（计算数学专业论文）耦合非线性schrodinger方程组的有限差分方法.pdf

摘要 在物理学中，具有相同频率的双折射光沿两主轴传输的两个正交偏振分量的演变情况 是用耦合s c h r 跃l i n g e r 方程组 i 侥钍+ i a c g 霉u + 七站u + ( i t 正1 2 + p i 1 2 ) u = 0 ，0 z 1 ，0 t 正 i o t v i a o z v + 七站t ，+ ( i t ，1 2 + l u l 2 ) 移= 0 ，0 z 1 ，0 t 互 u ( x ，0 ) = 咖( z ) ， ( z ，0 ) = v o ( x ) ，0 z 1 ， u ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 ，v ( o ，t ) = v ( 1 ，亡) = 0 ，0 t 正 来描述的本文研究上述问题的有限差分模拟首先推导出了连续问题的解满足两个守恒 律，得到精确解在厶。模下的估计式；接着把该问题离散化，建立了个c r a n k - n i c o l s o n 型的有限差分格式，应用b r o u w e r 不动点定理证明了差分解的存在性，用离散能量方法证 明了差分解满足两个守恒律，进而得到差分解在l 模下是有界的；然后证明了差分解的 唯性和收敛性；最后给出了求解该差分格式的个迭代算法并证明了该迭代算法的收敛 性数值例子验证了本文的理论结果 关键词： s c h r s d i n g e r 方程； 非线性；差分格式；守恒性；唯一可解性；收敛性 a b s t r a c t i np h y s i c s ，t h ep r o p a g a t i o no fp u l s e sw i t he q u a lm e a nf r e q u e n c i e si nb i r e f r i n g e n c e n o n l i n e a rf i b e ra l o n gt h em a i na x i si sg o v e r n e db yt h ec o u p l e ds c h r s d i n g e re q u a t i o n s i o t u + i a a x u + 岛霉t + ( i u l 2 + p 阿1 2 ) t 正= 0 ，0 z 1 ，0 亡1 ， i o t v i a o x v + 昆以z 口+ ( i 1 2 + p i u l 2v = 0 ，0 z 1 ，0 t t ， t 正( z ，0 ) = u 0 ( x ) ，v ( x ，0 ) = t 胁( z ) ，0 z 1 ， 让( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 ，v ( o ，t ) = v ( 1 ，t ) = 0 ，0 t 1 i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h ef i n i t ed i f f e r e n c es i m u l a t i o no ft h ep r o b l e ma b o v e f i r s t l y , w e s h o wt h a tt h es o l u t i o no ft h ec o n t i n u o u sp r o b l e ms a t i s f i e st w ok i n d so fc o n s e r v a t i o nl a w s b a s e do nt h i s ，w eo b t a i nt h eb o u n d e d n e s so ft h ee x a c ts o l u t i o ni nl o on o r m s e c o n d l y , w ec o n s t r u c tac r a n k - n i c o l s o nt y p ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o rt h ec o u p l e ds c h r s d i n g e r e q u a t i o n s w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h ed i f f e r e n c es o l u t i o nb yb r o u w e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m a n dt h e ns h o wt h a tt h ed i f f e r e n c es o l u t i o ns a t i s f i e st w oc o n s e r v a t i o n sb yt h ee n e r g ym e t h o d t h e r e f o r e ，w ec o n c l u d et h a tt h ef i n i t ed i f f e r e n c es o l u t i o ni sb o u n d e di nt h ed i s c r e t el n o r m t h i r d l y , w ep r o v et h a tt h ed i f f e r e n c es o l u t i o ni su n i q u ea n ds e c o n do r d e rc o n v e r g e n t i nad i s c r e t el o o n o r m l a s t l y , ac o n v e r g e n ti t e r a t i v ea l g o r i t h mi sp r e s e n t e da n dan u m e r i c a l e x a m p l ei sg i v e nt od e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：s c h r s d i n g e re q u a t i o n ；n o n l i n e a r ；d i f f e r e n c es c h e m e ；c o n s e r v a t i o n ；u n i q u e l y s o l v a b l e ；c o n v e r g e n c e n 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名： 东南大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电- y ：3 c 档的内容和 纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名s导师签名： 第一章耦合s c h r 6 d i n g e r 方程组 1 1 问题背景及本文主要工作 非线性方程在非线性物理学中具有非常重要的意义它作为描述波包在弱非线性介质 中传播的普遍方程，出现在物理和应用数学的许多分支中例如非线性光学，等离子体物 理，凝聚态物理等等近年来，科学家已经发展了求解这个模型的许多方法，如用逆散射 方法( i s t ) ，d a r b o u x 变换等来寻求它的精确解，尤其是它的孤立子解而要得到这类非 线性方程的精确解是非常困难的。现在还足以数值求解为主 近年来，由于电磁脉冲编码对远距离传输的兴起，许多切合实际的模型都是基于耦合 方程组的例如，具有相同频率的双折射光沿两主轴传输的两个正交偏振分量的演变情况 就是用耦合方程组来描述的为了便于数值计算把描述上述物理现象的耦合方程组归一 化，得到如下方程组【1 】： i c o t u + i a c u + 七以z u + ( i u l 2 + p i | 2 ) u = 0 ，0 z 1 ，0 t z( 1 1 1 ) i o t v i a o z v + k o = 霉u + ( i u l 2 + p i 钍1 2v = 0 ，0 z l ，0 t z( 1 1 2 ) u ( z ，0 ) = 咖( z ) ， ( z ，0 ) = v o ( x ) ，0 z 1 ，( 1 1 3 ) u ( o ，亡) = 牡( 1 ，t ) = 0 ，v ( o ，t ) = v ( 1 ，t ) = 0 ，0 t 正( 1 1 4 ) 其中i 2 = - 1 ，t ( z ，t ) ，v ( x ，t ) 为定义在0 z 1 ，0 亡t 上的表示两个偏振分量的 归一化振幅，它们都足复值函数z 表示归一化距离，t 为归一化时间，盯为双折射率 参量，k 表示材料的特征和模式之间的相互作用，p 为双折射光纤的交叉相位调制耦合 参数，这里口，k ，卢都是正实数非线性方程组( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 能很好地描述了双折射光传 输的两振幅的演变规律 针对耦合问题，虽然有些学者对其进行了研究，但是主要的研究工作是对他们进行数 值模拟来研究两列波相撞后的波形变化【8 - 1 2 就我所能查到的资料可知，目前对这类问 题相关的已有的主要的一些研究工作如下t 在文【9 】9 中，i s m a i l ，t a h a 基于如下模型 i 0 , u + i 6 以u + 丢如z u + ( i u l 2 + e 2 ) u = o ，x l ( x x r lo t z i o t v - i 6 如 + 互1 以z 口+ ( 川2 + e j 1 2 ) 口= o ，x l x x r , o 亡墨z u ( x ，0 ) = g l ( z ) ，u ( z ，0 ) = g z ( z ) ， z l z z r ， o = u ( x l ，t ) = 以u ( z r ，亡) = c v ( x l ，t ) = , 9 = v ( z r ，t ) = 0 ，0 t z 1 东南大学硕士学位论文 第一章耦合s c h 妯n g 甜方程组 2 进行了研究该篇文章的思想是通过个变换把该模型转化成关于实值函数的问题，再对 实部和虚部分别建立相应的差分格式，证明了该差分格式的稳定性，最后通过数值试验对 单孤子和双孤子的波形的变化进行了计算机模拟并验证了保持能量守恒在文【4 】中，s u n 等对于方程组 i c g t u + a u + ( i u l 2 + p 卜1 2 ) u = 0 ，0 z 1 ，0 亡正 i 侥t ，+ 以蕾 + ( i 1 2 + 卢i 仳1 2 ) 口= 0 ，0 z 1 ，0 t 正 u p ，。) = 咖宅：凳丢- ( u ( z ，。) = 铷宅：羹丢- 0 ， u 1 2 ；茹l = 0 ，u 1 2 ：茁r = 0 ， 钍l 拄o = t 幻( z ) ， 分析了线性化的c r a n k - n i c o l s o n 格式，并将该格式与外推的h o p s c o t c h 格式，以及p s e u - d o s p e c t r a l 和s p l i ts t e pf o u r i e r 得到的数值结果进行比较，数值实验表明线性化c r a n k - n i c o l s o n 型差分格式更为有效在【1 7 】中有- - d , 节是研究耦合s c h r s d i n g e r 方程组 遍u + 钍+ ( a 1 i u l 2 + ( q 1 + 2 a 2 ) l v l 2 ) u + 7 u + r 口= 0 ， i 侥让+ p u + ( a i l u l 2 + ( o l l + 2 0 e 2 ) l v 2 ) 牡4 - t u4 - f v = 0 ， 的数值求解，建立差分格式，并证明了差分解是依l 2 模收敛的，收敛阶为o ( 一十舻) 在 文【1 】中，r c i c h e l 和l e b l e 等对方程组( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 的个显式差分格式给出了稳定性 和收敛性的证明，并得到该差分格式关于时间和空间步长的收敛阶是o ( r + 九) 最后给出 了许多数值例子对s c h r s d i n g e r 方程组的渐近性态进行了模拟 5 6 7 8 l 1 上 1 1 l 1 上 1 1 ji、，j、，f，-、 ， 1z 1 ，存在常数c ，使 得 i l u l i l ，( n ) c i l u z 0 笔。) l 乏函) ，对任意的u 硪( q ) 成立当p = o 。，我们根据h s l d e r 不等式可以得到更简单的形式 i l u l i l 。c n ) c l l u 茹i i l ：c a ) 口 为了书写方便，以下记f ( u ，t ，) = ( 1 u 1 2 + 2 ) u 定理1 2 1 ( 守恒律1 ) 记q ( 舌) = 詹( m 2 + 川2 ) d z ，耦合非线性s c h r s d i n g e r 方程组 ( 1 1 1 ) - ( 1 1 4 ) 的解具有如下守恒律 q ( t ) = q ( o ) ，0 t z 证明对( 1 1 1 ) 式两边同时乘以五，并关于z 在【0 ，1 】上积分，得 t 0 1u 面如十t 盯z 1 沈+ 七z 1 z 面如+ 0 1 f ( u ，钉) 讹= 。( 1 2 1 ) 对等式( 1 2 。1 ) 的两边取虚部，得 h ( t f 0 1 u t 溉) + a i m ( ；z 1 面如) + 七h ( z 1 z 眺) + i m ( z 1 卿， ) 础) = 。 下面利用引理1 2 1 ，分别计算( 1 2 2 ) 的每一项，即 - m ( i f 0 1u t f i 如) = 鼬( z 1 吼u 如) = 三1 ( 砚u + a u t ) d 瞄= ：l d f 0 1i u l 2 出； i m ( i m ( 讹) 面如) = 毗( z 1 磁u 纠= 狲砚让+ 面u z ) d x = 弘1 1 2 i ：。= o ； = z m ( 0 1 面妣) = - m ( 霞i 卫1 ：。一0 1 砚如) = i m ( 一0 1 由于片f ( u ，v ) a d x = f 2 ( i 铭1 2 + 声m 2 ) l 铭1 2 如为实数，故其虚部等于0 将以上各式分别代入( 1 2 2 ) ，即可得到如下等式 丢丢z 1 川2 d x o u r o ，n 同理将( 1 ：1 2 ) 式两边同时乘以移，类似可得 三丢z 1 2 d x - o ， ，n 将以上两式相加，得 鬲df 1 ( + ) 如：o 出厶u 1 1 厂4 一 因而 q ( t 1 = q ( o ) ，0 t z 口 定理1 2 2 ( 守恒律2 ) 记 e ( t ) = 三i m ( 0 1 ( 面让一面魄) 如) + 鲁( z 1 ( k 1 2 + i 1 2 ) 出) 一互1z 1 ( i 钍1 4 + l u l 4 ) 如一鲁( z 1i 1 2 i 训2 如) 耦合非线性s c h r s d i n g e r 方程组( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 的解具有如下守恒律 e ( t ) = e ( o ) ，0s t z 证明对( 1 1 1 ) 式两边同时乘以一砚，并关于z 在【0 ，1 】上积分，得 ( 1 2 2 ) 让z 1 2 d x ) = o ； 一tz 1 蝻如一访z 1 础一忌z 1 础一f 0 1f 崛如一o ( 1 2 3 ) 对方程( 1 2 3 ) 的两边取实部，即 r e ( 一tz 1i 地1 2 如) 一仃鼬( tz 1 砚如) 一七船( z 1 凰出) 一鼬( i 1f ( u ，t ，) 面。如) ：0 ，o 下面利用引理1 2 1 ，分别计算( 1 2 4 ) 的每一项，可得 因为 ( z 1 i 嘞酬地( i z l 2 = o ； 丢( z m ( z 1 霞u z d x ) ) 曲( z 1 ( 砚+ 蚓如) ， 根据分部积分公式以及边界条件。可得 所以 ( 1 2 4 ) i n l ( z 1 ( 砚牡$ + 面锄) 如) = i m ( z 1 ( 面t 如一地砚) 如) = - 2 1 m - ，：1 u t 面x 如) ， 一三小卫砒+ f i x u t 蕾) d x = - j ld ( 1 2 d x ) ； ，1 r e ( f ( u ，v ) u 巩d x ) = r e ( ( 汗仳砚+ 即1 2 u 讯) d x ) t ，0 j 0 = 箍( 肌4 固+ 箬( 肭i2 拶d 书 把以上各式分别代入( 1 2 4 ) ，可得到 三爰( i m c z l 面如，) + 鲁丢( z 1i 1 2 如) 一：1d ( 0 1 川4 如) 一鲁( 舢i2 渺d 刁- o - 同理将( 1 1 2 ) 式两边同时乘以一砚，类似可得 一三爰( - m ( z 1 砒如) ) + 鲁 一：ld ( f 。1m 4 d x ) 一鲁 z 如、) 牡1 2 d 缀i 印如) = 。 ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) n ，瓤旺 将( 1 2 5 ) 和( 1 2 6 ) 相加，得到 三象 i m ( z 1 c 霞u $ d z 一移，d z ) 一兰4 旦d t z 1 ( i 让1 4 + i 训4 ) d 司一鲁 又因为詹( 2 石di 仳1 2 + 川2 t l v j 2 ) 如= 岳( 片l u l 2 m 2 d x ) 成立，将其代入( 1 2 7 ) 整理可得 到 即 因而 爰 三z m ( z 1c 面u 霉一面，d z ) + 鲁z 1 cj 乱霉1 2 + i 1 2 ) 如 一五1z 1 ( i u l 4 + i u l 4 ) d z 一箬z 1 ( i 乱1 2 i u l 2 ) d z = 。 ( 1 2 8 ) 1 d e 广( t ) = o ，o t t e ( t ) = e ( 0 ) ，0 t t 1 ：3 ( 1 2 9 ) 推论1 2 1 ( 精确解的有界性) 假设缸o ，v 0 h j 【o ，l 】，则( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 的精确解在 l 模下是有界的 证明根据( 1 2 9 ) 有下式成立： 鲁z 1 蚪也1 2 ) 出 = 三i m ( z 1 ( 云一讹。) d z ) + 三z 1 ( 1 训4 + i u l 4 ) 如+ 鲁z 1i 让1 2 l 劬1 2 如+ c 。 利用引理1 2 2 ，可以得到 z 1i 钍1 4 d z c 2 ( z 1i 1 2 d z ) 5 ( z 1i u l 2 d 2 ) 2 等小坪如+ 罢( z 1 2 d z ) 3 ( 1 2 1 0 ) 72 m l i 如 、1叭= 2 f 一亡 ”陡毗 + 小 2 + h 训 ，l i 1 jil疆广厶坦出 rl叫 d磊 七一2 d 0 成立再由定理1 2 1 可得 根据引理1 2 2 可得 小如，t ) 陋鲡z 1 驯2 如鲰 牡( ，t ) l l c 4 ，0 口( ，t ) l l 。c 4 ，vt 【0 ，卅 ( 1 2 1 1 ) 第二章差分格式 2 1 差分格式的建立 取正整数j 和，令h = 号，下= - k 记巧= j h ，t n = 礼7 - ，q = 巧10 歹以， q r = n10 n ) ，q 7 = = q ，i q r 设牡= 哼10 歹z0 仃) 为上的网 格函数，引进如下记号t d 一让= 元1 ( 牡一嵋一1 ) 况哼+ 5 = 享( 哼“一哼) ， 瓦嗡 = 瓦1l ，n + l 一哆) ， 嗡- ) ， 珥访= 元1l u n l u 吕) ， 设= 口i = ( v o ， l ，”) ，v o = v j = o ) 对于任意t ，定义相应的岛一范数 0 ，日1 - 范数i 1 1 以及最大模范数i i i i 如下。 定义网格函数： 吻i 12 叼= u ( 巧，k ) ，哆= v ( x j ，k ) ，0 歹z0 礼n 设定解问题( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 具有光滑解，利用泰勒展式，在( 吻，t t 件丢) 点处考虑微分方 程( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) ，具体离散形式如下 i 魂叼+ 吾+ i 仃以瑶+ 5 + k 再。2 f f ，n + 5 + 三 1 矿1 1 2 + i u t l 2 + p ( i 吁+ 1 1 2 + i 哆1 2 ) 】哆+ = 譬+ ， 1 歹j 一1 ，0 n n 一1 ， ( 2 1 1 ) i 磊哆+ 一i 盯如哆+ + 磁哆+ + 互1 i 吁+ 1 1 2 + i 吁1 2 + p ( 1 叼+ 1 1 2 + l u t l 2 ) 哆+ = q ；+ ，1 j ，一1 ，0 他一1 ， 叼= 诜( 巧) ， 叼= 叼= 0 ， 哼= 伽( ) ， w = 盱= 0 ， 8 1 歹j 一1 ， 0 礼 n ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 秒 其中 譬+ = 等j ( 1 【嘉u ( ，饥 一百8 t ) + 丽0 3 让( 巧，“+ 等) 】( 1 一s ) 2 d s 十_ a i r h 2z 1 【丽0 3t 正( 巧一a 九) ，亡n + ) + 昙u ( + 入 ，气+ ) 】( 1 一入) 2 烈 + u 8 t 2 儿f 16 。丽0 2u ( 巧，t n + 吾一百s t ) + 丽a 2t 正( 巧，t 时吾+ 等) 】( 1 一s ) d s + k h 2f 0 1 【孬0 4 札( 奶一入n n + 三) + 昙u ( 巧+ a 危，t 叶j 】( 1 一入) 2 枞 + 丁k t 2z 16 2r ( 9 2 剐砒旷等) + 嘉u ( 吼矿铷l - s ) d s + 丢( 牡( 巧，t n + 。) + u ( ，k ) ) 萼z 1 【嘉m 巧，t 一等) 1 2 + 嘉m 巧，t n + 吾+ 等) 1 2 制硒0 2i u ( x j lt n + 一秘+ 嘉m 圳n + + 百8 t ) 1 2 ) 】( 1 _ s ) 如 + 丢【l 牡( 奶，饥- ) 1 2 + i u ( x j ，如) 1 2 + 卢( i u ( ，t n + 1 ) 1 2 + i 口( q ，k ) 1 2 ) 】 1 8z 1 【嘉? ( 州哦一争嘉( 砒矿枷叫d s 。石1 【嘉m 巧 一秘+ 知锚矿秘 同理 ) | 2 + 嘉m 州n + 墨+ i 8 t 汗) 】( 1 - s ) d s i 8 t ) + 丽0 2u ( 吻, t n + i - t - 瓤l s ) 幽，i ) + 丽u ( 吻 百) 】( 1 一s ) 幽， 1 歹j 一1 ，0 竹n 一1 萌+ ；= 丽i t 2z 1 【嘉u ( 巧 + 吾一i 8 t ) + 丽0 su ( 巧，饥吾+ 釉1 一? ) 2 d s a i h 2 z 0 2 1 【昙如啪地_ + 昙如+ 一譬驰嘉蝴叫一 m ，t n + 洲1 一入) 2 烈 百8 ，7 ) + 丽0 2u ( 巧，钆；+ 等) 】( 1 一s ) 如 ( 2 1 5 ) 翌2 一 一 砖 砖 a k 巧 巧 产 竺御 堡舻序 p o s印户虿 壅壹盔堂亟堂鱼迨窒 第二章差分格式1 0 = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 兰三= = 三= = = 三三兰三兰兰兰三三= = = = = + 下k h 2z 1 【昙u ( 之一训h ) + 嘉如+ 地钆驯( 1 一妒枞 + 譬z 1 磋【嘉如 一争品蒜铀+ 铷- s ) 如 + 扣训：+ 1 ) 州酬) 萼z 1 【知( x j , t n + 一秘+ 知彬峨+ 百8 t ) 1 2 州嘉i 钍( 巧，一爷+ 嘉m 训n + + 和) 】( 1 _ s ) 如 + 三【i 口( 吻，如+ 1 ) 1 2 + i u ( ，气) 1 2 + p ( i u ( 巧，机。) 1 2 + l u ( 巧，如) 1 2 ) 】 萼z 1 【品如吾一孔茹如 矿铷_ s ) d s 专石1 跏锚旷爷+ 知吼矿秘 州丽( 9 2i 牡( x i lt , + 吾一等) 1 2 + 嘉m 引n 十吾+ 百8 t 汗) 】( 1 _ s ) d s 萼z 1 【嘉如；一百s t ) + 嘉如 矿枷- s ) d s ， 由解的光滑性知存在常数c 5 使得 矿刘sc 5 ( 丁2 + 矿) ， 铲叫c 5 ( 户+ 胪) ， 矿5 一芎一 r 1 歹j 一1 ，0 扎n 一1 ， 1 j j 一1 ，0 n n 一1 ， sc s ( r 2 + 2 ) ， 1 j j 一1 ，1 nsn 一1 ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) c 5 ( 产+ h 2 ) ，1 j j 一1 ，1 礼n 一1 ( 2 1 9 ) 在方程组( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 中略去小量项譬+ 和萌+ 砉，并分别用逼近值哆，哆代替 精确解叼，垮，对非线性方程组( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 建立如下差分格式 i & 哆+ 丢+ i 盯如譬+ 5 + 七磋谚+ 吾+ 三 i 矿1 1 2 + l 哆1 2 + p ( i 哼+ 1 1 2 + i 哆1 2 ) 哼+ = 0 ，1 歹j 一1 ，0 0 ，就存在个矿日使得硼( 矿) = 0 且忪0 q 成立 + 口 引理2 2 4 【1 8 1 设u = 吻10 歹j ，钉= l0 歹j ) 为上的网格函数， 则有 ( 1 】 - h ( 醒吻) 巧= ( 疋一；) ( 疋吩一) + ( d + u o ) v o - ( d 一叼) ” ( 2 ) 设u ，且伽= 坳= 。，则有怕i l 丽1 m 1 口 引理2 2 5 f 1 剐( g r o n w a l l 不等式) 设 g “，竹o ) 为非负序列，且满足 g n + 1 ( 1 + 盯) g n + 叼，n = 0 ，1 ，2 ， 其中c 和9 为非负常数，则有 g ，i e ( g o + ：9 ) ，他= o ，1 ，2 ，口 引理2 2 6 【1 8 】( g r o n w a l l 不等式) 设 g n ，n o ) 为非负序列，且满足 其中c 和西为非负常数，则有 g ，ls 咖e 蛳，乳= 0 ，1 ，2 ，口 21 上o 一一 ng 竹随 盯 + 一 十 n g 苎塞查兰堡苎兰丝墼叁曼坠童丝垡二1 2 性 接下来，将应用上面的b r o u w e r 不动点定理证明差分格式( 2 1 1 0 ) - ( 2 1 1 3 ) 解的存在 定理2 2 1 差分格式( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 3 ) 的解是存在的 证明令 w = sis = ( 8 1 ，8 2 ) ，8 1 v h ，8 2 v h ) ， 假设5 = ( 8 1 ，s 2 ) ，s 7 = ( 8 1 ，8 2 ) w ，定义w 空间的内积和范数s ( 8 ，s ) = ( ( 8 1 ，s 2 ) ，( s ：，s ：) ) = ( 8 1 ，s ：) + ( 8 2 ，s ：) ， s i l 2 = 慨0 2 + 1 1 8 z i l 2 下面根据数学归纳法来证明差分解是存在的由( 2 1 1 2 ) - ( 2 1 1 3 ) 可知，( 扩，护) 是唯 一确定的 现设差分格式( 2 1 1 0 ) 一( 2 1 1 3 ) 已确定了解( 护， o ) ，( u 1 ，v 1 ) ，( 矿，v n ) ( w ，( ) ) ， 其中n n 一1 下面证明差分格式( 2 1 1 0 ) 一( 2 1 1 3 ) 存在解( 让叶1 ，v n + 1 ) 方程( 2 1 1 0 ) 一( 2 1 1 1 ) 即为 t 学佃w 掰5 书卅z + + 卢“2 哆+ 一哆1 2 + i 哆1 2 ) 谚+ = 0 ，1 歹- ，一1 ， 一i 仃如哆+ + 七髭2 n + 5 + 氧1 2 哼+ 吾一哆1 2 + + p ( | 2 谚+ 一嵋1 2 + i 哆1 2 ) 】哆+ 吾= 0 ，1 j j 一1 上述两式可以改写为 2 2 霹+ i = 哼一吾 如谚“一- 尼2 n 一瓠1 2 够一哼1 2 + i 哆1 2 + p ( 1 2 哼楷一哆1 2 + i 哆1 2 ) 帕，1s jsj 一1 ， 哼+ j = 哆一吾 一仃如哼帐一。厅2 n + ；一如1 2 哆一v ；j 2 + i 哆1 2 + p ( 1 2 哼+ 壹一哼1 2 + i 嵋1 2 ) 吩7 1 + 专， 1 j j 一1 令( s 1 ) j = + 吾，( s 2 ) j = 哆+ 壶，1 歹j l ， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 东南大学硕士学位论文第二章差分格式 1 3 定义w 上算子t 伽= ( i 1 ，? 0 2 ) 满足 枷l ( s ) = ( s 1 ) j 一嵋+ 石t 仃如( s 1 ) j i k 6 2 ( s 1 ) j ! 、 一万1 1 2 ( s 1 ) j 一嵋1 2 + l 哼1 2 + 卢( 1 2 ( s z ) 歹一哆1 2 + t q i 2 ) 】 ( s - ) j ，1 歹j 一1 ， 一， i 也( s ) = ( s 2 ) j 一哆+ 石t 一仃如( s 2 ) j i 忌鹾( s 2 ) j ：、 一专 1 2 ( s 2 ) j q i 2 + i q l 2 + p ( 1 2 ( s ) j 一哼1 2 ) + i 哆1 2 ) ( s z ) j ，1 墨歹t ，一1 显然伽是连续算子将l 与s = ( 8 1 ，s 2 ) 作内积，得到 仙( s ) ，8 ) = ( 叫l ( s ) ，8 1 ) + ( 耽( s ) ，8 2 ) = l | s l l l 2 一( 缸n ，8 1 ) + 百t 口( 如8 1 ，8 1 ) + i 专七( 霹8 1 ，8 1 ) + i 专 2 s l j 一哼1 2 + i 哼1 2 + p ( 1 2 s 巧一q i 2 + i 哆1 2 ) 】( s - ，s 1 ) + i l s 2 0 2 一( 扩，s 2 ) 一去盯( 如s 2 ，s z ) + i 百7 姒2 8 2 ，8 2 ) + i 去 1 2 s 2 j 一哆1 2 + l 哆1 2 + p ( 1 2 s l j 一哼1 2 + i 哆1 2 ) 】( s 2 ，s 2 ) = i | s i | 2 一( u - ，s 1 ) 一( t ，n ，5 2 ) + 去玎f ( 如s l ，s 1 ) 一( 如s 2 ，s 2 ) 】+ i 寺南 ( 程s 1 ，8 1 ) + ( 鹾s z ，s z ) 】一i ； 1 2 s l j 一哆1 2 + i 哆1 2 + p ( 1 2 s 巧一哼1 2 + l 哆1 2 ) 】i i s l l i 2 + 1 2 s 2 j 一哆1 2 + l 哆1 2 十p ( 1 2 s - 歹一哼1 2 + i 哼1 2 ) i l s z i l 2 ) 注意到8 1 0 = 8 l - ，= 0 有 同理有 成立 舶( 如s 1 ，8 1 ) 如s 玲) = 船畦 1 j 一1 ) 一h ，一1 ，一l ( 5 l 歹+ 1 一s 1 ，一1 ) 曩巧) ( s 1 j l 钆) ) 1 j 弛一1 一s 1 卜1 钆) ) = 0 ， j = 2 ( 磋s l ，s 1 ) 亍一h ( 2 2 3 ) ( 如s l j 一) ( 瓦吾巧一 ) 一( d + s 1 。) 写l o + ( d s 1 ，) 蚕1 ，= 一0 如s l0 2 ( 如s 2 ，8 2 ) = 0 ，( ( ，2 8 2 ，8 2 ) = 一i l 疋s 2 1 1 2 触 ：l i 芦 东南大学硕士学位论文 第二章差分格式 1 4 对( 2 2 3 ) 式，取实部得到 p , e c w s ) ，s ) = i i s l l 2 一耽( 让n ，8 1 ) 一鼬( 矿，s ：) i i s l l 2 一i l u n i ii i s , i i i i s n l l1 1 8 2 0 i i s i l 2 一丢( o u n i l 2 + o s 1 1 2 ) 一丢( o 口n i l 2 + o s ：1 1 2 ) = 扣5 1 1 2 一i i u i i i i 口n i l 2 ) ， 取q = ( i l u “0 2 + i i v n i l 2 + 1 ) 吾，则当l l s l l = q 时，有r e ( w o o ，s ) ，由引理2 2 3 可知存 在s + w 且1 1 8 0 口，使得t ，( s ) = 0 令 牡n + 1 = 2 s ：一矿，口n + 1 = 2 s ：一u 住， 则( u n + 1 ，口n + 1 ) 满足差分格式( 2 1 1 0 ) 一( 2 1 1 3 ) 定理2 3 1 ( 守恒律1 ) 2 3 差分格式的守恒性 记矿= ( 皤，仳? ，u ) ，俨= ( 略，嵋，u ? ) ，n = 0 ，1 ，2 ， 则差分格式( 2 1 1 0 ) - ( 2 1 1 3 ) 的解满足如下守恒律； 国n + 1 = 国o ，0 礼sn 一1 ， 其中国n + 1 = i l n + 1 1 1 2 + i i v n + 1 1 1 2 ，0 礼n 一1 证明将( 2 1 1 0 ) 式两边同时乘以 霹+ 三，并对歹求和，有 ，一1 h e j = l + ( i 6 t q + 5 ) 豸+ 5 + 九j - i ( i 仃如哼+ 5 ) 霹+ 丢+ j - 1 ( 庇醴霹+ 5 ) 霹+ 吾 ，一1 j = lj = l - o i j = 1 j ( 2 3 2 ) 皿 东南大学硕士学位论文第二章差分格式 1 5 下面计算左边第一项 左边第二项 i 击 j - 1i 瓦谚+ 吾豸+ 5 ) ：r e ( h j - 16 _ ，n + 嵋+ 5 ) j = l 去陋 j l j = l ( 1 哆+ 1 1 2 + 露“哆一哆+ 1 霹一 j 一1 j l 去 孕纠2 一 ，= 1，- - - - - i 蚓2 ) 哆1 2 ) = 万1 ( 0 矿+ 1 0 2 一i i 矿| j 2 ) ； 仃i m ( 釜i 如哼+ 才+ 丢) ：盯 j - ! 如霹+ 嵋+ 5 ) j = l 知 j 一1 j = l 限莺+ 吾谚十吾+ 如哼+ 哼+ 吾) = o ； 根据引理2 2 4 ，左边第三项k i m ( 釜鹾+ 上莺+ ) ：一k i m ( 1 i 瓦矿+ 钏z ) ：。； 根据引理2 2 4 ，左边第三项 ( 鹾+ 上莺+ 专) = 一( 1 i 瓦矿+ 钏2 ) = o ； j = l 左边第四项显然等于零 把以上各式分别代入( 2 3 2 ) ，得到 由此可以得到 去( 十1 1 2 一1 2 ) = o 0 乱时1 1 1 2 = 0 u n 0 2 = = i f 钍o l | 2 同理将( 2 1 1 1 ) 式两边同时乘以 豸+ 三，类似可得 0 u n + 1 1 1 2 = l l 钉n l l 2 = = 0 u 0 0 2 于是将上面两式相加即可得到 0 n + 1 = 国o ，0 礼n 一1 定理2 3 2 ( 撇2 ) 记矿= ( 略，t ，叼) ，俨= ( 皤，叼，嵋) ，礼= 0 ，1 ，2 ， 则差分格式( 2 1 1 0 ) 一( 2 1 1 3 ) 的解满足如下守恒律。 伊+ 1 = k o ，0 死n l ， 同 芦 东南大学硕士学位论文第二章差分格式 1 6 其中 亩n + 1 = 三七( i n + 1 i i + i n + 1 i i ) + 三z ml 一五1 凡j - 1 ( t v 7 州i + i 矿1 4 ) 一鲁一五凡+ 14 + 咿1 1 4 ) 一筹 i = 1 。 ，一1 j = l( 如哆“哆+ 1 一如哆+ 1 哆+ 1 ) ，一1 ( i 哆+ 1 1 2 i 哆+ 1 1 2 i ) ，0 n 一1 j = 1 证明将( 2 i 1 0 ) 式两边同时乘以一地豸+ 斋，并对歹求和，有 ，一1j - 1j - 1 - i h i 况霹+ 壶1 2 一i 盯h 如譬+ 吉民霹* 一k 磋嵋+ 吉琬豸+ j = l ，一l hr j 【一 j = l j = lj = l 丢 1 哆+ 1 1 2 + i 哼1 2 + p ( i 哼+ 1 1 2 + i 哆1 2 ) 谚+ 5 况霹+ 5 = o 对等式( 2 3 3 ) 两边同取实部，可以得到 re(一t危釜l磊哼+吾12、)一rej=l( i 盯九 ( - i 危l 磊矿壹1 2 ) -( i 盯九 0 成立于是根据( 2 3 1 1 ) 式 可以得到 由引理2 2 4 可得 l u “瑶c 9 ， j i n 忆c 1 0 ， 妒瞪c o ， i o o c 1 0 ，0 l r l , n ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) l ，。一 =r。l ， 西 一 皿 牛匍 0 可 2z2 理定由 2 4 差分解的唯一性 在证明差分解的唯一性，差分格式的收敛性以及迭代算法的收敛性时要用到如下等 引理2 4 1 设阢v t | ， 是四个复数，则如下式子成立 证明 u 1 2 v i u l 2 = ( u 一牡) 劭+ u ( o 一面) + v 1 2 v i 1 2 移 = ( i u l 2 一l 仳1 2 ) u + l u l 2 ( y 一口) i u l 2l y 一训 = ( v t 正) 五十u ( u 一面) + l u l 2 ( y 一 ) = ( u u ) a v 十u ( u 一面) u + i u l 2l v v 1 口 由引理2 4 1 易知下式成立 u 1 2 y i u l 2 u i ( m a x i u i ，i v i ，l t 正i ，i i ) ) 2 ( 2 i u 一仳i + i v v 1 ) 定理2 4 2 差分格式( 2 1 1 0 ) - ( 2 1 1 3 ) 的解是唯一的 证明由2 ；2 分析可知，当第竹层的解已求得时。只要证明 t 学一酵5 制书卅2 w + d ( 1 2 v ，+ 吾一哆1 2 + i 哼1 2 ) 莺+ 专，1 j ，一1 ， t 学卸醇吾制矿；书矿2 + + d ( 1 2 u 了- + 吾一哆i z + i 哆l z