中考数学复习资料教案讲义资料(二轮专题讲解与训练)第一部分.pdf

中考数学复习丏题精讲 各类思想方法归纳 中考数学压轴题例举 专题梳理专题梳理 层层推进层层推进 突破重点突破重点 分析难点分析难点 介绍热点介绍热点 例题精析例题精析 真题模拟真题模拟 快速提高快速提高 将初中知识有机整合 打通知识点之间联系 突出重难点 考点 强化训练 将初中知识有机整合 打通知识点之间联系 突出重难点 考点 强化训练 融会贯通 全面提升中考复习效果 融会贯通 全面提升中考复习效果 前 言 中考数学复习专题精讲中考数学复习专题精讲资料适用于全资料适用于全国国各省市中考数学第一轮 第二轮各省市中考数学第一轮 第二轮 总复习 本系列与 总复习 本系列与 中考数学复习精讲精练 学习手册中考数学复习精讲精练 学习手册 讲义资料 讲义资料 配套使 配套使 用 效果更好 用 效果更好 数学部分共数学部分共包括包括 1616 个专题 每个专题包括 要点梳理 解题方法 模个专题 每个专题包括 要点梳理 解题方法 模 拟训练 组成 拟训练 组成 要点梳理 要点梳理 全面总结每个专题考查方法 考查重点 全面总结每个专题考查方法 考查重点 解题 解题 方法 方法 总结了每个专题解题规律方法 总结了每个专题解题规律方法 模拟训练 模拟训练 选取近三年中考真题选取近三年中考真题 中 中 考压轴题考压轴题 使本资料具有较强的仿真 押题性质使本资料具有较强的仿真 押题性质 以全面提升实战能力 本以全面提升实战能力 本 资料资料所有训练题目附详细答案 所有训练题目附详细答案 本资料适用于各省市各版教材本资料适用于各省市各版教材 欢迎广大师生选用 本资料在编排的过 欢迎广大师生选用 本资料在编排的过 程中经过精心设计和细致核对 囿于水平 疏漏之处在所难免 敬请广大读程中经过精心设计和细致核对 囿于水平 疏漏之处在所难免 敬请广大读 者不吝批评指正 者不吝批评指正 慧择精品屋是您的忠实伴侣 欢迎您的光临 qq 2740999614 更多精 品 敬请访问 慧择精品屋慧择精品屋 20142014 年年 1111 月月 目目 录录 专题 1 方程 组 与不等式 组 问题 1 专题 2 方程型综合问题 5 专题 3 函数型综合问题 9 专题 4 方程与函数相结合型综合问题 14 专题 5 探索型问题 18 专题 6 开放型问题 25 专题 7 方案设计型问题 31 专题 8 阅读理解型问题 37 专题 9 分类讨论型问题 48 专题 10 图表信息问题 53 1 丏题 1 方程 组 与不等式 组 问题 专专专专题题题题1 1 方方方方程程程程 组组组组 与与与与不不不不等等等等式式式式 组组组组 问问问问题题题题 要点梳理要点梳理 方程是贯穿初中代数的一条知识主线 方程 组 与不等式 组 是解决应用题 实 际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识 应用范围非常广泛 很多数学问题 特别 是有未知数的几何问题 就需要用方程 组 与不等式 组 的知识来解决 在解决问题 时 把某个未知量设为未知数 根据有关的性质 定理或公式 建立起未知数和已知数间 的等量关系或不等关系 列出方程 组 与不等式 组 来解决 这对解决和计算有关的 数学问题 特别是综合题 是非常需要的 近几年中考注重对学生 知识联系实际 的考查 实际问题中往往蕴含着方程与不等 式 分析问题中的等量关系和不等关系 建立方程 组 模型和不等式 组 模型 从而 把实际问题转化为数学模型 然后用数学知识来解决 解题方法 解题方法 方程 组 与不等式 组 是代数中的重要内容 有的已知方程 组 的解求方程 组 应用题的条件编制 也有根据方程进行数学建模等等 解决有关方程 组 与不等式 组 的试题 首先弄清题目的要求 其次 充分考虑结果的多样性 使答案简明 准确 模拟训练 模拟训练 类型一类型一 根据图表信息列方程根据图表信息列方程 组组 或不等式解决问题或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式 由此解决实际问题 根本 在于得到数量之间的关系 1 如图所示的两架天平保持平衡 且每块巧克力的质量相等 每个果冻 的质量也相等 则一块巧克力的质量是 g 2 教师节来临之际 群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献 一 束鲜花 每束由 4 支鲜花包装而成 其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花 同一种鲜 花每支的价格相同 请你根据第一 二束鲜花提供的信息 求出 第三束鲜花的价格 3 某厂工人小王某月工作的部分信息如下 信息一 工作时间 每天上午 8 20 12 00 下午 14 00 16 00 每月 25 元 信息二 生产甲 乙两种产品 并且按规定每月生产甲产品的件数不少于 60 件 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表 生产甲产品件数 件 生产乙产品件数 件 所用总时间 分 10 10 350 30 20 850 2 中考数学复习丏题精讲 信息三 按件计酬 每生产一件甲产品可得 1 50 元 每生产一件乙产品可得 2 80 元 根据以上信息 回答下列问题 1 小王每生产一件甲种产品 每生产一件乙种产品分别需要多少分 2 小王该月最多能得多少元 此时生产甲 乙两种产品分别多少件 类型类型二 二 借助方程组合或不等式 组 解决方案问题借助方程组合或不等式 组 解决方案问题 借助二元一次方程组和一元一次不等式 组 求解方案问题是中考一种新题型 考察了同学们综合 运用方程组和不等式深入的分析 比较 归纳和说理的能力 4 某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动 行李共有 100 件 学校计划租用甲 乙两种型号的 汽车共 8 辆 经了解 甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李 乙种汽车每辆最多能载 30 人和 20 件行李 1 设租用甲种汽车 x 辆 请你帮助学校设计所有可能的租车方案 2 如果甲 乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元 1800 元 请你选择最省钱的一种租车 方案 5 暑假期间 小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动 一天小明随父亲从银行换回来 58 张 共 计 200 元的零钞用于顾客付款时找零 细心的小时清理了一下 发现其中面值为 1 元的有 20 张 面值为 10 元的有 7 张 剩下的均为 2 元和 5 元的钞票 你能否用所学的数学方法算出 2 元和 5 元的钞票的各有 多少张吗 请写出演算过程 6 为支持四川抗震救灾 重庆市 a b c 三地现在分别有赈灾物资 100 吨 100 吨 80 吨 需要 全部运往四川重灾地区的 d e 两县 根据灾区的情况 这批赈灾物资运往 d 县的数量比运往 e 县的数 量的 2 倍少 20 吨 1 求这批赈灾物资运往 d e 两县的数量各是多少 2 若要求 c 地运往 d 县的赈灾物资为 60 吨 a 地运往 d 的赈灾物资为 x 吨 x 为整数 b 地运 往 d 县的赈灾物资数量小于 a 地运往 d 县的赈灾物资数量的 2 倍 其余的赈灾物资全部运往 e 县 且 b 地运往 e 县的赈灾物资数量不超过 25 吨 则 a b 两地的赈灾物资运往 d e 两县的方案有几种 请你 写出具体的运送方案 3 已知 a b c 三地的赈灾物资运往 d e 两县的费用如下表 a 地 b 地 c 地 运往 d 县的费用 元 吨 220 200 200 运往 e 县的费用 元 吨 250 220 210 为即使将这批赈灾物资运往 d e 两县 某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用 在 2 问的 要求下 该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少 7 5 月 1 日 目前世界上最长的跨海大桥 杭州湾跨海大桥通车了 通车后 苏南 a 地到宁波 港的路程比原来缩短了 120 千米 已知运输车速度不变时 行驶时间将从原来的 3 时 20 分缩短到 2 时 1 求 a 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程 3 丏题 1 方程 组 与不等式 组 问题 2 若货物运输费用包括运输成本和时间成本 已知某车货物从a 地到宁波港的运输成本是每千 米 1 8 元 时间成本是每时 28 元 那么该车货物从 a 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少 元 3 a 地准备开辟宁波方向的外运路线 即货物从 a 地经杭州湾跨海大桥到宁波港 再从宁波港 运到 b 地 若有一批货物 不超过 10 车 从 a 地按外运路线运到 b 地的运费需 8320 元 其中从 a 地 经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与 2 中相同 从宁波港到 b 地的海上运费对一批不超过 10 车的货物计费方式是 一车 800 元 当货物每增加 1 车时 每车的海上运费就减少 20 元 问这批货 物有几车 类型类型三 三 借助方程 不等式或函数求极值问题借助方程 不等式或函数求极值问题 在生活中学数学 到生活中用数学 是新课标所倡导的一个主旨之一 我们可以利用数学知识 求解生活中的实际问题 有些问题可以借助于方程 不等式和函数知识来求一些问题的极值问题 这就 要求我们建立恰当的数学模式来解决 8 5 12 汶川大地震震惊全世界 面对人类特大灾害 在党中央国务院的领导下 全国人民万 众一心 众志成城 抗震救灾 现在ab 两市各有赈灾物资 500 吨和 300 吨 急需运往汶川 400 吨 运往北川 400 吨 从ab 两市运往汶川 北川的耗油量如下表 汶川 升 吨 北川 升 吨 a 市 0 5 0 8 b 市 1 0 0 4 1 若从 a 市运往汶川的赈灾物资为x吨 求完成以上运输所需总耗油量 y 升 与 x 吨 的 函数关系式 2 请你设计一种最佳运输方案 使总耗油量最少 并求出完成以上方案至少需要多少升油 9 某公司有 a 型产品 40 件 b 型产品 60 件 分配给下属甲 乙两个商店销售 其中 70 件给甲店 30 件给乙店 且都能卖完 两商店销售这两种产品每件的利润 元 如下表 a 型利润 b 型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 1 设分配给甲店 a 型产品x件 这家公司卖出这 100 件产品的总利润为 w 元 求 w 关于x的 函数关系式 并求出x的取值范围 2 若公司要求总利润不低于 17560 元 说明有多少种不同分配方案 并将各种方案设计出来 3 为了促销 公司决定仅对甲店a型产品让利销售 每件让利a元 但让利后 a 型产品的每件 利润仍高于甲店 b 型产品的每件利润 甲店的 b 型产品以及乙店的 a b 型产品的每件利润不变 问该 公司又如何设计分配方案 使总利润达到最大 10 某校八年级举行英语演讲比赛 拍了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品 经过了 4 中考数学复习丏题精讲 解得知 该超市的a b两种笔记本的价格分别是 12 元和 8 元 他们准备购买者两种笔记本共 30 本 1 如果他们计划用 300 元购买奖品 那么能卖这两种笔记本各多少本 2 两位老师根据演讲比赛的设奖情况 决定所购买的a种笔记本的数量要少于b 种笔记本数量的 3 2 但又不少于b种笔记本数量的 3 1 如果设他们买a种笔记本n本 买这两种 笔记本共花费w元 请写出w 元 关于n 本 的函数关系式 并求出自变量 n 的取值范围 请你帮助他们计算 购买这两种笔记本各多少时 花费最少 此时的花费是多少元 5 丏题 2 方程型综合问题 专专专专题题题题2 2 方方方方程程程程型型型型综综综综合合合合问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 方程型综合题一直是中考命题的热点 也是中考试题中常见的中档题 这类试题主要 是结合代数式的恒等变形 求代数式的值 或通过解方程 组 解不等式 组 利用函数知 识求参数的值或取值范围 证明与方程有关的代数式解 解题方法 解题方法 1 一个思一个思想方法想方法 方程是研究数量关系的重要工具 在处理生活中实际问题时 根据已知与未知量之间 的联系及相等关系建立方程或方程组 从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想 2 2 一个解题步骤一个解题步骤 运用方程思想解题的一般步骤为 1 把问题归结为确定一个或几个未知数 2 挖掘问题中已知与未知数量之间的等量关系 建立方程或方程组 3 求解或讨论所得方程或方程组 4 检验并作出符合问题实际的回答 模拟训练 模拟训练 1 班长去文具店买毕业留言卡 50 张 每张标价 2 元 店老板说可以按标价九折优惠 则班长应付 a 45 元 b 90 元 c 10 元 d 100 元 2 家电下乡是我国应对当前国际金融危机 惠农强农 带动工业生产 促进消费 拉动内需的一项 重要举措 国家规定 农民购买家电下乡产品将得到销售价格 13 的补贴资金 今年 5 月 1 日 甲商场 向农民销售某种家电下乡手机 20 部 已知从甲商场售出的这 20 部手机国家共发放了 2340 元的补贴 若设该手机的销售价格为 x 元 以下方程正确的是 a 20 x 13 2340 b 20 x 2340 13 c 20 x 1 13 2340 d 13 x 2340 3 若关于 x 的一元二次方程为 ax 2 3bx 5 0 a 0 的一个根是 2 那么 4a 6b 的值是 a 4 b 5 c 8 d 10 4 在一幅长为 80 cm 宽为 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边 制成一幅矩 形挂图 如图所示 如果要使整个挂图的面积是 5400 cm 2 设金色纸边的宽为 x cm 那么 x 满足的方 程是 a x 2 130 x 1400 0 b x2 65x 350 0 c x 2 130 x 1400 0 d x2 65x 350 0 5 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 2x a 0 有两个相等的实数根 则 a 的值是 a 1 b 1 c 1 4 d 1 4 类型一 类型一 方程根的问题方程根的问题 6 阅读下面的材料 回答问题 6 中考数学复习丏题精讲 解方程 x 4 5x2 4 0 这是一个一元四次方程 根据该方程的特点 它的解法通常是 设 x2 y 那么 x 4 y2 于是原方程可变为 y2 5y 4 0 解得 y 1 1 y2 4 当 y 1 时 x 2 1 x 1 当 y 4 时 x2 4 x 2 原方程有四个根 x1 1 x2 1 x3 2 x4 2 1 在由原方程得到方程 的过程中 利用 法达到 的目的 体现了数学的转化思 想 2 解方程 x 2 x 2 4 x2 x 12 0 探究提高 探究提高 在解题过程中 体会换元法在解方程时化难为易 化繁为简的优点 本题中用换元法达 到降次的目的 将高次方程转化为一元一次或一元二次方程 7 已知关于 x 的方程 x 2 2ax a 2b 0 其中 a b 为实数 1 若此方程有一个根为 2a a 0 判断 a 与 b 的大小关系并说明理由 2 若对于任何实数 a 此方程都有实数根 求 b 的取值范围 类型二 类型二 三角形中动点类问题三角形中动点类问题 8 如图 已知 abc 中 ab ac 10 厘米 bc 8 厘米 点 d 为 ab 的中点 1 如果点 p 在线段 bc 上以 3 厘米 秒的速度由 b 点向 c 点运动 同时 点 q 在线段 ca 上由 c 点向 a 点运动 若点 q 的运动速度与点 p 的运动速度相等 经过 1 秒后 bpd 与 cqp 是否全等 请说明理由 若点q的运动速度与点p的运动速度不相等 当点q 的运动速度为多少时 能够使 bpd 与 cqp 全等 2 若点 q 以 中的运动速度从点 c 出发 点 p 以原来的运动速度从点 b 同 时出发 都逆时针沿 abc 三边运动 求经过多长时间点 p 与点 q 第一次在 abc 的哪条边上相遇 探究提高 探究提高 这是一个动点问题 要明确动点的运动时间 运动速度 可求得动点的移动路程 根据 问题中的等量关系 列出方程 求出动点的运动时间或运动速度 9 如图 已知射线 de 与 x 轴和 y 轴分别交于点 d 3 0 和点 e 0 4 动点 c 从点 m 5 0 出发 以 1 个单位长度 秒的速度沿 x 轴向左作 匀速运动 与此同时 动点 p 从点 d 出发 也以 1 个单位长度 秒的速度 沿射线 de 的方向作匀速运动 设运动时间为 t 秒 1 请用含 t 的代数式分别表示出点 c 与点 p 的坐标 2 以点 c 为圆心 1 2t 个单位长度为半径的 c 与 x 轴交于 a b 两 7 丏题 2 方程型综合问题 点 点 a 在点 b 的左侧 连接 pa pb 当 c 与射线 de 有公共点时 求 t 的取值范围 当 pab 为等腰三角形时 求 t 的值 探究提高 探究提高 问题中 pab 为等腰三角形 注意分类讨论 则有 pa pb 或 pa ab 或 pb ab 用 含 t 的代数式来表示 pa ab pb 或由此寻找等量关系 列出以 t 为未知数的方程 求得方程的解 即 得到 t 的值 类型三 类型三 函数类问题函数类问题 10 已知一次函数 y1 x m 的图象与反比例函数 y2 6 x的图象交于 a b 两点 已知当 x 1 时 y1 y2 当 0 x 1 时 y1 y2 1 求一次函数的解析式 2 已知双曲线在第一象限上有一点 c 到 y 轴的距离为 3 求 abc 的 面积 11 已知抛物线 y x 2 2x a a 0 与 y 轴相交于点 a 顶点为 m 直线 y 1 2x a 分别与 x 轴 y 轴 相交于 b c 两点 并且与直线 am 相交于点 n 1 填空 试用含 a 的代数式分别表示点 m 与 n 的坐标 则 m n 2 如图 将 nac 沿 y 轴翻折 若点 n 的对应点 n 恰好落在抛物线上 an 与 x 轴交于点 d 连 接 cd 求 a 的值和四边形 adcn 的面积 3 在抛物线 y x 2 2x a a 0 上是否存在一点 p 使得以 p a c n 为顶点的四边形是平行四 边形 若存在 求出 p 点的坐标 若不存在 请说明理由 8 中考数学复习丏题精讲 类型四 类型四 用代数方法解几何问题用代数方法解几何问题 12 正方形 abcd 的边长为 4 e 是 bc 边的中点 f 是 dc 边上的点且 df 1 4dc ae 与 bf 相交于 g 点 求 abg 的面积 审题视角 审题视角 题目给了 e f 点的位置 则可利用边的比例 和同高三角形底 边长之比 面积比 要构成等高 很自然就会想到添加辅助线 利用题目给的 比例关系求解 答题模板 答题模板 第一步 添加辅助线 将边的比例关系转化为面积的比例关系 第二步 根据同高 或等高 的三角形面积比等于边的比 用字母表示相关三角形的面积的关系 第三步 由已知条件 根据等量关系 列出含所设字母的所有方程 第四步 解方程或方程组 求出所设字母的值 进而求出问题中的未知量 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点 完善解题步骤 9 丏题 3 函数型综合问题 专专专专题题题题3 3 函函函函数数数数型型型型综综综综合合合合问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 我们目前所学的函数主要有一次函数 正比例函数 二次函数 反比例函数 在解决 函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式 1 函数型综合题 主要以函数为主线 利用函数的图象与性质 解题时要注意函数 的图象信息 点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等 2 函数是初中数学的重点 也是难点 更是中考命题的主要考查对象 由于这类题 型能较好地考查学生的函数思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化思想 能较全面地 反映学生的综合能力和较好的区分度 因此是各地中考的热点题型 压轴题的主要来源 并且长盛不衰 年年有新花样 回顾以下知识点 回顾以下知识点 一 平面直角坐标系中 x 轴上的点表示为 x 0 y 轴上的点表示为 0 y 坐标 轴上的点不属于任何象限 二 一次函数 解析式 y kx b k b 是常数 k 0 当 b 0 时 是正比例函数 1 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 2 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 三 二次函数 1 解析式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 2 顶点式 y a x m 2 n 顶点为 m n 3 交点式 y a x x1 x x2 与 x 轴两交点是 x1 0 x2 0 2 抛物线位置由 a b c 决定 1 a 决定抛物线的开口方向 a 0 开口向上 a 0 开口向下 2 c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c 0 图象与 y 轴交点在 x 轴上方 c 0 图象过原点 c 0 图象与 y 轴交点在 x 轴下方 3 a b 决定抛物线对称轴的位置 对称轴 a b x 2 a b 同号对称轴在 y 轴左侧 b 0 对称轴是 y 轴 10 中考数学复习丏题精讲 a b 异号对称轴在 y 轴右侧 4 顶点 4 4 2 2 a bac a b 5 b2 4ac 决定抛物线与 x 轴交点情况 0 抛物线与 x 轴有两个不同交点 0 抛物线与 x 轴有唯一的公共点 0 抛物线与 x 轴无公共点 四 反比例函数 解析式 0 k x k y 1 k 0 时 图象的两个分支分别在一 三象限 在每一象限内 y 随 x 的增大而减 小 2 k 0 时 图象的两个分支分别在二 四象限 在每一象限内 y 随 x 的增大而增 大 解题方法 解题方法 1 1 一个思想方法一个思想方法 函数思想是指在运动变化中 充分利用函数的概念 图象及性质去观察问题 分析问 题 转化问题 解决问题 用函数思想解题 主要利用两点 1 分析自变量的取值范围 确定有关字母的取值范围 2 根据函数的图象与性质 直观地发现解题思路 2 2 一个解题策略一个解题策略 应用函数思想解题 确立变量之间的函数关系式是一关键步骤 大致可分为下面两种 情况 1 根据题意建立变量之间的函数关系式 把问题转化为相应的函数问题 2 根据需要构造函数 利用函数的相关知识解决问题 模拟训练 模拟训练 1 反比例函数 y 6 x图象上有三个点 x1 y1 x2 y2 x3 y3 其中 x1 x2 0 x3 则 y1 y2 y3 的大小关系是 a y1 y2 y3 b y2 y1 y3 c y3 y1 y2 d y3 y2 y1 2 如图 二次函数 y ax2 bx 2 的大致图象如图所示 则函数 y ax b 的图象不经过 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 3 已知一次函数 y kx b k 0 经过 2 1 3 4 两点 则它的图象不 经过 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 4 坐标平面上 二次函数 y x 2 6x 3 的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点 11 丏题 3 函数型综合问题 a x 50 b x 50 c y 50 d y 50 5 如图 已知抛物线 y1 2x 2 2 直线 y 2 2x 2 当 x 任取一值 时 x 对应的函数值分别为 y1 y2 若 y1 y2 取 y1 y2中的较小值记为 m 若 y1 y2 记 m y1 y2 例如 当 x 1 时 y1 0 y2 4 y1 y2 此时 m 0 下列判断 当 x 0 时 y1 y2 当 x 0 时 x 值越大 m 值越小 使得 m 大于 2 的 x 值不存在 使得 m 1 的 x 值是 1 2或 2 2 其中正 确的是 a b c d 6 二次函数 y 2x 2 ax b 的图象经过点 2 3 并且其顶点在直线 y 3x 2 上 求 a b 的值 探究提高探究提高 确定函数解析式 一般采用待定系数法 比如二次函数解析式有三种形式 y ax 2 bx c y a x m 2 k y a x x 1 x x2 其中含有不同的待定系数 选择哪一种解析式 要认 真分析特点 找到最简捷的方案 7 已知关于 x 的二次函数 y m 2 x 2 4nx 3 的图象的对称轴是直线 x 2 且顶点在反比例函数 y 2 x的图象上 求此二次函数的解析式 8 已知抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴交于 a 1 0 和 b 3 0 它的顶点到 x 轴的距离等于 4 直 线 y kx m 经过抛物线与 y 轴的交点和抛物线的顶点 求抛物线和直线的解析式 探究提高探究提高 解答此题最容易犯的错误就是忽略抛物线的顶点有在 x 轴上方 下方两种情况 而只考虑顶点在 x 轴上方的情况 顾此失彼 所 以应当培养思维的严谨性 9 已知 如图 抛物线 y a x 1 2 c 与 x 轴交于点 a 1 3 0 和 点 b 将抛物线沿 x 轴向上翻折 顶点 p 落在点 p 1 3 处 1 求原抛物线的解析式 2 学校举行班徽设计比赛 九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感 过点 p 作 x 轴的平行线交抛物线于 c d 两点 将翻折后得到的新图象在 直线 cd 以上的部分去掉 设计成一个 w 型的班徽 5 的拼音开头字 母为 w w 图案似大鹏展翅 寓意深远 而且小明通过计算惊奇的发现这 个 w 图案的高与宽 cd 的比非常接近黄金分割比 5 1 2 约等于0 618 请 你计算这个 w 图案的高与宽的比到底是多少 参考数据 5 2 236 6 2 449 结果可保留根 号 12 中考数学复习丏题精讲 10 若 x1 x2是关于一元二次方程 ax 2 bx c a 0 的两个根 则方程的两个根 x 1 x2和系数 a b c 有如下关系 x1 x2 b a x 1 x2 c a 把它称为一元二次方程根与系数关系定理 如果设二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象与 x 轴的两个交点为 a x 1 0 b x2 0 利用根与系数关系定理可以得到 a b 两点间的距离为 ab x1 x2 x1 x2 2 4x 1x2 b a 2 4c a b 2 4ac a 2 b 2 4ac a 参考以上定理和结论 解答下列问题 设二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象与 x 轴的两个交点 为 a x1 0 b x2 0 抛物线的顶点为 c 显然 abc 为等腰三角形 1 当 abc 为直角三角形时 求 b 2 4ac 的值 2 当 abc 为等边三角形时 求 b 2 4ac 的值 探究提高探究提高 本题考查了等腰直角三角形 等边三角形的性质 抛物线与 x 轴的交点及根与系数的关系定理 综合性较强 解题时要善于用 数形结合 的方法来解题 通过 数 与 形 之间的对应和转化来解决问题 通过 形 来研究 数 利用 数 来研究 形 利用图形 的直观 找到解题的捷径 简化运算过程 11 已知 y 关于 x 的函数 y k 1 x 2 2kx k 2 的图象与 x 轴有交点 1 求 k 的取值范围 2 若 x1 x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标 且满足 k 1 x1 2 2kx 2 k 2 4x1x2 求 k 的值 当 k x k 2 时 请结合函数图象确定 y 的最大值和最小值 12 茶厂种植某品牌绿茶 由历年来市场销售知道 从每年 3 月 25 日起的 180 天内 绿茶市场销售 单价为 y 元 与上市时间 t 天 的关系可以近似地用图 中的一条折线表示 绿茶的种植除了与气候 种植技术有关外 其种植的成本单价 z 元 与上市时间 t 天 的关系可以近似地用如图 的抛物线表示 1 直接写出图 中表示的市场销售单价 y 元 与上市时间 t 天 的函数关系式 2 求出图 中表示的种植成本单价 z 元 与上市时间 t 天 的函数关系式 3 若认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价 问何时上市绿茶收益单价最大 13 丏题 3 函数型综合问题 说明 市场销售单价和种植成本单价的单位 元 500 克 14 中考数学复习丏题精讲 专专专专题题题题4 4 方方方方程程程程与与与与函函函函数数数数相相相相结结结结合合合合型型型型综综综综合合合合问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 方程与函数相结合型综合题 历来是各地中考试题中的热点题型 主要是以函数图象 建立函数的图象及性质和方程的有关理论的综合 解题时要注意函数的图象信息与方程的 代数信息的相互转化 例如 函数图象与 x轴交点的横坐标即为相应的方程的根 点在函 数图象上即点的坐标满足函数的解析式等 解题方法 解题方法 1 1 一个联系一个联系 函数与方程虽是两个不同的数学概念 但它们之间相互联系 相互渗透 一个函数若 有表达式 那么这个表达式就可以看成是一个方程 它的两端可以分别看成函数 因此 许多有关方程的问题可用函数的方法解决 反之 许多有关函数的问题也可以用方程的方 法解决 2 2 两个思想两个思想 方程思想 函数思想的实质是提取问题的数学特征 用联系和变化的观点研究数学对 象 抽象其数量特征 以建立函数关系 很明显 只有在对问题的观察 分析 判断等一 系列的思维过程中 具备深刻 独特的思维品质 才能构造出函数模型 化归为方程的问 题 实现函数与方程的互相转化 达到解决问题的目的 模拟训练 模拟训练 1 已知梯形 abcd 的四个顶点的坐标分别为 a 1 0 b 5 0 c 2 2 d 0 2 直线 y kx 2 将梯形分成面积相等的两部分 则 k 的值为 a 2 3 b 2 9 c 4 7 d 2 7 2 将一张边长为 30 cm 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为 x cm 的小正方形 然后折叠成 一个无盖的长方体 当 x 取下面哪个数值时 长方体的体积最大 a 7 b 6 c 5 d 4 3 如图是直线 y x 3 的图象 点 p 2 m 在该直线的上方 则 m 的取 值范围是 a m 3 b m 1 c m 0 d m 3 4 已知二次函数 y ax 2 bx c 中 其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示 x 0 1 2 3 4 y 4 1 0 1 4 点 a x1 y1 b x2 y2 在函数的图象上 则当 1 x1 2 3 x2 y2 b y1b 的图象如下图所示 则函数 y ax b 的图象可能正确的是 6 一次函数 y k1x b 和反比例函数 y k 2 x 的图象相交于点 p m 1 n 1 点 q 0 a 在函数 y k1x b 的图象上 且 m n 是关于 x 的方程 ax 2 3a 1 x 2 a 1 0 的两个不相等的整数根 其中 a 为整数 求一次函数和反比例函数的解析式 探究提高 探究提高 解决问题只需找到问题的关键所在 解答本题的关键是求出一元二次方程的整数根 注 意整数 x2 a 1 a 1 1 a a 1 当 a 1 时 x 2 2 x1 不合题意 所以 x1 2 x2 0 另外 求出这 两个整数根之后 不要忽略 m 2 n 0 的情况 要做到分类讨论 不遗漏不重复 7 已知关于 x 的方程 mx 2 3m 1 x 2m 2 0 1 求证 无论 m 取任何实数时 方程恒有实数根 2 若关于 x 的二次函数 y mx 2 3m 1 x 2m 2 的图象经过坐标原点 0 0 求抛物线的解析 式 3 在直角坐标系 xoy 中 画出 2 中的函数图象 结合图象回答问题 当直线 y x b 与 2 中的 函数图象只有两个交点时 求 b 的取值范围 8 已知抛物线 y ax 2 bx c 经过点 p 2 2 且与 x 轴交于点 a 与 y 轴交于点 b 点 a 的横 坐标是方程4 x 1 x 1 1 的根 点 b 的纵坐标是不等式组 2x 1 0 4 3x 0 的整数解 求抛物线的解析式 探究提高 探究提高 本题涉及分式方程 一元二次不等式组 二次函数等知识 注意分式方程的验根 不等 式组特殊解的求法 16 中考数学复习丏题精讲 9 已知 关于 x 的方程 ax 2 1 3a x 2a 1 0 1 当 a 取何值时 二次函数 y ax 2 1 3a x 2a 1 的对称轴是 x 2 2 求证 a 取任何实数时 方程 ax 2 1 3a x 2a 1 0 总有实数根 10 已知 关于 x 的方程 mx 2 3 m 1 x 2m 3 0 1 当 m 取何整数值时 关于 x 的方程 mx 2 3 m 1 x 2m 3 0 的根都是整数 2 若抛物线 y mx 2 3 m 1 x 2m 3 向左平移一个单位后 过反比例函数 y k x k 0 上的一点 1 3 求抛物线 y mx 2 3 m 1 x 2m 3 的解析式 利用函数 图象求不等式k x kx 0 的解集 探究提高 探究提高 对于关于 x 的方程 mx 2 3 m 1 x 2m 3 0 当 m 0 时 是一元一次方程 3x 3 0 x 1 有整数根 当 m 0 是一元二次方程 mx 2 3 m 1 x 2m 3 0 x 1 mx 2m 3 0 方程 有两个实数根 x 1 x 2m 3 m 2 3 m 根据整数的性质 可以得到 m 1 3 抛物线 y mx 2 3 m 1 x 2m 3 向左平移一个单位得到 y m x 1 2 3 m 1 x 1 2m 3 将 1 3 代入解得 m 3 最后由函数图象得出不等式的解集 11 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 abcd 的三个顶点 b 1 0 c 3 0 d 3 4 以 a 为 顶点的抛物线 y ax 2 bx c 过点 c 动点 p 从点 a 出发 沿线段 ab 向点 b 运动 同时动点 q 从点 c 出发 沿线段 cd 向点 d 运动 点 p q 的运动速度均为每秒 1 个单位 运动时间为 t 秒 过点 p 作 pe ab 交 ac 于点 e 1 直接写出点 a 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 e 作 ef ad 于点 f 交抛物线于点 g 当 t 为何值时 acg 的面积最大 最大值为多少 3 在动点 p q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 abcd 内 包括边界 存在点 h 使以 c q e h 为顶点的四边形为菱形 请 直接写出 t 的值 12 关于 x 的二次函数 y x 2 k2 4 x 2k 2 以 y 轴为对称轴 且与 y 轴的交点在 x 轴上方 1 求此抛物线的解析式 并在平面直角坐标系中画出该函数的草图 17 丏题 4 方程与函数相结合型综合问题 2 设 a 是 y 轴右侧抛物线上一个动点 过点 a 作 ab 垂直于 x 轴于点 b 再过点 a 作 x 轴的平行线 交抛物线于点 d 过点 d 再作 dc 垂直 x 轴于点 c 得到矩形 abcd 设矩形 abcd 的周长为l 点 a 的横 坐标为 x 试求l与 x 的函数关系式 3 当点 a 在 y 轴右侧的抛物线上运动时 矩形 abcd 能否成为正方形 若能 求出此时正方形的周 长 若不能 请说明理由 18 中考数学复习丏题精讲 专专专专题题题题5 5 探探探探索索索索型型型型问问问问题题题题 要点梳理 要点梳理 1 规律探索型问题 是指数学对象所具备的状态或关系不明确 需对其本质属性进行 探索 从而寻求 发现其所服从的某一特定规律或具有的不变性 规律探索型问题也是归纳猜想型问题 其特点是 给出一组具有某种特定关系的数 式 图形 或是给出与图形有关的操作变化过程 或某一具体的问题情境 要求通过观察 分析推理 探究其中蕴含的规律 进而归纳或猜想出一般性的结论 规律探索型问题包括 两类问题 数字类规律探索问题 图形类规律探索问题 1 数字类规律探索问题 解答数字类规律探索问题 应在读懂题意 领会问题实质的前提下进行 或分类归纳 或整体归纳 得出的规律要具有一般性 而不是一些只适合于部分数据的 规律 2 图形类规律探索问题 解答图形类规律探索问题 要注意分析图形特征和图形变换规律 一要合理猜想 二 要加以实际验证 规律探索问题的解题方法一般是利用特殊值 特殊点 特殊数量 特殊线段 特殊位置 等 进行归纳 概括 从特殊到一般 从而得出结论 2 条件探索型问题 给出问题的结论 让解题者分析探索使结论成立应具备的条件 而满足结论的条件往往不唯一 需要采用证明 推断去探索发现并补充完善 使结论成 立 它要求解题者善于从问题的结论出发 逆向追索 多途寻因 3 结论探索型问题 给定明确条件但未明确结论或结论不唯一 要求解题者充分利用 条件进行大胆而合理的猜想 然后对猜想的结论进行证明 这类题主要考查解题者的发散 思维和所学基本知识的应用能力 4 存在探索型问题 指在一定条件下需探索发现某种数学关系是否存在的问题 解题 时一般是先对结论作肯定存在的假设 然后由此肯定的假设出发 结合已知条件进行推理 论证 若导出矛盾 则否定先前假设 若推出合理的结论 则说明假设正确 由此得出问 题的结论 解题方法 解题方法 1 1 四个解题方法四个解题方法 1 规律探索型问题 通过观察 类比特殊情况中数据特点 将数据进行分解重组 猜想 归纳得出规律 并用数学语言来表达这种规律 同时要用结论去检验特殊情况 以 肯定结论的正确 2 条件探索型问题 该类问题结论明确 需要完备条件 因此需要利用结论进行积 极的探索 分析已知条件 要使结论成立还需什么条件 写出符合题意的条件 3 结论探索型问题 该类问题仅给出某种情境而没有明确的结论 或结论不唯一 19 丏题 5 探索型问题 或结论需要类比 引伸推广 或题目给出特例 要通过归纳总结得出一般结论 探索时要 将观察 猜想和结论有机地结合起来 4 存在探索型问题 是指在某种条件下判断具有某种性质的数学结论是否存在的一 类问题 解题时先假设结论成立 以此为条件进行运算或推理 若无矛盾 则假设成立 由此得出符合条件的结论成立 否则结论不存在 2 2 解探索型问题应注意以下三点 解探索型问题应注意以下三点 1 认真审题 确定目标 也就是把握题中涉及的有关概念 公式 定理 法则 方 法 尽可能地进行联想 以获得最佳解题途径 2 善于挖掘隐含条件 提高准确性 做到不漏条件 判断准确 运算合理 3 开阔思路 因题定法 此类问题解答无定法 只有在分析命题的基础上联想并利 用与之有关的概念 把问题转化为熟悉的情形处理 才能找到切实可行的解法 模拟训练 模拟训练 1 如图 连接在一起的两个正方形的边长都为 1 cm 一个微型 机器人由点 a 开始按 abcdefcga 的顺序沿正方形的边循环移动 第一次到达g点时移动了 cm 当微型机器人移动了2012 cm 时 它停在 点 2 一列数 a1 a2 a3 其中 a1 1 2 a n 1 1 an 1 n 为不小于 2 的整数 则 a 4的值为 a 5 8 b 8 5 c 13 8 d 8 13 3 大于 1 的正整数 m 的三次幂可 分裂 成若干个连续奇数的和 如 2 3 3 5 33 7 9 11 43 13 15 17 19 若 m 3 分裂后 其中有一个奇数是 2013 则 m 的值是 a 43 b 44 c 45 d 46 4 已知 顺次连接矩形各边的中点 得到一个菱形 如图 再顺次连接菱形各边的中点 得到 一个新的矩形 如图 然后顺次连接新的矩形各边的中点 得到一个新的菱形 如图 如此反复操 作下去 则第 2012 个图形中直角三角形的个数有 a 8048 个 b 4024 个 c 2012 个 d 1066 个 20 中考数学复习丏题精讲 类型类型一 一 规律探索问题规律探索问题 5 如图 在直角坐标系中 已知点 p0的坐标为 1 0 将线段 op0按逆时针方向旋转 45 再将 其长度伸长为 op0的 2 倍 得到线段 op1 又将线段 op1按逆时针 方向旋转 45 长度伸长为 op1的 2 倍 得到线段 op2 如此下去 得到线段 op3 op4 opn n 为正整数 1 求点 p6的坐标 2 求 p5op6的面积 3 我们规定 把 点 pn xn yn n 0 1 2 3 的横坐标 xn 纵坐标 yn都取绝 对值后得到的新坐标 xn yn 称之为点 pn的 绝对坐标 根 据图中点 pn的分布规律 请你猜想点 pn的 绝对坐标 并写出 来 探究提高探究提高 本题属于规律探索型问题 数学对象所具备的 状态或关系不明确时 需对其本质属性进行探索 从而寻求 发现其所服从的某一特定规律或具有的不 变性 解题方法一般是利用特殊值 特殊点 特殊数量 特殊线段 特殊位置等 进行归纳 概括 从特 殊到一般 从而得出规律 6 已知下列 n n 为正整数 个关于 x 的一元二次方程 x 2 1 0 x2 x 2 0 x2 2x 3 0 x 2 n 1 x n 0 1 请解上述一元二次方程 2 请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点 写出一条即可 类型类型二 二 存在探索型问题存在探索型问题 7 已知 如图 abc 是边长为 3 cm 的等边三角形 动点 p q 同时从 a b 两点出发 分别沿 ab bc 方向匀速移动 它们的速度都是 1 cm s 当点 p 到达点 b 时 p q 两点停止运动 设点 p 的运 动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 为何值时 pbq 是直角三角形 2 设四边形 apqc 的面积为 y cm 2 求 y 与 t 的关系式 是否存在某 一时刻 t 使四边形 apqc 的面积是 abc 面积的2 3 如果存在 求出相应的 t 值 若不存在 说明理由 探究提高探究提高 存在探索题是指在一定条件下 需探索发现某种数学关系是否存在的问题 解题方法 一般是先对结论作肯定存在的假设 然后由此肯定的假设出发 结合已知条件进行推理论证 若导出矛 盾 则否定先前假设 若推出合理的结论 则说明假设正确 引出问题的结论 21 丏题 5 探索型问题 8 如图 已知抛物线过点 a 0 6 b 2 0 c 7 5 2 1 求抛物线的解析式 2 若 d 是抛物线的顶点 e 是抛物线的对称轴与直线 ac 的交点 f 与 e 关于 d 对称 求证 cfe afe 3 在 y 轴上是否存在这样的点 p 使 afp 与 fdc 相似 若存 在 请求出所有符合条件的点 p 的坐标 若不存在 请说明理由 类型类型三 三 结论探索型问题结论探索型问题 9 已知点 p 在线段 ab 上 点 o 在线段 ab 延长线上 以点 o 为圆心 op 为半径作圆 点 c 是圆 o 上的一点 1 如图 如果 ap 2pb pb bo 求证 cao bco 2 如果 ap m m 是常数 且 m 1 bp 1 op 是 oa ob 的比例 中项 当点 c 在圆 o 上运动时 求 ac bc 的值 结果用含 m 的式子 表示 3 在 2 的条件下 讨论以 bc 为半径的圆 b 和以 ca 为半径的圆 c 的位置关系 并写出相应 m 的取值范围 探究提高 探究提高 本题给定条件但无明确结论 或结论不唯一 而需探索发现与之相应的结论 10 小明和同桌小聪在课后复习时 对课本 目标与评定 中的一道思考题 进行了认真的探索 思考题 如图 一架 2 5 米长的梯子 ab 斜靠在竖直的墙 ac 上 这时 b 到墙 c 的距离为 0 7 米 如 果梯子的顶端沿墙下滑 0 4 米 那么点 b 将向外移动多少米 1 请你将小明对 思考题 的解答补充完整 解 设点 b 将向外移动 x 米 即 bb1 x 则 b1c x 0 7 a1c ac aa1 2 5 2 0 72 0 4 2 而 a1b1 2 5 在 rt a1b1c 中 由 b1c 2 a 1c 2 a 1b1 2得方程 解方程得 x1 x2 故点 b