（应用数学专业论文）动力系统方法解决不适定问题.pdf

北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：壅殛丝日期：丝! ! ：皇：主f 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在时解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：壅毖 导师签名：姿匀曩 日期：塑! ! ：圭! ! ! 学位论文数据集 中图分类号0 1 7 7 9 2 学科分类号1 l o 8 7 论文编号 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 9 6 5 密级 非保密 学位授予单位代码 1 0 0 1 0 学位授予单位名称 北京化工大学 作者姓名 李鹤学号2 0 0 8 0 0 0 9 6 5 获学位专业名称应用数学 获学位专业代码 0 7 0 1 0 4 课题来源 白选研究方向 反问题 论文题目 动力系统方法解决不适定问题 关键词 反问题，动力系统方法，正则化，算子半群 论文答辩日期 2 0 1 1 - 0 5 - 2 0 论文类型 应用研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称 工作单位 学科专长 指导教师 吴开谡副教授北京化工大学 算子方程，计算数学 中国科学院数学研 评阅人1 李竞副研究员 偏微分方程 究所 评阅人2江新华教授北京化工大学 偏微分方程 评阅人3 评阅人4 评阅人5 中国科学院数学研 椭员蝴李竟 副研究员 偏微分方程 究所 答辩委员l 黄晋阳 教授北京化工大学 微分方程 答辩委员2许兰喜教授北京化工大学 微分方程 答辩委员3施小丁教授 北京化工大学偏微分方程 答辩委员4江新华 教授北京化工大学偏微分方程 答辩委员5 二中图分类号在鬈中国图书资料分类法查询 三学科分类号在中华人民共和国i 1 1 家标准( o b t1 3 7 4 5 - 9 ) 学科分类与代码势中 查询 四论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成 摘要 动力系统方法解决不适定问题 摘要 近几十年来，数学物理反问题的学科发展十分迅速。该学科的发展， 很大程度上受其他学科和众多工程技术领域的应用中所产生的迫切需求 所驱动。数学物理反问题现在已不再单纯的是数学和物理中的反问题，由 于科学技术的发展和研究范围的扩大，地质、图象、遥感、石油勘探、医 学、金融、经济乃至生命科学都提出了由“结果( 观测) 探求“原因 ( 待反演参数) 的反问题。因而，反问题具有涉及面广，内容丰富，跨行 业，跨学科等特点。从反问题的研究方法来看，它更多应用到了计算数学、 应用数学和统计学的知识，可以说数学的理论与方法是反问题研究的基 础。在科学发展史上，反问题代表了最活跃和令人振奋的交叉学科之一。 绝大多数的反问题都是不适定的。 解决不适定问题的方法有很多。本文主要利用动力系统方法解决第一 类不适定的算子方程。根据算子的性质，将该类方程分为线性的和非线性 的，并分别加以讨论。 对于线性的算子方程，可写为 d u = f ， 其中彳是实h i l b e r t 空间日上的一个线性算子利用动力系统方法和正则 化方法，求解上述问题的正则化问题的解： “( f ) = 一彳( a u ( t ) - f ) t 型塑型墼遨 利用线性算子半群理论可以得到上述正则化问题的解的半群表示，并证明 了当f 时，所得的正则化解收敛于原问题的解。 对于非线性的算子方程，可写为 f ( 曲= y ， 其中，：d ( f ) cx y 是非线性的可微算子，x ，y ：j jh i l b e n 空间，算子f 的f 二e t 导数f ( “) 局部一致有界。利用动力系统方法和正则化方法，求解上述问题 的正则化问题的解： “( f ) = ，( ”( f ) ) y s 一，( “( f ) ) ) ，f o ，“( o ) ：而。 敞开户于非线性的方程并不能直接求出正则化解，故需将其离散化，变形为指数e u l e r 格式： ”“叉缈州娟烈 + - = + 吃伊( 一吃，( ) ) f ( ) y 占一，( ) ) 。 其中 ，( ”) = ，( “) f ( “) ，缈= 矿。 并证明了当珂- + o o 时，所得的正则化解收敛于原问题的解。 关键词：反问题，动力系统方法，正则化，算子半群 i i d y n a m i c a ls y s t e m s m e t h o df o rs o l v i n g i l l - p o s e dp r o b l e m s a b s t r a c t i nr e n c e n td e c a d e s ，t h es u b j e c to f m a t h e m a t i c a lp h y s i c si n v e r s ep r o b l e m h a sa c h i e v e dar a t h e rr a p i dd e v e l o p m e n t t h ed e v e l o p m e n to f s u c hs u b j e c t ，t o ag r e a t d e g r e e ，i sd r i v e nb yt h eu r g e n tn e e d sw h i c hc o m ef r o mt h ea p p l i c a t i o n s i no t h e r s u b j e c t sa n dn u m e r o u se n g i n e e r i n gt e c h n o l o g i e s m a t h e m a t i c a l p h y s i c si n v e r s ep r o b l e mi sn ol o n g e rt h ep u r ei n v e r s e p r o b l e mi nm a t h e m a t i c s a n dp h y s i c s d u et ot h e d e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g ya n d e n l a r g e m e n to fr e s e a r c hs c a l e , g e o l o g y , i m a g e ，r e m o t es e n s i n g ，p e t r o l e u m e x p l o r a t i o n ，m e d i c a ls c i e n c e ，f i n a n c e ，e c o n o m ya n de v e nl i f es c i e n c eh a v e p r o p o s e di n v e r s ep r o b l e mo f e x p l o r i n gr e a s o n ( u n d e t e r m i n e di n v e i s e p a r a m e t e r ) f r o mr e s u l t ( o b s e r v a t i o n ) t h u s ，i n v e r s ep r o b l e mp o s s e s st h e c h a r a c t e r i s t i c so faw i d e c o v e r i n gr a n g e ，r i c hc o n t e n t s ，c r o s s i n d u s t r y , c r o s s 。s u b j e c t 。s e e i n gf r o mt h er e s e a r c hm e t h o do fi n v e r s ep r o b l e m ，i tc o y e r s m o r ek n o w l e d g ei nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n d s t a t i s t i c s w ec a ns a yt h a tt h et h e o r ya n d m e t h o di nm a t h e m a t i c si st h eb a s i s o ft h es t u d yo fi n v e r s ep r o b l e m i nt h eh i s t o r yo ft h ei n v e r s ep r o b l e m , i t m r e p r e s e n t e do n eo ft h em o s ta c t i v ea n de n c o u r a g i n g i n t e r d i s c i p l i n e s m o s ti n v e r s ep r o b l e m sa r e1 1 1 p o s e d t h e r ea r el o t so fm e t h o d st o s o l v ei l l - p o s e dp r o b l e m s t h i sp a p e ri s m a i n l yu s eo fd y n a m i c a ls y s t e mm e t h o dt os o l v et h ef i r s tk i n do fi l l - p o s e d p r o b l e m s a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t yo ft h eo p e r a t o r s ，w ed i v i d et h ee q u a t i o n s i n t ol i n e a ra n dn o n l i n e a r , a n dd i s c u s st h e m r e s p e c t i v e l y 一 f o rt h el i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s ，i tc a nb ew r i t t e na s a u = f ， w h e r e 彳i sal i n e a ro p e r a t o ri nh i l b e r ts p a c e sh w eu s et h ed y n a m i c a l s y s t e mm e t h o da n dr e g u l a r i z a t i o nm e t h o dt os o l v et h es o l u t i o n o ft h e r e g u l a r i z a t i o no ft h i sp r o b l e m a c c o r d i n gt h es e m i g r o u pt h e o r yo ft h el i n e a r o p e r a t o r , t h er e g u l a r i z a t i o ne q u a t i o n ( f ) = 一a ( 彳“( f ) 一力 o ft h ep r o b l e mh a sb e e ns o l v e d w i t hl i n e a r o p e r a t o rs e m i g r o u pt h e o r y , w eg e t t h es o l u t i o no ft h er e g u l a r i z a t i o n e q u a t i o n ，a n dp r o v et h a tt h er e g u l a r i z e d s o l u t i o nc o n v e r g e dt ot h es o l u t i o no ft h e o r i g i n a lp r o b l e mw h e nf 寸 f o rt h en o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s ，i tc a nb e w r i t t e na s f ( x ) = y ， w h e r ef ：o ( f ) = x - , ri san o n l i n e a rd i f f e r e n t i a b l e o p e r a t o rb e t w e e nt h e h i l b e r ts p a c e sxa n d y ，w h o s ef r e c h e t d e r i v a t i v e ，( “) i sl o c a l l y u n i f o r m l yb o u n d e d u s i n gt h ed y n a m i c a ls y s t e mm e t h o da n d r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d ，t h er e g u l a f i z a t i o ne q u a t i o n “( f ) = f ( “( ，) ) ( - f ( “( f ) ) ) ，t o ，“( o ) ：而 摘要 o ft h ep r o b l e mh a sb e e ns o l v e d b e c a u s et h e r e g u l a r i z e d s o l u t i o no fn o n l i n e a r e q u a t i o nc a n n o tb e o b t a i n e dd i r e c t l y , w en e e dd i s c r e t ei ta n dt r a n s f o r mi ti n t oe x p o n e n t i a le u l e r ： w h e r e u n + - = + 以缈( 一h ( u ) ) f u n ) y j 一，( “) ) 。 ，( “) = ，( “) f ( ”) ，缈= p = ， a n dp r o v et h a tt h er e g u l a r i z e ds o l u t i o n c o n v e r g e dt ot h es o l u t i o no ft h e o r i g i n a lp r o b l e mw h e n 刀 k e y w o r d s ：i l l - p o s e dp r o b l e m s ，d y n a m i c a ls y s t e m sm e t h o d ， r e g u l a r i z a t i o n ，s e m i g r o u p v v i 目录 目录 第一章引言。1 1 1 背景1 1 2 基本定义及动力系统方法5 1 2 1 基本定义5 1 2 2 动力系统方法7 1 3 本文的主要工作7 第二章动力系统方法解决不适定的线性算子方程。9 2 1 动力系统方法9 2 2 主要结果1 0 2 2 1 准确数值1 0 2 2 2 扰动数值1 l 2 2 3 变分原理1 2 第三章解决非线性不适定问题的离散的动力系统方法1 7 3 1 求解非线性不适定算子方程的基本思想1 7 3 2e u l e r 正则化方法1 8 3 3 收敛分析1 9 3 3 1 假设1 9 3 3 2 连续情况1 9 3 3 3 离散情况2 0 参考文献2 7 蜀c 谢2 9 研究成果及发表学术论文3 1 v l i 作者及导师介绍3 3 v i i i 1 1 b a c k g r o u n d 1 1 2 b a s i cd e f i n i t i o na n dd y n a m i c a ls y s t e m m e t h o d 5 1 2 1b a s i c d e f i n i t i o n 5 1 2 2d y n a m i c a ls y s t e m m e t h o d 。7 1 3t h em a i nw o r k 7 c h a p t e r 2d y n a m i c a l s y s t e mm e t h o df o rs o l v i n gi l l - p o s e dl i n e a ro p e r a t o r e q u a t i o n 9 2 1d y n a m i c a ls y s t e m m e t h o d 9 2 2r e s u l t s 1 0 2 2 1e x a c t d a t a 1 0 2 2 2n o i s y d a t a 11 2 2 3d i s c r e p a n c y p r i n c i p l e 12 c h a p t e r3s o l v et h en o n l i n e a ri l l p o s e dp r o b l e m sm e t h o d so fd i s c r e t e d y n a m i c a ls y s t e m s 1 7 3 1b a s i cm i n df o rs o l v i n gn o n l i n e a r i l l - p o e s do p e r a t o re q u a t i o n 1 7 3 2e u l e r r e g u l a r i z a t i o n 1 8 3 3c o n v e r g e n c e 1 9 3 3 1a s s u m p t i o n s 1 9 3 3 2c o n t i n u o u s ；蹴1 9 3 3 3d i s c r e t e i c ：f i s e 2 0 r e f e r e n c e s 2 7 t h a n k s 2 9 i x r e s e a r c ha c h i v e m e n ta n d p u b l i s h e da c a d e m i ct h e s i s 3 1 a b o u ta u t h o ra n d t e a c h e r 3 3 x 第一章引言 1 1 背景 第一章引言 根据k e l l e r ，我们称两个问题是互逆的，如果其中一个问题需要另一个问题的 全部或部分知识信息。通过这个定义，我们可以任意的称其中一个问题为正问题( 或 直接问题) ，另一个称为反问题( 或逆问题) 。但通常，问题中研究的较早或者较为详 细的一个被称为正问题，而另一个则称为反问题。此外，这两个问题还有一个更为重 要的区别。h a d a m a r d 【2 】提出了“适定一问题的概念，这个概念是为了描述数学物理问 题中解的存在性，唯一性和稳定性而引入的，如果这些性质中有一个不成立，则问题 称为不适定的。事实证明，许多有趣的和重要的反闯题都是不适定的，而对应的正问 题是适定的。 在当代社会，数学已经深入应用到各个学科领域当中。例如，医学( 电脑断层扫 描) ，遥感( 确定核反应堆是否有裂纹) ，天文( 图像处理) 掣3 1 。在这些领域中，许 多问题需要从一个已知系统的数据输出而得出那个我们不确定的数据输入，这些问题 都称为“数学物理反问题一。数学物理反问题的发展归功于社会的发展和科学技术的 进步因为在之前很长一段时期，反问题并没有得到数学家们的充分重视，当时他们 认为这类问题是人造的，并不能描述真实的物理现象。但随着科学技术的进步，人们 发现越来越多的问题涉及到求解反问题，例如：医学中的c t 机，地质勘探等。诈是 由于这类问题有着广泛而又重要的应用背景，且研究的理论新颖又具有挑战性，因此 吸引了国内外大批学者致力于该方向的研究。迄今为止，反问题已经成为一个热门的 研究方向。 。 反问题最重要的一个特性就是它的不适定性，即：( 1 ) 给定的数据可能不属于所 论问题的值域，故对应的近似解可能不存在；( 2 ) 即使解存在，解可能不唯一；( 3 ) 近 似解可能不连续依赖于给定的数据，这可能导致解可能不稳定，即近似解可能严重偏 离准确解。对于这一类不适定的反问题，利用传统的概念和方法是不能够解决的。 下面举例说明这点 例l ：l a p l a c e 方程的柯西问题 j 似- u ( x ，y ) ，“= o ，y o ， ( 五o ) = o ，羔“( x ，o ) = 口s 证( ，) ， v x 【0 万】，该柯西问题的解为“( 毛j ，) = 兰s i n l l ( 缈) s i i l 舣，但是对于函数空间， 群，形及任意的占 o ，c o ，y o ，选取适当的口和n - i 以使得 l 北京化工大学硕士学位论文 但 因为 8 a s i n ( n x ) l l o 为正则参数且与万有关，q 卜】称为稳定泛函或t d d l o n o v 稳定子，我们选取 的适定解要满足下述变分问题： 2 嘧所2 、u ，厂) + 砬【材】， 则“口为方程的一个正则解，它可看作是原方程的一个正则算子。以上所说的构成近似 解的方法称为t t k h o n o v 正则化方法。 随后l a n d w e b e r 等引入了迭代正则化方法【刀，l a n d w c b o r 迭代法也是求解反问题 的一类非常重要的方法由于l a n d w e b o r ：迭代正则化方法对我们研究反问题的离散化 处理有重要影响，在此对其做一简单介绍。 l a n d w e b e r 迭代正则化法： 考察算子方程： a u = f ， 其中彳：u 专，是一个算子，u 、，均为h i l b e x t 空间，设已知右端项石与精确值厂的 3 北京化工大学硕士学位论文 偏差不超过万，即所( 五，f ) 艿。l a n d w e b e r 迭代, 格式为： 。2 + w a ( f - a u k ) ， “刍= “：+ 缈彳( z , - a u ：) ， 其中，o 0 ，m 1 ，稠密子集dcx ，使得 ( i ) i i t ( t ) i i i ，使得 i i r ( , ) l l - - m p ，v t _ o 。 由于该命题在后面介绍动力系统方法求解不适定的无界线性算子方程的过程中要用 到，故在这里简单的证明一下 证明：选i r m 1 ，使得对于所有的o s 1 ，有p ( s ) 忙m 。对于任意的f o ， 可将其写成t = s + 拜，其中n n ，0 s 1 。此时v t 0 ，有 l i r ( t ) l l - f ( j ) i i l i r ( 1 ) l l “s 膨川 = 肘矿h m e ， 其中国；i n m 。 命题1 2 中若功= 0 ，称该半群有界。若国= 0 ，m = 1 ，则称该半群为压缩半群。 定理1 1 【1 2 】：( 自共轭算子的谱分解定理) 设日是h i l b e r t 空间，彳为自共轭算子，a 的定义域为d ( 么) ，则必有珂中谱系 易k - - 0 0 ，) ) ，使得 6 第一章引言 1 2 2 动力系统方法 彳= e a d e 工。 考察算子方程( 1 一1 ) ，其中算子a 是一个定义在实的h i l t 斌空间上的线性有界算 子，假设该方程有解，但解可能不唯一，定义y 为方程唯一的最小范数解。 动力系统方法【1 0 1 实际上就是将原问题转化为c a u c h y 问题： 材( f ) = 一彳( 彳材o ) 一) ，“( o ) = 其中，上，任意。定义p ：= a ，q - = a a ，五( f ) = e 舯，s 。( f ) = p 啦，t 2 ( t ) = e e ， 最( ，) = 扩。利用线性算子半群理论，易知互，互，焉，岛均为压缩半群，且可以得 到上述正则化问题的解的半群表示： 材( f ) = 互( f ) + 互( f ) f 互( s ) 捌f ， 在这里解引入半群的表达形式，这是因为一般情况下算子不满足交换律，即对于算 子彳，曰，通常a b b a 。但是在这里，算子半群有一些特殊的性质： a = a 一。 a a ：a * e o u 。 a e t a 。：p “4 。 动力系统方法的核心问题之一就是需要证明了当t 专0 0 时，所得的正则化解存 在、唯一且收敛于原问题的解。 同时考虑方程a u = 的右端项带有误差时的情况，即方程( 1 1 ) 变为 a u = 石，( 1 2 ) 其中，石为扰动项，8 f - f , l l - 6 ，艿任意小。动力系统方法的另一核心问题是需要证 明具有扰动项的方程( 1 2 ) 正则化后所得的解在f 专0 0 时，仍存在唯一且收敛于远问题 的解。 1 3 本文的主要工作 由于a g r a m m 提出的动力系统方法仅仅解决了方程( 1 1 ) 中主算子彳为有界线性 7 北京化工大学硕士学位论文 算子的情况。在第二章中，本文将原问题中的主算子彳拓展为无界线性算子，并利用 同一方法证明所得方程的正则化解依然存在，唯一且收敛与原方程的解。 在第三章中，主要针对非线性的不适定算子方程问题，利用动力系统方法将原方 程变形，通过离散，迭代的方法求解，并验证所得解的存在，唯一以及收敛性。 8 第二章解决非线性不适定问题的离散的动力系统方法 第二章动力系统方法解决不适定的线性算子方程 2 1 动力系统方法 对于算子方程 a u = 厂， ( 2 1 ) 其中，算子a ：u f ，u 、f 是实h i l b e r t 空间，厂f 是已知向量。 求解不适定问题( 2 1 ) 的动力系统方法。其思想是求解与方程( 2 1 ) 相对应的正则化 的动力系统： ”( f ) = 。( 彳“( f ) 一以，“( o ) = ，u o i n 川鲁， ( 2 - 2 ) 其中彳为实h i l b e r t 空间日上的线性算子，是彳的伴随算子。 此时a a 为一个正自伴算子，且可生成半群，从f f i i ( 2 - 2 ) l 拘解可用半群表示如下： “( f ) = e - t r u o + e - i tf e r d s a f 然后，再要证明( 2 2 ) 的解当时间趋于无穷大时，稳态解存在，即 l 。一i m u ( t ) = 材( ) 存在，且“( o o ) = y ，即 躲m f ) 一y 8 = o ， ( 2 3 ) 从而得到问题( 2 1 ) 的动力系统正则化解。 通常，在实际情况中，方程( 2 1 ) 的右端是观测数据，带有误差，即( 2 1 ) 的右端为 带扰动的项厂，此时要解决的i - j 题为 u a ( t ) = - a ( 彳( t ) - f a ) ，( o ) = 。( 2 - 4 ) 并要证明，对于一个合适的停止时间，定义声蚝以) ，有 烛i l u , 一y n = o ( 2 - 5 ) a g r a m m 1 0 】等人利用动力系统方法已经证明了算子a 为有界算子的情况。然而 对一般的算子方程a u = f 而言，彳可能为无界算子例如：当彳是微分算子时，算子 9 北京化工大学硕士学位论文 彳是无界的。因此，研究( 2 1 ) 的主算子彳是无界的这种情况非常必要的，而这正是本 文研究的主要目的【3 1 。 2 2 主要结果 设a ：h 斗h 是实h i l b c r t 上的线性闭稠定的无界算子。假设方程 a u = f 有解，但解不需要唯一。定义y 为唯一的最小范数解，即 y 上# ( 彳) # “ a u = m 。 利用动力系统方法，我们可以构造与( 2 啕相对应的正则化的动力系统： “( f ) = 一彳( a u ( t ) - f ) ，“( o ) = ， ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中，上，任意。定义p 净a a ，q a t l ，互( f ) = 矿炉，墨( f ) = e 一心，t 2 ( t ) = e w ， 最( f ) = e 堙。 根据半群的定义及性质，易知互，互，墨，最均为压缩半群f 1 3 1 。此时，( 2 7 ) 的 唯一解为： 材( f ) = 互( f ) + 墨( f ) f 互( j ) d 鲥。f 。 下面证明当f 一时，( 2 - 7 ) 的正则化形式解趋于( 2 - 6 ) 的解。同时考虑方程( 2 7 ) 的右端 项带有误差，并证明误差趋于零时，带误差的正则化解趋于精确解。 2 2 1 准确数值 定理2 1 ：设ln 方程( 2 - 7 ) 在【o ) 上有唯一解，且“卜) = y ，其中 “( ) = 熙“( r ) 。 证明：定义w ”( f ) 一夕，w o = w ( o ) 。w o 上。则有 w = 一m ，p # a a ( 2 8 ) y y 程( 2 8 ) 的唯一解为w = t 。( t ) w o 。因此， 1 0 = 一a ( a u 占- f ) ，( o ) = 。 记 = - - u a y ，尸# a ，t l ( t ) = e - a 。 易知石为算子半群。( o ) = u 0 一y 上。 引理2 1 ：若彳是h i l b c n 空间日上的无界线性算子，h j jv x h ，有肛x l l - l l 幽x 0 。 证明：坛h ，i i a x l i - u 州列卅2 州x u ( 彳毛彳工) ( 州工，州x ) ( 剧五d ( 州而州一( 朋五( 朋一，) 工) o 。 事实上，利用谱理论，有 ( 朋五( 觚一，) x ) = r 名( 五一l 矽( 易五工) = f 名( 五一1 ) 1 1 工1 1 2 峨o 。 故肛x l l -