【教学论文】探求以空间图形为背景的轨迹问题【教师职称评定】 .doc

探求以空间图形为背景的轨迹问题的常用方 江西省灰埠中学 朱 英 近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视。在知识网络交汇处设计试题是高考考试命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”(如2004年重庆高考理科数学试卷第12题)。由于这类题目涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分，学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜。 探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡。本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法。 一、联想圆的定义aop 例1 已知平面平面，平面、间的距离为8，点p在平面内，则在平面内到点p的距离为10的点的轨迹是 a a.一个圆 b.一条直线 c.一个点 d.不存在 解：过点p作平面的垂线，设垂足为o， 则po=8，又设平面内一点a到点p的距离为10，连pa、oa，bcdac1b1a1d1p2p1pp3p6p4p5 则在pao中，由勾股定理可得oa=6。可知a点的轨迹为圆，故选a。 练习1 已知正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点a距离为的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为 b a. b. c. d. 提示：当点p在上底面时，连ap、a1p，在直角apa1中，求得pa1=，即弧p1p2的长。同理左侧面的弧p5p6、后侧面的弧p3p4的长也为；当点p在前侧面时，弧p1p6的半径为，因为直角a1p1a中，直角边a1p1的长为斜边p1a的一半，所以弧p1p6的圆心角为，从而弧p1p6的长为。同理右侧面的弧p2p3的长与下底面的弧p4p3的长的长也为。故曲线的总长度为。因此选b。 二、联想到抛物线的定义 例2 已知正方体的棱长为1，点m在棱ab上，且am=，点p是平面abcd内的动点，且点p到直线的距离的平方与点p到点m的距离的平方之差为1，则p点的轨迹为 a a.抛物线弧 b.双曲线弧cdabd1c1b1a1efpm c.线段 d.以上都不对 解：过p作pf垂直ad于f，则pf垂直平面add1a1，过点f作fe垂直a1d1于e，连pe，则pe为点p到直线a1d1的距离，由已知，即，得， pf=pm，故p点的轨迹是以m为焦点，以ad为准线的抛物线，故选a。 练习2 在正方体的侧面abb1a1内有一点p到直线ab与到直线b1c1的距离相等，则动点p所在曲线的形状为 c a.直线 b.双曲线c1d1a1b1dcbap c.抛物线 d.圆 提示：因为b1c1垂直于平面abb1a1，所以pb1为点p到直线b1c1的距离，于是问题转化为在平面abb1a1内，点p到定点b1的距离与点p到定直线ab的距离相等。故根据抛物线的定义可知选答案c。 三、联想到球面的定义 例3 已知棱长为3的正方体中， 长为2的线段的一个端点在上运 动，另一个端点在底面上运动。则 的中点p的轨迹与正方体的面所围成的几 何体的体积为 b dcpabd1c1b1a1 a. b. c. d. 解：由题意可知，是直角三角形， 点为斜边的中点， 。 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选b。 四、利用向量工具 例4 一定长线段ab的两个端点a、b沿互相垂直的两条异面直线、运动，求它的中点的轨迹。 解：设mn为、的公垂线段，连结am、bn，设mn、ab的中点分别为o、p，则 ， 所以， 即p点必在mn的垂直平分面上。 因为异面直线、互相垂直，所以 。 所以p点在以o为圆心，为半径的圆上。 故p点的轨迹是mn的垂直平分面内的一个圆。 另解：设mn为、的公垂线段，则mn与、两两垂直。如图，以n点为原点，直线为轴，直线nm为轴，以过点n所作直线的平行线为轴，建立空间直角坐标系。 设， 则， p点坐标为，其中横坐标和纵坐标为变量，中有竖坐标为常量。 即p点必在mn的垂直平分面上。 取mn的中点o，则， 所以p点在以o为圆心，为半径的圆上。 故p点的轨迹是mn的垂直平分面内的一个圆。 评注：求空间动点的轨迹，按立体几何的传统方法几乎无从着手，空间向量巧妙地解决了这一问题。 五、利用线与面、面与面的关系 例5(见例4) 解：设mn为异面直线、的公垂线段，连bn，分别取mn、bm、ab的中点o、q、p，连op、pq、oq，则由已知异面直线、互相垂直不难证得opq为直角三角形。也不难证明oq、pq都与、平行，从而平面opq与平面平行。可知点p在公垂线段mn的垂直平分面内。因为为定值。故p点的轨迹是mn的垂直平分面内的一个圆。 六、利用特殊点定位 例6 如图所示，在正四棱锥s-abcd中，e为bc的中点，点p在侧面scd内及其边界上运动，且总保持peac。求动点p的轨迹。 解：当点p在cd边上时，scpgfodbae 由peac及bdac可知， 此时，p为cd的中点f； 当点p在sc边上时， 由peac及sbac可知， 此时，p为sc的中点g。 于是猜想p点的轨迹是scd的cd和cs边上的中位线fg。 证明如下：因为feac， geac，所以ac平面efg，得到acfg。 故p点的轨迹是scd的cd和cs边上的中位线fg。 练习3 如图所示，在三棱锥a-bcd中，p为cd的中点，动点m在abd内部及边界上运动，pmrqadbc且总保持pm平面abc。求动点m的轨迹。 提示：当点m在bd边上时， 由pm平面abc可得pmbc， 此时点m是bd边的中点q， 当动点m在ad边上时， 同理可得pmac，此时点m是ad边的中点r。 于是猜想动点m的轨迹为中位线rq。证明留给读者。 最后以2004年重庆高考理科数学试卷第12题及解答结束本文 题：若三棱锥a-bcd侧面abc内一动点p到底面bcd的距离与到棱ab的距离相等，则动点p的轨迹与abc组成的图形是( d )aaabacpdadbcepfo 解答：由题意作出如右图所示的三棱锥a-bcd，过p作po平面bcd，peab于e，pfbc于f，连of。 po=pe