（应用数学专业论文）格路径和对称函数.pdf

摘要 c a u c h y 核的对角化是对称函数理论中最重要的定理之一这个定理现在称为c a u c h y 定理这篇博士论文的主要工作是从格路径的观点研究关于s c h u r 匾数的c a u c h y 核，并且给出了( 齐次) 差分算子和特殊s c h u b e r t 多项式的格路径解释后者是我们 在关于s c h u b e r t 多项式的c a u c h y 核对角化方面所做的努力( a 1 a i nl a s c o u x 猜想在 非交换的情况下也成立，但目前为止还没有被证明) 。 首先我f f 】得到了一个带标志的c a u c h y 行列式，建立了这个行列式和不交格路 径丛的对应，从而得到了关于s c h u r 函数的c a u c h y 等式在此基础上，通过选择格 路径上不同的起点和终点，我和】很容易地得到了g e s s e l 的一个等式，该等式将关于 s c h u r 函数的c a u c h y 和用全变量集上的完全对称函数表示了出来与此等价的代数 证孵需要c a u c h y - b i n e t 公式和基于超完全对称函数上的m u l t i - s c h u r 函数辫方面的 知识。我们还利用j a c o b i 对称化子给出了c a u c h y 行列式的一个计算 我们接着给出了斜s c h u b e r t 多项式的杨表定义，这类多项式是由带标志的双斜 s c h u r 函数给出的，l a s c o u x 称之为斜s c h u b e r t 多项式实际上，这些多项式是由 3 2 1 禁排模式的排列决定的双变元集上的s c h u b e r t 多项式基于c h e n - l i l o u c k 匹 配引理，我们从斜s c h u b e r t 多项式的差分算子定义出发构造了他们的格路径解释 这个格路径解释直接可以得出斜s c h u b e r t 多项式的行歹8 式定义和杨表定义在单变 元集的情况下，斜s c h u b e r t 多项式退讫成带标志的斜s c h u r 函数，这类函数已经被 w a c h s 和b i l l e y - j o c k u s c h - s t a n l e y 研究并且，我们提供了齐次差分算子的一个格路 径解释，从而证明了每一个带标志的s c h u r 函数可以通过作用齐次算子序列在某个 单项式上得到 最后，我们给出了关于超s c h u r 函数的g i a m b e l l i 公式和l a s c o u x - p r a g a c z 公式 的率筹路径证明趣l a s c o u x - p r a g a c z 公式的格路径构造是和分拆的一个编码有关的， 这个编码决定了格平面上平行于y 辘的直线上的方向 关键词t 差分算子，c a u c h y 定理，带标志的c a u c k y 行列式，m u l t i - s c h u r 殛 数，格路经，j a c o b ix 争张化予，齐次差分算予，带标悫的双斜s c h u r 蕊数。斜s c h u b e r t 多项式，g i a m b e l l i 等式，l a s c m l x - p r a g a c z 等式，k e y 多项式，分拆的编码 i i i a b s tr a c t t h e d i a g o n a l i z a t i o no ft h ec a u c h y k e r n e li so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt h e o r e m si n t h et h e o r yo fs y m m e t r i cf u n c t i o n s t h i st h e o r e mi sk n o w na st h e c a u c h yt h e o r e m t h ea i mo ft h i sw o r ki st og i v eal a t t i c ep a t ha p p r o a c ht ot h ec a u c h yt h e o r e mo n s c h u rf u n c t i o n s ，a n dt op r e s e n tl a t t i c ep a t hi n t e r p r e t a t i o n so f ( i s o b a r i c ) d i v i d e dd i f f e r e n c e sa n ds p e c i a ls c h u b e r tp o l y n o m i a l s t h el a t t e ro n ei so u re f f o r ti na t t a c k i n gt h e d i a g o n a l i z a t i o no f t h ec a u c h yk e r n e lo ns c h u b e r tp o l y n o m i a l s ( t h en o n c o m m u t a t i v e v e r s i o nc o n j e c t u r e db ya l a i nl a s c o u xi ss t i l lo p e n ) w es t a r tb yo b t a i n i n gaf l a g g e df o r mo ft h ec a u c h yd e t e r m i n a n ta n de s t a b l i s h ac o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h i sd e t e r m i n a n ta n dn o n i n t e r s e c t i n gl a t t i c ep a t h s ，f r o m w h i c hi tf o l l o w st h a tc a u c h yi d e n t i t yo ns c h u rf u n c t i o n s b y c h o o s i n g d i f f e r e n to r i g i n s a n dd e s t i n a t i o n sf o rt h el a t t i c ep a t h s ，w ea r el e dt oa l l i d e n t i t yo fg e s s e lo nt h e c a u c h ys u m o fs c h u rf u n c t i o n si nt e r m so ft h ec o m p l e t es y m m e t r i cf u n c t i o n si nt h e f u l lv a r i a b l es e t s t h ea l g e b r a i cp r o o fo ft h i se q u i v a l e n c ei n v o l v e st h ec a u c h y b i n e t f o r m u l aa n dm u l t i - s c h u rf u n c t i o n sb a s e do nt h ec o m p l e t es u p e rs y m m e t r i cf u n c t i o n w ea l s op r e s e n ta ne v a l u a t i o no ft h ec a u c h yd e t e r m i n a n tb yt h ej a c o b is y m m e t r i z e r t h e nw eo b t a i nat a b l e a ud e f i n i t i o no ft h es k e ws c h u b e r tp o l y n o m i a l sn a m e db y l a s c o u x ，w h i c ha r ed e f i n e da sf l a g g e dd o u b l es k e ws c h u rf u n c t i o n s t h e s ep o l y n o m i a ka r ei nf a c ts c h u b e r tp o l y n o m i a l si nt w os e t so fv a r i a b l e si n d e x e db y3 2 1 一a v o i d i n g p e r m u t a t i o n s f r o mt h ed i v i d e dd i f f e r e n c ed e f i n i t i o no ft h es k e ws c h u b e r tp o l y n o - m i a l s ，w ec o n s t r u c ta l a t t i c ep a t hi n t e r p r e t a t i o nb a s e do nt h ec h e n l i l o u c kp a i r i n g l e m m a t h el a t t i c ep a t he x p l a n a t i o ni m m e d i a t e l yl e a d st ot h ed e t e r m i n a n t a ld e f i n i t i o na n dt h et a b l e a ud e f i n i t i o no ft h es k e ws c h u b e r tp o l y n o m i a l s f o rt h ec a s eo fa s i n g l ev a r i a b l es e t ，t h es k e w s c h u b e r tp o l y n o m i a l sr e d u c et of l a g g e ds k e ws c h u rf u n c t i o n sa ss t u d i e db yw a c h sa n db yb i n e y , j o c k u s c h ，a n ds t a n l e y m o r e o v e r ，w ep r e s e n t 1 v v al a t t i c ep a t hi n t e r p r e t a t i o no ft h ei s o b a r i cd i v i d e dd i f f e r e n c eo p e r a t o r s ，a n dd e r i v e a ne x p r e s s i o nf o rt h ef l a g g e ds c h u rf u n c t i o ni nt e r m so fi s o b a r i co p e r a t o r sa c t i n g0 n am o n o m i a l f i n a l l y , w ef i n dl a t t i c ep a t hi n t e r p r e t a t i o n sf o rt h eg i a m b e l l ii d e n t i t ya n dt h e l a s c o u x - p r a g a c zi d e n t i t yf o rs u p e r s c h u rf u n c t i o n s f o rt h es u p e r - l a s c o u x - p r a g a c z i d e n t i t y , t h el a t t i c ep a t hc o n s t r u c t i o ni s r e l a t e dt ot h ec o d eo ft h ep a r t i t i o nw h i c h d e t e r m i n e st h ed i r e c t i o n so ft h el i n e sp a r a l l e lt ot h ey - a x i si nt h el a t t i c e k e y w o r d s ：d i v i d e dd i f f e r e n c e ，c a u c h yt h e o r e m ，f l a g g e dc a u c h yd e t e r m i n a n t ， m u l t i - s c h u rf u n c t i o n ，l a t t i c ep a t h ，j a c o b is y m m e t r i z e r ，i s o b a r i cd i v i d e dd i f f e r e n c e ， f l a g g e dd o u b l es k e ws c h u rf u n c t i o n ，s k e ws c h u b e r tp o l y n o m i a l ，g i a m b e l l ii d e n t i t y , l a s c o u x - p r a g a c zi d e n t i t y , k e yp o l y n o m i a l ，c o d eo fap a r t i t i o n i n t r o d u c t i o n l a t t i c ep a t ht e c h n i q u ei sav e r yp o w e r f u lt e c h n i q u ei nc o m b i n a t o r i c s ，w h i c hh a sb e e n d e v e l o p e db yg e s s e la n dv i e n n o tf o re n u m e r a t i n gv a r i o u sc l a s s e so fp l a n ep a r t i t i o n s f 2 4 。2 5 n o wt h i sm e t h o di sk n o w n a sg e s s e l - v i e r m o tm e t h o d i th a sm a n ya p p l i c a t i o n si ns t u d y i n gs c h u rf u n c t i o n s 【a l l ，s y m p l e c t i ca n do r t h o g o n a ls c h u rf u n c t i o n s f 9 ，1 9 ，3 0 ，5 9 】，s c h u rq f u n c t i o n sf 2 9 ，6 6 ，s u p e r - s c h u rf u n c t i o n s 【8 ，2 7 1 ，o s c i l l a t i n g t a b l e a u xf 3 9 。c a t m a nl i k en u m b e r sf 5 8 la n dc o n v e xp o l y o m i n o e sf 2 3 ，3 6 1 t h e t h e o r yo fs y m m e t r i cf u n c t i o n si so n e o ft h eb r a n c h e so fc o m b i n a t o r i c s 、w h i c h p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ne n u m e r a t i v ec o m b i n a t o r i c s 【2 2 ，6 4 ，g r o u pt h e o r y 6 3 ，7 2 】， l i ea l g e b r a 【2 1 ，a n da l g e b r a i cg e o m e t r y 【2 0 ，5 3 t h el i n kb e t w e e nt h et h e o r yo f s y m m e t r i cf u n c t i o n sa n do t h e rs u b j e c t si sm o s t l ye s t a b l i s h e db ys c h u rf u n c t i o n s f 6 5 t h e s ef u n c t i o n sf o r maf u n d a m e n t a lb a s i so fs y m m e t r i cf u n c t i o n s t h e r e a r em a n yg e n e r a l i z a t i o n so fs c h u rf u n c t i o n s ，s u c ha sf a c t o r i a ls c h u rf u n c t i o n s 6 1 ， h a l l - l i t t l e w o o dp o l y n o m i a l sf 5 7 1 ，s h i f t e ds c h n rf u n c t i o n s 3 4 1 ，m a c d o n a l ds y m m e t r i c f u n c t i o n sf 6 0 ，a n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l sf 4 2 ，5 5 1 t h ep u r p o s eo ft h i sw o r ki st o 西v es e v e r a la p p l i c a t i o n so f1 a t t i c ep a t h si nt h e t h e o r yo fs y m m e t r i cf u n c t i o n s w ；f o c u so i lt h ed i a g o n a h z a t i o no ft h ec a u c h yk e r - n e l so fs c h u rf u n c t i o n sa n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l s ，es u c c e e d e di np r o v i d i n gt h e l a t t i c ep a t ha p p r o a c ht ot h ec a u c h yk e r n e lo fs c h u rf u n c t i o n s a n dm a k i n gs o m e a c h i e v e m e n t st oa t t a c kt h ec a s eo fs c h u b e r tp o l y n o m i a l s l e tu sf i r s tr e v i e wt h eb a s i cm e t h o do fg e s s e la n dv i e n n o tf o re n u m e r a t i n gs e t s o fn o n i n t e r s e c t i n gp a t h si nw h i c ht h ei n i t i a la n dt e r r a i n a lv e r t i c e sa x es p e c i f i e d a s p o i n t e d o u tb yg e s s e la n dv i e n n o t t h ef u n d a m e n t a lj d e ab e h i n dt h i st e c h n i q u eo c c u r s e a r h e ri nt h ew o r ko fl i n d s t r 5 mf 5 4 1 l a t e rt h i si d e ai se n r i c h e db ys t e m b r i d g ef 6 6 h e r ew ea d o p ts t e m b r i d g e sn o t a t i o n s 6 6 1 w bc o n s i d e rt h el a t t i c ep a t h si na n a c y c l i cd i g r a p hd = ( ve ) w i t h o u tm u l t i p l ee d g e s f o ra n yp a i ro f v e r t i c e su ，v v ， l e tp ( “，u ) b et h es e to fd i r e c t e dd - p a t h sf r o m 让t o 移g i v e na n yp a i ro fm t u p l e s a = ( a l ，a 2 ，a m ) a n db = ( b 1 ，岛，b m ) o f v e r t i c e s ，w e l e tp ( a ，b ) d e n o t e t h e s e to f 7 7 1 一t u p l e s o f p a t h s ( p 1 ，p 2 ，f k ) ，w h e r ee a c h 只i s f r o m a t o b i b y ( a ，b ) w em e a nt h es e to fm - t u p l e so fn o n i n t e r s e c t i n gp a t h s ( p l ，忍，p 竹1 ) ，w h e r ea n yt w o d i f f e r e n tp a t h sra n d 只d on o ts h a r eac o m m o nv e r t e x aw e i g h tf u n c t i o nw i sd e f i n e dt ob eam a pf r o mt h ee d g es e teo fdt oa 1 2 p o l y n o m i a lo rp o w e rs e r i e sr i n go v e rz ，w h i c hs e n d sa ne l e m e n tw ( e ) t oe a c he d g e e e t h ew e i g h tw ( p ) o fap a t hpi sd e f i n e dt ob et h ep r o d u c tn 。尸w ( e ) o f t h ew e i g h t so fa l li t se d g e s t h ew e i g h tw ( ( p 1 ，p 2 ，f i m ) ) o fa nm t u p l eo f p a t h si s d e f i n e dt ob et h ep r o d u c t 兀= 1 w ( 只) o f t h ew e i g h t so fa l lt h ep a t h si nt h em - t u p l e g i v e na n ys e tf ，w el e tg f ( f ) = ，f w ( f ) d e n o t et h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no ff w i t hr e s p e c tt ot h ew e i g h tw i no r d e rt op r e c i s e l ys t a t et h eg e s s e l - v i e n n o tm e t h o d ，s t e m b r i d g ea l s oi n t r o d u c e d t h ed e f i n i t i o no f d c o m p a t i b l e ，w h i c hs a y st h a t ：i fa a n dba r eo r d e r e ds e t so fv e r t i c e s o fd ，t h e nai ss a i dt ob ed - c o m p a t i b l ew i t hbi fe v e r yp a t hp p ( “，铷) i n t e r s e c t s e v e r yp a t h q p ( u 7 ，口，) 1 w h e n e v e r 札 即7 i n b n o w w eh a v e t h e o r e m0 0 1 膨可l e ta = ( a 1 ，a 2 ，a 。) a n db = ( b 1 ，b 2 ，b 。) b et w o m t u p l e so fv e r t i c e s 讯a na c y c t i cd i a g r a p hd 可ai sd c o m p a t i b l ew i t hb ，t h e n g f ( p o ( a ，b ) ) = l g f ( p ( a , ，b j ) ) f 。( 0 0 1 ) p r o 西f i r s tw ee x p a n dt h ed e t e r m i n a n ti n ( 0 0 1 ) i n t o m g f ( p ( a t ，易) ) i 。= s 9 n ( 盯) i i g f ( 7 d ( a t ，) ) a e s m i = 1 w h e r et i st h es e to fp e r m u t a t i o n so n 1 ，2 ，m ，a n ds i g n ( a ) i st h es i g no fo - t h u st h i sd e t e r m i n a n ti se x p r e s s e da sag e n e r a t i n gf u n c t i o nf o r ( 仇+ 1 ) 一t u p l e s ( o ，p l ， p 2 ，) w i t ho 岛，w h e r e 最r n n sf r o mat o 日。t h ew e i g h ta s s i g n e dt o ( 吼p 1 ，p 2 ，p ) i ss i g n ( a ) w ( p 1 ) ( p 2 ) ( p 丌。) t h eg e s s e l - v i e n n o ti n v o l u t i o n i sa w e i g h t p r e s e r v i n gb u ts i g n r e v e r s i n gi n v o l u t i o n w h i c ha c t so n t h es e to fa l it h o s e m - t u p l e so fp a t h st h a ta r ei n t e r s e c t i n g n o wc o n s i d e ra n y ( m + 1 ) 一t u p l ew i t ha tl e a s to n ep a i ro fi n t e r s e c t i n gp a t h s o n c e w ef i xat o t a lo r d e ro nt h ev e r t i c e so fd t h e nf i n dt h ei e a s tv e r t e x 口a m o n ga i it h e i n t e r s e c t i n gv e r t i c e s a m o n g t h ep a t h st h r o u g h 口，f i n dt w op a t h s 只a n dp js u c ht h a t t h ei n d i c e sia n dja r es i l l a l l e s t n o w1 e t 只b et h ep a t hw h i c hr l l n $ f r o ma tt o t o b q ，a n dg b et h ep a t hw h i c hr u n sf r o m t o 口t o b ，l e to - ，= o 。o 幻，磁= 最f o r e a c hk i ，j ，w es e et h a tt h em a p ( 盯，p 1 ，p 2 ，r ) _ ( 盯7 ，尸i ，最，焉) p r e s e r v e s t h ei n t e r s e c t i n gv e r t i c e s ，h e n c ei sa l li n v o l u t i o n ，w h i c ho n l yc h a n g e st h es i g no ft h e w e i g h t t h u sa n ym - t u p l eo fn o n i n t e r s e c t i n gp a t h so c c u r so n l yw h e n 盯= i d w h i c h c o m p l e t e st h ep r o o f i s i m i l a ra r g u m e n t st ot h e o r e m0 0 1h a v eb e e nu s e db yc h a u n d yf 1 0 1 ，k a x l i na n d m c g r e g o r 3 5 l ，g o u l d e n a n dj a c k s o n 2 8 ，p ，3 2 2 3 2 8 ，a n ds u l a n k e 6 7 i u s u a l l y , w et a k et h ea c y c l i cd i r e c t e dg r a p h a sap l a n a rg r a p h ，i nt h ef o l l o w i n g ， w e1 e tdb et h ei n t e g e rl a t t i c ez zi nt h ep l a n eo ri t ss u b s e t a n dt h ev e r t i c e so fd a r et h ec o o r d i n a t ep o i n t s f o rt h ee d g e sa n dt h ep a t h s ，w en e e dt od i s t i n g u i s ht h e m f o rt h ed i f f e r e n tc a s e s m o r ed e t a i l sa r ec o v e r e di nt h el e f tp a r t so ft h i st h e s i s 3 t h ef i r s tp a r to ft h i sw o r ki st op r e s e n tal a t t i c ep a t hp r o o fo ft h ec a u c h yt h e o r e m ， w h i c hg i v e st h ed i a g o n a l i z a t i o no ft h ec a u c h yk e r n e la s 珥两12 莓州砷栅 ( m n 2 ) w h e r ear a n g e so v e ra l lp a r t i t i o n s ，a n ds ( x ) a r es c h u rf u n c t i o n so v e rt h ev a r i a b l e 8 e tx an o n t r i v i a le x t e n s i o no fc a u c h y ss u m m a t i o nt h e o r e mf o rs c h u rf u n c t i o n s h a sb e e ng i v e nb ya n d r e w s ，g o u l d e na n dj a c k s o n 1 a sc o m m e n t e db yl a s c o t l x 4 3 1 ，t h ed i a g o n a l i z a t i o no ft h ec a u c h yk e r n e l i st h eb e s tc h a r a c t e r i z a t i o no fs c h u r f u n c t i o n s d i f f e r e n tf r o mt h ec l a s s i c a lt r e a t m e n t sw i t ht h er o b i n s o n - s c h e n s t e d - k u n t h c o r r e s p o n d e n c ea n dt h ec a u c h y - b i n e tf o r m u l af 5 7 ，6 5 】，w ed e r i v eaf l a g g e dc a u c h y m a t r i xf r o mt h eo r d i n a r yc a u c h ym a t r i x t h i sf l a g g e df o r mm a k e st h el a t t i c ep a t h a p p r o a c h t ot h ec a u c h yt h e o r e ma v a i l a b l e f o re a c hi n t e g e ril e t a = ：h t 州( x ) 乜( y ) o v e ra l lp a r t i t i o n saw i t ha tm o s tkp a r t s g e s s e l 【2 2 ip r o v e dt h a t r k x ，y ) = l q i k k ( 0 0 3 ) i nf a c t ，t h i si m m e d i a t e l yc o m e sf r o mo u rl a t t i c ep a t hc o n s t r u c t i o nf o rt h ec a u c h y t h e o r e mb yc h o o s i n gd i f f e r e n to r i g n sa n dd e s t i n a t i o n s n o t et h a tg e s s e l st h e o r e m i sv e r yu s e f u li ne n u m e r a t i n gp e r m u t a t i o n sw i t hl o n g e s ti n c r e a s i n gs u b s e q u e n e eo f l e n g t ha tm o s t 七 t h es e c o n dp a r to ft h i sw o r ki sc o n c e r n e dw i t ht h el a t t i c ep a t hi n t e r p r e t a t i o no f s k e ws c h u b e r tp o l y n o m i a l s 【1 2 1 s c h u b e r tp o l y n o m i a l s ，d e f i n e di nf 4 0 ，4 7 ，4 8 】，w e r e m o t i v a t e db yt h eg e o m e t r yo f f l a gm a n i f o l d s ，f o l l o w i n gt h e w o r ko fb e r n s t e i n - g e l f a n d g e l f a n df 4 a n dd e m a z u r ef 1 5 t h e yh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e db ym a n ya u t h o r s 3 ，7 ，1 1 ，1 7 ，1 8 ，3 7 ，3 8 ，5 1 ，6 1 ，6 2 ，7 l 】m o r ed e t a i l sc a n b ef o u n di n ( 4 2 ，5 5 | t h r o u g h t h el a t t i c ep a t h s ，w eg e tau n i f i e do v e r v i e wo ft h r e ed e f i n i t i o n s ( t a b l e a ud e f i n i t i o n ， d e t e r m i n a n td e f i n i t i o n ，a n dd i v i d e dd i f f e r e n c ed e f i n i t i o n ) o fs k e ws c h u b e r tp o l y n o m i - a l s s i n c ec h e n ，l ia n d l o u c k 【1 1 1h a v eg i v e n al a t t i c ep a t ha p p r o a c ht ot h ev e x i l l a r y s c h u b e r tp o l y n o m i a l s w ea l s os b o wt h ed i f f e r e n c e sa n dr e l a t i o n sb e t w e e nt h e s et w o l a t t i c ep a t ht r e a t m e n t s h o w e v e r ，o u rc a s ec a ng om o r ef a r i naf o r t h c o m i n gj o i n t w o r kw i t hl a s c o u xa n dl i n 【4 5 】1w eo b t a i nal a t t i c eg r a p hi n t e r p r e t a t i o no fg e n e r a l s c h u b e r tp o l y n o m i a l s t h i sp r o v i d e sap o s s i b l ew a yt oa t t a c kt h ed i a g o n a l i z a t i o no f t h ec a u c h yk e r n e lo fs c h u b e r tp o l y n o m i a l s ，w h i c hw es h a hs t a t ei nt h ef o l l o w i n g let，一 a ( x ，y ) = i i ( 毛+ 玑) y “扣 x 飘 。 = yx 毗l t h e nt h ec a u c h yf o r m u l ai s a ( x ，y ) 一6 。( x ) 6 。( y ) a e 晶 4 ( 0 0 4 ) w h e r e6 口( x ) i st h es c h u b e r tp o l y n o m i a li n d e x e db y 口，a n da 0i st h em a x i m a lp e r - m u t a t i o no f 最 i n s t e a do fc o n s i d e r i n gt h ec a u c h yf o r m u l ao v e rt h ec o m m u t a t i v ev a r i a b l e s w e p r e f e rs t u d y i n gt h en o n c o m m u t a t i v ev e r s i o nc o n j e c t u r e db yl a s c o u x 4 4 】，s i n c et h e l a t t m ep a t h sa n dl a t t i c eg r a p h sp r e s e n tu st h ep l a n a ro b j e c t s t h er e a d e r sc a nf i n d t h ed e f i n i t i o no fn o n c o m m u t a t i v es c h u b e r tp o l y n o m i a l sa n dt h ed e s c r i p t i o no fn o n - c o m m u t a t i v ec a u c h yf o r m u l ai n 4 4 1 ，a n dw eo m i tt h ed e t a i l sh e r e t h e r ea r ef o u ri m p o r t a n td e t e r m i n a n t a lf o r m u l a so fs u p e r s c h u rf u n c t i o n s ，w h i c h a r et h ej a c o b i m d if o r m u l