（固体力学专业论文）薄板弯曲问题的无网格局部边界积分方程方法.pdf

摘要 y s l 4 4 27 无网格局部边界积分方程方法是一种近期发展起来的数值方法。它以局 部边界积分方程为基础，采用移动最小二乘近似函数，从而只需要分栉在问 题域内及其边界上的节点的信息值，无需划分单元；整个积分是在以节点为 中心的局部域及其边界上实现，所以不需要背景积分网格；借助于格林公式 及d i r a c 函数的性质，将局部边界积分方程转化为所考虑点的未知函数的边 界积分表达式，便于直接施加本质边界条件，可见，该方法同时具备了无望 元插值及无单元积分的特点，是一种真正的无网格方法， 本文首先介绍了无网格局部边界积分方程方法的理论基础和离散步骤，以 及移动最小二乘近似法和广义移动最小二乘近似法等概念；其次将该方法初 步应用于计算薄板的弯曲问题，建立了完整的积分公式，求解了四个典型算 咧t 结果同精确解非常接近，且收敛快，并结合具体算例作了相关的结论及 讨论；最后给出用m a t l a b 语言编写的计算机程序，同时介绍了各子程序的 功能。 关键词：无网格局部边界积分方程方法，无网格方法，薄板弯曲问题 移动最小二乘近似法，广义移动最小二乘近似法 a b s t r a c t l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ( l b i e ) d e v e l o p e dr e c e n t l yi san e w e f f i c i e n ta n df l e x i b l en u m e r i c a lm e t h o d l b l e ，b a s e do nt h el o c a lb o u n d a r ye q u a t i o n ， a d o p t st h et r a d i t i o n a lm o v i n g l e a s ts q u a r e s ( m l s ) a p p r o x i m m i o nw h i c hd e p e n d so n o n l yt h ev a l u e so ft h en o d e si n t h ed o m a i no ft h ep r o b l e mo ra l o n gi t s b o u n d a r y t h ew h o l ep r o c e s s0 fi n t e g r a t i o nisc a r r j e do n0 v e ra1 0 c a ld o m a i no r i t sl o c a l b o u n d a r yc e n t e r e d a tt h en o d ei n q u e s t i o n t h e1 0 c a lb o u n d a r y e q u a t i o nc a r l b er e w r i t t e nt o r e p r e s e n tt h ev a l u e so ft h eu n k n o w nf u n c t i o na tt h e p o i n to fi n t e r e s t a n dt h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sc a r lb ed i r e c t l ya n de a s i l y e n f o r c e db yu s i n gt h eg r e e nf o r m u l aa n dt h ec h a r a c t e r so ft h ed i r a cf u n c t i o n s o ，n o m e s hi sr e q u i r e de i t h e rf o rp u r p o s e so f i n t e r p o l a t i o no f t h es o l u t i o nv a r i a b l e s ，o rf o r t h ei n t e g r a t i o no ft h ee n e r g y ，i ti sar e a lm e s h l e s sm e t h o d i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y ，t h et h e o r ya n dt h ed i s c r e t i z a t i o ns c h e m e so fl b i ea n dt h e c o n c e p t so fm l s a n dg m l sa r ei n t r o d u c e d ；s e c o n d l l b i em e t h o di s a p p l i e dt o s o l v et h et h i n p l a t e b e n d i n gp r o b l e m s a n df o u r t y p i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt o d e m o n s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t ya n dv a l i d i t yo ft h em e t h o d t h er e s u l t so b t a i n e df r o m n u m e r i c a le x a m p l e sa g r e ew e l lw i t ht h ee x a c ts o l u t i o n sa n dh a v ea l le x c e l l e n tr a t eo f c o n v e r g e n c et h e n ，s e v e r a lc o n c l u s i o n sa n dd i s c u s s i o n sa r em a d e a tt h ee n do ft h e p a p e nac o m p u t e rp r o g r a mb yt h el a n g u a g em a t l a bi sp r o v i d e da n dt h ef u n c t i o n s o fs u b - r o u t i n e sa r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：l o c a lb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n m e t h o d ，m e s h l e s sm e t h o d s t h i np l a t e - b e n d i n g p r o b l e m ，m o v i n gl e a s ts q u a r e s g e n e r a l i z e dm o v i n gl e a s ts q u a r e s 张勤：薄板弯曲问题的无网格局部边界积分方程方法( l b i e ) 1 1 引言 第一章绪论 近十几年来，计算力学方面的问题越来越富有挑战性，例如：模拟锻压、 冲压、浇铸等制造过程时，用有限元计算固体及液体的界面扩展必需处理网 洛的大变形；模拟构件失效过程时，必须建立任意方向及复杂路径的裂纹扩 睫模型；研制先进材料时，必须有处理边界延伸及微观裂纹扩展的数值分析 方法。针对这些问题，传统的有限差分法及有限元法并不总是有效。有限差 分法通常为数值求解微分方程的方法，而有限元法则为数值求解泛函极小值 的方法。两者均对连续介质离散化，产生求解节点变量的联立代数方程组。 当采用较多的点时，有限差分法的结果可以得到改进。但是有限差分法较适 用于“纯”连续介质，即只存在一种介质如匀质的固体或流体，它不适用 于必须由混合的材料或不同形式的元件采馍拟的结构。并且，当碰到不规则 的几何形状或者非常见的要特加说明的边界条件时，有限差分法也难以适用 了。有限元法不像有限差分法那样把求解区域看作是网格点的排列，有限元 法把求解区域看作由许多小的、：互相连接的子区域或单元所构成，并用每个 区域内假设的近似函数来表示未知的场变量，那么通过有限单元离散化过程 便把问题简化为有限个未知数的问题，用苌代替求解区域，漠拟或逼近求解 区域的离散单元的集合体可按各种不同的方式组合在一起，所以能用来表示 极其复杂的形状。但是有限元法的离散基础是单元，当处理非连续及大变形 时必须重新划分单元以求与物体的变形过程保持一致，这样不汉单元或网格 生成等数据准备前处理占用太多时间，而且大大增加了计算的难度，精度也 不高。虽然最近在英、美等国出现了功能强大的网格自动生成软件，但是对 于三维复杂问题，把计算模型转换成有限元数据仍然很费 几时，且常常会- 3 i 湖南大学硕十学位论文 起众多的数据歧义或量失，还需大量人工干预。并儿，有限元本身也存在难 以克服的一些缺陷，如自锁问题，所求解函数的导数精度低，对奇点问题， 无限域等问题计算费时精度低等等。作为一种分析技术来讲，有限无法己达 到不可能期望再有更高的发展或突破了。 边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b e m ) 1 1 ，2 1 也是一种常用的数值分 折方法，首先见端于1 9 6 3 年位势问题的应用 3 i 。经过对弹性力学和塑性力学 方面诸多问题的尝试后【，日趋成熟。现在除了传统的固体力学方面的问题 外，边界元法( b e m ) 在位势流及波的传播，非均匀椭圆型问题、抛物型问题， 各向异性介质，粘塑性，粘弹陛，电磁场，土力学等方面都有诸多广泛的工 程应用。边界元法作为边界积分方程的离散数值解法有它特有的优点，同时 电在数值计算上引出一些新的问题。由于采取边界上的积分形式，主要只涉 及边界信息；引入基本解系及其导数，降低问题的空间维数，所以边界元法 在边界离散处理时只需用二维曲面单元和一维线性单元。降低问题的维数无 疑将使未知量数目显著降低但是在动力问题和进入塑性的计算中，除边界积 分外同时还有域内的积分。，这样，有时需要进行将域内积分化为边界积分 的积分变换或者同时使用边界元和有限元( 域内积分部分) 。并且如果只需要 汁算问题域内某点处的函数值或导数值，就必须计算出整个域边界上的积分， 这就降低了计算效率；此外，超奇异积分的处理也是一个棘手的问题【”。研 究和发展新的数值分析方法一直是数值分析者的研究目标。 1 2 无网格方法的发展史 研究把计算模型自动转换成计算机数据和自适应技术是当前数值计算 的前沿课题。目前通过两种途径加以解决：一是研制功能强大的网格自动生 成软件，能把计算模型自动转换成有限元或边界元数据，并且能根据结果目 动精细网格的自适应技术；二是研究无网格方法。与有限元法中常用的拉格 朗目插值不同，无网格方法的主要基础是移动最小二乘近似法( m l s ) ，它的 基本忍想是在计算域上用一些离散的点由最小二乘来拟合场函数，通过依赖 s k 刿j 薄板弯 f 问题的无删格局部边界积分方程方法( l b i e ) 于节点范围内的近似，摆脱单元的束缚，并且很容易在物体变形的过程中增 加或删除节点，这杆就大大减少了数据准备前处理的时间。尽管和许多无网 格方法中，仍然需要划分单元来计算域积分，但是在求解边界移动或非连续 问题时不需要重新划分单元。因此，无网格方法可以用来处理大量的基于网 格单元的计算方法难以求解的问题。 无网格离散法或有限点离散法在连续体力学问题中的应用早在几十年 前就已引起了一些学者的关注，但是直到近期相关的研究却极少。其中起源 最早、发展时间最长的是光滑粒子法( s m o o t h p a r t i c l eh y d r o d y n a m i c sm e t h o d ， s p h ) ，该方法被用于模拟无边界的天体现象如行星爆炸等。有关s p h 的又献 较少，并且主要出现在m o n a g h a n 及其合作者的论文中【8 “1 。 近期，这类方法有了实质陛的发展，s w e g l ee ta 1 i ”1 通过对一系列线性化 方程的差量分折提出了所谓的张力不稳定性，并引入了粘陛系数确保稳定： d y k a l ”1 用应力粒子来实现稳定：j o n s o n 和b e i s s e l l l 4 1 提出了改进计算应变的 方法；l i ue ta 1 1 15 1 给出了离散及连续情形下的正确的核函数形式即再生核粒 子法( r k p m l 。 此外，s u k u m a r 等人提出了自然单元法1 7 1 ，即依托于求解结构的 d e l a u n a y 三角形网络，利用求解点的自然邻域节点和v o r o n o i 结构来全域构 造近似( 立移函数，能够方便的施加边界条件，处理不连续面。不足的是 s u k u m a r 等采用标准的g a l e r k i n 方法形成自然单元法的系统平衡方程，需要 在背景三角形积分网格里采用三个以上的积分点完成平衡方程的数值积分， 而且自然邻节点近似位移函数的计算比较费时。 还有一类发畏较晚的无网恪方法，其构造基础是移动最小二乘近似? 云 ( m l s ) 。n a y r o l e s e ta 1 s 】首先将m l s 应用于迦辽金有限元法中，并称其为弥 教儿- - ；f 矾4 - u l f n s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) 。随后，b e l y t s c h k oe ta l 修正并改进 了此类方法，称之为无单元迦辽金法【限3 0 ( e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ， e f g m ) 。e f g m 虽然在计算上比s p h 花费大，但已证明具有协调性、收敛| 生 且形式稳定。 道后，d u a r t e 、o d e n 及b a b u s k a 、m e l e n k 等人认为基于m l s 的无网搭 1 湖南人学硕士学位论文 方法是审位分解法的特殊形式( p a r t i t i o no f u n i t ym e t h o d ，p o u ) 川。在此基础 上，a t l u r i 、z h u 将该方法加以推广至无网格局部边界积分方程方法 ( l b l e ) l ”v 3 7 1 ，无网格局部彼得洛夫一迦辽金方法( m l p g ) 口8 4 3 1 等。 近几年来，国内也有许多研究者致力于网格自动生成及自适应技术的研 究，并且从已发表的文献看来，不少研究者也开始了对无网格方法或无单元 法的研究，且已取得了一些研究成果 4 4 珈】。例如周维垣，寇晓东先生提出的 基于有限元理论的无单元法等【4 8 ”i ，但这种无单元方法仍需划分均匀的背景 网格以计算积分。 1 3 不同无网格方法的比较 不同无网格方法的区别主要在于插值函数的选取及离散的方式。上节所 贪绍的核函数法、移动最小二乘近似法、单位分解法等各具特色，但电有某 些共同的性质，当核函数法中的母函数与m l s 的权函数相等并赋予同样的 基时，两种方法是一致的。并且两者的理论基础都是单位分割法，即对整体 范围内的函数建立灵活性更大的局部近似。区别在于通过权函数的选取， m l s 可具有高阶的连续性，从而能得到有光滑导数的解。从离散的角度看来， 主要有集合法和迦辽金法。基于集合法的如s p h 、m l s 、p o u ，即将任意域 内节点的未知函数用一定数量的相关节点的函数集合来表示。基于迦辽金法 的如e f g 、h p c l o u d s 、r k p m 等，即通过变分原理或弱形式来得到问题的离 散方程。这里比较几种主要的基于m l s 的无网格方法。 针对迦辽金有限元法难以自动生成网格特别是处理三维问题的缺陷而 发展的无单元迦辽金法( e f g m ) 与通常的迦辽金有限元法在很多方面是相同 的，别如它们都以迦辽金公式为基础，部采用局部插值函数来近似试函数。 关键的差别在于插值的方法，积分方式和本质边界条件的施加方法。无单元 迦辽金法采用移动最小二乘近似法( m l s ) 近似试函数，从能量泛函的弱变分 形式中得到控制方程【1 9 t 0 1 。该方法只需要节点信息、前处理方便、可以消除 体积闭锁，因而吸引着不少力学工作者和工程技术人员来对其进行研究和使 j 张勤：薄板弯 | 问题的无网格局部1 i 界私! 分力程方法( l b i e ) 但是e t if 使用m l s 插值，难以直接旌加本质边界条件1 3 0 1 。目前 已研究出几种在无单兀迦辽金法中间接施加本质边界条件的方法，如直接配 点法：修正的配点法1 2 3 j ；拉格朗同乘子法：利用边界力作为拉氏乘子；利用 本质边界条件的弱形式；修正的权函数法；有限元和无单元迦辽金法的组 合方法矧和罚因子法【2 3 1 。常用的拉格朗目乘子法施加本质边界条件时，增加 了未知量的数目，此外，离散线性系统也不再是正定的。在修正的变分原理 中，由所假定的位移场而得到的面力作为拉氏乘子当然可以减少未知量的数 目，从而减少了计算费用，但是它们也可能是不稳定的解，而且不如直接加 上本质边界条件那样方便。并且，在解决非连续问题上，无单元迦辽金法仅 作了有限的改进，因为两者都以迦辽金公式为基础并且在建立求解问题的数 值模型时部需要进行域积分，对于某些极不规则的区域，利用网格计算域积 分可能会引起相当大的误差，此外无单元迦辽金法对于非连续点邻域处的积 分也难以求解 2 9 1 。 近期发展起来的局部边界积分方程方法( l b i e ) 3 2 】以局部边界积分方程 为基础，综合了有限元法、边界元法以及无网格有限点离散法f 例如无单元迦 辽金法) 的优点。它是一种真正的无网格方法，同时具备了无单元插值及无单 元积分的特点，采用m l s 近似函数，从而只需要分布在问题域内及其边界 上的节点的信息值，无需划分单元；整个积分是在以节点为中心的局部域及 其边界上实现，所以不需要背景积分网格：借助于格林公式及d i r a c 函数的 胜质，： 哿局部边界积分方程转化为所考虑点( 源点亭) 的未知函数“( ) 的边界 积分表达式，便于旋加本质边界条件；容易形成带状稀疏的刚度矩阵，易于 求解。 由于局部边界积分方程表示所考虑点的未知函数的值，并且包含了所考 虑点的影响域内的一些点的值，所采用的近似函数的连续性要求可以大大放 蹬，在建立系统刚度矩阵时，内部节点不需要形函数的导数。即使采用非插 值移动最小二乘近似函数，也很容易直接加入本质边界条件。现在的方法与 常规边界积分方法之间的根本差别在于采用的离散方式以及建立系统方程的 方法。这种方法比常规的边界积分方程方法更适于处理非线性问题。 型。i 盔兰堡主鲎垡笙苎一 无网格局部彼得洛夫迦辽金方法( m l p g ) 也采用移动最小j 乘插值，将 移动最小一乘近似函数中的权函数取作加权函数，因此加权函数与试函数取 自不同的函数空间。该方法无需划分单元网格，仅在一系列局部子域( 球体， 立方体，椭圆体) 上积分。它和局部边界积分方程方法不同之处在于以局部对 称弱形式为基础( l s w f ) ，采用罚因子法施加本质边界条件。当局部边界积分 方程方法中的试函数取作子域上的问题微分算予的修正基本解，并在子域边 界为零时，该方法是无网格局部彼得洛夫迦辽金方法的特殊形式。 1 4 本文所做的研究及展望 如前所述，寻求并发展实用、简便、灵活的求解偏微分方程的数值近似 方法，是长期以来力学工作者和工程技术人员们孜孜不断努力的目标，有限 元，边界元等传统方法是求解边值问题强有力的数值方法。这类方法以单元 为基础，一个缺点是，数据准备工作量大，尤其是对三维问题。当这类方法 用于自适应计算或模拟裂纹扩展大变形时，一般要不断更新网格( r e m e s h i n g ) 。 虽然目前已有一些网格生成器，但人们还是觉得准备数据占用机时多，不方 便。 近期发展的无网格局部边界积分方程方法是一种新型的无网格方法，免 去了人为繁琐的构建网格的过程，解决了广泛使用的有限元法的自锁、单元 畸变、大变形时重新划分网格等等难题。该方法采用移动最小二乘近似法构 造形函数。通过几个互不相关联的节点的值拟合出的形函数光滑性好且导数 连续。并且该形函数的形成及区域积分的实现都可以脱离单元的概念而无需 划分单元或背景网格，只需要分布在问题域内及边界上的节点的信息；减少 了问题的维数，并能求得更为精确的场变量及其导数。 本文比较了无单元迦辽金方法( e f o m ) ，无网格局部彼得洛夫迦辽金方 法( m l p g ) 以及无网格局部边界积分方程方法( l b i e ) 等几种典型的无网洛方 法，只有无网格局部边界积分方程方法同时具备了降低问题维数，无需背景 积分网格，容易施加本质边界条件等优点。本文第二章中首先介绍了无网格 6 张勤：薄板弯曲问题的无网格局部地羿积分方程方法( l b i e ) 局部边界积分方程方法的理论基础，离散步骤以及移动最小二乘近似法利，。 义移动最小二乘近似法等概念。第三章中将无网格局部边界积分方程方法初 步应用于求解二维四阶算子的薄板弯曲问题，建立了关于薄板弯曲问题的局 部边界积分方程组。在这个基础上很容易推广到薄板的震动及大变形问题。 第四章中用该方法计算了四个典型算例：受均布荷载的四边简支方形薄板、 受均布荷载的四边固支方形薄板、受均布荷载的两对边简支，两对边固支方 形薄板、受均布荷载的两对边简支，一边固支一边自由方形薄板，并用 m a t l a b 语言编制了相应的计算程序，计算结果表明，这种方法不但对于二 阶微分算子控制的问题【3 53 6 】，而且对于四阶微分算子控制的问题也具有收敛 陕，稳定性好且精度高的特点。最后结合具体算例在无网格局部边界积分方 程方法的离散方面作了一些相关的结论及讨论。第六章中给出了该方法用于 求解薄板弯曲问题的计算机源程序框图( m a t l a b ) 并介绍了各子程序的功 能。 无网格局部边界积分方程方法也是导师龙述尧教授正致力于研究的国 家自然科学基金项目【1 3 5 , a 1 舵1 。本文在导师的指导下仅作了初步的研究便觉 得该方法灵活、简便，必定会受到工程师们的亲睐，具有广阔的发展前景。 目前，无网格局部边界积分方程方法尚未应用到求解中厚板等基本解系 较难求出的领域。但是随着数学及计算方法的不断发展，相信所求解问题的 微分算子的基本解系再也不会成为难题，无网格局部边界积分方程方法也会 在更加广泛的领域里显示它的优越性。 湖南入学硕立学位论文 第二章无网格局部边界积分方程 方法离散步骤简介 2 1 从控制方程的积分式到边界积分方程 工程中常遇到的一些场问题往往都用偏微( 或常微) 分方程和相应的边界 ( 或端点) 条件表示如： 工( “) = b ，m q c 2 1 1 边界条件： s ( , ) = p “f ， g ( “) = g , 厂2( 2 2 ) t _ = r l + 厂二 其中，l ，s 和g 是微分算子，p g 是给定边界值。 假设“+ 是特定载荷b 下方程( 2 1 ) 的解，则有： l ( “) = b 4 “+ qi ! 3 、 将方程( ：一3 ) 两边乘以“减去方程( 2 1 ) 两边乘以“+ 并且在整个问题域上积分： l 上( “+ ) “一“+ ( z r ) 】艘= fu b + 艘一n “+ 6 孢( 2 - 4 ) 利用b e t t i 互等定理或引入洛林恒等式： n ( f v 2 9 - g 9 2 f ) d y 2 = n ( 嘉h 静棚 ( 2 - 5 ) 其中厂，g 是二个连续函数，并有直到两阶的连续导数。则( 2 4 ) 式的左边域积 分可以转化为边界积分的形式： j r r ( “) 向( “) 一州) r ( “) 】孢= fb t b 艘一l 甜b d c 2 ( 2 - 6 ) 张勤：薄板弯曲问题的无刚恪局部边界积分方程方法( l b i e ) 式中冗为降阶后的微分算子，h 是边界上的连续函数。那么，所采用的近似 试函数的连续性要求可以大大地放松。 可见，如果将所要分析的问题限于椭圆型的线性方程，则不难看到所表 示的一些场问题可以依靠方程的奇异解去对某些核函数进行积分而形成一种 边界积分方程。 2 2 从边界积分方程到局部边界积分方程 上节建立的边界积分方程( 2 6 ) 式不但对所求问题的域q 内和边界a q 上 成立，而且对于所求问题的域内的任一子域q 。及其边界孢。也同样适用。则 式( 2 6 ) 式变为： l q ， r ( “) - a ( “) 一a ( 圹) 。r ( “) 订= n y6 + 锄一l b d f 2 。( 2 - 7 ) 选取“为所求问题算子的基本解，即满足如下微分方程： l ( “+ ) = 5 ( x l 一善1 工二一亭二) “q ( 2 8 ) 万( 善) 是以亭点为奇异源点的二维d i r a c 函数。 d i r a c 函数j 有如下性质： r 1=5 万c 手f 。，= ：；：；： t 2 _ 9 ， l 。占( 害一0 ) 中( 亭) d 掌= 中( 孝o ) ( 2 1o ) 其中中( 孝) 是任一函数。 利用d i r a c 函数的性质( ( 二- 1 0 ) 式) ，方程( 2 7 ) 就可以转化为所考虑点f 源点 亏) 的未知函数“( 善) 的边界积分表达式： “( 善) 2j ，j r ( u ) ( “) 一 ( “4 ) r ( “) d r 十b + 6 艘，( 2 - 1 1 ) 也就是说在包含源点的任何封闭边界上及封闭边界所包含的子域上进行积 分，厦可以得到源点的未知函数值的方程。 在整体边界积分方程中，整体边界a q 上的每一点都可以给定相应的边 湖南大学硕士学位论文 界条件，因此积分方程( 2 6 ) 是个定解问题。但是沿着局部边界a q 。，没有 个量是已知的，特别是会出现未知函数不同阶数的导数项，这增加了求解 的难度。为了在a q 。上的积分中去掉这些导数项，我们引入“友解”。友解与 基本解在边界a q ，上相关联，并且定义为子域q 。上狄利克莱问题的解。 考虑如下边值问题： l ( “。) = 0 ，“q “。：“( 茁，亏) ，“a 建。( 2 - 1 2 ) 由于除源点善外，基本解“+ 是处处非奇异的，所以边值问题( 2 1 2 ) 的解即友 解存在且在q 。上是处处非奇异的。 设甜”= + 一甜。，可以看出修正解甜”的如下性质： l ( “”) = 工( “+ ) 一l ( , 。) = j ( r ，孝) ，“q 。 “”= 0 d “ = 0 o n ( x ) 1 , l ”p q ， ( 2 1 3 ) 可见若采用“”来代替基本解在局部积分方程( 2 1 1 ) 中的位置，便消除了未知 函数“的高阶导数项。 由( 2 - 1 3 ) 式可知，当源点雩的子域q 。完全应于整体域q 内n e l l 入“可以 消除积分边界上未知函数的高阶导数项。但当源点孝位于整体边界a q 上时， 它的子域q 。与整体边界a q 相交，子域边界由l s 和f s 组合而或，其中。为 子域q ，完全位于q 内的边界部分，r s 为子域q 。与整体边界a q 的重合部分。 田于r s 是整体边界a q 的一部分因此在该边界上未知函数的高阶导数项不 为零，这些项或者是未知量，或者作为边界条件被赋值。 综上所述，引入修正解“”后，方程( 2 1 1 ) 变为： “( 善) = i ，、 r ( u + ) ( “) 一向( “+ + ) r ( “) d r + l 。脚+ + ) 一f ( “+ + ) 足( “) 订+ n ，“b 鼬。 ! “ 式中k f 汉是未知量“及其阶导数的函数，不包括“的高阶导数。 张勤：薄板弯曲词题的无网格局部边肄积分方程方法( l b 【f ) 一_一 当所考虑点( 源点 ) 位于整体域q 内时，r ，k ，h ，f 都是关于“及“”连续町 微的函数，( 2 - 1 4 ) 式的右端积分比较容易求得。但是当源点考位于整体边界 a q 上时，修正解z f ”在该点处是奇异的，存在奇异积分。 最后局部边界积分方程可以写成如下形式： a ( 4 ) “( 古) = i 一 r ( u 4 ) - 向( “) 一向( “”) - r ( “) d e “5 ，( 2 一l5 ) + l ，【k ( u ”) r ( 甜) 一他“) k ( z 州订+ l 。“”- b 艘。 ， 式中甜f 毒) 是决定于整体边界形状的系数 由于局部域( 或子域) q 。形状的任意性，为使问题简单起见，我们特意选 取一个规则的简单的形状。最简单的子域形状是中一山在源点f 的r 维球。当 然为了求解特殊问题方便起见，也可以选取其它规则形状的子域f 对二维问题 如矩形，椭圆等) ，只要在这个规则形状的子域上容易用解析方法求出友解。 2 3 移动最小二乘近似方法 无网恪方法在实施数值计算时要保持插值或近似函数的局部特征，并用 某些随机分布点上的未知变量值( 或虚拟值) 来表示试函数。移动最小二乘插 值或近似法便可以满足上述无网格方法的要求。该方法1 9 8 1 年由l a n c a s t e r 和s a l k a u s k a s 在计算数学上提出，主要是拟合曲面的一种方法；1 9 9 4 年由 b e l y t s c h k o 和l u ，g u 把这种方法应用于求解偏微分方程中。 考虑工点的邻域，即子域q ，。它表示在问题的域q 内，x 点的移动最小 二乘近似函数的定义域，为近似函数“在q ，内的分布。在一系列随机分布的 节点k ( 扛l ，2 ，2 ) 上，定义“的移动最小二乘近似函数为： “6 ( x ) = p 1 ( x ) p 2 ( ) p 。( x ) 】 a i ( x ) a 2 ( x ) = 声7 ( x ) 苟( x ) ，v x q 。( 2 1 6 ) 式中万 ) 是包含坐标x = i x l x 2 , x 3 】7 的系数日，( x ) ( = 1 ，2 ，m ) 的向量。 - 1 1 塑堕查兰堡圭兰堡笙苎 而声7 ( x ) = 【n ( x ) p 2 ) p 。( x ) 】是埘阶完备多项式的基，且满定以下条 件： ( i ) p l ( z ) 2 1 ( i i ) p ，( x ) c ( q ) ，b l ，2 ，m ，c 7 ( q ) 为一系列直到，阶导数连续的 函数。 ( i i i ) 存在位。，牙2 ，l ) c 扛。，x ：，x 。) ，使得扫( i 1 ) ，p ( 2 2 ) ，p ( 瓦) ) 成为一组线性无关量。 例如对二维问题有： 声7 ( z ) = 1 ，z l ，z 2 ， 线性基m = 3 声7 ( x ) = 【1 ，z l ，x 2 ，x ；，x 1 2 2 ，期， 二次基m = 6 对三维问题： p 2 ( z ) = 1 ，x 1 ，z 2 ，x 3 】，线性基m = 4 声7 ( x ) = 1 ，x l ，x 2 ，码，x ；，x ；，奶2 ，x 1 x 2 ，x 2 ，x 3 而 ，二次基m = 1 0 定义加权离散最小二乘模为 j x ( b ) = y w ( x - x ；) 声7 ( x ) b - f i ， 2 = ( 声6 一& ) 7 矿( 声6 一五)( 2 1 7 ) f _ l 注意：上式中的f i ，( f - 1 ，2 ，h ) 是节点的虚拟值，一般不是试函数“6 ( x ) 的节点值。对于一维的情况，“。与番。的差别见图2 1 。 图2 1 “。和。的区别 可见，式( 2 - 1 6 ) 中的系数向量石( x ) 必须满足j ，( 万( z ) ) 以( 6 ) ，b r 4 。 张勤：薄板：丐曲问题的无网格局部边界积分方程方法( l b i e ) w ( x x i l 是与节点i 相关的权函数 w ( x x i p o ；x 表示节点i 的坐标值 节点数。 矩阵p 和矿定义为： j d w = 万r ( x ) 歹r ( x 2 ) 租w ( x x ，) 的支撑域内的所有， 是在q 。内，权函数w ( x x 1 ) o 的 p l ( x 1 ) p 2 ( x 1 ) 。p 。( x 1 ) p 1 ( x 2 ) p ! ( x 2 ) p 。( x 2 声7 ( x 。) j l p t ( 茁n ) p 2 ( x n ) p m ( x 一) w ( x x 1 ) o o 0 w ( x x 2 ) ： o f 2 一1 8 1 【2 1 9 ) 【：一2 0 ) 在式( 2 - 15 ) 中对a ( x ) 求j ( x ) 的驻值可得a ( x ) 与i 的关系式： a ( x ) a ( x ) = b ( x ) i( ：一2 1 式中： 。 a ( 工) = 只。= b ( x ) 巴。 = w ( x x 。) 矽( x ，) 声。( x ，) ( 2 - 2 2 a 1 w ( x - - x n 忡。) ( 2 删 可见，采用移动最小二乘近似法近似试函数时，首先必须选取基函数和权函 数，权函数及其参数的选取对拟合的效果影响很大，应遵循以下原则选取权 函数： ( i ) 非负； ( i i l 可确定唯一的系数苟( 工) ，即( 2 2 1 ) 式中j ( x ) 可逆，权函数对空间变 量的导数至少存在； 13 ) h x o 0 一x ，l w r p x xwr pm 哌卜 繇h 1 f | 石 m 。3 湖南大学硕士学位论文 ( i i i ) 在x 的近处大，远处小。 对于( i i ) ，j ( x ) 必须非奇异才能求出a ( x ) ，因而才能定义移动最d , - 乘 近似法( 图2 2 ) 。并且p 的秩只有大于或等于m 时，a ( x ) 才不奇异。于是移 动最小二乘近似法有意义的必要条件是：对每个样点x q ，至少有m 个加 权函数是非零的( 即玎m ) ，且在q ，中的节点不能排列成特殊形式，例如排 列成一条直线。样点既可以是节点也可以是高斯积分点。并且节点珀q 加权 函数w 的支持域的大小应选取足够大，使它在每个样点的定义域内包含足够 数量的节点棚) 以保证矩阵爿的非奇异性。但很大的，可能会在利用高斯 数值积分计算系统矩阵时，导致矩阵带宽过大，计算费时。我们应该使，足 够小，以保证移动最小二乘近似函数的局部特性；对于( i i i ) ，通常选取 w ( x 一工，) 在节点x 。的支持域上不为零，而节点工。的支持域通常选取中心在一 点，半径为的圆。对于不在节点x 。的支持域的z ，w ( x x ，) = o 。总的说来， 权函数的选取没有理论上的具体规则，带有某种任意性，可选用指数函数、 锥形函数、三角函数等，只要能满足上面的原则。我们通常采用高斯和样条 加权函数。 。“一一，一一l 、一_ 。、 f 图2 2 移动最小二乘近似法的插值方案 结合( 2 2 2 ) 式解出万( x ) 并代入( 2 一1 6 ) 式中，可得到类似于有限元法中的插 值形函数的形式。 1 4 - 一 堂墅塑塑兰些塑些塑垄型堂堂塑望里塑坌妻型兰羔型点堡l 一一 “( x ) = 面( 石) 4 = i = 1 痧，( 艽1 。，( 2 - 2 3 ) “( x ，) 三“，西， x q 。 式中： 面7 ( x ) = f 7 ( x ) j 一1 ( x ) 秀( x ) ( 2 2 4 ) 或 ，( x ) ：羔p 小) 防1 ( x ) 豆( x ) ，( 2 - 2 5 ) = l 西，( x ) 称为节点i 的移动最小二乘近似法的形函数。可见，形函数的连续性条 件可以通过改变最小二乘近似中的权函数来实现。构造连续性更高的加权函 数，可得高阶连续的形函数和试函数，例如可采用高阶样条函数。 由式( 2 2 2 ) 及( 2 2 5 ) n 见，当w ( x x ，) - 0 时，( x ) = 0 。对于不在节点x 。的 支持域的x 点，( x ) = 0 ，这保证了移动最小二乘近似函数的局部特征。 形函数矽，( 石) 的光滑性由基函数和权函数的光滑性所决定。令c ( q ) 是k 阶连续可微函数空间如果w ( 工一x ，) c 。( x ) 且p ，( x ) c 7 ( q ) ( i = 1 ，2 ，一，n ：，= 1 ，2 - m ) ，那么，( r ) c l ( q ) ，= m i n ( k ，) 。声：( 工) 的 偏导数为i b e l y t s c c h k se ta l1 9 9 4 ) 痧啦( x ) = m p ，女( j 一1 吾) ，+ p ，( j 一1 百，女+ j 。1 百) ， ( 2 - 2 6 ) j = l j ：1 = ( j h 。表示j 的逆矩阵对x 。的导数，易得为： j ：1 = 一4 一“ 4 1 ( 2 2 7 ) 式中( ) ，；型。d 2 4 广义移动最4 , - - 乘近似方法 由上一节可知，移动最小二乘近似法是基于一些离散点变量的值( 虚拟 值1 。但是许多隋况下这些离散点变量的导数值很有意义，因此若在移动最小 一l5 - 塑堕查堂堡主堂焦笙苎 二乘近似法中将离散点变量的导数值考虑进去可能会得到更高精度的计算结 果，这也就是广义移动最小二乘近似法( 图2 3 ) 。 假设一些离散点的变量具有场变量的z 阶导数，那么要得到理想的近似 计算结果就需要在插值函数中包括直到场变量的，阶导数。此时上节中变量“ 的最小二乘近似表达式( 2 - 1 6 ) 及完备多项式形式的基函数尸仍然适用，所不 同的是加权离散最小二乘模即( 2 1 7 ) 式变为： g ( 6 ) = w 8 ( x ) d 8 p 7 ( x i ) b d 4 蠡( 一) 2 ( 2 2 8 ) i = 1i 口 注意到，m i n ( r ，( 肌一1 ) ) 。，为基函数p 微分连续的最高阶数，m 为p 的多项 式阶数( 见2 _ 3 节中基函数p 的定义及条件) 。d 表示求导，指数口表示求导 的次数及对象，耐刚则表示与此相应的权函数。并且系数向量万( x ) 满足 ，。x 万( x ) 】j l x ( 6 ) ，b r ”。 掣( 6 ) = 以8 ( x ) 【d 4 p 7 ( 耳) 6 一d 8 矗( x f ) 】2 l = l i 口口 荨瞅踟饥胡w b ，t 掣枷j 】2 r f = 1i“ i 其中反表示垦攀。上式可以用矩阵形式表示为 o x 张勤：薄板弯曲问题的无嘲恪局部边界积分方程方法f l b i e ) 式中 ( 6 ) = e b 一讲w p b i + 【只6 一讲w ( 牙) 【只6 一? = 主 。一 ；) ) 丁 ”0 二x )w 。o ( x ， 主 。一 ；) ) c ：一，。， ： q b 一( i r ( x ) q 6 一o 只：i 塑型0 p ( x 2 ) l0 冀黜 、 jo u 五) o i i ( b ) t2 | 2 ，_ 、 | 0 呵佩 塑型 7 彘j 掣卜i i ，反 僦i 一 w l ( x ) 0 0 0 w 2 刮( x ) ； ； o 0 0 w n ( a ) ( x ) 石( x ) 使加权离散最小二乘模( 二2 9 ) 取驻值可以得到 4 ( x ) 五( x ) = b ( x ) d 其中： 爿( x ) = q 7 w ( x ) q = j d ? w p + 髟w 1 只 b ( x ) ：q r 缈( 茁) ：p r 。1 0 1 ，巧w 1 对于二维问题： 1 ( 6 ) = w h x ) d 。p 7 ( x f j 6 一d “番( t ) 2 f = ld - ” = = 1 w ( x ) p 7 ( x 。) 6 一引2 + 。 ( x ) 掣。6 一或 ： 卅1 ) ( 州掣? 6 一影 2 f 2 - 3 1 a 、 ( 2 - 3 1 b ) ( 2 - 3 1 c ) f ! 一3 2 a 、 f 2 - 3 2 b ) 1 2 3 3 1 湖南大学硕土学位论文 划t 晓，和或郴蜥掣及掣。 上，用矩阵形式表示为： ( 6 ) = p b - 舀 w o 川( x ) p 6 一吱 + 只6 一f 。】7 w 1 ( x ) 暇6 一t x l + 0 6 一f ，】7 w 0 1 ( y ) b 6 一f 。 j d 只 只 一 _ | d 只 只 b 一 0 w ( 1 1 0 ) r x 、 o ： q 6 一( i 7 ( 。) q 6 一西 ( 2 - 3 4 ) 衅掣，_ o p ( x 2 ) ，掣j 。b 3 5 。) 。 l缸融 螽j 。” 。= j 掣掣，掣f 1 b 狲， j咖魂，西 “j ) d i a f i ( x o ，掣，掣靠一，或。 ( 2 - 3 5 c )