2009年全国高中数学联赛天津赛区预赛.pdf

2 0 中 等 数 学 2 0 0 9年全国高中数学联赛天津赛区预赛 中圈分类号 g 4 2 4 7 9 文献标识码 a 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 3 一 填空题 每小题 7分 共 5 6分 1 设 a b c为实数 且满足 血 b c 1 5 a 2 b 2 c 2 1 0 0 则 a的最大值和最小值的积为 2 已知 a b c是正三角形 分别为 边 b c b a的中点 0为 b mn的外心 在边 a c上有一点 d 使得 a o d的面积等于 c 的面积的 1 n 则 a d的 n上 乙 值为 3 甲在黑 板 上 写 下 正整 数 1 2 2 0 0 9 然后背对黑板 让 乙将黑板上 的这些 数擦去若干个后再添加上擦去数之和被 7除 的余数 当经过若干次如上操作后使黑板上 只剩下两个数 其中的一个数是一位数 甲问 乙 剩下的两个数 中较大 的数是几 乙答 1 0 0 则剩下的那个一位数为 4 方程 一 一 c 一1的 解的个数为 为圆周率 5 已知 n a b cb 0 椭 圆 f 的左 右 焦点分别为 f 双 曲线 厂2 的左 右焦点 分别为 过 作一条直线 与椭圆交于 两个不同的点 a b在 与 之间 直线 f 3 a与 交 于点 c 若直线 a 日 f 3 c f 三线共点 则 d 8 已知正 2 0 0边形 a a 2 o a 2 0 0 联结对角 线 a i i 1 2 2 0 0 其 中 a 2 0 o a i l 2 9 则这 2 0 0条对角线在正 2 0 0边形的内部有 个不同的交点 二 论述题 共 4 4分 9 1 4分 已知 c d是 以 a b为直径 的 半圆o0上的两个 点 弦 a d b c交 于点 e f g分别 是 a c b d延 长线上 的点 且满足 a f b g a e b e 若 a e f b e g的垂心 分别为 日 证明 1 a h 与 曰 的交点 在o0上 2 f k g三点共线 1 o 1 5分 已知正数列 a n 0 满足 n 2 3 m为实参数 m u n 一2 若 a 2 0 0 9 u o 求 m的值 u 1 1 1 1 5分 将 边长为 3的正 a b c的 各边三等分 过每个分点分别作另外两边的 平行线 称 a b c的边及这些平行线所交 的 1 0个点为格点 若在这 1 0个格点中任取 t 个格点 一定存在三个格点能构成一个等腰 三角形 包括正三角形 求 n的最小值 2 0 1 0年第2期 2 1 参 考 答 案 一 1 孕 因 1 0 0一 口 b c 6 c 1 5一血 所以 3 a 一 3 0 a 2 5 o 由于 口的最大值和最小值就是方程 的两个根 且 口的最大值和最小值是可以取 到的 因此 由韦达定理可得 8的最大值和最 小 值的 积 为 孕 一 2 l一3 因为点 0到 c的距 离等于点 b到 a c 的距离的 所以 sz 2 o d 1 a d 3 s i b c c 1 c 2n dc 2 l一3 因为 1 2 2 0 0 9 0 ro o d 7 所 以 那个一位数 口满足 1 0 0 口 0 m o d 7 一 一1 一1 一 1 0 当 0 1 时 一 1 与 1 一 1 因为 c 2 0 a 3为质数 所 以 a 3 于是 a 2 b 1 3 c 4 3 l 1 1 1 8 7 6 2 5 b i o 3 0 2 循磊 l n n 2 则 1 0 0 d 吉1 耋 一 则 了 三 一 号 丢 一 一 志 7 学 由塞瓦定理得 丽f 2 b c a 由 梅 涅 劳斯 定 理得 堡 bc番 于是 又f 3 f 孺一 f f2 2 2 则 匝 一 整理得 8 1 6 0 o 对每条对角线 a a i 1 2 2 o 0 a a a 各 引 出 两 条 对 角 线 与 a a 相交 而每个这样的交点都被计算了两 次 则这 2 0 0条对角线在正 2 0 0边形的内部 不同的交点不超过 1 6 0 0个 下面证明 不存在三条这样的对角线交 于一点 由于每条对角线等长 因此 这2 0 0条对 角线都与一个定圆相切 因为 由交 点 只能 作两条 切线 所 以 不 可 中 等 数 学 能有三条这样的对角线交于一点 二 9 1 如图 1 由 c a d c b d a f 一丝 ae bg 得 a e f b g e 又 因 为 b c l a f a d 上 b g 所 以 图1 ce f b eg c ef c fe 9 0 o 于是 f e g 9 0 设 a k b k分别与 e f e g交于点 m v 则四边形 me n k为矩形 因此 a k b 9 0 即点 在o0上 2 因为 a m b n分 别是相 似 i x a e f b g e 对应边上的高线 所 以 一g n一墨 丝 ne mf 又 脚 则 g n 由 f mk 删 g 9 0 有 mf k n k g 故 f k m g k n f k m k f m 9 0 即 f k m g k n mk n 1 8 0 从而 k g三点共线 l 去 l l 0 o 1 m nl o 0 a 1 1 m 一 2 m a0 c 0 m a 1 口0 口 0 07 l m m m o l 抛1 所以 数列 口 是周期为 6的周期数列 因此 口 z 啷 m 1 1 7 i 5 设边 a b上从点 a到 的两个等分点分 别为 d e 边 b c上从点 b到 c的两个等分 点分别为 f g 边 上从点 c到 a的两个 等分点分别为日 中间的一个格点为 若 的最小值为4 取格点a d e 则 不存在三个格点能构成一个等腰三角形 因此 5 下面证明 任取五个格点 一定存在三个 格点能构成一个等腰三角形 不妨假设被选取的点为红点 只要证明 一定存在一个 由红点构成 的 等腰三角形 若这五个红点 中包含格点 k 将其他九 个格点分成三个点集 l d e f m g h n a b c 由抽屉原理知 一定存在一个点集 中包 含至少两个红点 无论是 哪个点集 中的哪两 个格点是红点 均与红点 k构成一个 等腰三 角形 若这五个红点 中不包含格点 当格点 a是红点时 在 u d v e h w f g t c 中 如果有一个点集中包含两个红点 则结论 成立 否则 每个点集中均恰有一个红点 不妨假设 d为红点 则 不是红点 若 b为红点 则 g c不是红点 于是 f 是红点 且无论 e 日哪个是红点