（运筹学与控制论专业论文）脉冲随机控制的新发展及某些分布问题的深入探讨.pdf

中文摘要 摘要：本论文主要进行脉冲随机控制模型及p 一分布问题的研究，全文 共分五部分： 第一部分是绪论，介绍了本文的主要研究内容及相关背景 在第二部分中本文建立了一类新型的脉冲随机控制模型，其状态结构由 关于半鞅的线性随机微分方程所确定，其控制费用函数为关于控制前状态 与控制量的二元函数，其控制量保持非正且其状态保持正值在第二部分 中本文证明了这类模型存在最佳控制且分析了其结构该部分的工作对此 前有关几何布朗运动的脉冲随机控制模型的研究有很大实质性推广 在第三部分中本文提出了另一类新型的脉冲随机控制模型，其状态结构 由关于半鞅的线性随机微分方程所确定，其控制费用函数为关于控制前状 态与控制量的二元函数，但是其控制量保持非负且其初始状态取正值在 第三部分中本文也证明了此类模型存在最佳控制且分析了其结构该类模 型的研究实际上填补了随机控制模型的研究中在某些方面的空白 本文第二部分及第三部分的结论有着重要的理论意义和应用价值此 外，本文第二部分和第三部分在有关变分方程问题及随机分析问题的处理 方法上都有很大的创新性和借鉴意义 在第四部分中本文利用一种深具原创性的分析方法深刻揭示了参数变化 时p 一分布密度函数某些深层次的变化性质在本部分中，与该密度函数 极值有关的一些单调性质和渐近性质得到了证明 本文的第五部分是结论，它对本文的主要工作，即本文的第二、三、四 部分进行了概括性的总结与说明 关键词：脉冲随机控制； 变分方程；随机分析；几何布朗运动；最 佳随机控制；p 一分布；密度函数 分类号：0 2 3 1 ；0 2 1 1 i e 塞銮道盔堂遵堂焦诠塞旦墨至壁垡芏 a b s t r a c t ： a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ym a k e sr e s e a r c ho ni m p u l s es t o c h a s t i cc o n t r o l m o d e l sa n d 一d i s t r i b u t i o np r o b l e m s ，t h et o t a ld i s s e r t a t i o ni sc o m p o s e d o ff i v ep a r t s ： t h ef i r s t p a r ti s a ni n t r o d u c t i o n ，i ti n t r o d u c e st h em a i nr e s e a r c h c o n t e n ta n dr e l a t e db a c k g r o u n do ft h i sd i s s e r t a t i o n i nt h es e c o n dp a r tt h i sp a p e re s t a b l i s h e san e wc l a s so fi m p u l s e s t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l s ，i t ss t a t es t r u c t u r ei sd e f i n e db yal i n e a rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fs e m i m a r t i n g a l e ，i t sc o n t r o lc o s tf u n c t i o ni sa t w o - v a r i a b l ef u n c t i o no fp r e - c o n t r o ls t a t eq u a n t i t ya n dc o n t r o lq u a n t i t y , i t sc o n t r o lq u a n t i t yi sk e p tt ob en o n p o s i t i v ea n di t ss t a t ei sk e p tt ob e p o s i t i v e i nt h es e c o n dp a r tt h i sp a p e rp r o v e st h a tt h i sc l a s so fm o d e l sh a sa no p t i m a lc o n t r o la n da n a l y s e si t ss t r u c t u r e t h ew o r ko ft h i s p a r th a v eq u i t es u b s t a n t i a l l ye x t e n d e dp r e v i o u sr e s e a r c h e so fi m p u l s e s t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l sa b o u tag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n i nt h et h i r dp a r tt h i sp a p e ra d v a n c e sa n o t h e rn e wc l a s so fi m p u l s e s t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l s ，i t ss t a t es t r u c t u r ei sd e f i n e db yal i n e a rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fs e m i m a r t i n g a l e ，i t sc o n t r o lc o s tf u n c t i o ni sa t w o - v a r i a b l ef u n c t i o no fp r e - c o n t r o ls t a t eq u a n t i t ya n dc o n t r o lq u a n t i t y , b u ti t sc o n t r o lq u a n t i t yi sk e p tt ob en o n n e g a t i v ea n di t si n i t i a ls t a t e t a k e sap o s i t i v ev a l u e i nt h et h i r dp a r tt h i sp a p e ra l s op r o v e st h a tt h i s i e 塞銮道盔堂遵堂焦诠塞旦墨至壁垡芏 c l a s so fm o d e l sh a sa no p t i m a lc o n t r o la n da n a l y s e si t ss t r u c t u r e t h e s t u d i e so ft h i sc l a s so fm o d e l sa c t u a l l yf i ui nt h eg a p si ns o m ef i e l d so n t h er e s e a r c h e so fs t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l s t h ec o n c l u s i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o ni nt h es e c o n dp a r ta n dt h et h i r d p a r th a v ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l y i n gv a l u e 。i na d d i t i o n ，t h es o l v i n gm e t h o d sa b o u tv a r i a t i o n a le q u a t i o np r o b l e m sa n d s t o c h a s t i ca n a l y s i sp r o b l e m si nt h es e c o n dp a r ta n dt h et h i r dp a r to f t h i sd i s s e r t a t i o na r eo fs i g n i f i c a n tc r e a t i v e n e s sa n db e i n gu s e df o rr e f e r - e n p e b yu s i n gak i n do fa n a l y s i sm e t h o dw h i c hh a sg r e a to r i g i n a l i t y ，i nt h e f o u r t hp a r tt h i sp a p e rd e e p l yr e v e a l ss o m ep r o f o u n dc h a n g ep r o p e r t i e so f 一d i s t r i b u t i o nd e n s i t yf u n c t i o nw h e np a r a m e t e r sc h a n g e i nt h i sp a r t ， s o m em o n o t o n i c i t i e sa n da s y m p o t i cp r o p e r t i e sw h i c ha r ec o n c e r n e dw i t h t h ee x t r e m ev a l u e so ft h i sd e n s i t yf u n c t i o nh a v eb e e np r o v e d t h ef i f t hp a r to ft h i sd i s s e r t a t i o ni st h ec o n c l u s i o n ，w h i c hm a k e sa g e n e r a l i z e ds u m m a r ya n de x p l a n a t i o no nt h em a i nw o r ko ft h i sp a p e r ，i e t h es e c o n dp a r t ，t h et h i r dp a r ta n dt h ef o u r t hp a r to ft h i sd i s s e r t a t i o n k e y w o r d s ：i m p u l s es t o c h a s t i cc o n t r o l ；v a r i a t i o n a le q u a t i o n ； s t o c h a s t i ca n a l y s i s ；g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ；o p t i m a ls t o c h a s t i c c o n t r o l ；8 一d i s t r i b u t i o n ；d e n s i t yf u n c t i o n c l a s s n o ：9 3 e 2 0 ；6 0 e 0 5 v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名；签字日期：年月日 1 2 4 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年月日 致谢 本论文的研究工作是在我的导师刘坤会教授的悉心指导下完成的，刘坤 会教授严谨认真的治学态度和工作作风给了我极大的帮助和影响在此感 谢刘坤会教授对我的教育培养和指导 安鸿志先生在论文写作过程中花费了很大心血对本人进行指导，陆传赉 先生及葛渭高先生仔细阅读了我的论文并对论文提出了许多宝贵意见和建 议，在此特表示我深切的谢意和由衷的感激之情 在论文完成期间，黎锁平教授、王秋嫒老师对我给予了热情的帮助，在 此向他们表达我的感谢之情 感谢在我读书期间理学院数学系所有教过我的老师 另外也感谢家人，他们的帮助、鼓励和支持使我能够专心于自己的学业 序 本篇博士论文“脉冲随机控制的新发展及某些分布问题的深入探讨”共 分五部分，其中第一部分为绪论，第五部分为结论，第二、三、四部分为本 文的主要内容第二部分为“一类关于几何布朗运动的脉冲随机控制模型 之推广打，第三部分为“一类控制量非负的新型脉冲随机控制模型”，第四部 分为“参数变化对卢一分布密度函数之影响”第二部分“一类关于几何布 朗运动的脉冲随机控制模型之推广”即将由“中国科学”中文版及英文版同 时刊出，第三部分“一类控制量非负的新型脉冲随机控制模型 亦投稿“中 国科学”正在审理中，第四部分“参数变化对卢一分布密度函数之影响”则 将在“应用数学学报”发表 在随机控制问题的研究中，奇异型随机控制模型及脉冲控制模型无疑是 最重要的两大类型，而脉冲控制模型的研究更早些，从上世纪7 0 年代以来， 一直有大量的文章从各个角度来探讨脉冲随机控制问题这两大类模型的 研究起因于现代社会中一些急需解决的技术问题及经济和社会问题，比如 原子能应用、航空航天技术、经济管理、金融控制及自动化流程等这些模 型的研究成果给上述一些问题的解决提供了理论基础，同时这些研究工作 不仅促进了控制理论的蓬勃发展，也大大刺激了与之有关的数学理论( 如变 分理论、方程理论及随机分析理论等) 的发展 最近，国际学术界提出了一类结构与以往不同的重要脉冲随机控制模 型，它在金融控制及投资管理中有着广泛的应用背景和重要的理论意义本 文第二部分“一类关于几何布朗运动的脉冲随机控制模型之推广丹则提出 了一个新的随机控制模型，它在保留上述随机控制模型主要特点的基础上 在相当广泛的条件下对之进行了重大的实质性推广并在更加规范的随机过 程理论系统下对模型进行了更为精确地描述且证明了最佳控制的存在性， 还对最佳控制的结构进行了细致而深入地分析相比之下，原模型的结论 就成为了本部分结论的一个简单推论此外，本部分提出的模型与以往所 研究的其它脉冲控制模型又都有着重大的结构性差异，因此本文第二部分 提出的模型及得到的结论在脉冲随机控制的研究中有重要的理论意义从 这部分的结论中，熟悉随机控制理论及相关经济理论的学者均可看出其在 实用方面的重要价值，特别是在经济管理、金融控制及证券交易中有着极其 重要的意义，比如：作为一个在适当时间调低汇率的外汇市场管理模型，或 是作为一个在适当时间抽出资金的基金管理模型，本部分提供的模型都是 特别适宜的此外，本部分在模型处理中对有关变分方程问题及随机分析问 题的研究方法及相应结论，也丰富和促进了这些领域数学理论的发展 第三部分“一类控制量非负的新型脉冲随机控制模型”综合脉冲随机控 制的各种最新发展趋势并考虑到理论及应用中某些特殊的需要，提出并研 究了一类全新的脉冲随机控制模型且证明了相应最佳控制的存在性，还从 不同角度对最佳控制的结构进行了分析与刻划由于新模型适用范围相当 广泛，控制因素增多且有着自身独有的一些新的特性，也使得对模型的分 析与处理变得相当复杂且具有一定难度，而且需要引进一些创新性的思路 与方法这部分是在全新的角度上建立一类重要的脉冲随机控制模型，且 应用一些创新性的思想与方法证明了该模型最佳控制的存在性，并多角度 地描述了最佳控制的具体结构，因而第三部分的结论在随机控制的研究中 具有重要的理论意义，且其分析思路及处理手法在今后随机控制与随机分 析的研究中有重要的借鉴意义此外，就实用价值而言，第三部分的模型在 汇率调控及证券投资管理中有着特别重要的意义又因为该部分模型中的 控制量为非负值，所以本模型特别适用于汇率持续升值情况下的汇率控制 或是长期牛市的股票市场投资管理从以上观点来说本部分对于我国或是 经济持续快速增长的新兴国家的汇市干预及证券管理有着特别重要的参考 价值 分布问题在概率与数理统计的研究中都是一个重要的课题，因此对某些 复杂的分布函数进行更加深入的分析研究是概率与数理统计理论中一个应 该得到重视的问题出于以上原因，作者已经在“p r o g r c s si nn a t u r a ls c i c n c c 、 “数学物理学报”及“应用概率统计”等重要学术刊物上对f 一分布密度函 数进行了一些相当深入的研究 本文第四部分“参数变化对p 一分布密度函数之影响”则着重研究p 一分 布密度函数的性质，主要是将特殊函数的一些深刻特性巧妙地运用于许多 无穷级数的变换与分析中从而证明了参数变化时p 一分布密度函数变化的一 些相当深刻的特性由于这部分从选题到分析方法都是前人较少涉猎的一 个方向，因而这部分内容可以说是带有原创性的工作，所用方法也是较为 新颖独到的另外，在第四部分的附录中，作者还证明了一个推广的斯特林 公式，该公式在本部分对一分布密度函数的研究中是一个十分必要的工具 性结论且其分析手法与以前有所不同也是较为有趣的 1 绪论 本绪论分为1 1 和1 2 两节，在i i 中本绪论结合文献综述介绍了随机控制的研究内容、发展 过程及理论背景，在此基础上说明了本论文第二、三部分中j 二作的目的、意义及研究方法在1 2 中本绪论首先指出了开展p 一分布密度函数深入研究的必要性，接着阐述了本文第四部分相关工 作的理论意义及研究特色，还对其它概率密度函数的研究工作及有关文献进行了介绍下面叙述有 关的具体内容 1 1 随机控制问题及本文相关工作简介 随机控制理论现今已发展成为系统科学中一个最为活跃的分支，也是控制理论中一个最为前 沿的研究领域，它的研究有着十分重要的理论意义和巨大的应用价值 随机控制起因子现代社会中急需解决的一些高端科技问题及深层次管理问题，比如航空航天 中的轨道控制问题、军事中的目标跟踪问题、工业中的原子能应用问题、复杂系统的自动控制问 题，以及经济决策及管理中的金融调控问题、汇市及证券市场的管理问题和期货交易中的决策问 题等这些现代社会发展中急需解决的重大问题的提出，激发了随机控制理论的发生及发展 由于所面对的是一些带有随机因素的复杂系统的控制问题，这使得随机控制发展成为一个涉 及系统科学原理、方程理论及随机分析理论并利用大量分析工具的多学科综合性科学理论现在， 随机控制理论已成为许多高科技控制问题及现代重大经济管理问题中最优化决策的理论基础，是 个现代社会发展中不可或缺的重要理论工具另一方面，随机控制理论的发生及发展也大大促进 了方程理论、随机分析理论及近代分析理论等重大数学理论的发展，为这些重要数学研究领域提供 了许多全新的理论成果和重要的分析方法 从控制方式来看，随机控制模型主要分为脉冲随机控制及奇异型随机控制两大类其中脉冲随 机控制是要确定一列随机时间及一列相应的随机控制量，使得在指定时间进行相应控制时系统消 耗的“费用”为最少。而奇异型随机控制则是允许控制量对控制时间而言形成一个变差过程，这种 控制模型需要解决的问题是应该选择什么样的变差过程才能使系统消耗的。费用”为最少还有些 控制模型中引入了一些其它控制因素，比如要求脉冲随机控制的控制时间发生在一个p o i s s o n 过 程的到达时间列上，或是要求奇异型随机控制在一个适当的时间上停止进行，等等 从费用结构上来看随机控制模型主要分为三大类，即折扣费用模型、平稳模型及有限水平线问 题其中折扣费用模型及平稳模型在理论上要求控制时间为无穷，它所针对的是控制时间相对较长 的背景问题，比如卫星轨道控制及金融调控等折扣费用模型是在费率随时间衰减的条件下要求控 制使得持续进行运作的系统总的。费用”最少，而平稳模型则要求控制使得持续进行运作的系统在 单位时间内的。平均费用”为最小，所以平稳模型又称为平均时间费用模型而有限水平线模型则 是要选择一个控制使得系统在某个有限的时间段内运作所需的费用最小，所以又称为有限时间段 1 模型 此外，不管从模型的状态结构来看，还是从费用结构来看，随机控制都是处于从简单到复杂的 不断发展过程之中就其状态结构而言，与控制过程相复合的最初为标准w i e n e r 过程，继而为带 漂移的w i e n e r 过程，再为关于w i e n e r 过程的随机微分方程之解过程，最后为关于半鞅的随机微 分方程的解过程就费用结构而言，最初保留费率函数为二次函数且控制费用函数为。准线性”函 数，但在后来的发展中往往突破这些比较单纯的函数形式而允许采用相当一般的函数形式 下面具体介绍一下主要的随机控制模型随机控制模型从状态空间的维数来看可分为一维和 多维的情况多维随机控制的概念从某种意义上可视为一维控制的自然推广，而一维随机控制的方 法通过某种程度的发展往往也可以解决多维随机控制中的问题。因而在随机控制模型中对一维情 况的研究( 特别是在理论上) 是较多也是较深入的本文我们主要考虑一维情况的随机控制问题 先介绍奇异型随机控制模型，此处对状态过程取左连续系统。它在处理上比右连左极系统有方 便之处，在大多数奇异型随机控制模型的研究中状态过程皆取这种系统首先，有一个完备的概率 空间( q ，五p ) ，它作为控制的随机环境，还有一族上升的，的子口一域( 五) ，t 0 ，满足通常条 件，它在控制过程中起滤子的作用又设w t ，t 0 为兀一适应的标准w i e n e r 过程，它是控制 中的源白噪声在奇异型控制模型中，每一个控制f = & ，t o ) 都是一个。初值 一适应左 连续有限变差过程，以召表所有这些过程的全体，称为允许控制集合对vf = 6 ，t o ) e b ， 熟知有正则分解 & = 对一百，t 0 而 6 = 对+ 钉，t 0 称为f 的全交差过程，f + ，一和f 皆为艿中的单调非降过程 奇异型随机控制模型也分齐次和非齐次两种情况，在非齐次的情况中，对十初始状态z r 及控制f = 6 ，t o ) e b ，奇异型随机控制模型中对应的状态过程x = 【x ；，t o ) 表现为由 方程 ，t，z x t2 z + 上p ( s ，) 如+ 丘盯( s ，乜) d 肌+ ，。0 所确定的唯一的左连续适应过程，其中函数p ( ，) 和盯( ，) 分别为漂移函数和扩散函数，它们满 足某些l i p s c h i t z 条件就费用结构而言，对非齐次的情况有以下几种控制模型： ( 1 ) 折扣费用模型； 对于初值( 即初始状态) z r 及控制= ，t o ) b ，与之对应的折扣费用为 五( f ) = e e 吨 ( t ，x t ) d r + 9 ( ：五) 眶t ) 】， ，0 2 其中a = c o n s t a n t 0 称为折扣因子，函数九( ，) 称为连续费率函数，函数9 ( ，) 称为控制费率 函数，它们为某种非负连续函数 折扣费用模型希望求出一个控制f = 【嚣，o ) 召使之满足 五( f 。) 2 曲五( f ) 而+ 则称为该模型在初值为z 时的一个最佳控制 ( 2 ) 平稳模型( 又称平均时间费用模型) ： 对应于初值z r 及控制f 召的平均时间费用定义为 五( ) ：l 靶i n f 未e 【 t ( t 五) 出+ g ( t ，五) ) 】， 五( ) = 1 驶磐季e 魄 ( t 五) 出+ ( t ，五) 如) 】， 该模型的控制目标是求一个p 8 使之满足 以( f 。) 2 贻五( ) + 称为平稳模型在初值为z 时的一个最佳控翩 ( 3 ) 有限水平线模型( 又称有限时问段模型) ： 设状态初值为z r ，f 艿，t = c o n s t a n t 0 ，与它们对应的费用为 五( f ) = e ( ，五) a t + 9 ( t ，五) 踮) 】， ，0 该模型的最佳控制f 和上面两种情况一样，是指p 8 满足 五( f ) 2 曲j z ( f ) 但对于奇异型随机控制而言，齐次模型乃是研究的重点所在，这方面有代表性的研究文献有 【1 1 6 】等在齐次的情况中，对于初值z r 及控制f = ，t o ) 召，奇异型随机控制模型 中对应的状态过程x = 咒，o ) 表现为方程 x t = x + f o r # ( 咒) d 3 + f o 。o ( 墨) d 职+ 矗，t o ， 所确定的唯一的左连续适应过程，其中p ( ) 及矿( ) 为满足某些l i p s c h i t z 条件的漂移函数及扩散 函数，它们仅为关于状态的一元函数与非齐次的情况相似，在齐次的情况下就费用结构而言奇异 型随机控制也有以下三种模型： ( 4 ) 折扣费用模型： 对于初值z r 及控制专= & ，t o ) e 与之对应的折扣费用为 五( ) ：【厂o oe - a t h ( x t ) d t + ee - a t h ( x t ) d t 夕( 五) 】，五( ) = 【夕( 五) 】， j 0 3 其中q 仍为折扣因子，函数 ( ) 及9 ( ) 为连续费率函数及控制费率函数，它们仅为关于状态的 一元的某种连续非负函数 和非齐的情况一样，此类模型希望找到一个f b 满足 五( f + ) 5 嘧厶( f ) f 亦称为该模型在初值为z 时的一个最佳控制 ( 5 ) 平稳模型( 又称平均时间费用模型) ： 设初值z r ，控制f b ，模型对应的平均时间费用为 厶( ) ：l ，未eth(xt)dtim i n f z d t + 9 ( 咒) d 邑 】， 厶( ) 一t 。亍e 吃 + 9 ( 咒) 螈扎 该模型的目标是求一个8 使之满足 。 五( f ) 2 嘧厶( f ) f + 显然应称为平稳模型在初值为z 时的一个最佳控制 ( 6 ) 有限水平线模型( 又称有限时间段模型) ： 设初值为z ，控制b ，时间t 为正常数，对应的费用为 r t 五( f ) = e 【 ( 托) 出+ 9 ( 五) 蠊”， 该模型的目标是求一个最佳控制f 8 使之满足 五( 毒) 5 嘧l ( 专) 奇异型随机控制模型最初被用于火箭对目标的跟踪问题及卫星的轨道控制问题( 参阅【1 ，2 1 ) b e n e 茸等人在1 9 8 0 年研究了最简单的齐次奇异型随机控制模型( 参阅【1 】) ，在他们的模型中状态方 程中的漂移函数芦( z ) = 0 ，扩散函效玎( z ) = l ，连续费率函数丸( z ) = z 2 ，控制费率函数9 ( x ) = 1 k a r a t z a s 于1 9 8 3 年在【2 】中将【1 1 1 中的模型推广到h ( x ) 为冗上的非负二次连续可导偶函数且 其二阶导函数保持在两个正数之间的情形 1 9 9 4 年，d a v i s 等在【4 】中将奇异型随机控制的概念进行了推广，引入了带停时的奇异型随 机控制模型以丁所表有五一停时的全体则对初值z r ，f 召及7 e t ，该模型对应的费用 为 五 ，丁) ：e 【厂1 re - a t a 肆+ 茈) + e - g v a 群1 ， 上式中x t = z + w t + ，t 0 a 和d 为正常数该模型的目标是对初值z r 确定一对 ( + ，丁+ ) ：f 8 ，7 丁使得 以( ，7 - ) 5 鹞五( 洲 4 2 0 0 5 年，w e e r a s i n g h e 在【5 1 中研究了一类奇异性折扣费用模型，在这类模型中，状态方程 中的漂移函数p ( 。) 、扩散函数盯( z ) 及连续费率函数 扛) 为具有较少限制的般性函数，但控 制费率函数9 ( z ) 却恒保持为1 2 0 0 0 年，刘坤会等在f 6 】以及后来的【7 】中研究了一类相当广泛的奇异型折扣费用模型并证 明了其最佳控制的存在性，其中函数p ( z ) ，盯0 ) 、 ( z ) 及9 ( z ) 皆为具有较少限制的一般性函 数 2 0 0 4 年，刘坤会等在【8 】中研究了一类奇异性平稳模型，其中p ) 、口( z ) 、 ( z ) 及9 ( z ) 也都是具有较少限制的般性函数这也是范围相当广泛的一类随机控制模型，其最佳控制的存在 性得到了证明 2 0 0 5 年，刘坤会等在f 1 3 】中将奇异型平稳模型的概念进行了推广，在这类推广的模型中平均 时间费用为 五( ) = 1 爨磐孝e 【z 夕l ( 托) 甜+ 卯( x t ) 町+ ( 托) 出) 】， 在相当广泛的条件下该模型最佳控制的存在性被证明 再介绍脉冲随机控制模型，本文对状态过程取右连左极系统所谓脉冲随机控制包含两个因 素，一是一列五一停时7 1 ，亿，氕，二是一列相应的随机变晕l ，巳，其中一列停 时满足0s r l r 2 冬氕s 且桌兀= o o ，口s 又对每个t 皆有6 芦n ，其中歹矗表 瓦前事件仃一域每个满足以上条件的对列t ，= h ，铀，i = 1 ，2 ，) 称为一个脉冲控制，所 有脉冲随机控制的集合以y 表之 大多数文献中研究的脉冲随机控制模型是齐次的，其代表性文献有【1 7 3 9 等在齐次脉 冲随机控制模型中，对应于初值z r 及控制 = 仇，毛) ，t = 1 ，2 ，) v 的状态过程 x = 五，t o 】- 为由状态方程 耻蚪上“恐) d s + o “川十黾晓。 所确定的唯一的右连左极 一适应过程，其中，上( ) 及t 7 ( ) 为漂移函数及扩散函数，般要求它们 满足l i p s c h i t z 条件就费用结构而言，脉冲随机控制也分为折扣费用模型、平稳模型及有限水平 线模型三大类，具体描述如下： ( 7 ) 折扣费用模型： 对初值。r ，该模型的目标是求一个矿= ( 霄，嚣) ，i = l ，2 ，v 使之满足 e e - a s h ( x ) d t + e 一吖b ( g ) 】 ，0= ， = 一，k 。产鱼。、。，e 【e - - c = t h ( x t ) d t j + e 一雌b ( & ) 】， t ，= ( n 毒) ，i = 1 2 ，) yo乏彳 5 其中x ；i ，t 0 为初值为z 且控制为u 时模型的状态过程 ( ) 称为模型的保留费率函数，它 为某种非负连续函数b ( ) 称为模型的控制费用函数，它为某种非负函数o t 仍为折扣因子， 它为正常数 t ，+ 当然也称为初值为z 时该折扣费用模型的一个最佳控制 ( 8 ) 平稳模型( 平均时间费用模型) ： 设状态初值z r ，所谓平稳模型的“最佳控制”矿= ( 霄，嚣) ，i = 1 ，2 ，】v 是指由 z 和口所确定的状态过程) 譬，t 0 使得极限值 糟恕；e f f n ( 删t + 暑酬 存在且为一个正值，同时它还满足 粘啪 t 隅，渺1 i = 12 1 t 晌- - , o o 亭驯- j c 慨) 三账) 1 t ，= ( r t ) ，川“) y i 。- ，o”备“ a 称为该模型的最佳( 时间平均) 费率 ( 9 ) 有限水平线模型( 有限时间段模型) ： 设初值z r ，t = c o n s t a n t 0 ，该模型的目标是求一个矿= ( 霄，g ) ，i = l ，2 ，) v 使之满足 吲上以矧出+ 引鳓州) 】 = 一i i 磐，、：，e 【h ( x t ) d t + b ( e d + 妒( 渐) 】， ( 怛n 4 d 讧l 州2 “y 。j o 哥 一一 矿称为初值为z 时模型在时间段【0 ，卅中的一个最佳控制上面式子中妒( ) 称为补偿函数，它 为某种连续非负函数 在以上所述的脉冲随机控制的三大类模型中，以研究折扣费用模型的资料为最多，而研究平稳 型的资料相对较少 首先，b c n s o u s s a n 等人1 9 7 3 年在【1 7 】中研究一类结构较简单的有限水平线问题时明确提 出了“脉冲随机控制”的概念以后，r i c h a r d 在1 9 7 7 年的一篇文章【1 9 】中重点研究了一类折 扣费用的脉冲随机控制模型，在该模型中p ) = p = c o n s t a n t ，仃0 ) = 盯= c o n s t a n t 0 ，即 对初值z 及u = n ，i = 1 ，2 ，) v 对应的状态过程为 x t = z + p + a w t + 6 矗s t 又在该模型中保留费率函数 ( z ) 可以为任何非负连续函数，但控制费用函数b ( ) 结构如下： b ( ) = 心+ k ， 6 其中 心： 矿刈一 0 ， lk 一 0 ，f o ， f2o ， lk 一 0 ，f 0 ，舰= ( 晨鹈乩) v m ，仇= c o n s t a n t z ，丁表停时的全体该模型 在期权问题的研究中有着重要的理论意义 本文第二、三两部分对关十几何布朗运动的脉冲随机控制模型进行了重要的实质性推广在第 二部分。一类关于几何布朗运动的脉冲随机控制模型之推广”中提出并深入研究了一类脉冲随机控 制模型在这类模登中其状态过程由关于半鞅的随机微分方程的解过程与控制过程复合而成，这就 大大推广了此前关于几何布朗运动的脉冲随机控制模型的状态结构在费用结构上该模型保留了 文献 2 7 1 中控制费用由控制量及控制前的瞬时状态共同确定这一特性，这与此前研究的相关模型 中控制费用仅由控制量确定有着本质性的改进此外，该模型限制控制量非止，这使得该模型可以 满足某些重要背景问题的特殊需要同时。该模型费用结构的适用范围也相当广泛，较以前的相关 模型有着重要的推广本文的第三部分。一类控制量非负的新型脉冲随机控制模型”提出并且研究 了一类全新的脉冲随机控制模型，该模型在状态结构及费用结构上与第二部分中的模型相似，但其 8 控制量则保持非负，因此这类模型恰与第二部分中的模型形成一种互补的关系从而能满足另一些 具有重大意义的背景问题的特殊需要 随机分析与变分方程为解决随机控制问题的两大理论工具随机分析包括秧空间理论随机积 分与随机微分方程理论以及变量替换公式( i t o 公式) 等较为深入和全面的论述这方面知识的专 著有 4 5 4 8 】等此外，概率论中的一些基本原理是研究随机控制问题的入门知识，论述这些基 本原理的经典著作是l o 色v c 的。p r o b a b i l i t yt h c o r y ”( 【4 9 】) 在随机分析中，最核心的理论工具 为i t o 的变量替换公式。即i t o 公式迄今经典的i t o 公式已有许多新的推广形式，这带来了应用 中的方便，这方面的文献有【5 0 ，5 1 】等变分方程则为涉及带参数的微分方程问题、微分方程中的 自由边界问题及微分不等式问题的综合性理论架构，有时根据侧重点的不同也称为变分不等式一 般说来它是一个相当复杂的理论问题变分方程的雏形是规划问题中的b e l l m a n 方程，它依附于 所针对的控制问题在随机控制问题的研究中。建立适当的变分方程与解出这个变分方程具有同等 重要的意义另一方面，每个变分方程都有各自独特的结构及针对性的分析方法，很难划规为某些 统一的模式尽管变分方程的研究多出现在研究控制问题的相关资料中，但现在已经有了一些专门 研究变分方程问题的著作与文章这方面的专著有【5 2 ，5 3 】等，有关的文章可参看【5 4 6 1 】等 在本文第二部分及第三部分中我们建立了相关的变分方程并证明了其解的存在性，再通过某 些随机分析过程证明了新建模型最佳控制的存在性，同时还对最佳控制的结构进行了深入的分析 使之便于实际应用由于这些随机控制模型的结构与以往相比有着重大的差异，因而对它们的分析 与处理需要有相当的创新性 1 2 概率密度函数之研究与本文相关工作简介 分布问题在数理统计与概率论的理论研究与实际应用中都有着十分重要的意义在介绍分布 问题的各种书籍及有关文献中，对重要分布函数的性质都进行了不同程度的分析与刻划，有的通过 图像的形式对不同参数的概率密度曲线进行了直观的描述与对比但是这些分析与刻划基本上停 留在比较浅显的层次上本文作者注意到这一问题并投入了相当精力来展开这方面的研究f 一 分布是一种十分重要的分布类型，其概率密度函数相对比较复杂，近年来，作者在。p r o g r e s si n n a t u r a ls c i e n c e ”、 。数学物理学报等重要刊物上发表了多篇论文对f 一分布的密度函数进行 了相当深入的研究( 参阅f 6 2 6 5 】) ，在本文的第四部分。参数变化对卢一分布密度函数之影响” 中，作者又对p 一分布的密度函数进行了相当深入的分析与研究 参致为仇，n 的f 一分布通常以f ( r n ，l r l , ) 表示，其密度函数为 眦) ； 褊( 栌毋1 ( 1 + 荆碎一 0 ； 1 0 ，z 0 上式中r ( ) 表r 一函数 9 在【6 2 ，6 5 1 中，作者分析了f 一分布中不同参数所对应的密度曲线之间的位置关系，还讨论 了密度曲线的某些渐进性质并建立了一些有关的方程关系 在 6 4 】中，作者分析了参数变化时f 一分布密度函数峰值变化的规律性，指出n 增大时该峰 值单调增大，而m 增大时该峰值或单调减小，或先减后增 p 一分布也是概率密度函数比较复杂的重要分布类型，它在市场占有率和射击命中率等背景问 题的研究中有重要意义作为一种重要的分布类型，有关概率论与数理统计的教科书通常对其都有 介绍，对此可参阅【6 6 7 1 】等参数为a ，b 的卢一分布通常以b e ( a ，b ) 表示，其密度函数为 眦) ： 揣产1 ( 1 _ 动6 。1 一“o 1 ) i i o ，z 隹( o ，1 ) 本文第四部分主要以特殊函数的一个相当深刻的性质一关于r 一函数的对数微商公式为j 二 具，通过各种新颖和巧妙的方法对有关无穷级数进行分析及变换，证明了卢一分布的密度函数当 参数变化时峰值变化的深刻规律作为p 一分布密度函数研究的副产物，我们还通过无穷级数的 方法将一个重要的分析学公式一经典的斯特林公式从自然数变量推广到止实数变量 此外，本文第四部分在推导过程中用到了关于特殊函数的知识及大量数学分析方面的知识 关于特殊函数的知识作者主要参考【7 2 ，7 3 1 对特殊函数的研究是函数论研究中的一个重要方向， 【7 2 】及( 7 3 】可以看作是它在相应时期的集成之作f 7 4 ，7 5 】为数学分析方面的代表作，它们可以 满足本文第四部分对于数学分析方面知识的需要 本文第四部分的一个主要特点是从选题到分析方法的高度原创性 1 0 2 一类关于几何布朗运动的脉冲随机控制模型之推广 擒要：最近。国际学术界提出了一类关于几何布朗运动的薪翌i 童机控制模翟这是一种费用结构与以往不同的 重要脉冲控制类型，它在金融控制及投资管理中有着广砭的应用背景和重要的理论意义( 参阅1 2 7 1 ) 本部分在 相当广泛的条件下对上述随机控制模型进行了实质性地推广并在更加规范的随机过程理论系统下对模型进行了更 为糖确她描述。通过建立一组适当的变分方程井证明其舞的存在性，再应用随机分析的手法，本部分证明了推广 后的随机控制模型存在最佳控制同时。作者还对最佳控镧的结构进行了细致地分析此外，作者也对变分方程 的解函数进行了较为深入地研究。它在某种程度上构成控制模强的值函敦本部分所用的分析方法与原文献已有 很大的差异，因而在某种程度上来说具自相当的原刨性此外，奉部分对原文献中分析不太严密的部分给出了严 格的证明。使模型的分析和讨论实现了数学意义上的精确化 关键调t辣冲随机控髑；几何布朗运动，变分方程，量佳控制 t h eg e n e r a l i z a t i o no fac l a s so fi m p u l s es t o c h a s t i cc o n t r o lm o d c l so fag e o m e t r i c b r o w n i a nm o t i o n a b s t r a c t r e c e n t l y , i n t e r n a t i o n a la c a d e m i cc i r c l e sa d v a n c e dac l a s so fn e w s t o c h a s t i c c o n t r o lm o d e l so fag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nw h i c hi sa ni m p o r t a n tk i n do fi m p u l s e c o n t r o lm o d e l sw h o s ec o s ts t r u c t u r ei sd i f f e r e n tf r o mt h eo t h e r sb e f o r e ，a n di th a sa b r o a da p p