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1 材料力学复习提纲 二 材料力学复习提纲 二 弯曲变形的基本理论 弯曲变形的基本理论 一 弯曲内力一 弯曲内力 1 1 基本概念 平面弯曲 纯弯曲 横力弯曲 中性层 中性轴 惯性矩 极惯性 矩 主轴 主矩 形心主轴 形心主矩 抗弯截面模 2 2 弯曲内力 剪力方程 弯矩方程 剪力图 弯矩图 符号规定 Q Q Q QMM MM 3 剪力方程 弯矩方程 1 首先求出支反力 并按实际方向标注结构图中 2 根据受力情况分成若干段 3 在段内任取一截面 设该截面到坐标原点的距离为 x 则截面一侧所有竖向外力 的代数和即为该截面的剪力方程 截面左侧向上的外力为正 向下的外力为负 右侧反之 4 在段内任取一截面 设该截面到坐标原点的距离为 x 则截面一侧所有竖向外力 对该截面形心之矩的代数和即为该截面的弯矩方程 截面左侧顺时针的力偶为正 逆时针 的力偶为负 右侧反之 对所有各段均应写出剪力方程和弯矩方程 4 作剪力图和弯矩图 1 根据剪力方程和弯矩方程作图 剪力正值在坐标轴的上侧 弯矩正值在坐标轴的 下侧 要逐段画出 2 利用微积分关系画图 二 弯曲应力二 弯曲应力 1 正应力及其分布规律 maxmax max 3243 4 1 1 1266432 z z Zzz zzzz IMEMMM yyyW EIIIWy bhbhdd IWIW 抗弯截面模量 矩形圆形空心 2 2 剪应力及其分布规律 一般公式 z z QS EI max 1 5 Q A Q max 4 3 Q A Q Q max 2 Q A max max z z QS EI Q 3 强度有条件 正应力强度条件 maxzz z MM MWW W 剪应力强度条件 max max max z maz z QS Q I EI E S 工字型 4 提高强度和刚度的措施 1 改变载荷作用方式 降低追大弯矩 2 选择合理截面 尽量提高的比值 z W A 3 减少中性轴附近的材料 4 采用变截面梁或等强度两 三 弯曲变形三 弯曲变形 1 挠曲线近似微分方程 EIyM x 掌握边界条件和连续条件的确定法 2 叠加法计算梁的变形 掌握六种常用挠度和转角的数据 3 梁的刚度条件 max y f l 3 压杆的稳定问题的基本理论 压杆的稳定问题的基本理论 1 1 基本概念 基本概念 稳定 理想压杆和实际压杆 临界力 欧拉公式 柔度 柔度界限值 P 临界应力 杆长系数 1 2 0 5 0 7 惯性半径 cr mix mix I i A 2 2 临界应力总图 临界应力总图 2 2cr EI P l 2 2 cr E cr ab P A P S P S l i P P E S S a b 12 mix b ib 矩形短边 4 d id 圆形直径 mix i 工字型查表 2 2 12 34 2353041 1229 30 19 PP P S SSPcr SPcr E liE aE b ab QaMPabMPaaMPabMPa 计算程序 比较 钢松木 3 3 稳定校核 稳定校核 压杆稳定校核的方法有两种 1 安全系数法 在工程中 根据压杆的工作情况规定了不同的安全系数 如在 st n 金属结构中 其他可在有关设计手册中查到 设压杆临界力为 工作压1 83 0 st n cr P 力为 则 式中 为工作安全系数 则稳定条件为 P crcr P nn p 或n st nn 2 折减系数法 这种方法是将工程中的压杆稳定问题 转换成轴向压缩问题 用折 减系数将材料的许用压应力打一个较大的折扣 是柔度的函数 根据大量的实 4 验和工程实践已将它们之间的关系制成了表格 图像和公式 只要算出压杆的柔度 就 可在有关的资料中查到相应的值 不分细长杆 中长杆和短粗杆 其稳定表达式为 P A 复习题复习题 一 是非题一 是非题 在题后的括号内正确的画 错误的画 1 平面图形对过形心轴的静矩等于零 惯性矩也等于零 2 梁横截面上各点剪应力的大小与该点到中性轴的距离成反比 3 矩形截面梁上 下边缘的正应力最大 剪应力为零 4 剪应力互等定理一定要在弹性范围内使用 5 所有压杆的临界力都可以用欧拉公式计算 6 梁横截面上各点正应力大小与该点到中性轴的距离成正比 7 细长压杆的承载能力主要取决于强度条件 8 形状不同但截面面积相等的梁 在相同的弯矩下最大正应力相同 9 欧拉公式只适用于大柔度压杆的稳定性计算 10 细长压杆的临界力只与压杆的材料 长度 截面尺寸和形状有关 11 梁横截面中性轴上的正应力等于零 剪应力最大 12 矩形截面梁上 下边缘的正应力最大 剪应力为零 13 横截面只有弯矩而无剪力的弯曲称为纯弯曲 14 均布荷载作用下的悬臂梁 其最大挠度与杆长三次方成正比 15 无论是压杆 还是拉杆都需考虑稳定性问题 16 若某段梁的弯矩等于零 该段梁变形后仍为直线 17 均布荷载下梁的弯矩图为抛物线 抛物线顶点所对截面的剪力等于零 18 中性轴将梁的横截面分为受拉 受压两个部分 19 压杆的柔度与材料的性质无关 20 某段梁上无外力作用 该段梁的剪力为常数 21 梁的中性轴处应力等于零 22 材料不同 但其它条件相同两压杆的柔度相同 24 平面图形对其对称轴的静矩为零 25 截面面积相等 形状不同的梁 其承载能力相同 26 竖向荷载作用下 梁横截面上最大剪应力发生在截面的上下边缘 27 压杆的柔度不仅与压杆的长度 支座情况和截面形状有关 而且还与压杆的横截面积有关 28 在匀质材料的变截面梁中 最大正应力不一定出现在弯矩值绝对值 max 最大的截上 5 二 选择题二 选择题 备选答案中只有一个是正确的 将你所选项前字母填入题后的括号内 1 1 矩形截面里梁在横力弯曲时 在横截面的中性轴处 B A 正应力最大 剪应力为零 B 正应力为零 剪应力最大 C 正应力和剪应力均最大 D 正应力和剪应力均为零 2 2 圆形截面抗扭截面模量 WP与抗弯截面模量 Wz间的关系为 B A WP W Z B WP 2WZ C 2WP WZ 3 图示梁 1 2 截面剪力与弯矩的关系为 A A Q1 Q2 M1 M2 B Q1 Q2 M1 M2 C Q1 Q2 M1 M2 D Q1 Q2 M1 M2 4 图示细长压杆长为 l 抗弯刚度为 EI 该压杆的临界力为 A A B 2 2 4l EI Pcr 2 2 l EI Pcr C D 2 2 49 0 l EI Pcr 2 2 4 l EI Pcr 5 两根梁尺寸 受力和支承情况完全相同 但材料不同 弹性模量分别为和 2 E 1 E 则两根梁的挠度之比为 B 21 7EE 21 y y A B C D 4 17 149 17 1 6 圆形截面对圆心 C 的极惯性矩与对形心主轴 z 的惯性矩间的关系为 A A IP IZ B IP 2IZ C 2IP IZ 7 图示四根压杆的材料相同 截面均为圆形 直径相同 它们在纸面内失稳的先后次序有以下四种 正确的是 A A a b c d B d a b c C c d a b D b c d a z y C aa2a PP 1 1 2 2 l P z y C 6 8 图示矩形截面采用两种放置方式 从弯曲正应力强度观点 承载能力 b 是 a 的多少倍 A A 2 B 4 C 6 D 8 9 图示梁欲使 C 点挠度为零 则与的关系为 Pq B A 2 qlP B 8 5qlP C 6 5qlP D 5 3qlP 10 长方形截面细长压杆 如果将改为后仍为细长杆 2 1 hbbh 临界力是原来多少倍 cr P A 2 B 4 C 6 D 8 1111 图示梁支座 B 两侧截面剪力与弯矩的关系为 D A Q1 Q2 M1 M2 B Q1 Q2 M1 M2 C Q1 Q2 M1 M2 D Q1 Q2 M1 M2 12 材料相同的悬臂梁 所受荷载及截面尺寸如图所示 下列关于它们的挠度的结 论正确的为 A A 梁最大挠度是梁的倍 4 1 B 梁最大挠度是梁的倍 2 1 C 梁最大挠度是梁的 2 倍 D 梁最大挠度相等 13 截面形状不同 但面积相同 其它条件也相同的梁 B 2 2 1 1 P A C 7 其承载能力的大小关系为 A A 矩形 方形 圆形 B 方形 圆形 矩形 C 圆形 方形 矩形 D 方形 矩形 圆形 14 T 形截面梁 横截面上 a b c 三点正应力的大小关系为 B A a b c B a b c 0 C a b c 0 D a b c 0 15 梁受力如图 在 B 截面处 正确答案是 D A 剪力图有突变 弯矩图连续光滑 B 剪力图有尖角 弯矩图连续光滑 C 剪力图 弯矩图都有尖角 D 剪力图有突变 弯矩图有尖角 16 抗弯刚度相同的悬臂梁 如图所示 下列关于它们的挠度的结论正确的为 C 梁最大挠度相等 梁最大挠度是梁的倍 A B 2 1 梁最大挠度是梁的倍 梁最大挠度是梁的 2 倍 C 4 1 D 17 如图所示的悬臂梁 自由端受力偶 M 的作用 梁中性层上正应力及剪应力正确 的是 C A0 0 B0 0 C0 0 D0 0 矩形方形圆形 z a b c F q CBA 8 三 填空题三 填空题 将答案填在题后的划线中 1 图示圆截面压杆长 直径 该压杆的柔度为 ml5 0 mmd20 2 用积分法求图示梁的变形 试写出确定积分常数的边界条件和变形连续条件 边界条件为 111212 000 xyxxlyy 变形连续条件 1212 xxl 3 图示圆截面悬臂梁 若其它条件不变 而直径增加一倍 则其最大正应力是原来截面上 最大正应力的 1 8 倍 4 图示简支等截面梁 C 处的挠度为 0 5 试画出矩形截面梁横截面沿高度的正应力分布规律 若截面弯矩为 M 则A C 两点的 正应力分别为 A C 6 用积分法求图示梁的变形 试写出确定积分常数的边界条件和变形连续条件 边界条件 1122 00 2 l xyxly 变形连续条件 1212 12 0 2 l xxyy P l l 2 P l y x x1 x2 q h z b A C 正应力分布规律 l 2 P l y x x1 x2 9 7 图示梁支座 B 左侧 截面的剪力和弯矩分别为 Q1 M1 8 图示悬臂梁自由端 C 的转角和挠度分别为 C C y 9 图示悬臂梁自由端 C 的转角和挠度分别为 C C y 10 梁在弯曲时 横截面上正应力沿高度是按 分布的 中性轴上的正应力 为 矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按 分布的 中性轴上的剪应力为 11 图示矩形对轴的惯性矩 C Z ZC I 对轴的惯性矩 y y I 3 3 hb 12 利用叠加法计算杆件组合变形的条件是 1 变形为 小变形 2 材料处于 线弹性 13 按图示钢结构变换成的形式 若两种情形下为细长杆 a bCD 结构承载能力将 降低 8kN4kN 1m1m1m CB A ll P ABCEI l A C l EI m B 10 zzz a b c 1414 图示三种截面的截面积相等 高度相同 则图所示截面的最大 图 z W 所示截面的最小 z W 15 图示荷载 支座的四种布置中 从强度考虑 最佳方案为 四 计算题四 计算题 1 1 练习作以下各题的 Q M 图 要标出各控制点的 Q M 值 含作业中的题 2kN 4kN m 4kN m 4m2m2m A CD 2kN 10kN m 2kN m 4m2m2m A B CD 2kN m 3m2m A B C 16kN m 2kN m 2m2m A B 2kN m C P a A B C M Pa a 2kN4kN m 4m2m A BC P a 11 2 2 根据题意计算梁的强度 设计截面或求承载能力 1 1 矩形截面梁b 20cm h 30cm 求梁的最大正应力 max 和最大剪应力 max 2 求图示矩形截面梁 1 1 截面的最大正应力和最大剪应力 1m 6kN 1m1m 1 1 单位mm 60 100 3 求图示矩形截面梁 D 截面上 a b c 三点的正应力 A B C D 2m2m2m P 12kN z c a b 5 6 2 3 cm 4 16 号工字钢截面的尺寸及受力如图所示 MPa160 试校核正应力强度条件 5 图示外伸梁 受均布荷载作用 已知 mKNq 10 ma4 试校核该梁的强度 MPa160 2m P 30kN 2m b h 12 6 图示为一铸铁梁 许用拉应力 许用压kNP9 1 kNP4 2 MPa30 应力 试校核此梁的强度 MPa60 46 1063 7 m Iy maxmax 4628 8MPaMPa 3 变形计算 练习以下各题 求指定位移 变形计算 练习以下各题 求指定位移 BB y CC y C y 2l 2l l 2l 2l FF F mFl q A A A B B B C C C cB y cB y cB y EI EI EI A q C EI B aa q qa EI A B q l A EI 2l B C ql C 2l 2l l 12 34 56 2l 2l 2l ql q EI AD BC ABC yy l l EI 2EI F A B C C y 78 13 部分答案供参考部分答案供参考 1 1 2 2 43 7113 246 BB qaqa y EIEI 4 5 768 C ql y EI 6 6 7 7 43 48 cB qaqa y EIEI 43 47 2448 AB qlql y EIEI 8 8 3 3 2 C ql y EI 4 4 以下为压杆练习题 按要求求解 以下为压杆练习题 按要求求解 1 1 图示圆截面压杆 已知 mmd100 GPaE200 MPa P 200 试求可用欧拉公式计算临界力杆的长度 2 两端铰支压杆 尺寸如图所示 已知 材料的弹性模量 GPaE200 比例极限 MPa P 200 直线经验公式 12 1 304MPa cr 若取稳定安全系数 试确定容许压力 3 w n 3