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盐边中学高一数学组 锲而不舍，方能水滴石穿！ 必修1第一章复习1、1 集合一、基本概念1、元素与集合的关系有_和_两种。用 表示集合，用 表示元素，如果是A的元素，那么_;如果不是A的元素，那么_。2、集合的元素有三性：确定性； ； 。例1：下列各组对象，能构成集合的有（ ）不超过30的所有非负整数聪明的人平面直角坐标系中，第一象限内的点所有直角三角形A、 B、 C、 D、都不能构成集合3、常用数集的表示：N表示_ _或称为_ _; 或 表示_ _;Q表示_ _;整数集记做_ _；实数集记做_ _.例2：下列说法中，正确的是 （填序号） 中最小的元素是1 若 ，则的最小值为2。4、列举法与描述法（1）列举法是指 ；（2）描述法是指： ；列举法表示集合，集合中的元素很好确认列举法常用于元素个数不太多的集合，也可用于元素个数多，但规律性强的集合，如 ；。用描述法表示集合，符合其公共特征的元素就是 5、根据集合中元素的多少，可以把集合分为_、_和_。二、集合间的关系1、如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的_，记做_（或_），读作“A含于B”（或“_”）。即：若对任意，都有，则_。 2、子集的性质子集的自反性 ； 子集的传递性 若，那么_。3、真子集如果，但存在元素_，且_,我们称集合A是集合B的_，记作_（或_），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。即,只要且,那么_。 真子集与子集的联系与区别:都满足 ,真子集还要求。例3：写出集合的所有子集和真子集: .4、两集合相等，：（1）集合的元素相等；（2）且，那么。如，则。 5、空集我们把不含任何元素的集合叫做_ _,记成_。如、都是空集。空集的两个基本性质：空集是任何集合的_； 空集是任何非空集合的_。6、有限集子集的计数公式集合有个元素，那么集合的子集有_个，真子集有_个，非空真子集有_个。例4：，这样的集合有_个；，这样的集合有_个；，这样的集合有_个。三、集合的基本运算1、并集 ：由所有属于集合或属于集合的元素构成的集合，称为与的_，记作_，读作“并”。即， 。并集的运算性质：若，则（并集取大） 反之，若，则。； ； 2、交集：由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的_，记作_，读作“交”。即， 。交集的运算性质：若，则 （交集取小） 反之，若，则。； ； 3、补集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为_，通常记作。对于一个集合，由全集中_ _的所有元素组成的集合称为集合_，记作_，即=。例5:下列六个关系式： 其中正确为 _。常见思路和方法：1、含绝对值的取值问题：设都是非零实数，集合中的元素是_。2、不重不漏代值法3、描述法表示集合，判断元素是否属于集合，即看元素是否具有集合的公共特征。四、两集合相等的证明 已知，证明.五、一元二次方程的应用一元二次方程的定义:形如的方程叫做一元二次方程。（1）一元二次方程根的判断：判别式，方程有两个不相等的实数根。，方程有一个或两个相等的实数根。，方程没有实数根。注意：用判别式的前提是，方程是一元二次方程，因此在用判别式前首先要给出条件二次项系数。判断类似于一元二次方程的解的个数要分和两种情况讨论。（2）解一元二次方程方法有：配方法、公式法、分解因式法、十字相乘法。（3）韦达定理:一元二次方程根与系数的关系可以用韦达定理来描述：，1、用十字相乘法求解下列方程、 、2、已知集合，若,实数=_。 3、已知全集，集合，求，.4、已知集合，集合，若，求集合。六、集合的元素三性设集合A2, 3, a21，Ba2a4, 2a1, ，AB2，则实数a 七、集合的子集真子集个数已知集合满足，求集合及其个数？八、数轴直观法： 当，首先考虑; 若，则（并取大），（交取小）九、Veen图的应用1、已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩Venn图是 2、集合,若,则实数的值所组成的集合为 3、设,其中,如果，求实数的取值范围。4、已知集合，（1）若，求（1）若的取值范围。（2），若，求的取值范围。1、2、1函数的概念一、区间：设是两个实数，并且，把叫做相应区间的端点。把下列集合或不等式表示成区间，或把区间表示成集合 思考：集合一定可以用区间表示吗？说明理由。 二、函数的概念的理解：（1）要构成集合，要满足两个条件是非空的数集集合中的任意一个元素都有且只有一个中的元素与之对应。（2）定义中的集合是定义域，而集合是值域的母集。定义域、值域都是集合，因此要写成集合或区间的形式。例1：给出下列四个对应，能构成函数的是_。例2：下列对应是函数的是_ 三、函数定义域：:函数的定义域是自变量_的取值范围，如果函数的定义域省略未写，则函数的定义域就是使函数解析式有意义的所有值构成的集合。（1）求具体函数的定义域要使函数解析式有意义，一般要满足三个条件分母_；二次根式中被开方数_；0次幂的底数_。例1： 求下列函数的定义域 （2）抽象函数的定义域定义域是的取值范围在同一对应法则作用下，括号里的取值范围相同。如中与的取值范围相同。例1：已知的定义域为，求的定义域。 例2：已知的定义域为，求的定义域。 例3：已知的定义域为，求的定义域。 四、求函数值 例：，求。若f(m)=4,求m.五、求函数值域：函数值的集合叫做函数的值域。（1）观察法：利用熟知的基本函数的值域求函数值域的方法叫做观察法。例：求函数的值域。（2）单调性法求值域：例：求函数的值域。（3）配方法：当函数是二次函数时，求函数值域通常用配方法和图像法（或用开口方向与对称轴远近求）。例1：求函数的值域 例2：求函数的值域。（4）换元法：当函数是含有根号的一次式时，求值域用换元法，尤其要注意新元的取值范围。例1：求函数的值域。 例2：（5）判别式法：当函数解析式分子或分母是的二次因式时，求值域用判别式法。例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域。（6）分离常数法：当函数解析式分子和分母为的一次因式时，用分离常数法。例：求函数的值域。六、两函数相等函数的三要素为_、_、_。三要素相等的两函数相等，但_是由_和_决定的。因此判断两函数相等只需_；_。例1：下列函数相等的是（ ）A、 B、 C、 D、1、2、2函数的表示一、知识点：1、表示函数的方法有_、_、_。2、对于定义域内，对自变量不同的取值范围，函数的解析式不同的函数叫做_。3、映射是指： 。函数_映射，映射是函数的 。例：已知集合，下列选项中，不表示从到的映射的是（ ）A、 B、 C、 D、二、求函数解析式的常用方法：（一）、待定系数法：已知所求函数类型时常用此法。1、 设是一次函数，且，求。2、设是二次函数，且满足，求。（二）、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 1、 已知 ，求 的解析式。2、已知，求 的解析式。（三）、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。1、，求。 2、 已知，求。（四）、消去法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。1、 设求 2、已知，求。（五）、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求.（六）、由函数图像求解析式：12yx01、已知函数的图像如右图所示，求函数的解析式。三、分段函数（1）求分段函数的函数值已知函数，（1）求的值。（2）若，求的值。（2）分段函数的定义域、值域和最值求函数的定义域、值域和最值。（4）画分段函数的图像1、画出函数的图像2、画出的图像，并指出函数的单调区间。（5）分段函数应用题某同学为了援助失学儿童，每月将自己的零花钱以相等的数额存入储蓄盒里，准备凑够200元时一并汇出，储蓄盒里原有60元，2个月后盒内有100元。写出盒内的钱数与存钱月份的函数关系式并画出函数图像。1、3、1函数的单调性一、概念：1、如果对于定义域区间上的任意两个自变量，当时：若都有，那么就说函数在区间上为_；若都有 ，则在区间上为减函数。1、函数对于任意两个不等的实数，恒有成立，则（ ）A、在上先递减后递增 B、在上先递增后递减 C、在上是增函数 D、在上是减函数2、一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足对于任意的，都有_ （或 ）；存在，使得_；那么我们称是函数的最大值（或最小值）。3、单调函数的运算性质（1）与（为常数）具有_的单调性。（2）与的单调性异同当时，与具有_ _的单调性。当时，与具有_ _的单调性。（3）当时，与具有_的单调性。（4）的单调性当，都为增函数时，为_函数。当，都为减数时，为_函数。（5）当都是增（减）函数时，当时，是_( )函数；当时，是_( )函数。 二、基本函数的单调性（1）一次函数的单调性。当，一次函数在区间_上是_。当，一次函数在区间_上是_。（2）反比例函数的单调性。当，反比例函数的图像在_象限，在区间_和_是_函数。当，反比例函数的图像在_象限，在区间_是_函数。（3）二次函数的单调性：二次函数的单调性被_分开，当，图像开口向上，在区间，是_函数，在区间，是_函数。当，图像开口向上，在区间，是_函数，在区间，是_函数。例1：已知函数，当时，函数为增函数，时，函数为减函数，则。例2：若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_。三、证明函数的单调性（1）证明具体函数的单调性证明步骤：一设：在相应区间设出； 二差：； 三定：确定的符号；四判：判断函数是增函数还是减函数。证明：1在区间上是增函数。 2、在上的单调性。（2）抽象函数单调性的证明 例：已知的定义域为，当时，且。（1）求；（2）证明在定义域上是增函数；（3）如果，求的取值范围。四、复合函数的单调性：同增异减。复合函数，令，当函数和具有相同的单调性时，复合函数单调递增；当函数和具有相反单调性时，复合函数单调递减。例：，求的单调性。五、二次函数的应用1、二次函数：如的函数叫做二次函数，二次函数的图像是_。（1）一般式：。（2）顶点式：，顶点坐标为，由顶点坐标可得二次函数图像的对称轴为。当时，图像开口向_，函数有最小值_,离对称轴越近的点函数值越_；当时，图像开口向_,有最大值_，离对称轴越近的点函数值越 。（3）两根式：，是方程的两根，也是图像与_轴交点的横坐标。例：将二次函数写成顶点式_,顶点坐标为_，图像的对称轴为_，函数有最_值_，因此函数的值域为_。将写成两根式_，可得图像与_轴的交点坐标为_。2、二次函数图像的画法（1）平移变换作图：可将二次函数数一般是配方成顶点式，先画出的图像，把图像向_平移_个单位，再把图像向_平移_个单位即可得其图像。（2）描点作图：可以先求得二次函数与轴、轴的交点，再将其化为顶点式找到顶点坐标和对称轴，连接已知点成一条光滑的曲线，从而得到二次函数的图像。一般我们采用第二种方法。（3）二次函数在闭区间上的取值及最值要要讨论闭区间在对称轴的左侧、右侧，包含对称轴三种情况。画出函数图像，数形结合。1、已知二次函数，（1）求时，的最值； （2）求的最值。4、如果函数对任意实数都有，比较的大小。（5）、一元二次不等式的解法1、解不等式 2、解不等式2、的定义域为一切实数，求实数的取值范围。3、恒成立的条件_。4、恒成立的条件_。1、3、2函数的奇偶性一、基本概念和性质：1、如果对于函数的定义域内任意一个，都有_，那么函数就叫做偶函数。2、如果对于函数的定义域内任意一个，都有_，那么函数就叫做奇函数。例1：下列命题中，正确的是（ ）A、是偶函数 B、是偶函数 C、是奇函数 D、是非奇非偶函数例2：已知函数为偶函数，则。例3：已知函数是奇函数，则。3、偶函数的图像关于_对称，奇函数的图像关于_对称。不管是奇函数还是偶函数，它们的定义域都关于_对称。例1：已知函数为偶函数，其图像与轴有四个交点，则方程的所有实根之和为_。例2：已知函数是偶函数，且其定义域为，则（）A，b0 B，b0 C，b0 D，b0例3:如图是y偶函数=f（x）的局部，根据所给信息，下列结论正确的是（）A、 B、C、 D、4、奇函数在其定义域内，关于原点对称的两个区间上，单调性_，如果在处有定义，一定有，即图像过_；偶函数在其定义域内，关于原点对称的两个区间上，单调性_。例1：若奇函数在区间上有最小值5，则在区间上有_5、常数函数（为常数）一定是_，既是奇函数又是偶函数的函数是_。任给一个函数可能是奇函数偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶中的一种。二、证明函数的奇偶性（1）具体函数的奇偶性证明步骤：判断定义域是否关于原点对称； 求出的解析式；验证与的关系； 下结论。（2）判断抽象函数的奇偶性 已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的，都有 （1）、求的值； （2）、判断函数的奇偶性，并加以证明。三、构造奇偶函数求值：已知函数，若，=_。四、利用函数的奇偶性求解析式1、若是定义在上的偶函数，当时，求当时，函数的解析式。2、设是定义在上的奇函数，当时，