ：i 其中口2 2 1 3 ( ) ，a f ( a ) ) 证明必要性：由a 圭b 的定义，我们有a + a ：b 和a a + ：b a t 即有， a + ( b a ) = 0 和( 日一a ) a = 0 ，因此可得，r ( b a ) n ( a ) 和兄( a ) n ( b a ) 5 进一步有，r ( a ) n ( ( b a ) + ) 和r ( a ) n ( b a ) 如果算子a 和b 有( 1 2 1 ) 的算子分块矩阵，则有 b - a = b 1 8 1 - ：。a 1 日b 。1 。2 又由r ( a 4 ) n ( b a ) ，则对于任意的z 1 r ( a ) ，我们有 ( b - a ) 【f 苔卜 即， 研a 岛b x 。2 1m 0 = o i岛岛2fii 经计算并比较两边的矩阵可得， j ，( b l l a 1 ) x l = 0 ， i 易l x l = 0 因此我们有 r 1 1 一a 1 ) = 0 ， l 岛l 一0 同理可得，b 1 2 = 0 故有 日= + ：立：ha 1 乏 ， 其中岛2 蓐( 厂( 4 ) ，( ) ) 充分性：如果算子a 和b 有( 1 2 1 ) 式的算子分块矩阵， a = a 。1 ： 助= a l 昱。 ， 其中b 2 2 且 厂( 4 ) ， 厂( + ) ) 因此 b - a = ：兰。 直接计算可得，俾一a ) a + = 0 和一a ) = 0 故a = a b ，a a * ：b a 由定 义1 1 2 可得，a 至b 定理1 2 2 设算予a ，b 酋m ，庀) 如果算子a 和b 有( 1 _ 2 1 ) 的算子分块矩 阵，则有a + b 当且仅当算子 b = 岛 6 o 踢 其中算子b 2 2 b ( n c a ) ，( ) ) ，算子d 日( 瓦两， 厂( 一4 ) ) 证明必要性；由4 + sb 的定义，我们有a + a = a + b 和r ( a ) r ( b ) 因此当 算子a 和b 有( 1 2 1 ) 式的算子分块矩阵并且a = a + b ，则有 + ： a 1 ： = + ： b s 。l 。l 岛s 1 ：2 c - 卫z ， 直接计算并比较( 1 2 2 ) 式两边可得， fa 1 + ( a 1 一b l a ) = 0 ， 1a 1 + b 1 2 = o ； 由于算子a 1 + b c n ( a ) , i 玎两) 是一个单射稠值域算子，因此我们有， fb l l = a 1 ， 、b 1 2 = 0 故， 日= 疡a 1 。岛0 。 又由于r c a ) r ( b ) 可知对于任意的z 可j 巧一定存在一个向量o 毛其中 y r ( a + ) ，z n ( a ) 使得 a 。1 。0m 0 _ 岛a 1 ，岛0 。m y 因此有 岛a l 。x 。= + a b l 船y , 。：。 由a 1 是一个从丽到再两的单射稠值域算子，则有$ = ”故有，玩l 。： b 2 2 ( 一z ) 因此r ( b 2 1 ) r ( b 2 2 ) 由引理1 1 2 ，存在一个算子d 8 ( 葡丽 厂( 4 ) ) 使 得b 2 1 = b z 2 d 故有， b = 岛兰。 对于任意的算子b 2 2 侈( ( 一4 ) ， 厂( ) ) 和d 口( 葡丽 厂( 棚) 充分性：如果算子a 和b 有( 1 2 1 ) 式的算子分块矩阵， a = a l ： 且b = 岛z 。 ， 其中口2 ：嚣( 厂( a ) ，a r ( ，4 ) ) ，口嚣( i 玎j 【可， 厂( 4 ) ) 则直接计算可得，a * a ：a * b 设 算予 曰= l 二0 1 i 7 是从丽o ( 一4 ) 到丽o ( a ) 的算子，则有a = b e 由引理1 1 2 有 r ( a ) r ( b ) 由定义1 1 3 可得a b 使用同样的方法我们有下面的定理 定理1 2 3 设算子a ，b 8 ，坛) 如果算子a 和b 有( 1 2 1 ) 式的算子分块 矩阵，则有a t b 当且仅当算子 肚f 毛1 象i ， 其中算子日2 2 8 ( ( 一4 ) ，a f ( a 4 ) ) ，算子t 层( ( 小) ，丽) 定理1 2 4 设算子a ，b s ( n ，) ，且算子a 和b 有( 1 2 1 ) 式的算子分块矩 阵，r ( b ) 是闭的，则a s b 当且仅当算子 r 一a 1 + r b 2 2 s “一【 岛2 s 其中算子r b c n ( a + ) ，丽) 及s 8 ( 丽，( 4 ) ) ，算子b 2 2 日 厂( 一4 ) ，n ( a + ) ) 且有r ( b 2 2 ) 和r ( a ) 是闭的 证明必要性；由于r ) 是闭的，故有日+ 存在，它是从矗( 丽可。( 4 ) 到 i 玎两e n c a ) 的算予不妨设b + 有如下的算子分块矩阵 儿 舞惫 由a b 的定义，有a b + b = a ，b b + a = a 及a b + a = a 又算子a 和b 有 ( 1 2 1 ) 式的算子分块矩阵，则有 7 a 1 0瑟惫岛el，l岛el。20 0 - a 00 。 【 儿融踢儿口2 ，b 2 。j - 【j 岛b i 。t b12】麓惫a18220 。0 _ 山00 。 i 【岛儿融踢j 【 j _ lf ， 号1 。0 】 瑟髭m 小 吉汁 计算并比较( 1 2 3 ) ，( 1 2 4 ) 及( 1 2 5 ) 的两边，可得 8 ( 1 2 3 ) ( 1 _ 2 4 ) ( 1 2 5 ) a 醚 昆 碗簖 嘲嘲+ 卜小 山血岛 = = = 玩研岛 ，ljl【 日= 血嫠尹甓2 诒笪早 ， p = ；7 ， 是从丽o h ( a + ) 到丽o a c a + ) 的算子设算子 口= 二外 是从i 丽o 厂( a ) 到i 玎j 【可o ( 一4 ) 的算子又 脚= 。i7 ”+ 蹦r b 2 ”r 岛b 。2 2 二小 a 1 主。 = g 且算子p 和算子q 是可逆的，由引理1 1 9 有n ( b ) 是闭的充要条件是r ( c ) 是闭 的，即r ( a i ) 和r ( b 2 2 ) 是闭的因此有，r ( 且) 和r ( b 2 2 ) 是闭的 充分性：如果算子a 和b 有( 1 2 1 ) 式的算子分块矩阵 a = a 。1 。0 且b = a l + 玩r 。s b 2 2 sr 岛b 。2 2 ， 其中r 嚣( ( 斗) ，瓦口i ) 及s 嚣( i 玎j 【可，( 一4 ) ) ，算子岛2 日c 厂( 一4 ) ，( ) ) 且有 冗( b 2 2 ) 和r ( a ) 是闭的设算子 d = i 二：i ， 是从i 玎j 呵o ( 一4 ) 到研o 厂( 一4 ) 的算子经计算可得， 肋= a + 蹦r b 2 2 s 甓2 二牛 a l 小a 由引理1 1 2 ，可得兄( a ) r ( b ) 类似地，设算子 t = j 苫 1 是从瓦丽。 厂( ) 到瓦两。( ) 的算子经计算可得a + ：b t 因此，由引 理1 1 2 ，我们有r ( a ) r ( b + ) 设算子 g = a 1z ： ， 是从丽o 厂( 一4 ) 到j 丽o ( ) 的算子由于r ( b 2 2 ) 和冗( a ) 是闭的，因此算 子r ( c ) 是闭的又由于b = p 一1 g q ，故由引理1 1 8 有，r ( b ) 是闭的，所以b 十 存在因此有b b + b = b 所以，a b + a = t b b + b d = t ( b b + b ) d = t b d = t a 又由计算可得t a = a 故a b + a = a 由引理1 1 8 可得，as b 当算子a 和b 是自伴算子时，我们有下面的结论 定理1 2 5 设a ，b 廖( w ) 如果算子a 和b 是自伴算子，则有 a 茎b 当且仅当4 = b p 对于某些投影算子p 8 ) 成立 证明必要性：如果有a 童b ，由定理1 2 1 有。 a = 吉： 且b = 名1 芝。 设算子 p = ：】， 是从瓦两o ( 一4 ) 到砸万o ( 一4 ) 的算子则有， 一 a l 之m ： - a 1 汁a 又有p = p + = p 2 故p 是投影 充分性：设存在算子p 是投影，即p = p + = p 2 ，使得a = b p ，则令丸： p t l o p 上7 4 , ，由于删是b 的不变子空间，则有 口= 1z 。 且a = 1 ： 由定理1 1 1 ，a 量b 定理1 2 0 设算子a ，b 8 ( 钝) 是闭值域的自伴算子，则 a 三b 当且仅当a ：b k 对于k 日) 的某些幂等算子k 成立 证明必要性：当a b 时，由定理1 2 4 ，可得 a = a l ： 助= a + 诺r b ”r 岛b 。2 2 1 n 设算子 k = 二汁 是从丽而o 厂( 4 ) 到丽y o 厂( 一4 ) 的算子显然有k = k 2 又 b k = a 嚣2 s 甓2 二牛 a 1 小a 充分性：由于a = b k , k = k 2 ，a + = a ，且b + = b ，则有a = a + = ( b k ) + = + b 又由算子m o o r e p e n r o s e 广义逆的定义，有下面的等式b b + a = ( b b + b ) k = b k = a ，a b + b = k + ( b b + b ) = k + b = a ，因此a b + a = k + ( b b + b ) k = k + b k = k + b + k = a 4 k = a k = b k 2 = b k = a 由定义1 1 5 ，可得a b ，证明完毕 定理1 2 7 设a ，b 8 ) 如果a 是闭值域的e p 类算子，且b 是自伴算 子，则下面的结论等价； ( 1 ) a b ( 2 ) a + a = a + b ( 3 ) a a + = 且a + 证明首先证明( 1 ) 辛( 2 ) 和( 3 ) 如果有且b ，则由定理1 2 1 ，我们有 a = a 1 ： 且b = a 1 差。 由于a 是闭值域算子，故a + 存在，则有如下的算子分块矩阵 肚h 1 ： ， 经计算可得，a + a = a + b ，a a + = b a + 因此( 2 ) 和( 3 ) 成立 ( 2 ) 辛( 1 ) 由 a = 吉： 及r ( a ) 是闭的，则有a + 存在，并且有 如h 10 如果a + a = a + b ，则有 。0 。0 _ a r l0 岛b l ，l 岛b 1 。2 。q 直接计算并比较( 1 2 6 ) 式可得， fb l l = a 1 ， 、b 1 2 = 0 又由b = b + ，则b 2 l = 0 因此 b = a 1 曼。 由定理1 2 1 可得，a 圭b 同理可证明( 3 ) 号( 1 ) 故定理证明完毕 定理1 2 8 设a ，b 8 ) 是闭值域