非线性变换生成的分形插值函数.doc

一类非线性变换下的二次分形插值函数*收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（11101191）作者简介：余跃（1978），男，江苏南通人，在读博士(Yu.Y)，从事非线性系统的理论研究。余跃1 殷久利2 (1.南通大学 理学院 江苏 南通 226007；2.江苏大学 理学院 江苏 镇江 212013)摘要： 应用分形插值方法可以模拟出预先给定的不同粗糙度的分形曲线和曲面，它能够更好地刻画出自然界中普遍存在的处处不光滑的连续形貌。因此，分形插值理论的研究有着十分重要的意义。文章介绍一类非线性变换生成的分形插值函数，探讨了它的产生机理以及生成它的迭代函数系所满足的充要条件，在此基础上给出二次分形插值函数存在唯一性的证明。研究此类分形插值函数的插值问题将为计算机图形学和景物仿真从理论上提供新的方法，具有重要的实际应用价值。关键词 分形插值；双曲型迭代函数系；二次定比中图分类号 O184 文献标识码 A 文章编号1 引言分形插值是美国数学家M.F.Barnsley于1986年提出来的，它给出了拟合数据的一种新思想和新方法。对分形插值函数的研究，有许多文献已经做了很多工作。M.F.Barnsley3,4首先利用了一组仿射变换产生的迭代函数系()生成分形插值曲线对平面上一组节点进行插值。谢和平，Dalla5,6等研究了分形插值曲面的方法。冯志刚等7,8,9对分形插值曲线的稳定性进行了理论和实验的研究。余跃10,11研究了样条分形插值曲线的构造以及三阶分形样条边界条件。通过分形曲线的研究可以拟合出实际应用中景物表面形态的逼真效果和形态，因此这一数值方法已经成为自然景物造型和计算机图形仿真的有力工具。Barnsley发现的一类特殊的，这些的不变集恰是定义在闭区间上的连续函数的图象，由此引出了分形插值函数的概念。考虑 上的情形: 上一类插值节点： 。此时双曲迭代函数系通过以下方式构造这里是压缩的同胚映射， 是满足Lipschitz条件的一类函数。通过以下方式构造： ， ， 取一组仿射变换：， (1) (2)称之为垂直比例因子，即可满足插值条件。同时此类线性迭代函数系生成的分形插值函数也可简称为仿射分形插值函数（）。Barnsley等证明了线性分形插值曲线的存在唯一性，并对此插值曲线的维数作了研究。2 一类双参数下的二次分形插值函数在以前的分形插值中，成为纵轴上的比例因子，可以称之为一种线性定比。下面，我们考虑插值于数据集合 上用非线性变换（3），（4）构成的：，其中 ， (3) (4)其中都是实常数，除了垂直方向的线性定比参数之外又增加了二次定比参数，相应的仿射变化变成非线性变换，插值生成的图像为双参数二次分形插值函数。下面我们来讨论取值的情况。为了满足插值条件，迭代函数系要满足： (5)由于在轴方向变换效果不变，故有：， (6)至于在轴方面必须满足方程组： (7)考虑到在非线性项时候，必须与线性情况符合，故有： (8)由(7)，(8)可以推出： ，从而得到： ， 最后得到， (9)其中为自由参量。垂直比例因子和的约束条件将由定理1证明给出。3 存在唯一性及其连续性定理1 对于(3),(4)所生成的，存在上一个相当于欧几里得度量的度量，关于，当和满足一定约束条件时，上述是双曲的，从而存在一个非空紧集,使.证明：定义上的度量为：（为正实数）易证此度量等价于欧几里得度量。代入（3），（4）则有 由已知，则如果，则取，否则取，均保证是双曲的，还必须有，分形插值函数为连续函数则必有最值区间，故必有自由参量满足： ，从而保证是压缩映射，从而定理得证。定义1 定义，其中：=为上述双曲型的伴随算子。的不动点。是压缩映射的不动点的充要条件是对于满足 (10)并且满足连接条件: (11)由定理1和定义1中映射T的构造，根据压缩映射原理可证：定理2上述迭代函数系存在唯一的吸引子，是满足插值条件的连续函数的图象。定理3设是对应于参数的二次定比分形插值函数，则对于双参数和，具有双李卜希兹连续性。引理1 设，压缩映射对应于参数，对应于参数，则： ， (12)其中 ， ，是常数。证明： (13)可以看成是关于的二元多项式函数，由二元函数微分中值定理 (14)由(13),(14), 命题得证。引理2 在引理1的条件下，假设分别是对应于比例因子的分形插值函数，则 ， (15)证明：由引理1，注意对伴随算子运用压缩映射原理，,整理，命题得证。由引理2，定理3是显然的。下面我们对三个结点分别用仿射分形插值和此类二次定比（非线性）分形插值函数作出图像进行数值模拟。 仿射变换. 非线性变换. 4 结论不同于仿射分形插值问题的参数只依赖于，此类非线性变换下的函数图像的形态由双参数控制，同时还依赖于点的纵坐标值，这就为分形插值曲线带来更多的变化机会，将会产生更加姿态万千的插值结果，使得曲线更加丰富多彩。参 考 文 献(Reference)1法尔科内 分形几何数学基础及其应用M(曾文曲等译)东北大学出版 19912齐东旭 分形及其计算机生成M 北京：科学出版社，19943M.F.Barnsley, Fractal Functions and InterpolationJ.Constr.Approx,2,303-309,19864M.F.Barnsley&Harrington,The calculas of fractal interpolation functionsJ.Approx Theory,1989,57:14-345Xie H, Sun H. The Study on Bivariate Fractal Interpolation Functions and Creation of Fractal Interpolation SurfaceJ.Fractals,1997,5(4):625-6346DallaL. Bivariate Fractal Interpolation Functions on GridsJ.Fractals,2002,10(1):53-587Feng Z, Xie H. On Stability of Fractal InterpolationJ.Fractals,1998,6(3):269-273 8冯志刚.岩石断面分形插值稳定性的实验研究J.江苏大学学报（自然科学版），2003,23(5):1-4.9冯志刚,余跃, 吴顺唐.一类分形曲面的插值稳定性J 江苏大学学报（自然科学版），2004,25(2).149-15210余跃，陈娟，冯志刚.样条分形插值函数定义及其若干性质J.南通大学学报（自然科学版），2005,4(1).61-6311余跃，冯志刚.分形插值样条的定义以及计算研究J.工程图学学报，2008(4)87-9012Huo-Jun Ruan,Zhen Sha,and Wei-Yi Su. Counterexamples in parameter identification problem of the fractal interpolation functionsJ J of Approximation Theory 122 (2003) 12112813Huo-Jun Ruan,Wei-Yi Su，Kui Yao, Box dimension and fractional integral of linear fractal interpolation functionsJ J of Approximation Theory 161(2009) 187197A class of dual fractal interpolation function with non-linear transformation Yu Yue1 , Yin jiu-li2(1 Factualty of Science, Nantong University, Nantong 226007, China2 Factualty of Science, Jiangsu University, Zhenjiang 212003, China)Abstract : In this paper , a kind of fractal interpolation created by the non - linear transformation is introduced. The principle and the sufficient condition of itsare discussed. The definition of the dual - fractal interpolation function and its characters are given. The research in this kind of fractal interpolation function will benefit theoretical study and application in the science of computer graphs and emulation