（应用数学专业论文）信号采样和重构理论及其在生物信息学中的应用.pdf

摘要 数字信号处理总是把模拟信号转换成数字信号，然后再进行数字信号处 理，最后再把处理后的数字信号转换成模拟信号把模拟信号转换成数字信 号就是采样问题，把处理后的数字信号再恢复成模拟信号就是信号的重建问 题，所以对信号处理的研究主要是两个主要方面，第一个研究方向是量化采样 集条件，当采样集满足哪些条件时，信号能由它在采样集上的采样值稳定而且 唯一重建? 第二个研究方向是如何设计快速有效的重构算法来重构信号? 传统 的s h a n n o n 采样定理只适用于频带有限信号空间p w n 和均匀采样信号 ，( n t ) ) ， 而实际应用中常遇到的是非均匀采样和非频带有限信号空间，这也是为什么对 非均匀采样现在引起大家注意的原因之一基于此及前面所提及的两个主要研 究方向，本文主要讨论了从非均匀采样中重构非频带有限空间信号的问题，具 体来说主要是考虑了加权的平移不变空间、格不变空间、时卷频带有限空间、样 条子空间、多生成的加权平移不变空间等非频带有限空间，其主要内容如下： 时间序列的周期图分析在生物学中被广泛应用，微阵列( m i e r o a r r a y ) 时间 序列数据分析的一个新的挑战是如何确定有周期性表达的基因。为何这是一个 挑战? 这主要是因为观察到的时间序列呈现出非理想状态，如噪音、序列长度 过短、非均匀采样等。不幸的是许多方法是基于均匀采样的数据，而不适用于 非均匀采样时间序列。对于均匀采样数据，经典的f o u r i e r 周期图方法常被用于 检测周期性表达的基因。最近，一项用l o m b - s c a r g l e 方法来处理非均匀采样数 据的谱分析技术被使用，然而l o m b - s c a r g l e 方法只是假设所考虑的对象是具有 无限支撑的单个具有统计意义的正弦波，而这对有限的数据而言会引入虚假的 周期信息，而且由于数据中噪音的影响，也可能产生不准确的估计结果。 我们把信号的采样和重构理论用于生物信息学中的微阵列时间序列分析并 用来确定周期性表达基因。第一章和第二章是关于信号的采样重构理论，第三 章和第四章是它们在生物信息学中的应用，具体来说，本研究报告的内容主要 由以下四部分构成： 1 、我们研究了在多生成平移不变空间中的非一致加权平均采样的问题，获 得了在多生成平移不变空间中的采样集条件，而且得到采集条件中不等式的显 示边界表达式。 s a m p l i n ga n dr e c o n s t r u c t i o nt h e o r yo fs i g n a la n da p p l i c a t i o n 让 i nb i o i n f o r m a c s 2 、我们给出了在格不变空间中的信号重构公式，这是对以前在平移不变空 间中的一些结果的推广在一般平移不变空间中给出了一个推广的改进a - p 迭 代算法，并且我们还给出了它在样条子空间中形式，并强调了它的可执行。 3 、我们给出了一个对非均匀采样数据的新谱估计算法，这个新算法是基于 扰动平移不变信号空间的重构算法，并且给出了一个基于& 样条基的直接的可 执行的谱估计 4 、我们把扰动平移不变信号空间的重构算法和奇异值谱分析方法结合起 来处理非均匀采样微阵列时间序列。从对模拟和现实数据库的实验来看，我们 的方法( 信号重构算法一奇异值谱分析方法一经典的周期图方法) 能够更有效 从非均匀采样微阵列时间序列数据库中识别具有周期表达的基因 关键词：小波，框架，非一致采样，重构，平移不变空间，格不变空间，谱估计， 周期表达基因，非均匀采样，信号重构，& 样条 a b s t r a c t d i 西t a ls i g n a lp r o c e s s i n ga l w a y sc o n v e r t sa n a l o gs i g n a lt od i g i t u ls i g n a l ，t h e n c o n v e r t sd i g i t a ls i g n a lt oa n a l o gs i g n a la f t e rd i g i t a lp r o c e s s i n g c o n v e r t i n gt h e a n a l o gs i g n a lt ot h ed i g i t a ls i g n a li sas a m p f i n gp r o b l e m c o n v e r t i n gt h ep r o - c e s s e dd i g i t a ls i g n a lt ot h ea n a l o gs i g n a li sar e c o n s t r u c t i o np r o b l e m t h e r e f o r e t h eo b j e c t i v eo fr e s e a r c ho ns a m p l i n gp r o b l e mi st w o f o l d t h ef i r s tg o a li sh o w t oq u a n t i f yt h ec o n d i t i o n su n d e r w h i c hi ti sp o s s i b l et or e c o v e rf u n c t i o ni ns p e c - i f i e dc l a s sf r o md i f f e r e n ts e t so fd i s c r e t es a m p l e s t h es e c o n dg o a li sh o wt ou s e t h e s ea n a l y t i c a lr e s u l t st od e v e l o pe 。( p l i c i ta n de f f i c i e n tr e c o n s t r u c t i o ns c h e m e s f o rt h ea n a l y s i sa n dp r o c e s s i n go fd i g i t a ld a t a t h ec l a s s i c a ls h a n n o n ss a m p l i n g t h e o r e mi so n l ya p p l i c a b l ef o rb a n d - l i m i t e ds i g n a ls p 8 0 留p w oa n dt h er e g u l a r l y s a m p l i n gs e t ，( m ) ，b u tw eo f t e nm e e tn o n - b a n d l i m i t e ds p a c e sa n di r r e g u l a r l y s a m p l i n gs e ti na p p l i c a t i o n s w ed i s c u l 镕t h er e c o n s t r u c t i o no fn o n - b a n d l i m i t e d s i g n a l sf r o mt h e i ri r r e g u l a r l ys a m p l i n gs e t s p e c i f i c a l l y , w ed i 8 c l l 8 st h er e c o n s t r u c - t i o na n ds a m p l i n gp r o b l e m si nw e i g h t e ds h i f t i n v a r i a n ts p a c e s ，l a t t i c i n v a r i a n t s p a c e s ，s p l i n es u b s p a c e sa n dw e i g h t e dm u l t i p l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n ts p a c e s p e r i o d o g r a ma n a l y s i so ft i m e - s e r i e si sw i d e s p r e a di nb i o l o g y an e wc h 小 l e n g ef o ra n a l y s i n gt h em i c r o a r r a yt i m es e r i e sd a t ai st oi d e n t i f yg e n e st h a ta r e p e r i o d i c a l l ye x p r e s s e d s u c hac h a l l e n g eo c c u r sd u et ot h eo b s e r v e dt i m es e r i e s c a ne x h i b i tn o n - i d e a l i t i e s ，s u c hn sn o i s e ，s h o r tl e n g t h ，u n e v e n l ys a m p l e dt i m e s e r i e s u n f o r t u n a t e ，m a n ye f f e c t i v em e t h o d sb a s e do ne v e n l ys a m p l i n gd a t aa n d a r en o ts u i t e dt ot h ec a s eo fu n e v e n l ys a m p l e dt i m es e r i e s f o re v e n l ys a m p l e d d a t a ，t h ec l a s s i c a lf o u r i e rp e r i o d o g r a mb a s e dm e t h o di su s e dt od e t e c tp e r i o d - i c a l l yg o n ee x p r e s s i o n r e c e n t l y , ac o n l n l o ns p e c t r a le s t i m a t i o nt e c h n i q u ei st o 1 1 s et h el o m b - s c a r g i ea l g o r i t h mf o ru n e v e n l ys a m p l e dd a t a h o w e v e r s i n c et h e l o m b - s c a r g i em e t h o da 目l l n l e st h a tt h e r ei 8as i n g l es t a t i o n a r ys i n n s o i dw a v e w i t hi n f i n i t es u p p o r t ，i tm a yi n t r o d u c es p u r i o u sp e r i o d i cc o m p o n e n t si nt h ep c - r i o d o g r a mf o rf i n i t ed a t a 。a l s od u et ot h ee f f e c to fn o i s ei nt h ed a t a , i tm a y p r o d u c ei n a c c u r a t ee s t i m a t i o nr e s u l t s s a m p l i n ga n dr e c o n s t r u ( 习o nt h e o r yo fs i g n a la n da p p l i c 棚o n hi nb i o i n f o r m a t i c s w ea p p l yt h es a m p l i n ga n dr e c o n s t r u c t i o no fs i g n a lt oa n a l y s em i e r o a r r a y t i m es e r i e sd a t ai nb i o i n f o r m a t i c sa n di d e n t i f yg e n e st h a ta r ep e r i o d i c a l l ye x - p r e s s e d c h a p t e rla n dc h a p t e r2a r et h es a m p l i n ga n dr e c o n s t r u c t i o nt h e o r y p a r t so fs i g n a l c h a p t e r3a n dc h a p t e r4a t h ea p p l i c a t i o np a r t si nb i o i n f o r - m n t i e s i nd e t a i l t h er e p o r tc o n s i 8 i t so ft h ef o l l o w i n gf o u ra s p e c t s ： lw e i n v e s t i g a t et h en o n - u n i f o r mw e i g h t e da v e r a g es a m p l i n gf o rt h ew e i g h t e d m u l t i p l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n ts p a c e t h ec o n d i t i o n sf o rs a m p l i n gp o i n ts e t t 0b eas e to s a m p l i n gf o rt h ew e i g h t e dm u l t i p l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n ts p a c e a x eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h ee x p l i c i tb o u n de x p r e s s i o n so fas e to fs a m p l i n g i n e q u a l i t i e sf o rt h i ss h i f t - i n v a r i a n ts p a c e sa l s oa r eo b t a i n e d 2 w eg i v ear e c o n s t r u c t i o nf o r m u l ai nl a t t i c e - i n v a r i a n ts p a c e sw h i c hi sa g e n e r a l i z a t i o no ff o r m e rr e s u l t si ns h i f t - i n v a r i a n ts p a c e s ag e n e r a li m p r o v e da - p i t e r a t i v ea l g o r i t h mi ng e n e r a ls h i f t - i n v a r i a n ts p a c e si sp r e s e n t e d w es t u d yt h e n e wa l g o d t h mw i t he m p h a s i so ni t si m p l e m e n t a t i o ni ns p l i n es u b s p a c e s 3 w ep r o p o s ean e ws p e c t r a le s t i m a t i o na l g o r i t h mf o ru n e v e n l ys a m p l e d d a t a t h i sn e wm e t h o di sb a s e do nas i g n a lr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u ei na n a l i a s e ds h i f t - i n v a r i a n ts i g r l a ls p a c ea n dad i r e c ts p e c t r a le s t i m a t i o np r o c e d u r ei s d e v e l o p e db a s e do nab - s p l i n eb a s i s 4 w eu s et h er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mi na na l i a s e ds h i f t - i n v a r i a n ts i g - n a ls p a c e s ，t h e nc o m b i n gw i t hs i n g u l a rs p e c t r u ma n a l y s i s ( s s a ) m e t h o dt od e a l w i t hu n e v e n l ys a m p l e dm i c r o a r r a yt i m es e r i e s w ee x p e r i m e n to ns i m u l a t e dn o i s y s i g n a l sa n d r e a lg e n ee x p r e s s i o np r o f i l e s ，e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a to u r p r e - s e n t e dm e t h o d ( o u rr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m - s s a - * c l a s s i c a lp e f i o d o g r a m m e t h o d ) i s m o r ee f f e c t i v ei ni d e n t i f y i n gp e r i o d i c a l l ye x p r e s s e dg e n e sf o ru n e v e n l y s p a c e dm i c r o a r r a yt i m es e r i e sd a t a k e y w o r d s ：w a v e l e t ，f r a m e ，i r r e g u l a r l ys a m p l i n g ，s h i f t - i n v a r i a n ts p a c e ，l a t t i c e - i n v a f i a n ts p a c e ，s p e c t r a le s t i m a t i o n ，p e r i o d i c a l l ye x p r e s s e dg e n e s ，u n e v e n l y8 a i m p i e dd a t a ，s i g n a lr e c o n s t r u c t i o n ，b - s p l i n e s z 白6 l e s 2 1 t h er e l a t i o no f s a m p l i n g g a pja n dr 4 2 3 1d a t as e t sa n a l y z e d w i t hd i f f e r e n tp o w e rr a t i o s 5 5 4 1d a t as e t sa n a l y z e dw i t hd i f f e r e n tm e t h o d sf o rs i m u l a t e dd a t a 6 9 4 , 2t h es u g g e s t i o n si nc h o o s i n gd i f f e r e n tm e t h o d sf o rg e n e sd a t ao f d i f f e r e n ts t y l e s ，6 9 4 , 3d i s t r i b u t i o no ft h eg e n ee x p r e s s i o n sa c c o r d i n gt om i s s i n gr a t i o 7 0 4 4d a t as e t sa n a l y z e dw i t hd i f f e r e n tm e t h o d sf o r 曼p o m b e 7 1 f i g u r e s 2 1t h ec o n v e r g e n c eo ft h ei m p r o v e da l g o r i t h mi sr e p r e s e n t e db y ”- 竹 t h ec o n v e r g e n c eo ft h eo l da l g o r i t h mi sr e p r e s e n t e db y ”一，”4 3 3 1 b - s p l i n e o f o r d e r3 5 1 3 2s i m u l a t e dd a t a c o m p a r i s o no fs p e c t r a le s t i m a t i o nf o rs i m u l a t e d d a t a ：( a ) s i m u l a t e dc o s i n es i g n a lw i t he v e ns a m p l i n g ( n - - - 4 8 ) ，( b ) t h ep e r i o d o g r a mo ft h es i m u l a t e ds i g n a li n ( a ) o b t a i n e du s i n gt h e f o u r i e rt r a n s f o r m ，( c ) s i m u l a t e dn o i s yc o s i n es i g n a l i r i t hu n e v e n s a m p l i n g ，( d ) t h ep e r i o d o g r a mo ft h es i g n a li n ( e ) o b t a i n e du s i n g t h el o m b - s c a r g l em e t h o d ( d a s h e dl i n e ) ，a n dt h ep e r i o d o g r a mo f t h es i g n a li n ( c ) o b t a i n e du s i n go u rm e t h o d ( s o l i dl i n e ) 5 3 3 3p l a s m o d i u mf a l c i p a r u md a t a t h ee x p r e s s i o nt i m es e r i e so f ( a ) g e n ea 1 0 3 2 5 - 2 6a n d ( b ) g e n et 7 3 9 - 1i nt h ep l a s m o d i n mf a l c i p a r u m m i c r o a r r a yd a t a s e t t h ep e r i o d o g r a mo b t a i n e du s i n g ( a ) t h el o m b - s c a r g l em e t h o d ( d a s h e df i n e ) a n dt h eo u ra l g o r i t h m ( s o l i dl i n e ) 5 4 3 4 y e a s td a t a c o m p a r i s o no fo u ra l g o r i t h mw i t ht h el o m b - s c a r g l e m e t h o d d i a g r a m s ( a ) ，( c ) a n d ( e ) s h o wg e n ee x p r e s s i o np r o - f i l e sa n dd i a g r a m s ( b ) ，( d ) a n d ( f ) s h o wt h ec o r r e s p o n d i n gs p e c t r a o b t a i n e du s i n gt h el o m b - s c a r g l em e t h o d ( d a s h e dl i n e ) a n do u r m e t h o df s o l i dl m e ) ，5 6 4 1s i m u l a t e dd a t a c o m p a r i s o no fs p e c t r a le s t i m a t i o nf o rs i m u l a t e d d a t a ：( a ) s i m u l a t e dc o , s i n es i g n a lw i t he v e l ls a m p l i n g ( n = 4 8 ) ；( e ) t h ep e r i o d o g r a mo ft h es i m u l a t e ds i g n a li n ( a ) o b t a i n e dl l s i n gt h e f o u r i e rt r a n s f o r m ；( b ) s i m u l a t e dn o i s yc o s i n es i g n a lw i t hu n e v e n s a m p l i n g ；( d ) ，( e ) a n d ( f ) a r et h ep e r i o d o g r a m so ft h es i g n a li n ( b ) o b t a i n e du s i n gt h r e ed i f f e r e n tm e t h o d s r e s p e c t i v e l y 6 7 s a m p l i n ga n dr e c o n s t r u c t i o nt h e o r yo fs i g n a la n da p p l i c a t i o n 三 坐星! q ! 盟里q 曼些塑! 竖 4 2n r m s eo fo u rr e c t r u c t i o na l g o r i t h m a c c o r d i n gt ot h ep e r c e n t - a g eo f p r e s e n c ee n t r i e s 6 7 4 3n r m s eo fo u rr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m + s s aa c c o r d i n gt ot h e p e r c e n t a g eo f p r e s e n c ee n t r i 6 8 c h a p t e r1s a m p l i n gs e tc o n d i t i o n si nw e i g h t e d m u l t i p l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n ts p a c e sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n s 1 1i n t r o d u c t i o n i nd j g i t a ls i s a l ，i m a g ep r o c e s s i n ga n dd i g i t a lc o m m u n i c a t i o n s ，ac o n t i n u o u s s i g n a li su s u a l l yr e p r e s e n t e da n dp r o c e s s e db yi t sd i s c r e t es a m p l i n g s ，( 巧) ：j ，) ，w h e r ej i sac o u n t a b l ei n d e xs e t t h e nh o wt or e p r e s e n tac o n t i n u o u ss i g n a l i nt e r m so fad i s c r e t es e q u e n c ei saf u n d a m e n t a lp r o b l e mi ns a m p h n gt h e o r y t h e f a m o u ss h a n n o ns a m p l i n gt h e o r e m 1 0 s a y st h a ti ffi st h eb a n d l i m i t e ds i g n a l o ff i n i t ee n e r g y , t h e ni t i s c o i l 【p l e t e l yc h a r a c t e r i z e db yi t ss a m p l e s k a d e c s t h e o r e ms t a t e st h a ti fx = z 七r ：i z i 一叫l ) f b ra l l 七z ，t h e n a n yb a n d l i m i t e df u n c t i o nf ( x ) c a nb ee o m p l e t e l yr e c o v e r e df r o mi t ss a m p l e s f ( x k ) ：k z ) f o rt h ef r a n k l i nw a v e l e t ，l i ua n dw a l t e rf 4 8 ，4 9 ls h o w e dt h a t t h ei r r e g u l a rs a m p l i n gs e tr e c o n s t r u c t i o nf o r m u l a ( x ) = ，( 瓤) s k ( z ) h o l d s w h e n 占= 8 u p i x k k i 互1 ，a n dt h i su p p e rb o u n di 1 i ss h a r p ，w h e r es k ( x ) i s * r e c o n s t r u c t i o nf u n c t i o n h o w e v e r ，t h ea b o v em e n t i o n e dr e s u l t sw e r eh a s e do n t h e f a c t t h a t t h es a m p l i n g s e t x = x k r ：k z i s j u s tap e r t u r b a t i o no f z t h er e s u l t so f 【1 6 ，1 7 ，2 0 1a l s oc o n c e n t r a t e do np e r t u r b a t i o no fr e g u l a rs a m p l i n g s e ti ns h i f t - i n v a r i a n ts p a c e s w e l lp o s e d n e s so ft h es a m p l i n gp r o b l e mi m p l i e st h a t t h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t i e sm u s tb eh o l d ： c l l f l l 妒( i f ( x j ) 1 2 ) c i i f l l 庐 2 i “ ( 1 1 ) t h ei n e q u a l i t i e s ( 1 ) s a y st h a tas m a l lc h a n g eo fas a m p l e dv a l u ef ( x j ) c a u s e so n l y as m a l lc h a n g eo ff t h i si m p l i e st h a tt h es a m p l i n gi ss t a b l e ，o re q u i v a l e n t l y , t h er e c o n s t r u c t i o no fff r o mi t ss a m p l e si sc o n t i n u o u s b u tt h es a m p l ev a l u e s f ( x i ) ：j j c a nb em e a s u r e de x a c t l yi sn o ta l w a y sv a l i d t ot a k ei n t o a c c o u n tt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ea c q u i s i t i o nd e v i c e s ，aw e i g h t e d - a v e r a g ev a l u e s a m p l ga n dr e c o n s t r u c n o nt h e o r yo fs i g n a la n da p p l i c a r n o n 2i nb i o i n f o r m 衄c s i nt h en e i g h b o r h o o do f i sa s s u m e d t h i sm e a n st h a tt h es a m p l e dd a t ai s o ft h ef o r m 詹，( z ) ( z ) 如，w h e r e 厶鸭= 1 e a c hf u n c t i o n 蚂r e f l e c t st h e c h a r a c t e r i s t i co ft h es a m p l i n gd e v i c eu s e dt om e a s u r et h ea v e r a g es a m p l i n gv a l u e o f ，i nt h en e i g h b o r h o o do f 畅【l ，4 ，3 7 ，5 8 ，5 9 ，6 0 ，6 7 1 o n eo ft h eg o a l so fas a m p l i n gt h e o r yi st of i n dc o n d i t i o n so nt h es a m p l i n g s e tx = ：j 以s u c ht h a tas m a l lc h a n g ei nt h ef u n c t i o nfp r o d u c e sas u m l l d a m a g ei nt h es a m p l ev a l u e s ( ，蚝) = 山，( z ) ( 。) 如，m a ds u c ht h a tfc a l lh e r e c o n s t r u c t e df r o mj 0 ，扛) 妒即( z ) 如e x a c t l ya n di nas t a b l ew a y e q u i v a l e n t l y , w em u s t 矗d dc o n d i t i o no nxs n d at h a t c 0 ，h p ( i ( ， 鸭) l ，) ；c l l f l l p q x ( 1 2 ) w h e r eea n dca r ep o s i t i v ec o n s t a n t si n d e p e n d e n to ff f o rs a m p l i n gp r o b l e m t ob ew e l l - p o s e d ，t h es i g n a li sa s s u m e dt oh eb a n d l i m i t e d 3 8 ，5 9 ，t ob e l o n gt oa s h i f t - i n v a r i a n ts p a c e 1 ，1 7 ，i s ，o rt ob e l o n gt oaw e i g h t e ds h i f t - i n v a r i a n ts p a c e o ft h ef o r m 5 w ( 力= 仇妒( 一七) ：c 碍 ( 1 3 ) k e z d r e c e n t l y , t h es a m p l i n ga n dr e c o n s t r u c t i o np r o b l e ma r es t u d i e di nt h em u l t i - p l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n t 印a o 嚣f 6 】a n dw e i g h t e dm u l t i p l yg e n e r a t e d8 b j 舡 i n v a r i a n ts p a c e s 【6 5 1 t h ew e i g h t e dm u l t i p l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n ts p a c e si sa s h i f t - i n v a r i a n ts p a c eo ft h ef o r m w ( 西) = 讯纯( 一七) ：日= ( 讯) 露，i = 1 ，r ) ( 1 4 ) i = lk e t - 乒 f o rw e i g h t e dm u l t i p l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n ts p a c e ，t h ew e l lp o s e d n e s sc o n d i - t i o nm u s th ec h a n g et o e l l l l 瑶( i ( ，妒叶) t ，( 町) 1 9 ) ；o i l f i l l ； ( 1 5 ) q x i f ( 5 ) h o l d ，t h e na tl e a s ti np r i n c i p l efi su n i q u e l ya n ds t a b l yd e t e r m i n e db y ( ， 掣b ) ) m a dx = 巧：j t ，) i sa s o - c a l l e ds a m p l i n gs e tf o rw ( 垂) ap r a c t i c a l c h a p t e r1s a m p l i n gs e tc o n d i t i o n si nw _ e i g h t e dm u 啊p l y g e n e r a t e ds h 巧”r - i n v a r i a n ts p a c e sa n dt h e i ra p p l i c a o n s3 c a s ei sw h e na l lt h em e a s u r e m e n t sa x eo b t a i n e df r o mas i n g l ed e v i c ew i t hi m p l u s e r e s p o n s e 妒f o rt h i sc a s e ，t h ef u n c t i o na x eo ft h ef o r m 蚝( ) = 妒( 一句) 【5 1 a l d r o u b ia n dg r s c h e n i gs t u d i e dt h ep r o b l e mo fn o n - u n i f o r ms a m p l i n gs e t f o rs p l i n es u b a c e sa n do b t a i n e dv e r yn i c er e s u l t s 4 1 o n eo ft h em a i nr e s u l t s o f 【4 ji ss t a t e di nt h ef o l l o w i n g ： t h e o r e ma i fas e tx ri ss e p a r a t e d ，a n di ss u c ht h a ta u p i ( x i + l 一戤) = 6 1 ，t h