全国高中数学联赛江苏赛区复赛.pdf

中 等 数 学 2 0 1 4年全国高中数学联赛江苏赛区复赛 中图分类号 g 4 2 4 7 9 文献标识码 a 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 5 0 5 0 0 3 4 0 5 第 一 试 一 填空题 每小题 8分 共 6 4分 1 在 a b c中 若c c 0 s b 1 2 b s i n c 5 则 c 2 函数 1 o 则当函数取得最小值 时 所对应 的 值 为 3 已知对于任意的实数 a 一 2 4 均 有 一a gf 9 0 则实数 的取值范 围是 一 4 已知等 比数列 t a 的公 比为 g 前 r t 项和 s o n 1 2 则 g 的取值范围是 存在正整数 m 使 a l m p a m 1 求 a 三 2 0分 已 知 动 点 a 在 椭 圆 2 2 等 1 上 且 线 段a b 的 垂 直 平 分 线 始 终 过点 p 一 1 0 求 1 线段 a b中点 的轨迹方程 2 线段 a b长度的最大值 四 2 o分 已知 a b c d均为整数 且 p a b 为素 数 若 p i c d 证 明 可以表示为两个整数的平方和 加试 5 已知五件产品中有三件合格品 两件 于点 p od 与od内切于点 q 线段 o l 0 与 次品 每次任取一个检验 验后不再放 回 交于点 g 过 g作od 的切线 切点为 则t t 借t a 经j过三次检验找出两件次 品的概率为 p q 证明 直线 与od 相切 g n i l ng 2 6 已知 a为椭圆 y 2 1 0 1 的上 口 顶点 b c为该椭圆上的另外两点 且 a b c 是以 为直角顶点的等腰直角三角形 若满 足条件的 a b c只有一解 则椭圆的离心率 的取值范围是 7 方程 2 y 3 z 2 0 1 4的非负整数解 y z 的个数为 8 计算 3 舸1 一 4 j 其 中 表示不超过实数 的最大整数 二 1 6分 设数列 a 的前 项 和为 s a l 0 2 s l 一 3 s 2 a 1 n z 1 证明 数列 a 为等比数列 2 若 a a p 3 两项均为正整数 且 q 图 1 二 4 o分 已知 n为正整数 2 8 i 1 2 n 证 明 并讨论何时等号成立 三 5 0分 已知一凸 n 边形的任意相邻 两个内角的差均为 2 o 试求 n的最大值 2 0 1 5年第 5期 3 5 四 5 o分 证明 存在无穷多个正整数 得 c o s n 参 考 答 案 第 一 试 一 1 1 3 根据正弦定理得 c s i n b b s i n c 5 由 c c e o s b c s i n曰 1 3 c 1 3 2 一1 注意到 南 1 1 1 南 4 当且仅 当 1 即 一 1时 上式等号成立 3 r 当 0 一 2 4 时 口 一 3 6 o恒成立 从而 的取值范围是 r 4 一1 0 u 0 因为 s 0 n 1 2 所以 n l o 当 q 1 时 s 儿 0 1 0 当q 1 时 s 0 1 2 故 q 一 1 0 u 0 1 u 1 综上 q 一 1 0 u 0 3 5 1 0 恰三次找出两件次品有三种情形 1 第一次 第三次找出次品的概率为 2 3 1 1 而 2 第二次 第三次找出次品的概率为 3 前三次均为正品的概率为 3 2 1 1 故恰经过三次检验找出两件次品的概率 1 1 1 3 为 而 一1 0 6 0 设等腰直角三角形的一边所在的直线方 程为 y k x 1 k 0 其与椭圆的另一个交 点 曰的横坐标为 一 从而 点 c的横坐标为 由a b a c 得 1 k 2 k 一n k k 0 一1 0 由题意 知此方程的解只有 k 1 而 k 一a 2 k k 0 一1 k 一 1 k 一 0 一 1 k 1 0 要使上述方程有唯一的正数解 k 1 则 0 一1 一 g o j 1 0 当 口 时 方程的解唯一 故 所 求 离 心 率 的 取 值 范 围 是 o 孚 7 3 3 9 0 2 4 注意到 方程 2 y k的非负整数解 y 的 个 数 为 k 1 表 示 不 超 过 实 数 的最大整数 所以 方程 戈 2 y 2 0 1 4 3 z 的非负整 数解的个数为 1 6 7 1 一 6 7 1 z1 0 0 7 2 z 6 7 2 0 一 i l 0 z l j 6 7 2 1 0 0 7 6 7 0 6 7 2 3 3 5 3 3 6 3 3 9 0 2 4 3 6 中 等 数 学 4 0 1 1 5 令 则 2 t 3 t 1 因此 当且仅当 2n 3 几 1 后 mp 3 p 1 后 m 1 m 2 拓 m 1 3 拓 作差得 1 拓 ji 1 所 以 1 从 三 1 设点 a y b y 线段 a b的中点 m y o 当a b与 轴垂直时 线段 的中点 m 一2 o 当 a 与 轴不垂直时 因为点 在 椭 圆 等 等 1 上 所 以 1一y2 x0 一一 1一x2 2yo 又线段 a b的垂直平 分线始终经过点 p 一1 0 于是 一l 一2 1 一 一 一 一 一 1 一 2 0 从而 线段 a 中点 的轨迹方程为 一 2 一 2 y 2 2 当a b与 轴垂直时 a b 2 当a b与 轴不垂直时 由 1 知 l a y y 0 2 y o y y 2 得 等 一 铲 故 a b 8 y 2o 1 2 y 2 j 2 2 2 2 其中 一 y o 且 y o o 于是 b 2 从而 线段 a 曰长度的最大值为 2 i l l 4 一 8 l i l 一 4 一 8 2 0 1 5年第 5期 3 7 四 因为 p l c d 所 以 c d p m m z 故 m p p p c a d 6 一c 6 2 p 注意到 c o d b c a d b c 2 0 一d 2 b p m d 口 一 d 2 b p m a 一 d 口 b p m a 一d 因为 p为素数 所以 c 口 d b c a一 中 至少有一个能被 p整除 当p i c a d b 时 令 c 口 一 p t t z 由式 因为 r r t z 所 以 c 6 也被 p整除 令 如 c b p s s z 则 t 2m sz 十 p 当p i c a d b 时 类似地 c 2 也可以 表示为两个整数的平方和 加试 一 如图2 过点 g作o0 的切线 g m 切 点为 联结 0 0 o q 0 n 0 2 则点 p在 dl d上 图 2 过点 0 作 0 p q 与 o 0 交于点 h 设o0 o0 2 o0的半径分别为 r 2 兄 于是 由 0 h p q 得 朋 q d 2 r 2 且 o l g 而 o1 p r1 而砑o i n r r l 一 因此 o i g 0i n 又 g n g m分别为o0 o0 的切线 则 0l ng 9 0 02 mg 故 r t no l g r t mo 2 g 0l gn 02 gm 从而 n g m 三点共线 即直线 n g与 o0 也相切 二 注意到 i 1 x i 4 等 令 手 詈 e 2 8 由 一 o 得 4 故当 e 2 4 时 f 0 f x 为单 调增函数 从而 m a x 2 a s 5 故 i 1 i 一n 5 等号成立条件为 f 一 j 4 2 或 8 i 1 2 n 设在 中 有 p个等于 2 q 个 等于 8 则 p g n 且 因此 p q 2 p 即 n为偶数 而当 n为偶数且 中一半取 2 一半取 8时 等号成立 故当且仅 当 n为偶数且 中 一 半取 2 一半取 8时 等号 成立 3 8 中 等 数 学 三 1 记凸 n边形为 a a a 则 a2 a1 2 0 a3 a2 2 0 al 2 0 2 0 ak al 2 0 2 0 4 2 0 a l 2 o p 一2 o g 其中 p 为 的个数 g 为 一 的个数 且 p k g k 1 在上式中令 k it l 即 l a 1 2 0 p l 一 2 o g l a l 2 o l 一2 0 n p 1 a l p l n p l n 2 p 1 所以 it为偶数 2 设 it个内角中最大的为 则所有 内 角中至少还应包括另一角 一 2 0 且所有 内 角中任意相邻 的两角不相 同 且其和不超过 2 一2 o 即平均不超过 27 1 0 故 1 8 o n一2 a l 2 a n 一1 0 1 8 0 n一 2 1 0 n 因为27 1 8 0 所以 1 8 o n 1 8 0 n一 2 1 0 n 从 而 n 3 6 又 it为偶数 因此 n 3 4 3 不妨设凸 3 4边形 内角中只有两个 值 和 一 2 0 它们相间出现 各为一半 则 1 7 2 一 2 0 3 2 x 1 8 0 3 0 5 0 一 0 知存在满 足条件 的凸 3 4 边形 由 1 一 3 知 n的最大值为 3 4 四 1 证明任给一个正整数 k 存在一 个正整数 n 使得 cos 一 取一个正整数 使得 c s l 1 令 则 为无理数 考虑以下 1 个数 2 a ma 1 o t 其中 一 表示不超过实数 的最大整数 将区间 0 1 分成 个小区间 一 由抽屉原理 知一定存在 1 1 使得 血 在同一个小区间 因此 i 血 一 l 1 从而 i n 一 如 i c 0 s l一一 k 2 用反证法证明存在无穷多个正整数 得 c o s 几 假设只有有限个正整数 n 使得 2 01 4 s n 则可令使 c