非齐次微分方程的求解方法.doc

毕业设计(论文)题目名称：非齐次微分方程的求解方法院系名称：理学院班 级：数学082学 号：200800134205学生姓名：李清雅指导教师：钱德亮 2012年5月2论文编号:200800134205 非齐次微分方程的求解方法Methods of solving Inhomogeneous differential Equations院系名称：理学院班 级：数学082学 号：200800134205学生姓名：李清雅指导教师：钱德亮 2012年 6 月摘 要虽然非齐次线性微分方程的求解是比较复杂的问题,但是对特定的方程还是有一定的解决方法.关于齐次线性微分方程的研究比较容易,但对于非齐次方程则要复杂的多.由于非齐次微分方程的解与齐次方程的解联系紧密,所以本文简单介绍了关于齐次微分方程与非齐次微分方程解的基础知识的基础上，通过分析,归纳总结出了一阶、二阶和n阶非齐次微分方程的解法.如常数变易法、比较系数法、简化待定系数法、算子法和叠加法等方法.通过对这些解法的研究,我们能清晰的理解各种解法适用的具体情况.由这些非齐次微分方程的基本解法,使我们能够更好的学习和理解微分方程.关键词： 微分方程,非齐次,求解方法.AbstractAlthough the solutions of the linear inhomogeneous differential equations are more complicated, there are still some special methods for specific equations. It is well known, it is relatively easy for solving to the linear homogeneous differential equations, but for linear inhomogeneous equations, it is far more complicated. Because the solution of homogeneous differential equation and the inhomogeneous equation closely linked, so this paper simply introduces the homogeneous differential equation about homogeneous differential equations of the basic knowledge of basis, through analysis, this paper concludes that the first and second order and n order inhomogeneous differential equation solution. As usual constant variation, comparative coefficient method, simplify the method of undetermined coefficients, operator method and superposition method, etc. Through the method of the research, we can clear understanding of the various solutions of the specific conditions of the applicable. By these inhomogeneous differential equation of the basic method, so that we can better learning and understanding differential equation. Key Words: Differential equations; Inhomogeneous; Methods for solvingII目录摘 要IABSTRACTII1引言12基本知识22.1一阶非齐次线性微分方程的基本概念和定理22.2二阶常系数非齐次微分方程的基本概念和定理22.3 n阶常系数非齐次线性微分方程基本概念和定理33非齐次微分方程的求解方法53.1 一阶非齐次线性微分方程的求解方法53.2二阶常系数非齐次微分方程的求解方法73.3 n阶常系数非齐次线性微分方程求解方法93.3.1 常数变易法93.3.2 比较系数法103.3.3 简化待定系数法113.3.4 叠加法123.3.5 算子法134 非齐次微分方程几种算法的比较165 总结17参考文献18致 谢19III中原工学院理学院毕业论文1引言微分方程是一门具有悠久历史的学科, 几乎与微积分同时诞生, 至今已有300多年的历史了.其理论和方法不仅广泛应用于自然科学, 而且越来越多的应用于社会科学的各个领域.时至今日, 微分方程在自然科学以及社会科学中越来越表现出它的重要作用.在长期不断的发展过程中, 微分方程一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以微分方程的问题越来越显得多种多样、而方法也越来越显得丰富多彩.凡表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.微分方程有线性或非线性、有可解或不可解等各种类型.在微分方程的理论中,线性微分方程是非常值得重视的一部分内容.这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚,而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.本文将讨论线性非齐次常微分方程,它是微分方程中典型的一类.虽然非齐次微分方程的求解是比较复杂的问题, 但是有一定的方法对比较特定的方程比较有效.由于非齐次微分方程的解与其对应的齐次方程的解联系的很紧密,所以本文简单介绍了一些齐次方程的知识.关于齐次线性微分方程的研究我们都很熟悉,所以本文主要介绍非齐次微分方程特解的求法.本文通过分析,总结并归纳了求非齐次线性微分方程的特解几种方法,包括,.以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法.它有助于学生全面了解方程的解法,便于记忆和应用,并且扩大了可求解方程的范围.本文从一阶、二阶和n阶非齐次微分方程入手,综合和引用了许多解法,以便于能够清晰明了明白各个解法适用的情况,对我们学习和应用微分方程具有较好的指导意义.2基本知识本章介绍一阶、二阶和n阶非齐次微分方程的一些基本概念和定理.这是研究非齐次微分方程解法的基础.2.1 一阶非齐次线性微分方程的基本概念和定理为了更好的理解一阶非齐次线性微分方程,我们给出如下定义.定义2.1.1 形如: (2.1) 的微分方程, 称为一阶线性微分方程, 其中,都是的连续函数.如果, 则方程(2.1)为： (2.2)这时称(2.2)为一阶线性齐次的微分方程, 如果不恒为零,则方程(2.1)称为一阶线性非齐次的微分方程.了解了什么是一阶线性非齐次微分方程,做为讨论的基础,我们给出方程求解(2.2)通解的定理. 定理2.1.1 一阶线性非齐次微分方程(2.1)的通解,是由其对应的齐次方程(2.2)的通解加上非齐次方程本身的一个特解所构成.由定理我们可以看出,要求一阶线性非齐次微分方程(2.1)的通解,只要求出其对应的齐次微分方程的通解和它本身的特解就可以得到.2.2 二阶常系数非齐次微分方程的基本概念和定理同样的,为了更好的解决问题,我们给出二阶常系数非齐次微分方程的基本定义.定义2.2.1 形如: (2.3)的微分方程,称为二阶常系数线性微分方程.其中,为常数,为的连续函数.如果,则方程为： (2.4)这时称(2.4)为二阶常系数线性齐次微分方程,如果不恒为零,则方程(2.3)称为二阶常系数线性非齐次微分方程.和一阶非齐次线性微分方程类似,二阶常系数线性非齐次微分方程的通解由其对应的齐次方程的通解和本身的特解构成.我们给出如下定理：定理2.2.1 如果函数是非齐次方程的一个特解,是对应的齐次方程的通解,那么 (2.5) 就是该非齐次方程(2.3)的通解. 由定理2.2.1可以知道求方程(2.3)的通解要知道其本身的特解,为此,我们给出求其特解的方法,有如下定理:定理2.2.2 如果函数与分别是非齐次方程与的一个特解, 那么就是非齐次方程的一个特解. 知道了求方程(2.3)通解和特解的方法,我们很容易求出它的解.2.3 n阶常系数非齐次线性微分方程基本概念和定理做为求解n阶常系数非齐次线性微分方程的基础,我们先给出其基本定义.定义2.3.1 形如: (2.6)的微分方程,称为n阶常系数线性微分方程,其中为常数,是的连续函数.如果, 则方程(2.6)为： (2.7)这时称(2.7)为n阶常系数齐次线性微分方程,如果不恒为零,则方程(2.6)称为n阶常系数非齐次线性的微分方程.同一阶、二阶非齐次线性微分方程类似,n阶常系数齐次线性微分方程有着类似的解的结构,有如下定理：定理2.3.1 常系数非齐次线性微分方程(2.6)的通解是由其对应的齐次方程的基本解组,再加上非齐次方程(2.6)的一个特解所构成.那么 其中为任意常数,就是该非齐次方程(2.6)的通解.为了更容易的理解本文中将要介绍的简化待定系数法,我们给出如下定理：定理2.3.2 方程 (2.8) 其中为常数,为m次多项式.则可设方程(2.8)的一个特解 其中是待定系数,由恒等式来确定,为方程(2.8)的特征方程,k为由特征方程的根的重数(是单根时k=1,不是特征根时k=0).因为n阶常系数非齐次线性微分方程的求解是比较复杂的问题,我们给出本节常用符号.本节常用符号：为方程(2.6)的特征方程.是特征根,其对应的重数分别为.是方程(2.6)对应齐方程的基本解组.3非齐次微分方程的求解方法在上一章中我们认识了关于微分方程的一些基本知识,在本章中我们会重点介绍一阶、二阶和n阶非齐次微分方程的求解方法.3.1 一阶非齐次线性微分方程的求解方法由定理2.1.1可以知道,要求一阶非齐次线性微分方程的通解,就要求出其对应的齐次方程的通解和其本身的特解.下面介绍其对应的齐次方程通解的求法.一阶线性齐次微分方程的求解步骤为(即分离变量法):分离变量, 得 ,两边积分, 有 ,因此,一阶线性齐次的微分方程的通解为: (2.9)其中,由于也是方程的解,所以式中可为任意常数.显然,当为常数时,(2.9)式不是非齐次微分方程(2.1)的解,现在设想一下, 把常数换成待定函数后,(2.9)式会是方程(2.1)的解吗? 于是给出如下常数变易法:设,得 ,代入方程(2.1),得,即,因此,一阶线性非齐次微分方程的通解为: . (2.10)下面分析一下,一阶线性非齐次微分方程的通解结构.由于通解(2.10)也可写成: .上式右边第一项是非齐次方程(2.1)所对应的齐次方程(2.2)的通解,而第二项是非齐次方程(2.1)的一个特解(取得到),于是有定理2.1.1.于是用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程的通解步骤为：第一步,先求出其对应的齐次微分方程的通解:;第二步,将通解中的常数换成待定函数,即,求出,最后写出非齐次微分方程的通解.因此,一阶线性非齐次微分方程的求解方法有两种：方法一: 用常数变易法求解;方法二: 直接用公式(2.10)求解.当原方程不是线性方程时,但通过适当的变换,可将它化为线性方程.然后用以上方法求解.为了能清楚的理解和更好的掌握这两种方法,我们给出如下例子.例1 求一阶线性非齐次微分方程的通解.解 方法一(用常数变易法求解):第一步,先求的通解,分离变量,得 ,两边积分,有,则的通解为:;第二步,设, 代入原方程, 得,即,于是原方程的通解为:.方法二(直接用公式(2.4)求解):将, 直接代入得 一阶非齐次微分方程的求解是比较简单的,可以先求其对应齐次方程的通解和其本身的特解,也可以直接利用公式.3.2 二阶常系数非齐次微分方程的求解方法一阶非齐次线性微分方程的求解和二阶常系数非齐次微分方程的求解很类似,定理2.2.1与定理2.1.1比较,可以看出,二阶常系数线性非齐次微分方程与一阶线性非齐次微分方程有相同的解结构.由定理2.2.1可知,要求二阶非齐次微分方程的解需要知道二阶齐次微分方程的解.下表给出二阶齐次微分方程的解.特征方程的两个特征根,齐次方程的通解两个不相等的实根与两个相等的实根一对共轭复根与表3-1 二阶常系数线性齐次微分方程的通解由定理2.2.1可知, 求非齐次方程 的通解步骤为:第一步,求出对应齐次方程的通解;第二步,求出非齐次方程的一个特解;第三步,写出所求非齐次方程的通解为.可以看出,关键是第二步非齐次方程的一个特解如何求. 由定理2.2.2,我们不加证明的,直接用表3-2给出两种常见类型的非齐次方程的一个特解.的形式条件特解的形式不是特征根是特征单根是特征重根不是特征方程根是特征方程根表3-2 二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解注：a.是一个已知的次多项式, 是与有相同次数的待定多项式;b. 为已知常数, 为待定常数.求出其对应齐次方程的通解和其本身的特解后,由定理2.2.1,我们很容易得出二阶非齐次微分方程的解.为了更好的理解,我们分别给出两种常见类型的例子.例2 求微分方程的通解解 第一步,求对应齐次方程的通解.因特征方程为 ,所以特征根为 (是重根),故对应齐次方程的通解为：;第二步,求原方程的一个特解.因中的恰是特征方程的重根, 故可设：,其中为待定系数,则,代入原方程,得,比较等式两边,可解得 故原方程的一个特解为： 第三步, 于是原方程的通解为：.例3 求方程的一个特解.解 因为中的 (其中)恰是特征单根,从而可设特解为：,代入原方程, 可解得 故原方程的一个特解为： .3.3 n阶常系数非齐次线性微分方程求解方法n阶常系数非齐次线性微分方程求解相对于一阶二阶而言是比较复杂的问题,由定理2.3.1我们可以看出其解的结构和一阶二阶的相同,其通解我们在齐次微分方程的研究中已经很熟悉,本章主要介绍是求特解的方法.由定理2.3.1可知,方程(2.6)的求解步骤一般是：先求方程(2.6)对应齐次方程的基本解组 ,再设法求出方程(2.6)的一个特解,则方程(2.6)的通解易得为为任意常数.一般来说,求齐次线性微分方程的基本解组比较容易,问题在于怎样求解方程(2.6)的特解.下面将一一介绍几种求方程(2.6)的特解的方法.3.3.1 常数变易法 常数变易法实际上也是一种变量变换的方法,在一阶非齐次线性微分方程中我们已举过例子,在这里简单介绍一下在n阶方程中的应用.可设方程(2.6)的特解形如： (2.11)其中是待定常函数.将其代入方程(2.8),并附加n-1个条件,便可得方程组(2.12) (2.12) 解方程组(2.12)得到的表达式,对它们分别进行积分从而得,再将它们代入(2.11)式中,继而得到了方程(2.6)的一个特解.此法对于自由项的形式没有限制,故使用范围较广,但求解的工作量大.例4 求方程的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为.解 应用常数变易法,令将它代入方程,则可决定和的两个方程及 解得 ,由此于是原方程的通解为 ,其中为任意常数.3.3.2 比较系数法 对于常系数非线性方程(2.6),我们更常用的是比较系数法,它是把求解微分方程的问题转化成某代数问题,在自由项为,(其中分别为m次,n次,s次多项式.为实常数)时,可预见确定特解的形式,即分别令,为一待定m次多项式,k是方程(2.6)的特征方程有根时的次数)或,(其中为两个代定m次项式,k为方程含根的次数.)然后将其代入方程(2.6),并利用比较左右两边同次幂系数的方法确定代定系数多项式.再根据线性微分方程解的结构定理就可求方程的通解.例5 求的通解.解 特征方程有三重根,对应齐次方程的通解为 ,且方程有形状为的特解,将它代入方程得 ,比较系数求得 从而 故方程的通解为.其中为任意常数.3.3.3 简化待定系数法 比较系数法只用了代数方法,不经过积分,相对于算子法、常数变易法来说具有易掌握,有好记忆的优点.但同学们在解题过程中也不难发现,比较系数法的计算量比较大,尤其当方程为高阶时,算起来相当麻烦,稍不小心就很容易出错.下面介绍第3种方法简化待定系数法,从而改进了原待定系数法.由定理2.3.2可以看出,在这里不做过多介绍,只介绍一个特例.例6 对于方程当不是特征方程时,有特解当是特征方程的单根时,有特解当时特征方程的重根时,有特解当,是特征方程的k重根,则方程(1)有特解 而形如(分别为m次和n次多项式,为常数),则可利用Euler公式化为指数形式便得上述结果仍有效. 例7 求方程的一个特解.解 因为可得所以根据因为 故原方程有一个特解 3.3.4 叠加法常数,多项式,指数函数,正弦余弦函数组成的函数集合有一个明显的性质,就是它们的和或积的导数仍是同类函数的集合的和或积.因为导数的线性组合必须与相等,故假设与形式相同是合理的.用叠加法求解一般分为两步：第一步,求相关齐次方程的解.第二步,假设特解.假设特解时一定要注意余函数的形式.要设特解分两种情况：情形：假设的特解函数中所包含的函数不是余函数中的项,则是所有线性无关函数组成的线性组合,这些线性无关函数可由重复微分得到.情形II：所假设的特解函数同时也是相关齐次线性方程的一个解,则当表中的m项函数形式组成时,常设特解为 是相应于这些项的特解形式,且有一般性结论：任何包含 有和余函数相同的项,那么必须给乘上 ,这里 n是不会导致有重复项的最小正整数.用叠加法解决问题时,要特别注意第二步求特解时的情况,要注意分清是哪种情形.例8 叠加法求特解：.解 第一步,求相关齐次方程的解第二步,中的表明特解包含一个线性多项式.进一步,的导数含有和两项,也可以假设特解包含和,即,相应地设 ,把,代入方程有 , 则 .3.3.5 算子法用(微分算子)表示对求导的运算 ,把 记作,把 记作从而把方程(2.6)记作,记 (2.13)则方程(2.6)可化为 (2.14)称(2.13)为算子多项式, 称(2.14)为方程(2.6)的算子表示式. 下面1)、2)的内容见文献5.1)算子多项式的性质(1)；(2)若,则；(3)若,则；2)算子多项式的逆算子(1) 逆算子的定义对于表达式(2.14),把 记作它的任一个解, 则 称为算子的逆算子,也可记为.(2)逆算子 的性质(3)逆算子的运算法则若且,则 . 若,且,则 . 设为m次多项式, ,又 按 的升幂展开为级数时,前面的 次多项式,记为 ,则 ； .若,则 .为了更好的了解算子法,我们给出下面的例子.例9 求方程的特解.解 ,此方程的算子表示式为 ,所以特解为 , 要求 ,先求 , 从而 , 的解为 ,又 ,故原方程的特解为 . 4 非齐次微分方程几种解法的比较由第二章第三章的内容我们了解了非齐次微分方程的一些概念和解法,为了更好的了解这几种解法,我们给出几种解法的比较：(1)比较系数法只用了代数方法,不经过积分,相对于算子法、常数变易法来说具有易掌握,有好记忆的优点.但同学们在解题过程中也不难发现,比较系数法的计算量比较大,尤其当方程为高阶时,算起来相当麻烦,稍不小心就很容易出错,而且比较系数法对方程(2.6)右端函数的形式作了严格要求, 当且仅当满足两种特殊情形时, 才能用此方法求(2.6)的特解, 否则不行. (2)叠加法作为对比较系数法的补充,解决了除两种特殊情况外的一些 的类型. (3)常数变易法虽对的形式未作要求,但需要进行大量积分运算,且计算量大,当的形式较复杂时,可能无法通过初等运算求出原函数,这也大大缩小了此方法的使用范围. (4)算子法同时克服了上述两种方法的缺点,具有适用面广、计算量准确度高、简单易行的优点,在求解过程中发挥着巨大作用.对初学者来说,在学习了前两种方法之后,可通过适当练习加深对这两种方法的理解有了一定的理论和实践基础之后,再掌握算子的定义、性质及求解过程,并通过具体例子,采用一题多解的方法体会算子法的应用,则今后的学习可起到事半功倍的作用.5 总结常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类,它在自然科学领域里有比较广泛的应用.本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法,包括常数变易法、比较系数法,以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法,叠加法,算子法.以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法.本文从一阶,二阶和n阶非齐次微分方程出发,探讨了非齐次微分方程的求解方法,对于丰富自己的数学专业知识提供了很大帮助.但是由于时间和个人水平有限,有许多方法未曾列出,只列举了一些常见的方法.在这许多方法之中,一阶和二阶的解法比较清晰明了,n阶算法中出现的算