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第4章正弦交流电路 4 2正弦量的相量表示法 4 3单一参数的交流电路 4 1正弦电压与电流 4 4电阻 电感与电容元件串联交流电路 4 7交流电路的频率特性 4 8功率因数的提高 4 5阻抗的串联与并联 正弦交流电路是指含有正弦电源 激励 而且电路各部分所产生的电压和电流 响应 均按正弦规律变化的电路 第4章正弦交流电路 在生产和生活中普遍应用正弦交流电 特别是三相电路应用更为广泛 本章将介绍交流电路的一些基本概念 基本理论和基本分析方法 为后面学习交流电机 电器及电子技术打下基础 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物理现象 因此在学习时注意建立交流的概念 以免引起错误 交流电 大小和方向都周期性变化 在一个周期上的函数平均值为零的电压 电流和电动势的总称 瞬时值 最大值 初相位 最大值角频率初相位 如正弦交流电流 i imsin t a 角频率 图4 1 1正弦交流电的波形 正半周 负半周 正弦量 大小和方向都随时间按正弦规律做周期变化的量 4 1正弦电压与电流 参考方向 波形正半周时的方向 周期t 变化一次所需要的时间 s 频率f 1s内变化的周次数 hz 角频率 正弦量1s内变化的弧度数 4 1 1交流电的周期 频率 角频率 变化快慢 2 f o 常见的频率值 有线通信频率 300 5000hz 无线通讯频率 30khz 3 104mhz高频加热设备频率 200khz 300khz 中国和欧洲国家50hz 美国 日本60hz 各国电网频率 如果热效应相当wd wa则i是i的有效值 正弦电量的有效值 e i uem im ume i u 最大值 大写字母加下标m 4 1 2交流电瞬时值 最大值 有效值 变化大小 瞬时值 小写字母 有效值 大写字母 有效值 注意 交流电压 电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压 电流均为有效值 i 10sin 1000t 30 au 311sin 314t 60 v 相位 t 初相位 i 30 u 60 相位差 同频率的正弦电量的初相位之差 i 100sin 314t 30 au 311sin 314t 60 v u i 60o 30 90 相位 初相位 4 1 3交流电的相位 初相位 相位差 变化过程 上一页 下一页 返回 下一节 上一节 图4 1 2同频率正弦量的相位关系 i 100sin 314t 30 au 100sin 314t 60 v相位差 同频率的正弦电量的初相位之差 u i 60o 30 90 参见下图 i u 电流超前电压 电压与电流同相 电流超前电压 电压与电流反相 如 电压滞后电流 4 2正弦量的相量表示法 代数式 指数式 极坐标式 三角式 复习 复数的表示方法和计算方法 1 复数的表示方法a a jb 模 辐角 加 减法 a1 a2 a1 a2 j b1 b2 有效值相量和幅值相量的关系 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上 根据各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形 称为相量图 注意 相量只是表示正弦量 而不等于正弦量 只有正弦量才能用相量表示 非正弦量不能用相量表示 相量图 i1 i2 例 若i1 i1msin t i1 i2 i2msin t i2 画相量图 设 i1 30 i2 65 正误判断 1 已知 有效值 3 已知 相量 正弦量 j45 最大值 负号 例1 已知 有效值i 16 8a 求 解 相量式 上一页 下一页 返回 下一节 上一节 90 90 j的意义 虚数单位 旋转90 算子 解 1 相量式 2 相量图 例2 将u1 u2用相量表示 1 电压与电流的关系 设 大小关系 相位关系 u i相位相同 根据欧姆定律 频率相同 相位差 4 3 1电阻元件的交流电路 4 3单一参数的交流电路 2 功率关系 1 瞬时功率p 瞬时电压与瞬时电流的乘积 小写 结论 耗能元件 且随时间变化 瞬时功率在一个周期内的平均值 大写 2 平均功率 有功功率 p 单位 瓦 w 注意 通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率 基本关系式 频率相同 u i l 电压超前电流90 相位差 1 电压与电流的关系 4 3 2电感元件的交流电路 设 大小关系 相位关系 或 则 感抗 电感l具有通直阻交的作用 定义 有效值 感抗xl是频率的函数 可得相量式 电感电路复数形式的欧姆定律 2 功率关系 1 瞬时功率 2 平均功p 有功功率 l是非耗能元件 储能 放能 储能 放能 电感l是储能元件 结论 纯电感不消耗能量 只和电源进行能量交换 能量的吞吐 可逆的能量转换过程 用以衡量电感电路中能量交换的规模 用瞬时功率达到的最大值表征 即 单位 var 3 无功功率q 瞬时功率 练习题 由于这部分功率没有被消耗掉 故称为无功功率 基本关系式 1 电流与电压的关系 频率相同 i u c 电流超前电压90 相位差 则 4 3 3电容元件的交流电路 设 大小关系 相位关系 或 则 容抗 定义 有效值 所以电容c具有隔直通交的作用 容抗xc是频率的函数 可得相量式 则 电容电路中复数形式的欧姆定律 由 2 功率关系 1 瞬时功率 2 平均功率 有功功率 c是非耗能元件 瞬时功率 充电 放电 充电 放电 所以电容c是储能元件 结论 纯电容不消耗能量 只和电源进行能量交换 能量的吞吐 同理 无功功率等于瞬时功率达到的最大值 3 无功功率q 单位 var 为了同电感电路的无功功率相比较 这里也设 则 4 3单一参数正弦交流电路的分析计算小结 电路参数 电路图 参考方向 阻抗 电压 电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率 r i u 设 则 u i同相 0 l c 设 则 则 u超前i90 0 0 基本关系 i u i u 设 u落后i90 单一参数电路中的基本关系 指出下列各式中哪些是对的 哪些是错的 在电感电路中 练习 在电阻电路中 在电容电路中 上一页 下一页 返回 下一节 上一节 kvl 设 则 相量式 4 4rlc串联的交流电路 一 电流 电压的关系 电阻 电抗 阻抗模 阻抗角 复阻抗 则 阻抗模 阻抗角 电阻 电抗 注意 1 复阻抗是由元件参数及连接方式决定 最终会影响电路的性质 2 z只是一个复数 不是相量 书写时上面不能加点 相位关系 arctan x r u i 大小关系 由于 分析得串联交流电路中电压电流的相量关系 相量形式的交流电路欧姆定律 z的模就是u i的有效值之比 z的阻抗角就是u i的相位差 u z iur ri ucos ux xi xl x i usin 电压三角形 此时0 90 称此电路呈电感性 可作出串联交流电路相量图 由 ur ul uc ul u 称此电路呈电容性 90 0 上一页 下一页 返回 下一节 上一节 0 称此电路呈电阻性 电压超前电流 感性 电压滞后电流 容性 电压电流同相 阻性 电路的性质 阻抗角是由元件连接方式及参数决定的 以下是可能出现的情况 正误判断 在rlc串联电路中 1 假设r l c已定 电路性质能否确定 阻性 感性 容性 2 rlc串联电路的是否一定小于1 4 在rlc串联电路中 当l c时 u超前i 当l c时 u滞后i 这样分析对吗 二 功率关系 1 瞬时功率 设 在每一瞬间 电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉 一部分与储能元件进行能量交换 2 平均功率p 有功功率 单位 w 总电压 总电流 u与i的夹角 3 无功功率q 单位 var 总电压 总电流 u与i的夹角 根据电压三角形可得 根据电压三角形可得 4 视在功率s 电路中总电压与总电流有效值的乘积 单位 v a 注 sn unin称为发电机 变压器等供电设备的容量 可用来衡量发电机 变压器可能提供的最大有功功率 电压三角形 阻抗三角形 功率三角形 将电压三角形的有效值同除i得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘i得到功率三角形 例1 已知 求 1 电流的有效值i与瞬时值i 2 各部分电压的有效值与瞬时值 3 作相量图 4 有功功率p和无功功率q 在rlc串联交流电路中 解 2 1 通过计算可看出 而是 3 相量图 4 或 或 呈容性 z z1 z2 r1 r2 j x1 x2 z zi 由kvl ri jxi 图4 5 1阻抗的串联 分压公式 4 5阻抗的串联与并联 4 5 1阻抗的串联 解 同理 或利用分压公式 注意 下列各图中给定的电路电压 阻抗是否正确 思考 4 5 2阻抗并联 分流公式 通式 例2 解 同理 相量图 注意 或 例2 rlc并联电路 下列各图中给定的电路电流 阻抗是否正确 一般正弦交流电路的解题步骤 1 根据原电路图画出相量模型图 电路结构不变 2 根据相量模型列出相量方程式或画相量图 3 用相量法或相量图求解 4 将结果变换成要求的形式 例1 已知电源电压和电路参数 电路结构为串并联 求电流的瞬时值表达式 一般用相量式计算 分析题目 已知 求 解 用相量式计算 例1 已知 同理 例2 下图电路中已知 i1 10a uab 100v 求 总电压表和总电流表的读数 解题方法有两种 1 用相量 复数 计算 2 利用相量图分析求解 求 a v的读数 已知 i1 10a uab 100v 解法1 用相量计算 所以a读数为10安 求 a v的读数 已知 i1 10a uab 100v 解法2 利用相量图分析求解 画相量图如下 设为参考相量 由相量图可求得 i 10a 求 a v的读数 已知 i1 10a uab 100v 超前 ul ixl 100v v 141v 由相量图可求得 求 a v的读数 已知 i1 10a uab 100v 设为参考相量 由相量图可求得 解 例3 已知 开关闭合后u i同相 开关闭合前 求 1 开关闭合前后i2的值不变 开关闭合后 解 2 用相量计算 开关闭合后u i同相 由实部相等可得 由虚部相等可得 4 8功率因数的提高 1 功率因数 对电源利用程度的衡量 的意义 总电压与总电流的相位差 即阻抗角 常见电路的功率因数 1 电源设备的容量不能充分利用 若用户 则电源可发出的有功功率为 若用户 则电源可发出的有功功率为 而需提供的无功功率为 所以提高可使发电设备的容量得以充分利用 无需提供的无功功率 若电路功率因数低将引起两个问题 2 增加线路和发电机绕组的功率损耗 费电 提高电网的功率因数对国民经济的发展有重要的意义 设输电线和发电机绕组的电阻为 所以提高可减小线路和发电机绕组的损耗 2 造成功率因数低的原因 1 设备处于欠载状态 2 电感性负载比较多 无功功率多 大马拉小车 2 提高功率因数的措施 3 功率因数的提高 必须保证原负载的工作状态不变 即 加至负载上的电压和负载的有功功率不变 在感性负载两端并电容 1 提高功率因数的原则 结论 并联电容c后 3 电路总的有功功率不变 因为并联的电容器不消耗有功功率 所以消耗的有功功率也不变 4 并联电容值的计算 相量图 又由相量图可得 即 例1 求并c前后的线路电流 并c前 可见 cos 1时再继续提高 则所需电容值很大 不经济 所以一般不必提高到1 并c后 4 7 2串联谐振 4 7交流电路的频率特性 什么叫谐振 在既有电容又有电感的电路中 当电源的频率和电路的参数符合一定的条件时 电路总电压与总电流的相位相同 整个电路呈电阻性 实质是电容中的电场能与电感中的磁场能相互转换 此增彼减 完全补偿 谐振时要注意一些什么 某些物理量会达到极大值 谐振有几种 串联谐振 并联谐振 1 谐振的条件及谐振频率 z r j xl xc r jx当x 0时 z r 0 4 7 2串联谐振 u与i同相位 谐振的条件 xl xc 谐振频率 相量图 2 串联谐振的特点 3 ul uc 电压谐振 4 品质因数q 1 q 0 ql qc 0 cos 1 q 2 l和c串联部分相当于短路z r z 最小 电路呈现纯电阻特性 q是无量纲的物理量 表征串联谐振电路的谐振质量 谐振在电力系统中应尽量避免 3 串联谐振应用举例 为来自3个不同电台 不同频率 的电动势信号 e1e2e3 而在通信系统中恰好利用谐振来接收微弱的信号 4 谐振曲线 电流随频率变化的关系曲线 q值越大 曲线越尖锐 选择性越好 q大 q小 分析 谐振电流 电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力 称为选择性 本章结束 例 rlc串联电路 已知r 5k l 6mh c 0 001 f u 5sin106tv 1 求电流i和各元件上的电压 画出相量图 2 当角频率变为2 105rad s时 电路的性质有无改变 k k 解题思路 先求i 再求ur ul uc 先求i 再求ur ul uc 2 当角频率变为2 105rad s时 电路的性质有无改变 电路阻抗z为 在图示电路中 感性负载z上的电压 有功功率p2 85kw 功率因数 1 求复阻抗z 2 若电阻r 0 5 电抗xl 1 2 求电压及总功率因数 思考题1 解 1 电路总电流 2 思考题2 在图示r l