高考数学复习专题五解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质教案理.docx

第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷直线与抛物线的位置关系及应用T8命题分析1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查，常出现在第411或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等2.圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大学科素养通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模与数学运算三大核心素养.双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系T11卷双曲线的渐近线方程T5椭圆的离心率T12卷双曲线的离心率T11直线与抛物线的位置关系T162017卷抛物线中弦长最值问题T10双曲线的离心率T15卷双曲线的离心率T9抛物线中弦长问题T16卷双曲线方程求法T5椭圆离心率求法T102016卷抛物线与圆的综合问题T10卷双曲线的定义、离心率问题T11 卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率T11圆锥曲线的定义与标准方程授课提示：对应学生用书第49页悟通方法结论1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：2a(2a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系3抛物线方程中p的几何意义为焦点到准线的距离全练快速解答1(2018南宁、柳州联考)已知双曲线1(b0)的一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为()AyxByxCy3xDyx解析：由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线1的一个焦点坐标是(2,0)，则c2，且双曲线的焦点在x轴上，所以3b22，即b1，于是双曲线的渐近线方程为yx，故选B.答案：B2(2018贵阳模拟)椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cosPAQ，则椭圆C的离心率e为()A.B. C.D.解析：根据题意可取P(c，)，Q(c，)，所以tanPAF1e，cosPAQcos 2PAFcos2PAFsin2PAF，故55(1e)233(1e)28(1e)22(1e)2.又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1e，e.故选A.答案：A3(2018惠州模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A(1,2)B(2，)C(1，)D(，)解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c) ，则过点F1与渐近线yx平行的直线为yxc，联立，得解得即M(，)因点M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，故()2()2c2，化简得b23a2，即c2a23a2，解得2，又双曲线的离心率e1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)故选A.答案：A4(2018高考全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.解析：法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy4(x1x2)，k.设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)为AB中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2.由M(1,1)，得A(1x1,1y1)，B(1x2,1y2)由AMB90，得AB0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案：21椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系授课提示：对应学生用书第50页悟通方法结论弦长问题设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线AB的斜率存在(设为k)，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)，其中|x1x2|，|y1y2|；若直线AB的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长(1)(2018山西八校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，点N在x轴上且在点F的右侧，线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M，直线MN的倾斜角为135，O为坐标原点，则直线OM的斜率为()A22B21C.1D34解析：如图，设直线L为抛物线的准线，过点M向准线引垂线，垂足为A，交y轴于点B，设|MF|t，因为点M在FN的垂直平分线上，且直线MN的倾斜角为135，所以直线MF的倾斜角为45，由抛物线的定义得t|MA|pt，即t(2)p，所以|OB|t(1)p，|BM|t，设直线OM的倾斜角为，则OMB，所以直线OM的斜率为tan 22，故选A.答案：A(2)(2017高考全国卷)(12分)设A，B为曲线C：求直线AB的斜率；设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线且求直线AB的方程学审题条件信息想到方法注意什么信息：曲线y上两点A，B的横坐标之和为4设两点坐标，作两点坐标满足方程的差，结合斜率公式和横坐标的和来求解(1)利用两点的斜率公式时，两点的横坐标应不相等(2)直线与曲线交于两点，联立方程消元后得到的一元二次方程的判别式大于0信息：切线平行直线AB导数的几何意义，利用平行直线斜率相等可得M的坐标信息：AMBMABM为直角三角形及其性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半规范解答设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24， (2分)于是直线AB的斜率k1. (4分)由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32， (6分)于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm， (8分)故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y，得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4 . (10分)由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7(m1舍去)所以直线AB的方程为xy70. (12分)直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成xmyb的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系练通即学即用1(2018高考全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A.B3C2D4解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为yx.设两渐近线夹角为2，则有tan ，所以30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.则在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选B.答案：B2(2018洛阳模拟)已知短轴的长为2的椭圆E：1(ab0)，直线n的横、纵截距分别为a，1，且原点O到直线n的距离为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足20，求直线l的方程解析：(1)椭圆E的短轴的长为2，故b1.依题意设直线n的方程为y1，由，解得a，故椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，当直线l的斜率为0时，显然不符合题意当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时，F(，0)，设直线l的方程为xty，由得(t23)y22ty10，y1y2，y1y2，20，x3x1x2，y3y1y2，又点C在椭圆E上，y(x1x2)2(y1y2)2(y)(y)(x1x2y1y2)1，又y1，y1，x1x2y1y20，将x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直线l的方程为xy0或xy0.授课提示：对应学生用书第143页一、选择题1(2018广西南宁模拟)双曲线1的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx解析：在双曲线 1中，a5，b2，而其渐近线方程为yx，其渐近线方程为yx，故选D.答案：D2已知椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2B2C8D2解析：根据已知条件得c，则点在椭圆1(m0)上，1，可得m2.答案：B3(2018张掖模拟)双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x2(y2)21相切，则双曲线的离心率为()A.B. C2D3解析：双曲线1的渐近线与圆x2(y2)21相切，则圆心(0,2)到直线bxay0的距离为1，所以1，即1，所以双曲线的离心率e2，故选C.答案：C4(2017高考全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.B. C.D.解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线bxay2ab0的距离为a，即a23b2.又e21，所以e.答案：A5已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，渐近线方程为2xy0，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：易知双曲线1(a0，b0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2xy0，得2，因为双曲线的焦距为4，所以c2，结合c2a2b2，可得a2，b4，所以双曲线的方程为1，故选A.答案：A6(2018长春模拟)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|()A1B2C4D.解析：不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是F1PF2的平分线又垂直于F1M，故PF1M为等腰三角形，|PF1|PM|且H为F1M的中点，所以OH为MF1F2的中位线，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.故选A.答案：A7(2018高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B2C.D2解析：由题意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因为a0，b0，所以ab，渐近线方程为xy0，点(4,0)到渐近线的距离为2，故选D.答案：D8(2018石家庄一模)已知直线l：y2x3被椭圆C：1(ab0)截得的弦长为7，有下列直线：y2x3；y2x1；y2x3；y2x3.其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A1条B2条C3条D4条解析：易知直线y2x3与直线l关于原点对称，直线y2x3与直线l关于x轴对称，直线y2x3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.选C.答案：C9(2018洛阳模拟)设双曲线C：1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为()A.B.CD无法确定解析：双曲线C：1中，a4，b3，c5，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设M在直线 yx上，N在直线yx上，则直线MF的斜率为，其方程为y(x5)，设M(t，t)，代入直线MF的方程，得t(t5)，解得t，即M(，)由对称性可得N(，)，所以直线MN的方程为x.设P(m，n)，则d|m|，1，即n2(m216)，则|PF|5m16|.故，故选B.答案：B10(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6 C7D8解析：由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1,2)，N为(4,4)又抛物线焦点为F(1,0)，(0,2)，(3,4)，03248.故选D.答案：D11(2018广西五校联考)已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若10，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(，1)B(1，1)C(1，)D(，)解析：设F1(c,0)，F2(c,0)，依题意可得1，得到y，不妨设M，N，则114c20，得到4a2c2(c2a2)20，即a4c46a2c20，故e46e210，解得32e232，又e1，所以1e232，解得1e1答案：B12(2018南昌模拟)抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|AB|，则AFB的最大值为()A.B.C.D.解析：由抛物线的定义可得|AF|x12，|BF|x22，又x1x24|AB|，得|AF|BF|AB|，所以|AB|(|AF|BF|)所以cosAFB2，而0AFB，所以AFB的最大值为.答案：D二、填空题13(2018成都模拟)已知双曲线1(a0)和抛物线y28x有相同的焦点，则双曲线的离心率为_解析：易知抛物线y28x的焦点为(2,0)，所以双曲线1的一个焦点为(2,0)，则a2222，即a，所以双曲线的离心率e.答案：14(2018武汉调研)双曲线：1(a0，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则的实轴长等于_解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线yx，即axby0的距离为b3，所以a4,2a8.答案：815(2018唐山模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_.解析：设AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C，过B作BDl，垂足为D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：416(2017高考全国卷改编)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是_解析：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即 ，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)答案：(0,19，)三、解答题17(2018辽宁五校联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b.(1)求椭圆C的方程；(2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线xm于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值解析：(1)由题意得F1(c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，则2a2c6，直线BF2的方程为bxcybc0，所以b，即2ca，又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)不妨设A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，则直线A1P的方程为y(x2)，所以M(m，(m2)，又点P在椭圆C上，所以y3(1)，若以MP为直径的圆过点A2，则A2MA2P，0，所以(m2，(m2)(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)(m)0.又点P不同于点A1，A2，所以x02，所以m14.18(2018福州模拟)抛物线C：y2x24xa与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P.(1)若点Q(x，y)(1x4)在C上，求直线PQ斜率的取值范围；(2)证明：经过这三个交点的圆E过定点解析：(1)由题意得P(0，a)(a0)，Q(x,2x24xa)(1x4)，故kPQ2x4，因为1x4，所以2kPQ4，所以直线PQ的斜率的取值范围为(2,4)(2)证明：法一：P(0，a)(a0)令2x24xa0，则168a0，a2，且a0，解得x1，故抛物线C与x轴交于A(1，0)，B(1，0)两点故可设