（电磁场与微波技术专业论文）应用于平面fss的有限元边界积分法.pdf

摘要 本文首先介绍了频率选择表面的基本概念，包括频率选择表面的结构、电磁特 性、应用以及各种数值分析方法在其上的应用。简单介绍了有限元在电磁散射计 算上的发展，并就有限元方法在f s s 特性分析应用的前人成果给以简介。文中使 用的有限元展开基函数为矢量棱边元基函数，给出了二维和三维网格基本单元的 展开式形式。本文所涉及的f s s 结构为单层平面无限f s s 阵列，因此对这种结构 的场的基本构成的理解很重要。首先推导出弗洛盖模的标量和矢量形式，举例说 明了传输反射曲线的形式及受介质层的影响方式 一应用有限元和边界积分方程结合的方法分析单层平面f s s 阵列。推导出有限 元泛函表达式，给出分析这种问题的边界条件的处理方法。利用f o r t r a n 语言编制 程序对网格进行剖分和有限元计算程序，给出两种结构的计算结果。 利用h f s s i o 0 有限元分析软件对平面f s s 阵列进行了仿真，给出仿真的基本 理论依据和仿真的方法，并给出四种结构的仿真结果。 关键词：频率选择表面有限元勉界积分弗洛盖模h f s s i o 0 a b s t r a c t a t 缸i ，t h et l l e s i sm a k e s 缸m 删u c t i o no ft h ef s s ，w h i c hm c l u d 船i t ss t r u c t u r e 、 e l e c t r o m a g n e t i cc h a r a c t e f i s t i c 、a p p l i c a t i o na n dn u m e r i c a lm 幽d s o f 也ef s s nm a k e s as i m p l ym 廿o d u c t i o ft h ea p p f i c 撕o no ff i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h e 鲇锄【e r i l l g p r o t e i n t h e ni t 鲫m m a r i z e st h ef o r m 盯e x p e r t sp r o d u c ( i o na b o mt h e 峭a g eo ft h e f e mi nt h ea n a l y s i so ff s sp r o b l e m 1 1 圮觚t ee l e m e n tb a s i si st h ee d g e - b a s e db a s i s t h ee x p a n s i o nf o r mm c l u d 髓2 - da n d3 = dp r o b l e mi sg i v 饥ms t r u c t u r et ob e s t u d i e di st h es i n g l ei n f m i t ef s sa r r a y , i ti si m p o r t a n tt ok n o wt h ef i e l do ft h e s t r u c t u r e 1 1 ”t b c s i sg i v 鹤t h e a l 盯a n dt h ev e c t o rf l u o q u e tm o d ef o r m t h r o u o e x a m p l e s i tm a k e sa n a l y s i so f t l l em c d i u m se f f e c tt ot h es t r u c t u r e t oa n a l y z et h es i n g l ef s sa r r a y , i tc o m b i n e st h ef e ma n dt h eb o u n d a r yi n t e 鲥 哪t i o m 刃艟氆t h ew e a kf o r m l l l ai so v e n 刀砖p r o c e s s i n go f t h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni s a i t h ec o n t e l l 忸t h ec o d ei nt h i st h e s i si sp r o 伊龇吼c d 曲gt h ef o r t r a nl 姐g u a g e ，a n d t h er e s u l ti sg i v e i l a tl a s t , t h eh f s sl o 0 i c w a r ei su s e dt os i m l l l a t et h es t r u c t u r e ng i v e st h e s i m m 撕o nt h e o 巧a n dm e t h o d ，a n dt h e nf o u re x a m p l ea n dr e s u l ta r eg i v 饥 k e y w o r d s ：f r c q u e n c ys e l e c t i v es u r f a c e ( f s s ) m e g r a lc q u a t i o n ，y l u o q u e tm o d e ，h f s s l 0 0 u 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。、 学位论文作者签名：弛 弘n 年 月1 ，f 日 指导教师签名 避 年月日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：趔i 加。7 年) 月，日 西j e 工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 频率选择表面简介 第一章绪论 许多年来，频率选择表面( f s s ) 在实际应用中的独特性质，使得关于f s s 的 学术研究和实践应用的工作成为一个热门的研究方向。关于频率选择表面的认识， 最初是源自于光学领域的光栅的概念。在1 9 4 7 年美俄亥俄州立大学天线实验室( 后 被称为电子科学实验室) 的建设者g e o r g es i n c l a i r 发现当将天线置于飞机上时将 会贡献很多的电磁散射。因此一系列的降低天线r c s 的研究被付诸实施，其中一 种方法就是采用频率选择表面。这种方法成为一种主要的方法并已延续至今。频 率选择表面是由周期排列的金属片或金属屏上的孔穴元素组成的。对这些组成元 素的响应频率周围频率的波具有全传输或全反射功能。典型的频率选择表面结构 如下图给出。 ( a ) 正方形贴片单元( b ) 线性偶极子单元 ( c ) 圆形单元( d ) 十字单元 ( e ) 耶路撒冷十字单元 ( f ) 方形环单元( g ) 圆环形单元( h ) 正方形缝萌c 单元 图1 - 1 频率选择表面的典型结构 频率选择表面对微波或光波具有选频滤波器的性能。f s s 的谐振频率和频率响应 特性主要决定于单元的形状和尺寸，但同时也受其周期性结构和排列方式的影响。 它可以按正方形或矩形排列，也可采用三角形排列。此外，f s s 的实际应用中不可 能独立存在于自由空间，它必须依附在介质基片上，或嵌夹在上下两层介质基片 西北工业大学硕七学位论文 第一章绪论 之间，因此基片材料的参数和厚度亦会影响f s s 的谐振频率和响应特性。 近年来，频率选择表面已经广泛应用于微波波段到可见光波段，应用范围十 分广泛，涉及电磁领域的许多方面。在微波波段，f s s 被应用于频率复用反射面天 线，以提高其反射面的有效利用率。如图卜3 所示，f s s 被置于两个不同频段的馈 源之问，它对较低频段f l ( 4 6 g h z ) 呈现无反射的“全传输”，因而形成前馈的单反 射面系统，而对较高频段f 2 ( 1 2 1 4 g h z ) 则形成“全反射”，构成后馈的双反射面天 线系统。这种设计已广泛应用于卫星地面站的频率复用天线。 周期结构 、策8 1 钏謦晌k 诜h 埔潭 图1 2 利用频率选择表面的反射面天线系统 频率选择表面也可用于设计雷达罩。f s s 在天线工作频带内具有一个带通的性 质。雷达罩对雷达天线的工作频段是完全透明的，而对于工作频段外的电磁波则 能起到良好的抑制作用这样既可以有效降低外来的带外干扰，又可以减小飞机的 前向散射，从而降低目标的r e s 。下图即为应用于天线罩的情况。 图卜3 频率选择表面设计的带通雷达罩 在远红外和可见光区域，频率选择表面可被设计成太阳能吸收表面，以用来 帮助吸收太阳能。在设计频带内的太阳光可以充分透过，而不需要的电磁波被反 射掉，从而获得较为“纯净的太阳能”。 关于f s s 分析方法的研究，虽然开始得很早，而且一直在发展更新，但迄今 仍很不完善，f s s 的主要分析方法有以下几种： 2 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 变分法，由于其成败依赖于试探函数的选取，仅出现在早期文献中。 2 等效电路法，只适用于单元结构有明显的电能，磁能集中区域的特殊f s s ， 不能用于综合设计，也不能用于多层f s s 的组合结构分析。 3 模式分析法，又可称为全波分析法，物理概念比较完整，结果比较精确， 但由于计算量的关系，在低频区较好。 4 谱域法，实质上是谱域模式分析法，较一般模式分析法，不仅利用了场的 周期性，还注意到电流分布的周期特征，故求解模型简单，计算量小。 上述l ，2 两种方法又可归入标量分析法，其余归入矢量分析法。它们的主要 区别是前者给出的信息较少，而后者的计算量要大得多。 随着f s s 应用的深入和推广，必然要求诞生结构新颖、简单、指标优良的f s s ： 简单、准确的分析方法；灵活可靠的综合优化设计方法，都将有很广阔的发展前 景。 1 2 有限元方法简介 在大部分关于f s s 的算法中，都不可避免的需要建立复杂的数学模型和进行 大量的计算，像矩量法等方法在构建复杂模型时，比较吃力，而有限元方法则因为 其解决复杂问题的特性，是一个很好的算法。有限元建立了一条连续系统离散逼 近的自然途径，这就是有限元方法的特性。到目前为止，作为一种十分有效的数 值算法，有限元方法已广泛的应用于各类工程技术领域，例如流体力学，空气动 力学、结构应力、应变分析、以及各种场变量温度、压力、电磁场的计算等 等。1 9 6 9 年，e p s i l v e s t e r 有关波导模求解的文章是一个里程碑，标志着电磁学有 限元方法的出现。不久，有限元被应用于求解电机磁场、静电场、波导本征值、 涡流场、散射与辐射场等等，涉及电磁学的各个领域。有关电磁有限元的文章和 商用软件也大量出现。这些表明，有限元理论在电磁学领域已趋于成熟，然而有 限元方法十分适用于闭域问题的求解，对于散射等开域问题则较为朋难，三十年 来这个领域新的方法层出不穷，但是一直未发展到接近工程应用的水平。显然这 是广阔而复杂，值得深入研究的领域。 有限元求解电磁散射问题的困难之处在于，有限元是一种区域性方法，受计 算机存储空间和运算速度的限制；而电磁散射是一个开域问题，有限元方法不可 能将离散域扩展到无限空间，这就需要一个特殊的边界条件一开域边界条件为 有限元确定一个有限大的计算区域，将开域问题转化为闭域问题。有限元边界条 件可以分为局域边界条件与全域边界条件。全域边界条件准确的描述了散射体外 部空间的电磁特性，是精确的边界条件，然而由于考虑了边界上所有节点间的相 3 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 互作用，全域边界条件离散化之后会形成一个稠密矩阵，使有限元与全域边界条 件的耦合矩阵失去稀疏性，不利于存储和求解。相反，局域边界条件只考虑相邻 节点间的相互作用，因此保持了系统矩阵的稀疏性；不足之处是局域边界条件一 般为精确辐射边界条件的某种近似精度和应用范围有限。 ( 1 ) 全域边界条件 电磁散射问题早期的开域边界条件几乎都是全域边界条件，最早引入的是边 界积分方程，先驱者是s i l v e s t e r , m c d o n a l d 等，他们在7 0 年代初的工作奠定了全域 边界条件的基础，使有限元具备了求解散射问题的能力。单矩法是稍后出现的全 域边界条件，在单矩法的边界上，散射场展开为本证函数和的形式，待求变量是 各个本征函数的展开系数。由于这种方法的边界形状仅限于圆形( 2 d ) 、球形( 3 d ) ， 对于狭长的散射体效率不高，故未能得到推广。在后来出现的有限元矩量法，有 限元边界元等方法，在本质上都可以归入有限元边界积分方程法或统称有限元混 合方法。七十年代由于计算机尚未普及，混合方法没能得到重视，至八十年代中 期，该方法逐渐得到关注，被广泛地应用于二维、三维电磁散射计算以及天线辐 射特性的计算，是公认的精确数值方法。 ( 2 ) 局域边界条件 吸收边界条件a b c ( a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n i d i t i o n ) 是全域边界条件的典型 代表，七十年代末出现，在有限元、时域有限差分等方法中得到广泛应用。吸收 边界条件模拟了散射体外部自由空间的电磁散射特性，使散射波能自由穿过边界， 或者说边界完全吸收。吸收边界条件的建立方法是将局域算子应用于波动方程， 或者使散射波展开式的前几项在边界处被吸收。常用的是e n g q u i s t - m a j d a 和 b a y l i s s t u r k e l 型吸收边界条件，前者适用于平面边界，后者适用于圆形、球形边 界。二维的吸收边界条件已经有了完整的理论体系，在实践中广为采用。三维矢 量吸收边界条件仍在发展中，有许多问题尚未解决，是研究的一个方向。 完全匹配层p m l ( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ) 是近年来出现的，最出色的局域 边界条件。在理想状态下，p m l 对入射波的吸收与频率及入射角无关，不会改变 有限元系统矩阵的稀疏性，而且更好的吸收效果只需增加p m l 的厚度就可以实现。 大量的研究成果表明，p m l 能够设置在距离散射体很近的距离上，且吸收效果优 于a b c 。 以上是介绍的边界条件的问题，另外因为电磁场在导体、介质的边角处存在 两类奇异性，一类是场矢量的方向发生突变，另一类是场矢量的辐值变的无限大， 即存在场的奇异性问题。因此在三维问题中，倾向于用矢量单元来描述有限元场 问题。矢量单元的应用始于上世纪8 0 年代初期，九十年代开始被研究人员广泛接 4 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 受成为三维计算电磁学的主流单元。 1 3 有限元方法应用于f s s 的发展 矩量法或其他的一些计算方法在解决倾斜排列的f s s 结构或是当考虑介质的 特性的影响时，构建模型比较困难，因为此时是一个三维问题。通常考虑的是有 限元边界元相结合的精确算法，这比较适合像f s s 这种结构的计算。在文献0 8 中提到了二维f s s 的应用问题，这里二维单元胞的场是由有限元离散表示的场和 利用等效原理表示的有限周期域的耦合表示的。在文献【5 】 9 】【1 2 】中提到了有效的 三维有限元边界积分的方法分析阵列结构，这里的问题都是一些背腔问题。关于 像f s s 这样的开域问题的的研究发展起来的有两种表示方法。在文献【3 】中提到了 应用弗洛盖边界元表示的积分边界处理方法，在文献【4 】中则利用了周期格林函数 来表示积分边界。利用周期格林函数从形式上讲较为复杂些，同时要考虑函数的 奇异性问题，所以在本文使用弗洛盖模边界元展开积分方程的方法分析f s s 。当然 在这些问题中，f s s 这种特殊结构的边界积分和周期边界的处理是主要的研究方 向。因为使用了级数展开的形式，所以级数的收敛问题也有一些研究1 4 j 。 1 4 小结 本章内容介绍了频率选择表面的基本概念和已有的应用的举例。阐述了有限元 方法的发展，基本了解了有限元方法的优缺点，并可以与其他的方法有一个对比， 然后对前人关于有限元应用于f s s 分析作了一个总结。 西北工业大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 第二章矢量有限元方法 2 1 有限元方法概述 本文研究的问题使用到了一种应用所谓矢量基或矢量元的方法。它将自由度 赋予棱边，该方法也叫做棱边元。虽然w h i t n e y 早在5 0 年前就描述过这些类型的 单元，但它们在电磁学中的应用及其重要性质到1 9 9 0 年代才被认识到。到1 9 8 0 年代中期，n e d e l e c 讨论了四面体和矩形块棱边元的构造。b o s s a v i t 和v e r i t e 将 四面体棱边元应用于三维涡流问题。h a n o 独立地导出了矩形棱边元，并用于介质 加载波导的分析。m a r 和d eh o o p 考虑了非均匀媒质中的电磁场问题。v a nw e l i j 和k a m e a r i 应用六面体棱边元进一步考虑了棱边元在涡流计算中的应用。更近， b a r t o n 和c e n d e s 将四面体棱边元用于三维磁场计算，同时，c r o w l e y 提出了一种 更复杂的单元类型，即所谓的协变投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。使用 棱边元可以克服使用结点基单元来表示矢量电场或磁场时出现的伪解，同时可以 方便的在材料界面和导体表面强加边界条件，减少了处理导体和介质边缘以及角 的困难性。下面分别就二维、三维矢量有限元分析作一阐述。 2 2 二维棱边元 二维问题的有限元分析，所使用的单元为矩形单元和四边形单元，下面就这 两种单元的棱边元基函数及泛函计算公式予以阐述。 2 2 1 矩形单元 考虑下图所示的矩形单元，它的边长在z 和) ，方向分别为鬈和巧，它的中心 在( ，) 。如果单元每边被赋予一个不变的切向场分量，那么，该单元的场可展 开为： = 吉( 彰+ 罢一y ) 爵+ 古( y 一形+ 争 ( 2 一) 6 西北工业大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 1，oii e 髟= 吉( + 等一x ) 巧。+ 砉。一+ 号) ( 2 2 ) j - 从这些表达式中不难看出，爵表示沿棱边( 1 ，2 ) 的巨分量，类似地，点乏是沿 棱边( 4 ，3 ) 的e 分量。五；i 、e ：可以类似确定 x n 翅 颦 4 圈2 - 1 矩形棱边单元 现在，如果定义棱边( 1 ，2 ) 作为棱边1 、棱边( 4 ，3 ) 作为棱边2 、棱边( 1 ，4 ) n - 。 作为棱边3 、棱边( 2 ，3 ) 作为棱边4 ，那么，( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式综合到一块可 以写成， e = 孵耳 ( 2 - 3 ) 其中，霹表示沿第f 个棱边的切向场，孵是矢量插值函数或基函数，它们由下列 式子给出； 兢= 专雠+ 罢一力； c 2 4 ， 命：= 专0 ，一成+ 等) 三 ( 2 s ) 裔：= 吾( + 三一聋) 多 ( 2 6 ) 裔：= 扣+ 争多 c 2 。) 这些基函数的一个重要的特征是：n ，只在第i 棱边上有切向分量，而在其它所有 的边上都没有切向分量。因此，通过所有单元棱边的切向场的连续性得到保证。 这些函数的另一个特殊性质是，每个函数在单元范围内满足散度条件v j = 0 因此，在无源区域中，用它们来表达矢量场是理想的。而且，这些函数的旋度可 t 巧上 西北工业大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 以很容易地找到： v 命：2 吉：，v 命：= 一毒；，v 命；= 一吉：，v 命：= 吉： 它们显然是非零常数。 要注意的是，这些矢量基函数是为了建立场表达式中切向场的连续性而提出 的。用z 矢量乘这些函数，得到另一组矢量基函数删 擎，这些函数保证了法向连 续性。 2 2 2 四边形单元 矩形单元的缺点是不能模拟不规则几何单元，故四边形单元在此被提出。四 边形单元可被看作是变形的矩形单元。为了建立四边形单元的矢量基函数，首先 引入一种坐标变换，它把x y 平面上的四边形单元变换成新的勿坐标平面内的正方 形单元( 如图2 - 2 所示) 。只要在四边形四个结点上满足下面的关系，即可很容易 的找到这种变化， x = 口+ 6 孝+ 研+ d 善玎，y = 口+ 6 善+ c r + d 孝，7 ( 2 8 ) 由此，可以得到 五= 口一b c + d ，咒= a 一6 l c i + d 而= a + b c - - d ，儿= a + b - c - d 而= 口+ 6 + c + d ，乃= 口+ 6 + f + d 毛= a - b + c - d ，儿= 口l 6 + c l d 解出位置系数，并把它们代入到( 2 8 ) 式，可得到： 4 x = 吖( 善，玎) ，j ，= 孵皤叩埘( 2 - 9 ) f 1 1 j - i 其中 1 孵= ( 1 + 毒善) ( 1 + ，7 ) ( 2 一l o ) 其中( 盏，玩) 表示第i 个结点的坐标。 定义连接结点1 和结点2 的边( 1 ，2 ) 为棱边1 、边( 4 ，3 ) 为棱边2 、边( 1 ，4 ) 为棱边3 、边( 2 ，3 ) 为棱边4 。另外，把善看作x 和) ，的函数。在棱边l ，7 = 一1 ， 从( 2 - 9 ) 式得到 11 x = ( 1 一f ) + 寺( 1 + f ) ( 2 - i i ) 8 西北工业大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 解出f ，得到： 棱边3 乙 棱边2 x 棱边1 2 j 目- 1 ，7 1 j = 1 r 善 l 可= - i2 圈2 - 2 四边形单元及其变换后的单元 f ：垒= 茎= 薹 ( 2 1 2 ) 乒二r “ 假设s 为从结点i 到结点2 的边的归一化距离，那么，x = ( 1 一j ) 彳+ 当它被 代入到( 2 1 2 ) 式时，有善= 2 s 一1 ，它表示善沿棱边1 线性变化，类似地可以证明 f 沿棱边2 也线性变化。因为手沿另外两个棱边( g t 边3 和棱边4 ) 是一个常数， 所以，通过取f 的梯度而得到的矢量函数沿棱边1 和棱边2 将有常数切向分量，而 沿棱边3 和棱边4 没有切向分量。因此，可以建立棱边1 、2 、3 、4 的矢量基函数 分别为 w 2 ；o 一叩) v f ，吩2 号( 1 + 口) v # 埘5 等( 1 一f ) v 口，m2 ；( 1 + 善) v 口( 2 - 1 3 ) 其中r 表示棱边i 的长度。 2 2 3 系数矩阵的计算 在将上面的矢量基函数用于表示矢量波动方程有限元解中的矢量场或势时， 9 西北工业大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 有必要考虑与之相关的单元矩阵的计算，从矢量波动方程离散而产生的典型单元 矩阵包含下面两种形式的积分： 露= j j ( v 吖) ( v 彤) 柏 r f ；= 砥n ：n ：d q ll 对于矩形单元，经计算，结果为： 【e 。】= 巧g 峨 1 l i f e 】：孚 o t 峨 曦 1 - 1 21 l2 oo 0o 一1 1 g i g _ ：| l ： oo o0 2l 12 1 1 弋域 巧g ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 对于四边形单元，计算相对复杂些。因为四边形单元的形状不规则，在x y 平面直 接进行积分是困难的。为了避免这个困难，在勿平面上进行积分。在该平面上， 单元为正方形。首先把面元d q 表示为d 孝勿。此时，有下式成立， d n = 出咖= d e t j 】d 善d ，7 ( 2 - 1 8 ) 其中，d e t l j 】是如下定义的行列式 【刀= 缸 勿 8 8 苏 砂 o r # a t 从而得出( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 式的变化形式，如下式所示， 露= f f ( v 孵) ( v 彤) d e t ， 劣却 - 1 - 1 i 1 “ 瓦= lln t n d e t j d c d r l - 1 - i 同时，要把被积函数用善和，7 表示。考虑任意函数，因为 望：笪鱼+ 望塑 a 瓠8 a ，8 毒 影搿a x ? 彭砂 a 即a xa 玎a ya 玎 1 0 ( 2 - 1 9 ) ( 2 _ 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 西北工业大学硕+ 学位论文 第二苹矢量有限兀方落 由此，可以得到 要= 嗟考一面0 f 犁o y ，d e t j 】敏、8 8 na 玎8 考。 善= 秀妻一善寿，融砂a 刁a fa a 可。 。 假设，= 孝，得到 芸= 考，d c t ，爹一高，d e t 0 d玎0ya ，7 类似地，设厂= 叩，得到 象一妻7 d e t j ，考= 妻7 d e t j 0 cc yo 将这些式子结合( 2 9 ) 则( 2 2 0 ) 式和( 2 - 2 1 ) 式则可以用f 和刁表示。利用二维 高斯积分公式，可以数值解出( 2 2 0 ) 式和( 2 - 2 1 ) 式。 2 3 三维棱边元 在此论文中是用到的立方体单元和六面体单元。 2 3 1 立方体单元 如f 图所不的立方体单兀，它在x 、y 和z 方同的边长分别为c 、，；和e ，兵 中心位于( ，虻，) 类似于二维情形，通过分配常切向场分量给单元的每条边， 单元内场分量可表示为。 1 2“ = 吖茸 ( 2 - 2 2 ) 其中 w = 壶+ 三圳+ 和 孵= 去铂铷+ 和 孵= 壶饼+ 吾一烈z 一+ 争 孵= 去 帕秘唪争 西北工业大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 y x 棱边定义如下表所示 5 2 图2 4 立方体单元 7 3 孵= 壶鼢和雠+ 和 孵= 去。一+ 争雠+ 三一力 孵= 去亿+ 争z 一+ 争 孵= 壶( 川+ 铷铂争 孵= 壶( + 筹一删+ 和 心= 壶”+ 争( 矿+ 罢一力 = 壶( + 善咧y 铂争 k = 壶 一+ 争( y 一虻+ 争 西北工业大学硕士学位论文第二章矢量有限元方法 表2 - i 棱边的定义 棱边i 结点结点之 1 l2 243 356 4 87 514 6 58 723 867 9l5 1 026 1 148 1 237 2 。3 2 六面体单元 六面体单元为变形的立方体单元，在对形状复杂一些的结构进行剖分时，能 够用到。与四边形单元相类似，将六面体单元可以变换为勿f 坐标的正方体单元。 如图2 5 所示。 坐标变换表示为， l8t x - - - - 孵皓，7 ，f ) ，y = 吖( 六r l ，f ) 吖，z = 孵( 孝，r l ，f ) 彳( 2 - 2 3 ) j lj - ii s l 1 式中，研( 孝，玎，o = 吉( 1 + 磊孝x l + 矾，7 ) ( 1 + 幺f ) ， ，仉，岛) 表示第f 个结点的坐标。因 为掌沿平行于善轴的那些棱边线性变化，而沿其它棱边是一个常量，所以，由v f 定 义的矢量函数仅沿平行于善轴的那些棱边有非零切向分量。因而可以为这些棱边建 立矢量基函数 p n ：f f i 鼍- 0 + g , , 1 x l + 二, 4 ) v 善( 2 - 2 4 ) 其中，魄，矢) 表示坐标( ，7 ，f ) 在棱边珀q 值。类似地，可以建立平行子，7 轴的棱边 的矢量基函数 p f = 詈( 1 + 专孝) ( 1 + ! ；) v 节( 2 - 2 5 ) 和平行于f 轴的棱边的矢量基函数 西3 t 3 z , _ l k 大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 2 图2 - 5 六面体，正方体单元 刁2 匕善 7 3 孵= 等( 1 + 4 , # x i + v f i 2 - 2 6 ) 这样建立的矢量基函数具有保证穿越单元棱边和单元面的切向场连续性所需的全 部性质。然而，不像立方体单元和四面体单元的矢量基函数，它们不是无散的。 因为散度对略微变形单元是小的，对严重变形的单元是大的，所以，尽量避免使 用在形状上极大偏离立方体单元的六面体单元。 2 8 3 系数矩阵计算 巧= i f c 。( v 新) ( v 廊) d 矿( 2 - 2 7 ) 巧= m ，新而d 矿 ( 2 2 8 ) 露焉眨1 畔】= i l 【磋髭j x k 西北工业大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 该矩阵各元素表示为， 其中， 将( 2 2 2 ) 代入( 2 2 8 ) 式，有 嘲= 筹嘲+ 篙嘲 吲= 篙吲+ 篙蚴 嘲= 篆嘲+ 筹吲 【量；】= 【哆；r = 一- k d 【疋】叫砭r = 一詈喝】 【】= 【g f = 一- k d 【k 】= 【局】= 【局】= 瑶 旷1 = 10 【0 斜对角的三个元素都可统一表示为 习 司 习 列 ，o 2 之 之o 2之2 o 之2 o ， 2 o 之 o 2 之：之，o2之_：之o 。，r，。1_。l_。i 西北工业大学硕士学位论文 第二章矢量有限元方法 【瑶】= 【巧】= 眨】= 丝3 6 42 24 21 12 21 l2 4 2 2 4 六面体单元：与二维四边形情形相似。为了在勿f 坐标系中进行积分，首先把所 有被积函数转换成以孝、，7 和f 表示的函数。为此，引入雅可比行列式 【刀= 根据( 2 - 2 3 ) 式，它的表达式可完全用善、，7 和f 表示。可以证明在x y z 坐标系中 的体积单元可变换到勿f 坐标系中 d v = 凼撇= d e t j d 善d r l d ( 另外可以证明，对任意函数厂， 可 缸 可 _ _ 一 勿 彭 o z = r 1 可 8 彭 a t 钞 a f 设厂分别等于孝，7 和f ，可得到用f 、玎和f 表示的v 手、v 智和v f 的表达式。利 用这些关系，( 2 - 2 7 ) 和( 2 - 2 8 ) 式中的被积函数可完全用善、玎和f 表达。 2 4 小结 本章主要讲述了一些棱边元的结构，和矢量基函数的推导，这些单元是本文计 算时所使用到的。从二维问题推至三维问题，将基函数的具体形式一一给出。同 时，结合有限元中经常碰到的一些典型积分给出了系数矩阵的计算公式。 七一鸳昆一却如一暂钞一管勿一研钞一暂锄一管知一铆教一够 西北工业大学硕士学位论文第三章研究对象平面f s s 阵列的场分析 第三章研究对象平面f s s 阵列的场分析 3 1 简介 上一章对矢量有限元方法作一介绍，本章主要讲述研究的物理对象平面 f s s 阵列的传输和反射特性。对于单层结构的分析是理解多层f s s 结构的基础， 也是分析有限曲面结构的一个重要背景。在这里，表面被认为是无限薄的理想导 体，引入了对任意周期结构的标量和矢量弗洛盖模展开式。用弗洛盖模表示的场 在有限元方法中可用来限制求解域的积分边界。对阵列内部场的理解是分析问题 的基础。实际问题中会碰到多层介质的情况，那么在这些介质的交界面上，场的 关系需要搞清楚。以下逐一介绍。 3 2 波分析 图3 - 1 给出了一个无限周期阵列结构的- - 4 , 部分示意图( 任意单元) ，在该图 圈3 - 1 周期阵列结构 中给出了一个在任意方向入射的线极化平面波。阵列单元在x 方向和y 方向按矩 形栅格排列。其中e 和q 分别为单元在表面上的沿x 方向和y 方向的周期距离 假定入射谐波为沿z 轴方向传播的平面波。 1 7 西北工业大学硕士学位论文 第三章研究对象平面f s s 阵列的场分析 3 2 1f iu o q u e t 展开式的推导 在平面矩形周期阵列中，一个无源的空间的波函数可以表示为， ( v 2 + | 2 ) e ( x ，y ，z ) = o 在这里， e ( x 。y 幻= e t y ) e i 9 z ( 3 1 ) ( 3 2 ) 由于在x 方向和y 方向结构是周期排列的，当周期间距分别为见和见时，有下 式成立 e ( x + 皿，j ，+ 仇，：) = e ( x ，y ) e 一7 弓+ 哆k 一伽 ( 3 3 ) 其中 p ，= q p ，= 髟q 影= k s i n o c o s x + k s i n o s i n e 。y k = 2 n 2 = 0 雌( 3 - 4 ) 尸，和p ，分别为在x 和y 方向的相移，周期阵列的各个单元的场的形式是相同的， 仅仅有一个相移。 由分离变量法，得到 匿+ 等m 2 们k 加。 s ， 将置( 而y ) 表示为 互( x ，力= ，( x ) g ( 力( 3 - 6 ) 所以有 尝：一厂 (37)ox z 4 。 。 鲁= 一砖g ( 3 8 ) 其中( 3 - 5 ) 式中 2 = 七2 一霹，砰= 霹+ 碍 接下来就是确定屯，钆。 考虑在x 方向的函数( 力，且满足， + 皿) = ，( 功p ，令 f ( x ) = f ( x ) e 珥 ( 3 9 ) 一，( 娑) 1 8 西北工业大学硕士学位论文 第三章研究对象平面f s s 阵列的场分析 有 f ( 斛见) ：m + 皿丛铲) 一ej(pd坚ffif(x)e-jre 泸 ( 3 1 0 )f ( x + 见) = 厂( x + 皿) 口 屿 p ( 3 = f ( 力 由( 3 1 0 ) 看出f ( 力是周期为见的周期函数。所以其可展开为付利叶级数，如下 式所示。 f ( 力：杰2 x 皿p x ( 3 - 1 1 ) 和 。i ! 兰亡墨坚 ，( 功= 珥 ( 3 - 1 2 ) ( 3 1 2 ) 中的每一个级数单元均应满足( 3 7 ) 式，所以有下式成立 同理可以得到 t ；2 u p - p 见 。2 万g 一只 b 2 彳 这样，就可以得到( 3 1 ) 式的模式展开如下式所示 e w 缸。y 幻= e 9 一矿一f i 加 在这里t = t ( 力，= ( g ) ，= 当 矿彰2 t 2 时，o ，表示传输模 矽 巧 “畿 圈3 - 2 倾斜捧列周期结构 征( 3 - 1 8 ) 式中，有 成= 壹鲁去多= 七s i n o o s 鲁七s i n o s i n # 多 ( ，彤) 屯= 筹，毛= 筹，；= x 鲁y 多 通过坐标变化，将o ，v ) 变换到( x ，y ) ，有 ( 争圭( 盖：嚣) ( 匀 c s 将( 3 - 2 0 ) 代入到( 3 1 8 ) ，得到 e n ，y ，砖= e - i 1 计t f 拍一= q b ，妨矿4 一( 3 - 2 1 ) 其中 _ j 柳= 岛e a + p k , + q k 2 = k 肿毛j ，( 3 - 2 2 ) 毛：一三兰袅刍，：一三至三6 。，其中的4 表示单元胞的面积4 ：d ，, d , s b a a aa 弗洛盖模在单元胞的域内是正交模集，可以用内积的形式表示，如下式所示。 ( 甲一。) 。= 扩 蚴= 彳= 吾p 警爹撑 ( 3 - 2 s ) 由( 3 - 2 1 ) 可以得到t m 和t e 模式的波函数。 t m 模情况：1 m 波形，指磁场矢量与阵列的表面平行。对单元矢量场描述，可以 假设 ( 五力= 等甲月( ，力 ( 3 2 4 ) 那么横向场可以表示成 西北工业大学硕士学位论文第三章研究对象平面f s s 阵列的场分塑 厶= 一老, _ - - i t - - v ，珏半峄抽一 c s - 2 5 ) 其中， e = 昙鲁杀； ( 3 - 2 6 则磁场可以从下式得出 氟一管知厶= - - 兹g x 茁 一一赫忉l l ，w ( 3 - 2 7 ) r h 。为模式阻抗，零次模的值为仍。= ，7 导，该值为自由空间的波阻抗。 l m t e 模情况：在该情况下，是指电场的方向平行于阵列表面。假设， = 争( 3 - 2 8 ) 槽向由场可表示为 珏管如如= 袅半肾 ( 3 - 2 9 ) 则横向磁场可表不为 珏鼍v ，台一争”。施 ( 3 - 3 0 ) 模式阻抗为 f 2 p q - = - - 监k ( 3 3 1 ) 单位矢量磊沿，方向，乏与其正交。 从推导出的矢量弗洛盖各模可以写出阵列表面的横向电场和磁场的展开式，可 将t e 模和1 m 模展开同时表示如下式所示。 会( ；，z ) ：q 月量。a 。+ 口：。二：。= q ，e + 胆一甲。( ；) 二w - ( 3 3 2 ) 台，z ) = 千q 。矿佩7 甲。g ) 袅二。 ( 3 - 3 3 ) 符号表示波分别沿z 的负方向和正方向传播。 2 1 西北工业大学硕士学位论文 第三章研究对象平面f s s 阵列的场分析 3 3 表面附近的场 在图3 - 3 中给出了一个包含在两层任意介质中的阵列剖面图。在f s s 外是自由 空间。对不同的媒质，表面附近的场表示成弗洛盖模展开的形式，利用边界条件 可以得出展开式的未知系数。两层介质的厚度分别为焉和屯，介电常数分别为蜀和 晶，下标表示相应的介质。 入射波从z 气入射，可以表示为0 次矢量模的形式： 磁= 磷占”= 矽x + 眵y + 矽z = e “+ 矽2 ( 3 3 4 ) = 、壬，p 一2 ( 磷”x + 口y + 置罗力 其中e “可以表示成t m 模和t e 模组合的形式， 矿= 守甲舻4 雠乞 ( 3 3 5 ) 知五 ：2 图2 - 3 夹层任意阵列剖面图 虽然入射波可以是任意方向的，可以把它分解为仅仅含有y 分量和z 分量。有 ( 舻) 2 + ( 矽) 2 = l ，所以 霉 = 毫- j i 【f 眵o 其中，眵= c o s 0 ( s i n 2 s i n 2 + c o s 2 ) ， ( 3 3 6 ) 西北工业大学硕士学位论文 第三章研究对象平面f s s 阵列的场分析 当入射波为t m 波时，= 9 0 ”，z y = c o s 和7 = 0 当入射波为t e 波时，= 0 0 ，五”= o 和矿= 1 在图3 - 3 中的箭头表示反射场和入射场，幅度为r 的场在负z 方向传播，幅度为t 的场在正z 方向传播。在不同的媒质中的切向场的关系，如下所示： 当z z o 时， 参( ；，力= 乒+ e + 脚甲。( ；) 日一( ，z ) = 日“一8 晶p + 。l l ，月( ，) 扰r w ( 3 - 3 7 ) n 一 m p q 当s ：弓时， 童1 ( ；，力= ( e 叫_ 2 + j 口+ 9 - ) 甲。移) 二钿 分( ；，z ) = ( ，一一厶e + 以2 ) 甲。( ；) 三 ( 3 3 8 ) m p q 当毛 z z 2 时 参舀，：) = e 仰l l ，。( ；) 岔+ ( ；，力= 仉。2 e - 知2 甲。( ；) 袅会。 m p q 以上各式中，( 瑶) 2 = ( 七) 2 一( k ) 2 - ( k 伊) 2 式( 3 - 4 1 ) 中”表示图( 3 3 ) 所分的几个区域的编号，t 表示横向。 3 4 典型f s s 单元的传输反射曲线 ( 3 - 4 0 ) ( 3 - 4 1 ) 引入比较有代表性的裂缝单元和与其互补的贴片单元例子，两种结构的示意 图如图3 _ 4 所示。单元的长度为9 r a m ，宽度为0 5 n u n , d l = d 2 - - 9 m m , 嘶= 3 0 0 , 口= 6 0 0 。图3 5 给出了不同入射波情况下的不包含介质层的单元的传输 特性曲线。从特性曲线( a ) 中看到，在1 7 g h z 的频率附近无论是t e 还是t m 波 有一个响应点。单元的长度同响应点的波长比为o 5 。在更高的频率，靠近3 8 g h z 2 3 西北工业大学硕士学位论文 第三章研究对象平面f s s 阵列的场分析 和2 5 g h z ，由于周期结构栅瓣的产生，仍然会产生谐振点。由巴贝涅原理，与孔径 图3 - 4 裂缝单元及互补贴片单元 图3 - 5 自由单元的传输特性曲线( a 为孔径，b 为导体) 单元互补的导体单元的响应曲线如图3 5 b 所示。其反射曲线与贴片单元的传输曲 线是相同的。两种情况下，斜入射总比垂直入射有一个固定的频移。这主要是由 于入射波角度有关的栅瓣效应引起的。那么当在结构上加上介质衬底时，其响应 曲线会发生变化如图3 - 6 所示。 ( 4 ) ( b ) 图3 - 6 加介质层的传输曲线( 8 为导体，b 为孔径) 介质层的厚度为o 1 m m , 相对介电常数为3 ，从曲线上看到，所有的频率响应点都 有大约5 g h z 的频移。栅瓣的影响在这种情况下更复杂，因为介质的影响使阵列 2 4 西北工业大学硕士学位论文第三章研究对象平面f s s 阵列的场分析 电周期变大了。另外，巴贝涅原理也不适用了。 3 5 小结 为了对f s s 的场的基本分布情况有一个大致的了解，本章内容给出了一个比 较细致的介绍。首先介绍了标量弗洛盖模和矢量弗洛盖模