数学建模全国赛A题太阳影子定位.pdf

1 太阳影子定位太阳影子定位 摘摘 要要 本文利用太阳影子定位技术 通过分析物体的太阳影子变化 确定了物体的 地点和日期 针对问题一 根据已知的直杆地理位置坐标 拍摄地点和拍摄时间 将直杆 影长的变化转化为求解太阳在直杆所在地的太阳高度角的变化 根据文献得出太 阳直射点的纬度与日期成正弦函数关系 太阳直射点的经度与当天的时刻成线性 关系 然后利用sinh sin sin cos cos cos 进行计算 得出太阳高度角随着 时间变化的规律 进而得出了太阳影子长度变化曲线方程并画出了变化曲线 针对问题二 本文首先根据观测日期得出当日太阳直射点的纬度为10 40 其次利用观测的具体北京时间和杆影长度进行二次项拟合 得到观测地的影长在 一天之中最短时的北京时间 再根据最短时的北京时间与当地正午12时的时间差 求出观测地的经度为109 18 最后将所给的数据代入日影端点的轨迹中 求得四 个可能的纬度值分别为25 36 28 33 根据谷歌地图查询结果 其对应地点分 别为广州 陕西 贵州 长沙 针对问题三 本文首先建立了关于太阳直射点的经纬度 固定直杆的经纬度 的数据搜索库 然后利用模拟退火算法对搜索库全部个体进行优化搜索 得到太 阳直射点的经纬度 固定直杆的经纬度 再根据搜索出的经纬度计算出太阳高度 角 进而求解出直杆影子顶点的坐标集 将坐标集中的横纵坐标的比例值与附件 2 中的横纵坐标的比例值进行相似度比较 当相似度接近于 1 时 即认为直杆的 经纬度就是可能直杆的位置 利用此模型得出附件 2 中的直杆放置点的位置是 a e109 9o n33 9o b e90o n10o 附件 3 中的直杆的位置是 e150o n10o 针对问题四 首先将所给视频图像按照每隔三分钟截取一次 得到一组均匀 抽样图片 然后利用 matlab 软件对图片进行边缘提取 得到杆与影长的灰度 图 由于拍摄时摄像机与实际物体所在平面存在着倾角和转角 因而光学镜头摄 像机获取的图片存在着非线性的几何畸变问题 故需利用图像坐标系 直角坐标 系和摄像机坐标通过转化来校正灭点 再得到校正后杆的长度和影子长度 最后 根据问题二中建立的模型 经过计算得到拍摄地点的经度为105 可能的纬度分 别为23 26 30 44 50 关键词 太阳高度角 模拟退火 matlab 坐标校正 2 一 一 问题重述问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面 太阳影子 定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化 确定视频拍摄的地点和日期 的一种方法 1 建立影子长度变化的数学模型 分析影子长度关于各个参数的变化规律 并应用你们建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9 00 15 00 之间天安门 广场 北纬 39 度 54 分 26 秒 东经 116 度 23 分 29 秒 3 米高的直杆的太阳影子 长度的变化曲线 2 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据 建立数学模型确 定直杆所处的地点 将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据 给出若干 个可能的地点 3 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据 建立数学模型 确定直杆所处的地点和日期 将你们的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶 点坐标数据 给出若干个可能的地点与日期 4 附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频 并且已通过某种方式估 计出直杆的高度为 2 米 请建立确定视频拍摄地点的数学模型 并应用你们的模 型给出若干个可能的拍摄地点 如果拍摄日期未知 能否根据视频确定出拍摄地点与日期 二 问题分析二 问题分析 针对问题一问题一 本文通过直杆影子的长度与太阳的高度角以及杆长有关 因此 问题就转化为求解太阳高度角的过程 而题目中所给的直杆的所在经度和纬度已 经具体时间 我们将通过公式对其进行求解 然后对其进行修正 针对问题问题二二 本文先根据所给的观测时的日期求得当日太阳直射点的纬度为 10 40 然后利用观测的具体时间进行拟合 求出观测地的影长在一天之中最短 时的北京时间 由于影长最短时为正午 一般为当地时间的 12 时 由此得到一 个时间差 根据时间差求出观测地的经度为109 18 最后 将所给的数据代入 日影端点的轨迹中 求得若干个可能的纬度值 并用谷歌地图查询后得出其地点 针对问题问题三三 穷举法是这一问的关键所在 我们将对所有可能的太阳直射点 的经纬度和直杆所有的可能的点进行计算求解出高度角 方位角 然后和附件中 的所给的数据进行相似度比较 而在这一问的解决过程中直杆的长我们没有必要 做过多的研究 应为在相似度比较的过程中 我们利用的是方位角的大小的相似 度 这样的话 就减少了计算杆长的麻烦 计算相似度为 1 的点就是很有可能是 直杆放置的点 以及太阳直射的点 然后利用太阳直射点的数据 我们就可以得 出具体的测量日期 针对问题问题四四 先将所给视频每隔三分钟截取一次图像 然后利用利用 3 matlab 软件对图像进行边缘提取 由于拍摄时 摄像机与实际物体所在的平 面存在着倾角和转角 因而光学镜头摄像机获取的图片存在着非线性的几何畸变 所以需要利用图像坐标系 直角坐标系 摄像机坐标三种坐标系进行相互转化来 进行灭点的校正 最后得到校正后杆的长度 最后根据问题二中建立的模型得到 经纬度 杆高 地点日期 投影 图 1 模型关系示意图 三 模型假设三 模型假设 1 假设一天中太阳直射纬度不变 2 假设东西方向为无限方向 在不考虑太阳光线在穿过大气层时的折射 太 阳的视角等因素的影响下 相对于地球而言 太阳是一个面光 3 假设题目中所给的数据都真实有效 4 假设地球的经纬度数据是准确的 四 模型建立与求解四 模型建立与求解 4 1 绘制太阳影子长度的变化曲线 4 1 1 计算太阳直射点的纬度 在生产和生活中 经常需要利用时间来推算太阳直射点纬度 地球公转的周 期是一个回归年 365 2422 日 现行公历的历年是历日的整数倍 它和回归年 并不精确相等 另外 由于复杂的历史演变过程 以及一些人为原因 上半年和 下半年 冬半年和夏半年以各季 各月之间的天数也并不完全相同 因而日期和 黄经并不完全相对应 因此 用日期取代黄经来推算直射点纬度时 需按季节分 段时行计算 以确保推算的相对精确 1 4 夏半年 从春分日 3 月 21 日前后 到秋分日 9 月 23 日前后 总计 186 天 在此时段内 视太阳在黄道上运转 180 设从春分日开始 视太阳运行了 2 天 则 z 天运 行了 a 经度 180 186 1 代入 1 式 得 arcsin 0 39775 sin 180 186 0 186 2 冬半年 自秋分日 9 月 23 日前后 至冬至日 12 月 22 日前后 总计 90 天 在此时段内 视太阳的黄道上运转 90 设从春分日开始 视太阳运行了 n 天 则 n 天运行了 a 经度 180 90 90 186 3 代入 3 式 得 sin 3 9775 sin 180 90 90 n 186 4 整理可得 arcsin 0 39775 sin n 186 186 276 5 自冬至日至次年春分日总计 89 天 在此时段内视太阳在黄道上运转90 设 从春分日开始 视太阳行了 n 天 则 n 天运行了 经度 270 90 89 276 6 代入 3 式 得 sin 3 9775 sin 270 90 90 n 276 7 整理可得 arcsin 0 39775 cos 90 89 n 276 276 365 8 5 图 2 一周年的太阳直射点的变化趋势 根据 2 5 8 式 由计算机自动计算并绘制出有代表性的日期及其相对 应的太阳直射点纬度的图像和图表 如图 1 可以看出 太阳直射点纬度随时间 变化的整个图象为正弦曲线 其振幅23 26 21 周为 365 日 初相位为 0 根据数据我们就可以得到 2015 年 10 月 22 日时 n 295 则太阳直射点的纬 度我们可以得出 22 0910799977120 由于地球的赤道纬度为0 先前规 定由赤道向北为正 向南为负 如今我们可以知道太阳的直射点纬度在南回归线 附近 并且否定了太阳的纬度是均匀变化的假设 4 1 2 太阳直射点经度的确定 北京时间 12 00 时 太阳直射点的经度为东经120 各地都把一天中太阳 升到最高点时刻定为 12 点 直射点的太阳高度角为90 此时的太阳位于其天顶 依据同一经线上各点地方时相同的特点 计算出地方时为 12 点的经线的经度 就是直射点的经度 定义 为放置杆的地点 a 与太阳直射点 b 的经度差 因此对于 10 月 22 日放 置杆的地点 9 00 15 00 时刻 地方时 正午时刻为 12 00 有 12 t 15 0 t 24 北京时间 9 00 的时刻 太阳的直射点的经度为东经75 本文取一分钟为 研究步长 地球自转一天 1440 分钟 转过360 则当时间增加一分钟 太阳直 射点经度增加360 1440 0 250 4 1 3 太阳高度角的确定 4 4 1 3 11 3 1 太阳高度角的概念太阳高度角的概念 太阳光线与地平线的夹角 叫做太阳高度角 通常用 h 表示 要理解太阳高 050100150200250300350400 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 日期 太阳直射点纬度 日期与太阳直射点纬度关系 6 度的概念必须注意一下几点 1 太阳光线是平行光 由于地球相对于太阳的张角太小 日地距离又太遥远 所以地球上观测到的 太阳光近似认为是平行光 一般来讲地球半径 6400 千米 日地距离 150000000 千米这就好比千米的距离叉开了一毫米 仅凭人类的观察 是观察不到的 对于 通常的设备影响基本为零 我们就认为太阳光线是平行光线 2 地球表面是球面 地球是一个两极稍扁 赤道略鼓的不规则球体大地水准面的形状不是我们感 觉到的平面势一个球面 这样平行的太阳光线照在球面上会产生太阳高度角的变 化 4 4 1 1 3 23 2 太阳赤纬角的计算太阳赤纬角的计算 2 太阳赤纬角 declination 是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的 夹角 地球绕太阳公转的轨道平面称黄道面 地球的自转轴称极轴 极轴与黄道 面不是垂直相交 而是呈 66 5 角 并且这个角度在公转中始终维持不变 正是 这一原因形成了每日中午时刻太阳高度的不同 以及随之而来的四季变迁 太阳 赤纬角在春分和秋分时刻等于零 而在夏至和冬至时刻有极值 分别为正负 23 442 是时间函数 每秒计取能够满足时间精度要求 四年一周 cooper 在 1969 年提出的太阳赤纬角 的近似计算方法为 23 45sin 2 284 365 9 式中 n 是从 1 月 1 日算起的天数 太阳赤纬角也可根据日序计算得 arcsin 0 398sin 10 4 87 0 0175 0 033sin 0 0175 11 d 30 m 1 式中 d 为日序 m 为一年中的月份 为该月的日期 时角根据下式计 算 t 12 12 12 其中t为从正午时算起的时间 即地方时 正午时 0 每隔1h增加15 上 午为正下午为负 4 4 1 1 3 33 3 太阳时角的计算太阳时角的计算 地方时角 local hour angle 是测者子午圈与天体子午圈在天赤道上夹角 真 正的太阳在黄道上的运动不是匀速的 而是时快时慢 因此 真太阳日的长短也 就各不相同 但人们的实际生活需要一种均匀不变的时间单位 这就需要寻找一 7 个假想的太阳 它以均匀的速度在运行 这个假想的太阳就称为平太阳 其周日 的持续时间称平太阳日 由此而来的小时称为平太阳时 而真太阳时与平太阳时 之差 我们称之为时差 计算公式为 3 t 15 60 12 15 13 其中 为以小时为单位的地方标准时 l 为杆所在地的经度 为地方标准 太阳时的基准精度 e 为以分钟为单位的时差 正负号分别适用于所在地点位于 东半球时和西半球的情形 4 4 1 1 3 43 4 太阳高度角的计算表达式太阳高度角的计算表达式 4 太阳高度角简称太阳高度 用 h 来表示这个角度 它在数值上等于太阳在天 球地平坐标系中的地平高度 sinh sin sin cos sos cos 14 其中 为观测点地理纬度 为太阳赤纬 为时角 日升日落 同一地点一天内太阳高度角是不断变化的 日出日落时角度都为 零度 正午时太阳高度角最大 然后我们利用 matlab 软件对高度角求解 图 3 太阳影子长度与时间的变化关系 我们可以得出某些特殊的时刻影子的长度 例如 12 00 时 影子的长度为 3 8560m 1 3 51 3 5 太阳方位角的计算太阳方位角的计算 sin 15 910111213141516 3 5 4 4 5 5 5 5 6 6 5 7 7 5 8 太 阳 影 子 长 度 与 时 间 的 变 化 关 系 时 间 太阳影子长度 8 4 2 基于日影轨迹模型 4 4 2 12 1 利用日期推导太阳直射点维度利用日期推导太阳直射点维度 图 4 黄道赤道关系图 如图所示 o 点为地球 s 为太阳 为太阳直射点纬度 则 soc 是黄经度 太阳在黄道上由春分点 自西向东运转到 s 点所转的角度 即 soc 同时 od as os 在黄道面内 od o as o oe ac oc 是 od as os在天赤道面的射影 他们的垂足分别是e c c sac doe 23 26 21 则 sin sin sin23 26 21 0 397775sin 得 到 太 阳 直 射 点 纬 度 的计算公式 arcsin 0 397775sin 16 众所周知 地球公转的周期是一个回归年 大约为公转的周期是一个回归年 大约为 365 天 天 由于复杂的历史 演变过程 以及一些人为原因 上半年和下半年 冬季半年和夏季半年以及各季 节 各月之间的天数也并不完全相同 因而日期和黄经并不完全是对应关系 为 了确保推算的相对精确 本文按季节分段时来进一步推导并计算太阳直射点的纬 度 表 1 一年中主要日期与太阳直射点纬度 日期 3 21 5 05 6 22 8 23 10 08 距春分日的天数 0 45 93 155 194 0 15 906 23 432 11 479 5 902 日期 11 02 11 3 12 22 1 21 2 1 距春分日的天数 226 254 276 206 326 14 81 21 64 23 43 20 07 14 63 9 4 4 2 22 2 利用向量推算观测地 利用向量推算观测地 4 4 2 2 1 2 2 1 建立两个坐标系建立两个坐标系 经线指示南北 纬线指向东西 且东西方向为无限方向 相对于地球而 言 太阳为一个面光源 照射到地球的太阳光是一组平行光线 如图示 建立 直角坐标系 图 5 光照投影关系图 设向量 ak 是与过 a 处的经线相切且方向向北的单位向量 图 6 地球经纬度关系示意图 ak 也是 a 处平面内方向向北的单位向量 向量 ae 是与过 a 处的纬线相切 且方向向东的单位向量 ae 也是 a 处地平面内方向向东的单位向量 向量 ak 也 ae 确定 a 处地平面 以 ae 与 ak 所在直线为坐标在 a 处地平面上建立平面 直角坐标系 a xy 在坐标系 a xy 下 设杆的影子顶点为 f x y 如图 2 设地球 o 的球面上过 a 地的经线与赤道交于 d 点 设观测日期太阳 直射地球上 b 点 过 b 的经线与赤道交于 c 点 设地球半径为 r aod boc doc aob 则 0 若观测地在南半球 则 0 为太阳直射点 b 地的纬度数 且 在南北回归线之间 为 a 地与太阳直 射点的经度差 对于 a 地白昼 t 时刻 则 12 t 15 10 建立空间直角坐标系 o xyz 如图所示 则 ae 0 1 0 ak sin 0 cos 因此得出 a rcos 0 rsin b rcos cos rcos sin rsin cos cos oa ob cos cos cos sin sin 4 4 2 2 22 2 2 求日影坐标求日影坐标 如图 4 所示 在直角三角形 ahf 中 coscos ahh hf 设 hf 与 ae 所 成角为 os sin 又在图 2 中 对 hf 在 ae 上的正射影 aj 有 aj hfcos 在 f 在平面直角坐标系 a xy 上的横坐标 x aj cossin coscossinsin h 设 hf 与 ak 所成的角为 则 cos sin cos cos cos sin 在图 2 中 对于 hf 的正投影 ag 可以得到 ag hfcos 则 f 点在 a xy 上的纵坐标 y ag 则在平面 a xy 内 杆的影子顶点坐 标为 f 4 4 2 2 32 2 3 利用顶点坐标反推观测地纬度利用顶点坐标反推观测地纬度 在得到观测地杆子的顶点的坐标数据后 代入其中 得到关于 的两个等式 即 x 17 y 18 17 18得到 cos sin sin cos cos cos sin x y 19 将 19 进行等式变换后 得到 20 将上述等式求解 即可得到观测地的纬度 11 4 4 2 32 3 求解实际中的观测地求解实际中的观测地 由于观测的日期为 4 月 18 日 即在春分日过后的 28 天后 即 n 28 代入 式中 得到在 4 月 18 日太阳直射点的纬度 10 18 o 又根据拍摄点的时间 转 化成当地时间后得到观测地经度与太阳直射角经度之差 最后将 xy 数据代入 并解三角函数方程 得到观测地的纬度 其观测地的可能情况如下表所示 表 2 可能拍摄地点的经纬度表 经度 纬度 1 109 25 2 115 36 3 112 28 4 109 33 其四个地方的大致所在地分别如下图所示 图 7 可能拍摄地点示意图 4 3 1 求 f 在平面 a xy 上的轨迹方程 建立在第二问的基础上 本文求 f 在平面 a xy 上的轨迹方程 12 由 y 21 得 cos cos 22 代入 x 23 得 cos sin 24 将上面两式两边平方消去 得日影 f 在平面 a xy 上的轨迹方程 2 2 2cos cos 2 2sin sin 0 25 即给出标杆高度 h 观测地纬度 太阳直射点纬度 按上式可计算出白天 任意时刻 t 换算出 标杆顶在地平上的日影位置 4 3 2 求解出杆地点的经纬度 根据第一问我们大致可以设杆长为 3m 经过分析本文将所有的经纬度组合罗列出 然后搜索 利用模拟退火的优化 搜索方法进行搜索 图 8 模拟退火优化算法流程图 1 需 先 设 定 一 些 参 数 接 着 随 机 产 生 一 个 初 始 的 目 前 解 经度 纬度 并计算他的目标函数值影子坐标集 x y 13 2 本文认为我们所建立的影子坐标集 x y 和附件中的影子坐标集 x1 y1 有某种联系 我们可以认为 y x y1 x1 方位角 且 2 2 12 22 是一个定值 我们完全可以根据这两个因素来判断算法所求的的经纬度和附件中 的杆的所在地是否为同一地点 3 以 目 前 解 为 中 心 对 解 空 间 做 随 机 扰 动 产 生 一 个 扰 动 解 经度 纬度 其目标函数值影子坐标集 x y 利用所假设的两 个因素进行判断 4 若接受 则以该扰动解取代目前解作为该次迭代的解 5 假设所求解的问题是目标函数最小化问题 若 则透过机率函数接受 为新解 6 接着判断是否满足降温条件 若是 则透过冷却机制降温t t 0 1 7 反之 维持目前温度 之后判断是否达到终止条件 例如达到设定的 迭代次数或是连续几次迭代目前解都不再改变时 4 3 2 计算杆所在地的经纬度 首先本文根据附件中的数据基本判断出杆的经度的所在范围 0 180 杆的 纬度的大致范围是 0 90 利用模拟退火的思想对本文选中的数据进行优化搜 索 本文假设杆的高度为 3 米 其实在计算的过程中 由于本文是利用 x y 的 坐标的比例作为参考依据 所以在真正计算的时候高度的数据已经被消去 利用 我们的算法搜索出经度 80 度 纬度 50 度的北京时间 12 41 13 41 的太阳影子 定点坐标的变化数据 表 3 杆的影子坐标 x 坐标数据 北京时间 x 坐标 米 北京时间 x 坐标 米 北京时间 x 坐标 米 12 41 3 20649 13 02 3 51471 13 23 3 85568 12 44 3 24875 13 05 3 56126 13 26 3 90747 12 47 3 29156 13 08 3 6085 13 29 3 96008 12 50 3 33496 13 11 3 65645 13 32 4 01356 12 53 3 37896 13 14 3 70512 13 35 4 06793 12 56 3 42357 13 17 3 75453 13 38 4 12321 12 59 3 46881 13 20 3 80471 13 41 4 17944 xfxff 0 f xf 14 表 4 杆的影子坐标 y 坐标数据 北京时 间 y 坐标 米 北京时 间 y 坐标 米 北京时 间 y 坐标 米 12 41 1 13282 13 02 2 08141 13 23 3 23221 12 44 1 25771 13 05 2 23226 13 26 3 41629 12 47 1 38595 13 08 2 38736 13 29 3 60585 12 50 1 51764 13 11 2 54686 13 32 3 80112 12 53 1 6529 13 14 2 71092 13 35 4 00231 12 56 1 79187 13 17 2 87971 13 38 4 20967 12 59 1 93466 13 20 3 05341 13 41 4 42343 然后对两组数据拟合得到图像 图 9 杆的影子坐标 x 坐标数据 由图像可知两者的拟合程度不是很好 所以还要对本文的算法进行改进 经 过分析我们知道由于我们在搜素时对地球上的点分割的不够细密 导致所求的的 经度纬度的精度不高 有上图我们可以得知直杆的大致的经度在 70 度 大致的 纬度在 40 度左右 那么我再对此区域的 10 度进行 1 60 步长的细分 具体的方 法不变 那么我们就会得到另一个拟合的图像 0510152025 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 图 10 杆的影子坐标 y 坐标数据 这样的话 我们拟合出的图像就非常的接近了 其相似度已经达到了 0 999959277433399 然后我们就认为这就是直杆所在的地点经度 109 900 度 纬 度 33 900 度 太阳直射点的纬度为 16 500 太阳直射点的经度为 136 250 然后根据第一问的模型我们根据太阳纬度与日期的关系得出 第一种可能的日期为 2015 年 2 月 16 日 13 点 05 分或者是日期为 2015 年 5 月 19 日 13 点 05 分 经度 90 00 度 纬度 10 00 度 太阳直射点的纬度为 16 500 太阳直射点的经度为 47 500 度 第二种可能的日期 2015 年 2 月 16 日 06 点 21 或者是日期为 2015 年 5 月 19 日 13 点 05 分 用所建立的模型对附件 3 进行计算 直杆的所在位置 经度150 00度 纬度10 000度 太阳直射点的纬度为21 500 太阳直射点的经度为 130 250 日期 2015 年 3 月 10 日 12 41 或者日期 2015 年 4 月 27 日 12 41 4 4 基于灭点校正即三维重建技术的观测地定位 4 44 4 1 1 灭点灭点及其及其属性属性 1 由于摄像机获取的像点会随着真实点距摄像机的远近不同而发生不同 的变形 5 即使把同样大小的标志点等间隔放在同一水平面上 在一些因素的 影响下 采集的图像也会呈现出不同程度的形状 由图 11 可知 要校正变形的图像 恢复原来的形状来从中获取信息 就应 该消除图像的几何畸变 0510152025 8 7 6 5 4 3 2 1 16 平行线 灭点 图像平面 o 图 11 灭点的形成原理 灭点是空间一组平行线的无穷远点在影像上的成像 即该组平行线在影像上 的直线影像的交点 可以认为改空间的无穷远点与对应的灭点是一一对应的 在 本文中的图像为一点透视投影 由于在一点透视投影变换中 投影平面取坐标系 中的一个坐标平面 因而这里只用一个坐标系变换即可 在本文所给的图像集中 设有四个控制点 若其中的两条边和摄像机平行时 在不考虑其他几何畸变的情况下 则会出现只有一个灭点的特殊情况 但是在拍 摄的过程中 摄像机人员的拍摄姿态很难控制上述的特殊情况 所以一般会得到 类似于与下图所示的情况 图 11 透视投影灭点形成的两种情况 由本文所提取的图像可知 摄像机和四个控制点中的任一一条边都不平行 所以会得到有两个灭点的图像 本文是先确定图像中控制点的坐标 如图 4 所示 从而计算出平行线的灭 点 然后利用灭点和光心间的几何关系 在此基础上利用图像中的几何关系 建 立几何模型 然后对 x 向校正 再对 y 向变换 以此来恢复图像的实际现状 17 图 12 透视投影灭点校正原理图 4 4 4 24 2 空间坐标变换及空间定位空间坐标变换及空间定位 4 4 2 1 常见的几种坐标系 6 在进行空间定位时 一般的用到几种坐标系 7 如图 13 所示 为图像坐 标系 o u v x v u o 图 13 图像坐标系原理图 在图像上定义直角坐标系 uv 每一个像素的坐标 u v 分别为对应的 为图像像素数组中的列数和行数 所以图像坐标系是以像素为单位的 便于根据 物理单位表示出位置 建立以毫米为单位的 1 xyz 直角坐标系 设在 uv 坐标系下的坐标为 每个像素在 x 轴与 y 轴方向上的长度尺寸为 dx dy 则两个坐标系之间有 dx dy 26 18 摄像机成像几何关系如图 14 所示 由 轴组成的直角坐标 系称为摄像机坐标系 图 14 摄像机成像几何关系原理图 4 4 2 2 xy 方向的校正 x 轴方向如图 4 所示的 若没有其他的几何畸变 边 ab 平行于 x 轴 而边 cd ac 和边 bd 则和 x 轴成一定夹角 根据 a b c d 点的图像坐标 又由透 视缩小效应 对其反运算 在图 4 中 根据所给图像的时间情景 将边 ac 校正 为垂直 x 轴的 求得 ac 过灭点垂直于 x 轴的夹角 利用三角形的相似性 求得 ac 边在 x 轴方向的偏移量 x 则在 x 方向上校正的公式为 i j h i mx j my j 27 其 中 j i 是 透 视 投 影 图 像 的 坐 标 点 x y 为校正后图像的坐标点 h 是图像的高度 mx my 为灭点坐标点 由图像坐标系与直角坐标系之间的关系得到关系式 28 由关系式得到 2 可以得到在 y 方向上和在 x 方向上的缩放比例是相同的 则可以建立 y 方向的校正公式为 j mx mx h 1 mx my i 29 19 进行 x 和 y 方向两次变换后 计算出二位图像上对应点位置坐标之间的关系 重构出校出校正后的图像 由于时间关系 所以本文首先在使用 matlab 对图 像进行灰度转化以及边缘化处理之后 然后导入 photoshop 中 利用自带的其标 尺工具对杆的长度以及影子的长度进行像素级别的测量 导出其数据记录图 图 15 不同拍摄时间投影图像 a 图 16 不同拍摄时间投影图像 b 图 17 photoshop 长度测量记录图 根据测量的结果 结合已经直杆的高度 利用 excel 对数据进行计算 推测出 影子的长度 如下表 20 表 5 影子