（基础数学专业论文）关于nagata猜想的若干研究结果.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：送丝豇 论文使用授权声明 日期；銎堑叠! 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 复旦大学硕士学位论文 摘要 n 职a t a 猜想是关于满足特定条件的平面曲线的次数的下晃 的猜测，这些特定要求是指此类曲线过平面上给定的若干个 u 般点，并在相应点有给定的重数。在这篇论文里，我们展示 了使用一种特殊的组合方法来找到这样的下界。特别地，某些 情况下的确切下界已经得到。在最后一章，目前所知的大部分 与n a g a t a 猜想有关的结果都被罗列了一下，同时还提供了最终 解决这个猜想的途径。 关键字：n a g a t a 猜想 图书分类号：0 1 8 7 3 复且人学硕士学位论文 a b s t r a c t n a g a 七a sc o n j e c t u r ec o n c e r n sa b o u tt h el o w e rb o u n do ft h e d e g r e eo fap l a n ec u r v ew i t hp r e a s 8 i g n e ds i n g u l a r i t i e si ng e n e r a l p o s i t i o n i nt h i sp a p e rw ep r e s e n tac o m b i n a t o r i a lm e t h o dt o f i n ds u c hb o u n d s s e v e r a ls e “e so fe x a c tb o u n d sa t eo b t a i n e d a t t h el a s ts e c t i o n ，m o s tn e w e s tr e s u l t sr e l a t e dt on a g a t a sc o n j e c t u r ea f er e v i e w e da n dt h ep o s s i b l ew a y st op r o v et h ec o n j e c t u r e a r ec o n c l u d e d k e yw o r d s ：n a g a t ac o l l j e c t u r e c l cn u 珈l b e r ：0 1 8 7 4 复旦大学碳士学位论文 l引言 对于正整数扎与m ”7 “。，将d p 他l 】，m 。) 定义为最小 的整数d ，满足对于蝶上的般点p l ，孙，存在一条次数 为d 的曲线，并且该曲线在每个p 点为零且重数至少为帆。 当m 1 一= m 。一m ，此次数计为d ( ，m ) 。 n a g a 乞a ( f 4 】) 猜测当扎 9 时，d ( 竹，m ) 佤m 。他证明 当n 是完全平方数时，此不等式成立。此后猜想更一般化 为矗( m 1 ，m 。) 22m i + + m i 。对于此两种形式之猜想，已 证明的些部分结果可参考圈， 2 】和 5 】。 目前己知道，d ( m 1 ，m 。) d ，这里d 是满足下面条件的 最小整数 他 ( d + 1 ) ( d 十2 ) 2 fm i ( m i + 1 ) 2 z = l 。这个数d 是期望的次数( 比较 2 ) 。已经建立了好几类的例子， 其中d ( m l ，盯) 的确切值能够确定，丽且期望次数也可以达 蛩l 。 5 复旦人学倾上学位论文 2 公式表示 一次数为d 的平面曲线g ，由次数为d 的多项式，( z ，可) 给出。 在点( z 1 ，可1 ) 的重数至少为m ，必须满足条件：关于，( z ，可) ， 篇( ) _ o ，0 i 十j m 一1 。 设( z 1 ，可1 ) ，( z 2 ，陇) ，( z 。) 为n 个平面上一般位置的点。 设 为正整数。则下列两种情况等价： 1 ) 存在一次数为d 的平面曲线g ，其在点( 甄，们) 的重数至少 为m 。，1 i n 。 2 ) 线性等式组 关于( d 十1 ) ( d + 2 ) 2 个变量 有非平凡解。 由线性代数，我们有 命题2 1 设d 和n 为正整数。设 l l ，m 。都为正整数。设z l ，掣l ，t 2 ，可2 ，z 。鲰为有理数域q 上代数独立的元。设呐( ，可) ，m ( z ，j ! ) 为 眠 唰研器 丝础黼褥凝 o 0 o匕已；| 匕 簋旦盔堂堂堕苎堑塑鱼竖一一一 所有不同的且次数小于或等于d 的、关于z ，可的首一单项式，这 里：+ 1 ) + 2 ) 2 。设4 为矩阵 f 尬( 钆可，)i 尬 l ，可1 ) i 喾( 可1 ) l 喾可1 i 焉署( 巩妒) l 黼( 轧t ) i 铲c ， 1 需尊( 咖) 肘2 ( z 1 ，1 ) 。 警( 营1 ) 喾( 可，) _ 背( 轧可) 黼( 可t ) 。 哥等( 可) 尬( z 。，蜘) 警( z 删。) 喾( 孙) 猪( m 。) 麟( 蜘) 笱著( ，帅) 嵩圳 辔( 巩玑) l 警( 1 ) l 景弭 o m l o m r h 、i 。蕊而可巧卜l ，i ，i a m l o “，t 、l 1 矿l 。l ，9 l ，l ： l o - - 訾( 掣n ) i - 等( 孙) l a m n 。1 a 知，、i 1 和i ；i 广。n ，骱，l 铲o m ，、l 。瓦而i j 巧、蛳，l 那么存在一次数为d 的平面曲线，其在n 个给定一般点的重 数至少为 复旦大学硕上学位论文 ，当且仅当矩阵a 的秩小于。 推论2 。2 若命题2 ! 中矩阵a 的秩等于，即列的数目，则 d ( m 1 ，m 。) ( ：f + 1 8 复旦大学硕十学位论文 3 非零子式 对于菲负整数i ，歹，记微分算予分如d a 矿为磁。 任一单项式m = c 矿旷且c o ，称为( r ，s ) 型，并记d e ( m ) = i ，d e g f ( m ) = j 。 引理3 1 设尬= 护，驴，螈= z 8 n 厶为关于变量茁，可的单 项式。设取，j ，魏。 为微分算子。那么 d i 。j 。mb ，j 。眈。j ， i d i 。j 2 尬d i 。j 。聩。j 。 d i 也m 1d t 。 。m 2 d i 讥m n 或者为零或者是( e 1 + 十一i l i 。，1 + 十厶一j l 一死) 型单项式。 设x = ( z h ，。) ，y = ( 夕1 1 ，如) 。任一多项式 9 f ( x ，y ) = f ( 。l ，z m 可l ，) = 龟。，诈。，i ， z ；1 z 鲁。可，话 称为关于双次数( p ，q ) 的双齐次多项式，当：le i = p 且墨l 五= 口，任意的c 。 一 0 。 引理3 2 设( z 1 ，可1 ) ，( z 2 ，可2 ) ，( z 。，) 为变量对的集合。设s 1 ，s 2 ，s 。为 正整数且设= s 1 + s 2 + 十s n 0 对每一个l a n 。 设i i m ，j ，j m ，j ：5 ：为非负整数。设呐：z e - 驴，： 复旦盔堂亟主芏笪鲨窒1 0 。8 ”可a 为关于变量z ，可的单项式。设d 为行列式 豢坛( 爹，) 蝇( 现) 譬坻犰) 加i 1a ”i 1o z ：1 矧1a z o 目；1 z l ，1 ) z 2 ：可2 ) z l ， z 2 ， 可1 ) 2 ) 鸠( 可。) 篇篙尬( 2 ) 焉蛳( 耽) 乳2a ”；” 如a 9 ：”船? 2 蜕。 斋蛆( 胁) ( ) 霉券( ) a z a 掣等a z 0a ”a z a ” 鞯鸠( 孙) 撕勘鞍p “h 。”踟 骐蝎( 。，m )f q ) z 、o o 蚕n8 羲， 聪坻( 小 )( n ) v 4 阮却0 ” 下列情况成立： 川d 或者为零或者为一个双次数的双齐次多项式 彩设1 “ o ，满足d e g ，。( a 正) 7 。设d 1 为d 的左上7 7 子式， 设d 2 为d 的右下( 一7 ) ( 一v ，) 子式。若d l o ，d 2 o ， 蚴 观 现 “ “ m m 塑攀霹一d篮越 塑第礤丛群习 m m 塑拶刁赶碍b中。 扫一如矗一如 妒 如一 。硝 氏 心 学 州 。叫 瑚 复旦大学硕士学位论文 则d 0 。 证明第一种情况由定义可得，第二种情况则是将d 关于第 一个行进行l a p l a c e 展开的结果。口 引理3 3 设n 和训为正整数。设m o = 庐g q 0 ，m 1 = z p 垆，m 。= 加可啦为关于z ，的不同的单项式序列，满足执+ m = ，任 意i ，那么 a e t ( 磊) 水。一妒， 这里e 是非零常数， ：妻p ；一唑p ， 目 m ：壹旷竺掣， z = 0 证明：由引理3 1 可得 d e t 万；! ：三) 。茎i ，三。= d e t ( a ) z 可 f 技旱a n 寄o i )丌身( p ，一i ) q 0 兀等( p o 一2 ) q 1n 等( p 1 二i ) 伽( g o 一1 ) 兀譬( p o i ) 9 1 ( g l 一1 ) n 留1 一i ) n 寄( 蛳一i ) n 留一i ) 兀等( p 2 一i ) ( q n 一1 ) n 岔( 一i ) 兀留( 一i ) 。复旦叁堂堕主堂焦迨塞 一1 2 剥于0 r n l ， 阵， 。 ； 显然， 容易证明 = ( a 孑) o 甄如满足下衙条件的矩 i fi = j ， i fj = j 一1 r ， o t h e r w i s e d e t ( p ( 1 ) ) 一- = d e t ( p ( 礼) ) = 1 p ( o ) p ( 1 ) p ( n 1 ) a b 这里 b = 因此 d e t ( a ) n 坠l ( 叫一i + 1 ) 0 0 0 锄 锄( 一1 ) 9 1g n q 1 ( q l 1 ) - ( 一1 ) 兀蓦( 蜘一i ) 兀蓦( q ，一。)丌留( 一i ) o o q o ( 蛳一1 ) 0 0 训一n + 1 o q l q 1 ( q l 一1 ) 兀哥( q o i ) 兀留( g ，一i ) o o 0 1 ( 骱一1 ) 巾 l l 叭 酗 d 十 z o 一 ，l 2n 归 复日人学硕十学位论文 因为p o ，p 1 ，p 。是从0 到佗间不i j 的整数，我们有叫n 。 因此墨1 ( 叫一i + 1 ) 2 o 。行列式 1 q 0 q o ( 拍一1 ) n 旨( 9 0 一i ) 1 q 1 q 1 ( g l 一1 ) 兀蓦( q 1 一z ) 等于、啊n d e r m o n d e 行列式 故而不等于0 。口 11 q 0q 1 爵q 茹簖 1 ( 一1 ) 引理3 4 设卢为正整数。设d 0 ，d 1 ，叱一1 为不同的非负整数。 对每一个o i “一1 ，设 m o = z m o 可。，m 2 1 = 护1 兰，仇1 ，m 托= z n 4 9 “ 1 3 ，醴 欧 星里盔里塑土堂焦鲨塞 1 4 为不同的次数为哦的首一单项式。 m 1 0 蛐 8 z 虹 劫 m “一l ，0 0 m “一1 ( ， d m “一1 0 却 m “一1 ，“一l i 堕g = ! * = ! 如 ! 竺= ! ：生 曲 警净旱争等半 筹竿筹争篱尊爷 那么 这里c 为非负常数， d e t ( a ) = c 坍 ：f ：j = 0 z1 m = 2 = 0 f 壹 j = o 2 2 堕) 竺：竺：! ! = ! d 掣p 一1j ( 1 ) 证明：由引理3 1d e t 】= c z ! ，m 。我们通过关于p 的归纳， 来证明c o 。当p = 1 ，结论显然成立。假设p 1 ， 设l = p ( 肛十1 ) 2 并设p = ( 砌) o g ，j 曼l 一1 为五l 矩阵，其中 p t 3 d 。一1 一t 十1 d 。一1 一+ 1 0 i fi = 工 i f 掣i 掣 i f 驾掣 o ， 另外 1 ，2 ，以有分割 1 ，2 ，咒) = i 1 ) 露) u 歹”矗一，) 且1 r n 满足一卜面两个条件： i ) u 器1 & 。和u ：i 每i 是分割； i i ) 删岛+ 6 w 勺 删。+ d 可得到( n ：b ) u 乙1 & ：且( c ，( z ) u 嚣j s m 那么s = u 坠l s 为一9 0 0 d 分割。 定义4 1 设m 为正整数。一个由第一象限内格点组成的有 限集t 称为m t r i n 9 乱f n r ，若存在m 个不同的整数d 1 ， 且t 有分割丁= u 罂1 正满足下列条件： 砂血+ b = 盔，对所有的( o ，6 ) 正且1 i m ； i i ，f 互f i ，对所有的l i m 。 定义4 2 设s 为由平面第一象限内格点组成的一个有限集。 设m = ( m h ，m 。) 为一组正整数。一个关于s 的9 d d 玢割s = u 坠l & 称为m t 他。咒9 f n r 分割，如果每个& 是m i t 而o n 9 珏f n r 。这里 所有的m ：s 等于m ，此m 一拥。礼舭k r 分割被称为( 他，m ) 一z n o n g u 融r 分割。 1 9 复旦大学硕士学位论文 定理4 3 设s 由平面第一象限内格点组成的一个有限集。 设m 一( m 1 ，m 。) 为。一组正整数。假设s = u & 为一关 于s 的m 一疵n 咒9 u f 血盼割。设( ) l g 三恻= 。? 可? ，( 。，6 ) 最。对每 + 个1 i m 设为& 中元素的个数，且对于l j n ， 设飓j 为矩阵 设m 为p q 矩阵 ( 尬j ) 心水。 ，这里p = 竺1m i ( r 嘞十1 ) 2 且q = 蚓，那么矩阵m 的秩等 于蚓。 证明：对凡进行归纳。当几= 1 时，这就是推论3 5 的结果。 假设定理于凡 o ，满足s = aub ，这 里4 为 s l ，品) 的非空真子集的并，且b = s a ，对任意 的( n ，6 ) a ，( c ，d ) b ，有d e ( ( 凸，6 ) ) ( m + 1 ) ( m 2 1 ) ，p 十q ( m 。抑十3 ) 掣， 所以不等式 d ( 1 2 + ，n + 3 ，m ) m 2 + m 成立。因此d ( r n 2 + m 十2 ) 一d ( m 2 + m + 3 ) = m 2 十m 。 2 1 设 x 一 ( p ，g ) z 2 陋+ q n m 2 ，那么& 有一9 d o d ( 咒7 ，m ) 一分割，满足( f 2 n 7 m 2 。 证明设x = 岛一s 卜。那么& 一xu 。为一关 于& 的g o o d 分割。 复旦人学硕士学位论文 2 6 012 345 678 91 0 l l1 2 1 31 4 图4 d ( 2 0 ，3 ) = 1 5 如果( m + 1 ) l ( d + 1 ) ，那么x 有一9 0 0 d ( g ，m ) 一三角分割且 a = 耕 q2i 再丁一1 ， 如图5 所示；或者x 有一g o o d ( q ，m ) 一三角分割且 筹 + 1 1 如图6 所示。无论何种情况，x 总有一g o o d ( 6 ，m ) 一三角分割且 o 等扎m 十l 因此& 有一g o o d ( 佗7 ，m ) 一三角分割且礼= n 十6 。由假设n m 2 一星旦盔堂邋尘堂焦鲨皇2 7 o 王234567891 0 l i1 2 i 31 4 图5 d = 3 、 一1 5 ( d m ) 2 和d m 2 + 2 ”z ，可知 口 几m 2 = n m 2 + ? 7 产 0 复旦大学顺士学位论文 2 8 3 矗= 1 4 接下来假设d ：= ：= = 盯。2 + m 。由定理5 。l ，& 有g o o d ( ，m ) 一三角 分割且祀= m 2 + 玎l + l 。因此 妒一礼m 2 = m 2 ( m + 1 ) 2 一m 4 一m 3 一m 2 = m 3 o 最后假设m 2 十m d m 2 + 3 m 2 。设x = & 一s 。一。， 则& = x u s 击。一。是关于鼠的g o o d 分割。设e = d m 2 一m 1 ， 则 o 引理由此得证。口 推论5 5 设m 和d 为正整数。如果d m 2 + m ，那么函有 一9 d o d ( n ，d ) 一三角分割，满足 特别地，对这个d ，存在一正整数咒，满足 证明：第一种情况是引理5 3 和引理5 4 推论。最后一种情况 可由定理4 4 得出。口 复旦人学硕士学位论文 6 关于妒上点的研究之回顾与进展 总的来说，要完伞证明n a g a t a 猜想，目前已有的数学工具 和方法是不够的。在这一节，我们展示了一些关于此猜想研 究的新的进展，并将n a g a t a 猜想改用现代代数语言来重新描 述，由此给出的代数框架和可能的代数方法，很有可能完全解 决n a g a t a 猜想。 这里p 2 为一射影平面且而为一代数封闭域。p l ，为舻上 的n 个般点，m 一( m 1 ，m 2 ，m 。) 为一由非负整数重数构成 的向量。 记号6 1 r ：是p 2 1 为p 2 的齐次坐标环。这也意味着r 是代数封 闭域址的三参数的多项式环。 记号6 2 k 为r 的理想，由所有在p 。消灭的形式生成。 记号6 3 z ( r n ) 表示如tp o i 扎亡ss 扎6 s 曲e m e7 n l p l + m 2 p 2 + 十 丁n 札p no 记号6 4 z ( 札，m ) 表示如tp o 獗如s 6 s c h e m r n ( p 1 十p 2 + 十) 。 那么由此，可以很容易地发现，z ( m ) 的定义理想，就是r 中 理想厶。，：。“”的交l ，这里易。”“为理想如；的 次幂。 记号6 5 令d f 茁) 为小于z 的最大整数。 记号6 6 令u ( z ) 为大于z 的最小整数。 记号6 7 n ( m ) 是最小的次数，满足条件：如( 。) 的齐次部分( 易( 。) ) 在 次数t 非平凡。 复旦大学硕士学位论文 记号6 8 类似的，如果m 与n 是f 整数，那么n ( n ，m ) 可记为n ( m ) ， 这里m 一( m ，订z ) 有n 个元素。 记号6 9 七( 州为匕( 。) 的觑f 沈r f 函数，那么 k 【。) = 出m ( 尼( 。) ) t 。 记号6 1 0 o f 1 ( z ( m ) ) 一娲( z ( m ) ) 一易f 。1 一。 表示厶( 。) 在r 上的最小自由分次分解。 因此，主要问题可以表述如下： p 1 】给出n ( m ) 的尽可能低的下界。 p 2 】确切确定n ( m ) 的值。 p 3 】确定 。、。 p 4 作为分次b 模，确定f 0 ( z ( m ) ) 。 p 5 给出分次皿模蜀( z ( m ) ) 的结构的合理猜想。 这里的第一和第二问题，是和n a g a t a 猜想有关的。 猜想6 1 1 f m 叼。地4 m e r j ，9 5 到j 如果n 9 且m 都是 非负的整数，那么 n ( m ) 型考苎 猜想6 1 1 等价与：如果n 9 ，那么o ( 礼，m ) m 、丽。n a g a t a 证明对于所有大于9 的完全平方数n ，猜想是正确的。利 3 l 量旦盘堂墅土堂笪堡窒 3 2 用b e z o u t ，s 定理，对次数为d 1 和d 2 的两条平面曲线，它们交 与d l d 2 个点，那么不难验证： n ( n ，m ) m d ( n 1 2 ) 且 n ( 哪) 拟焉) 。n a g a t a 也确定了凸( m ) ( 实际上是 如。、) ，当几9 。 j r 0 6 ( r 0 61 9 9 8 ) 定义了一个量r ( 札，m ) ( 札 2 ，m 满 足n 伽，m ) 矗，m ) ) 。对于m 不大于何，兄( 扎，m ) ，看来此为 目前所建立的最好的下界了。 t h e o r e m ：( h a r b o u r n e1 9 9 9 ) 设m 和n 为正整数，那么 咖川器 这大概是目前已知的最好结果了。 买际上，如果咒0 且m ( ) ，那么 咖1 m ) d ( ：+ 铜丽一；) 。通过计算维数，可知如果学 掣，那么n ( n ，m ) d 。 猜想6 1 2 对于咒 9 ， 。( n ，m ) = d ( ；+ 呱r n 。+ m ) 一；) 复旦大学j i 页士学位沦文 猜想6 1 2 成立，如果m 1 2 ( c i l i b e r t o m i r a n d a1 9 9 8 ) 。 猜想6 1 2 成立，如果n 一1 6 ( 因为何+ 1 d ( 、 + ( m 2 + m ) 一 p 3 确定允l 。 关于 七f t r 。) 的值，等价的显式几何猜想已由e q u i v a l e n te 舟 p l i c i th a r b o u r n e ( 1 9 8 6 ) 和h i r s c h o w i t z ( 1 9 8 9 ) 给出。参看： b 肌r 6 0 乱仃z e ， eg e o m e 咖o ，1 n i d 7 l n fs 扎7 ：，a c e s 他d 后k 1 6 e 死 如扎c 抚。钆s 町p o z n 拈讯t h ep t 8 礼e ，g 吐札m 毗h c o 畸p r o c ，6 ( i 9 8 6 ) ， 9 5 一fz7 a 胧豫a o 乜碍轭，h ec d 恐歹珏r 8j ，。珏rf 盘c d 是。，7 。；6 哆i ed e s 反 t ，。s e u 懈s “rf e ss u 叫c e sm 抚。咒e f f e s 夕e 咒e r i g “e s j j o 乱m 月e 妇l e a 礼夕e 叫几，吐 3 9 ( i 9 8 9 ) ? 2 0 8 2 i 3 s e ea l s o ： ， b 日o r 6 d u m e ，p o i 咒si ng o d dp o s i 挽o n 打 p 2 i njz e r o d i 7 n e n s i o 咒口zs c 已m 8 s ，p ，口c e e d 幻够s9 厂# 8 砌t e r n 凸2 。扎以? ( 勋啦卜 e 礼c e e 埘i 札r o 口e f f o ，儿n ? 玑。死n e8 一j 只9 9 譬d g r 乱曼把r ，1 9 剐 r 心呦d o ，己讥e n r 勖“e r n s 盯j p f n n e 魄刑e s ，o 托c e s a m e r 且彳n 九s d e ，& 6 j 9 9 9 对于n 9a n dr n = ( m ，m ) ，这些猜想可简化为： 复目人学硕十学位论文 猜想6 1 3 如果礼 9 且m = ( m ，m ) ，那么 lm，n 2 + 3 + 2礼( m 2 十m ) 、 忆c 删一m n 。( o ，半一半) ，对于所有的t 0 。 1 ) 猜想6 1 3 成立，当h 7 n 1 2 ( c i l i b e r t o m i r a n d a1 9 9 8 ) 。 2 ) 猜想6 1 3 成立，当t m u ( 一1 5 + 玩干i 磊) 。参看4 饿m 园托n 扎o ， r 叼札f n 州妇吖f 饥r s y s t e m 吖p f n n ec 刑e s ，a 冶j 纠以9 占鲫，彳彳仁 彳疗口m f s os e e 日i 邢c o 删场卯。印代m e ，j d c ，c i 砂 3 ) 猜想6 1 3 成立，对于t 型虫旦鼍堕巫丑塑( b yl e m m a 5 3 o f 王i a r b o u r n e h l l a y f i t h e t th h f1 9 9 9 ) 。 更一般的，猜想6 1 2 诱导出猜想6 1 3 ，当n 9 且m 之鸪， 理由：利用前面的事实，并利用 厮十竿叫历丽丽一 当 z 之兰。 特别地，猜想6 1 3 成立，当咒= 1 6 。 p 4 确定分次辟模娲( z ( m ) ) 。 注意： 娲( z ( m ) ) 与 七。一起确定局( z ( m ) ) 。 娲( z ( m ) ) 现在已被知道结构，当几 9 且m ( m ，m ) ，那么易( 。) 的最小自由分解，为 o ，r 一。一2 】。+ 1 “z r 一一1 】。，r 一n 一1 6 z r 一叫“+ 七( 。)