（固体力学专业论文）基于径向基函数的无网格数值方法及杂交Trefftz有限元法.pdf

中文摘要 中文摘要 作为一种新型的数值计算方法，无网格法仅仅需要在域内分布一些相互独立 的点，而不是相互连接的单元，所以可以减少大量的数据准备，避免了普通有限 元法和边界元法在计算中需要的网格生成或重生成，以及在大变形( 如金属成型， 高速碰撞等) 计算中可能遇到的单元自锁、扭曲、畸变、移动等问题。本文基于 经典的基本解方法，结合径向基函数近似和相似方程方法，提出了一种混合型无 网格算法。基本解法是一种边界型方法；利用基本解的定义，未知的场变量可以 近似表示为基本解的线性组合；这种方法的特点是近似解在域内解析满足控制微 分方程，所以仅仅需要满足相应的边界条件即可。然而，对于那些含有域内分布 源或体力项的非齐次问题和基本解难于获得的问题，普通的基本解方法难于发挥 自己的优势。针对这些局限性，相似方程方法被首先用来把原控制方程转换为等 效的方程，然后径向基函数插值和基本解方法被分别用来构造特解和齐次解部 分：最后，通过使获得的近似场变量在配点处满足原控制微分方程和边界条件可 以解得所有的未知插值系数。大量的计算结果显示该算法理论基础简单，易于程 序实现，具有较好的计算精度和收敛性；同时，从算法的实现过程可以看到，该 算法可以很容易的应用于其它问题的计算。 基于类似的思想，文章针对普通t r e 妇眩有限元法的不足，即难于处理非齐 次问题和对t r e f 娩完备解系的依赖性问题，结合径向基函数近似和相似方程方 法，提出了一种改进的t r e f j 眩有限元法。相似方程方法首先被用来构造和原控 制微分方程等效的方程，然后径向基函数插值和1 - r e m z 有限元法被分别用来构 造对应的特解和齐次解部分；最后，使获得的近似场解在配点处满足原控制方程 可以解得所有的未知插值系数。非线性最小表面问题的计算结果表明该算法有不 错的计算精度和收敛性，同时又保留了普通t r e f 勉有限元法的积分优势，而且 可以方便地用于其它问题求解。 此外，由于径向基函数一般可以看作基本解消奇异性后的扩展，所以文章也 对径向基函数的构造和光滑化方案进行了研究。计算结果显示，基于特征精心构 造的径向基函数完全可以代替目前广泛使用的径向基函数；而且，不同的光滑化 方案会影响计算精度和稳定性，需要谨慎选择。 关键词：无网格法、基本解方法、杂交t r e f 勉有限元法、径向基函数、相似方 程法 a b s t r a c t a b s t r a c t a sa l t e m a t i v e st ot i l eg e n e m lf m i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) 锄db o u n d a r ye l 锄e n t m e t h o d ( b e m ) ，n l em e s h l e s sn u m e r i c a lm e m o d sh a v er e c e n t l yb e c o m ep o p u l a ri n c o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c s s i n c et 1 1 em e s h l e s sm e t l l o d sd i s c r e t i z et h ed o m a i nb y m e a n so fs 叩a r a t ep o i n t s ，i n s t e a do fe l 锄e n t s ，t h e yh a v es u c hp r o p e r t i e s 觞s i m p l e d a t ap r e p 嬲l t i o n ，a v o i d i n gm e s hg e n e r a t i o no rr e m e s h i n g ，a 1 1 da v o i d 锄c eo fm e s h l o c k i n g ，d i s t o n i o n i i l l a 娼e d e f o 册a t i o np r o b l e m s ，f o r 。e x 锄p l e ，m e t a lf o 姗i l l g ， h i 曲- s p e e dc r a s h ，觚d s oo n 1 1 1 ep 印e rp r e s e n t san e wm e s h l e s sa l g o r i t h mb y c o m b 抽i n gt 1 1 ec l a s s i cm e t h o do ff h n d 锄e n 姆ls 0 1 u t i o n s ( m f s ) ，r a d j a lb a s i s 凡n c t i o n a r b f ) 印p r o x h n a t i o n 锄dn l ea i l a l o ge q u a t i o nm e m o do 垣m ) a c c o r d i n gt 0m e d e f m i t i o no ft h e 劬d 咖e n t a ls o l u t i o n sf o rt l l ed i 艉r e n t i a lo p e r a t o ro ft l l ep r o b l e m ，m e l i i l e a rc o m b i i l a t i o no ft h ef u n d a m e n t a ls 0 h l t i o n sc o m p l c t e l ys a t i s 匆i n g 吐l eg o v e m i l l g e q u a t i o ni n s i d et l l ed o m a i l lj u s tn e e d st os a t i s 匆t l l es p e c i f i e db o u n d a r yc o n d i t i o n sa t b o u i l d a 巧n o d e s n l i si st h em a i ni d e ao ft h em f s ，w h i c hc a 玎b ev i e w e d 嬲o n eo f b o u n d a r y - o n l ym e t l l o d s h o w e v e r f o rt h ei i l l l o m o g e n e o u sp r o b l e m si n v o l v i i l g i i l t e m a ld i s 仃i b u t e ds o u r c e so rb o d yf o r c e sa n dp r o b l e m sw i lu n a v a i l a b l e 如n d 锄e n t a ls 0 1 u t i o n s ，m e r ea r es o m ei n c o n v e n i e n c e si nt h ei m p l e m e n t a t i o no ft h e c l a s s i cm f s i i lo r d e rt 0o v e r c o m et h e s ed r a w b a c l ( s ，廿l ep r o p o s e dm c t h o de m p l o y s n l ea l l a l o g e q u a t i o nm e t h o dm )t o c o n v e r tm eo r i g i n a 】 g o v e m i l l gp a r t i a l d i 鼠r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) t 0a 1 1 e q u i v a l e n to n e ，柚dn l e n ，t 1 1 em f s 觚dr b f i i l t e r p o l a t i o n a r eu s e dt oc o n s 伽j c tt h eh o m o g e n e o u sp a r t鲫dp a n i c u l a r p a n ， 咒s p e c t i v e l y f i n a l l y ，m a k i n gt h ea p p r o x i i i l a t e ds o l u t o no fu n k n o w nf i e l dv a r i a b l e s a t i s f i e s 廿l eo r i g i n a lg o v e m i n gp d ea tt h ei i l t e 印o l a t i o n p o i n t s a n db o u n d a d ， c o n d i t i o n sa tb o u n d 8 秽n o d e st og i v ea l lu n k n o w n s m u c hn u m e r i c a lp r a c t i c e ss h o w t h a tn l ep r e s e i l t e dm e s h l e s sm e t h o dp o s s e s s e ss u c ha d v 柚t a g e sa ss i m p l e t h e o r y r e q u 沁m e 她e a o fp r 0 旷啪m i n g ，g o o da c c u r a c y 锄dc o n v e 唱e n c e ，锄dh a sa p o t e n t i a li i ls o l v i n go m e r l i n e a ro rn o n l i i l e a rp r o b l e m si i lc o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c s m o r e o v e r ，b a s e do n 廿l es i m i l a ri d e a ，c o n s i d e r i n gt h es h o n c o m i n g so fc l a s s i ch y b r i d t r e m zf e m ( h t f e m ) ，廿1 a ti s ，i ti sd i 硒c u l tt 0 饥i a tn o n h o m o g e n e o u sp r o b l e m sa 1 1 d s t r o n g l yd 叩e n d so nt c o m p l e t e 如n c t i o n so ft h ep r o b l e m su n d e rc o n s i d e r a t i o n ，t h e p a p e rp r e s e n t sa i li m p r 0 v e dm e 廿1 0 dc o m b i n i n gt h eh t f e m ，l 也fa p p r o x i m a t i o na n d i n 天津大学博士学位论文 删n e a l l a l o ge q u a t i o nm e t h o df i r s t l yi su s e dt 0o b t a i l lm ee q u i v a l e n te q u a t i o nt o t h eo r i g i n a lg o v e m i n gp d e ，觚dt h c nt h ei 强f si n t 叩o l a t i o n 跏dh 邗e ma r eu s e dt o p r o d u c e 廿l er e l a t e dp a r t i c u l a ra n dh o m o g e n e o u sp a r t s ，r c s p e c t i v e l y f i n a l l ym a k i n g t 1 1 e 印p r o x i m a t e df o 咖u l ao ff i e l dv 撕a b l es a t i s f i e s 也e 嘶g i n a lp d e t 0o b t a i na l l u n k n o w n s r e s u l t sf o rs 0 l v i n gt h en o n l i i l e a rm i l l i l l l a ls u r f a c ep r o b l e m ss h o wt l l a t 廿1 e p r e s e n t e dm e t l l o dh a sg o o dn u m e r i c a la c c u r a c ) ，锄dc o n v e 玛e n c e ，锄di n h e r i t st h e a d v 锄t a g eo f 凡l lb o u n d a r yn e 舒a lo fc l a s s i c r r f e m i l la d d i t i o n ，t l l ep r o c e s s d e m o n s 仃a t e s 也a tt h ep r 叩o s e dm e 廿1 0 dc a nb ee a s i l yu s e dt os o l v eo t h e rp r o b l e m s b e s i d e sa _ b o v ew o f i ( s ，t h ep a p e ra l s os t u d i e st h ec o n 蛐n j c t i o n 锄ds m o o t h m g s 缸a t e g i e so f 砌强s ，w 1 1 i c hc a nb er e g a r d e d 懿d i 虢r e n te x t e n s i o n so f 劬d a m e n 协1 s o l u t i o n sa r e rr e m o v i n gs i n g u l a r i 够n u m 甜c a lc o m p u t a ：t i o n st e l lu s 也a te l a b o r a t e d r b f sb 2 l s e do nc h a r a c t e r i s t i c s0 fp r o b l e m sc o n s i d e r e dc 锄d i s p l a c et h ec o m m o n l y u s e dr b f s 锄dp r o d u c eg o o dr e s u l t s i i la d d i t i o n ，d i 毹r e n ts m 0 0 t 1 1 i n gs t l 龇e g i e s c v i d e n t l ya 脓c tn l ea c c u r a c y 锄ds 讪i l i 吼锄ds h o u l db e 船a t e dc a r e f i l l l y k e yw o i m s ： m e s h l e s sm e t l l o d ；m e t i l o do f 劬d 锄t a ls o l u t i o n s ；h y b r i d1 r e 位z 缸n i t ee l e m e n tm e t h o d ；r a d i a lb a s i sf l l n c t i o n s ；a n a l o ge q u a t i o nm e t h o d l v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁盗苤堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者答名：冬辉签字日期：a7 月卅日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞苤堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：互群 签字u 期：矽7 年1 月叫曰 兰三馋u 第一章绪论 1 1 选题的背景 第一章绪论弟一旱珀下匕 在实际工程中，对许多力学问题或场问题，能用解析方法导出精确解的只是 方程性质简单、几何形状规则的少数问题，而对大多数的实际工程问题，或由于 几何形状比较复杂，或由于荷载类型比较复杂，人们常常需要借助于计算机利用 数值方法求解。目前，数值计算方法已经成为计算力学中解决各种复杂数学物理 问题的重要方法之一。 迄今为止，很多种数值计算方法被提- 出并被用于各种实际工程问题的计算和 研究。根据研究域的离散形式的不同，数值方法可以大致分为两大类：单元积分 型算法和无网格算法。单元积分型算法的典型特征是用一系列相互连接的单元来 近似研究的区域或边界，而无网格算法则采用一系列互不相关的点集来近似研究 的区域或边界，这是这两类算法的最直观的区别。下面我们就这两类数值方法的 发展分别给予介绍。 1 1 1 单元积分型算法的发展现状 目前，最为成熟和使用广泛的数值计算方法是基于单元插值和变分泛函的有 限元法( f m i t ee l e m e mm e t h o d ，f e m ) 【l j 。它通过把求解域离散为一系列相互连接的 单元，在每个单元内用形函数( s h 印ef i m c t i o n ) 插值物理变量( 比如位移、势等) 的 分布，然后利用能量变分原理获得弱积分形式的关于节点位移或节点势的半带宽 对称的离散方程组，进而求解获得所有的节点物理量。由于材料性能能在各自单 元上定义，因此有限元法可以方便地用于多材料结构的计算和分析，具有很好的 灵活性和扩展性。此外，有限元法理论相对简单，易于程序模块化实现。但是， 计算精度差、网格划分费时、计算量大是有限元法的不容回避的事实。 此外，基于边界单元离散的边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b e m ) 吲也是 一种被广泛使用的数值计算方法。利用基本解( 觚d 锄e n t a ls o l u t i o n s ) 的定义、b e t t i 互等定理( i 优i p r o c a li d e n t i 劝和分步积分( i m e 鲫i o nb yp a r t s ) 技术，问题的控制微 分方程可以转化为边界积分方程( b o u n d a 巧i m e g r a le q u a t i o n s ，b i e ) ，进而利用边界 单元插值获得关于边界节点处所有的未知量的方程组。和有限元法相比，边界元 法的优点是降低了问题的求解维数，减少了数据准备，域内变量可以精确满足控 天津大学博士学位论文 制微分方程，以及可以方便的处理无限域问题等。但是边界元法的缺点也相当地 明显，对基本解的过分依赖也许成为阻止它更进一步发展的障碍，因为很多复杂 问题的基本解要么很难得到，要么形式复杂难于使用。另外，奇异积分或近奇异 积分的计算以及体力积分的处理也是不容回避的问题。其中，基本解的奇异性导 致边界积分计算复杂和边界附近区域计算精度降低，这种现象被称之为边界层现 象：而对含体力项的问题，通常利用域单元离散来计算体力积分，这个过程降低 了边界元法的计算效率和削弱了边界元法的优势。作为改进的边界型 ( b o u n d a 巧一o n l y ) 算法，t i l ed u a l r e c i p r o c 时m e t h o d ( d r m ) 刮和t h em u l t i p l e r e c i p r o c 时 m e t l l o d ( m r m ) 【4 j 分别被n a r d i n i 和n o w a k 等人用于把域积分转换为边界积分。其 中，d r m 利用径向基函数( m d i a lb a s i s 如n c t i o n s ，r b f ) 来近似非齐次项，进而获 得对应特解；而l 、偶m 通过高阶基本解迭代来实现移除域积分的目的。n o w a l ( 和 p a m i d g e1 5 j 比较了这两种处理办法并给出了相应的评论。此外，k a t s i l 【a d e l i s 提出 了一种相似方程方法( 肌a l o ge q u a t i o nm e t l l o d ，a e m ) 6 】来间接处理那些基本解难 于得到的问题，事实上，相似方程方法通过构造和原问题等价的线性系统来获得 最接近原问题解的表达式。另外，为了解决奇异积分的复杂计算和提高边界附近 区域物理场的计算精度，孙焕纯等人提出了一种无奇异边界元法r 7 8 1 ，利用域外 的分布虚源和叠加原理来构造解变量的积分表达式。但是，他们对体力积分的处 理依然采用普通边界元法中的处理办法，同时也没有解决边界型算法对基本解的 依赖性问题。 作为一种不同于有限元法和边界元法的单元积分型数值算法，杂交1 r e m z 有 限元法方法p 1 ( i l y b r i dt r e m zf e m ，h 1 f e m ) 由于继承了传统有限元法和边界元 法的优点而日益引起研究人员的关注。 t r e m z 方法最早由t r e 舵于1 9 2 6 年首先提出，其基本思想是将预先满足齐次 控制方程的函数( 一般解) 作为势函数，令未知系数满足某种边界条件，从而使 解空间落在边界上。几十年后，杂交1 k m z 有限元模型首次被j i r o u s e k 和l e o n l l o j 提出，从那以后，t r e 舵单元理论才逐渐引起人们的重视。其基本思想是把满足 齐次控制方程的非奇异的t - c o m p l e t e 函数作为单元内的主插值函数，构造辅助的 单元边界插值函数来满足单元边界上物理变量连续要求，通过对泛函中的域积分 项进行分步积分处理使得解空间落在单元边界上，从而达到降维求解的目的。杂 交t r e m z 有限元模型在物理场连续的角度上将辅助网线位移场和单元域内精确 满足控制微分方程的位移场联系起来；单元域内的位移场可以表达为微分方程的 特解和适当截断的t r e 舵完备解系的线性组合之和，而单元边界上的独立的辅助 网线位移场可以保证单元间位移场的连续性；利用修正的变分原理可以获得标准 第一章绪论 的力一节点位移关系式( 刚度方程) 。 杂交t r e m z 有限元的理论核心主要有两个，一个是t r c f 挖完备解系，另一 个是变分泛函。t r e f 娩完备解系的数学理论主要由h e 仃l 湘等人完成【l l ，1 2 】，并被 z i e l i n s k i l l 纠命名为t - 完备解系来纪念t r e m z 非奇异解的创立者t r e 妇眩；而变分泛 函在建立单元刚度方程中起着至关重要的作用。j 砷u s e k 【1 4 】假定在单元交接面上 位移连续或面力平衡，提出了一种混合变分泛函；z h a i l g 等人【1 5 ，1 6 】从 h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理出发建立了适合于分析夹杂问题的杂交泛函；秦庆华 【9 】提出了基于杂交t r e 舵位移模型的修正变分原理，等等。 目前，t r e 勉有限元法己被成功的用于求解势问题、平面弹性问题、线性和 非线性板弯曲问题、瞬态热传输问题、弹塑性问题、动力学板振动问题等等【9 】； 在研究过程中还发现，特殊构造的试函数在处理几何或载荷奇异性和局部效应 ( 如孔洞、尖角、裂纹、夹杂等) 问题时特别有效【9 1 。此外，t r e m z 有限元方法 还被用于求解电磁场问题【1 7 】和电容计算问题【1 8 】。 上述方法均属于单元积分型计算方法，共同的特点是需要对研究域或边界进 行单元网格划分。尽管基于单元离散的数值方法有很多局限性，但是对大部分问 题而言，基于单元离散的数值方法仍然可以获得稳定的、满足精度要求的计算结 果。更为重要的是，经过几十年的发展，基于单元离散的数值方法有完备的理论 基础、模块化的实现过程和大量的成功使用范例，因此，这类方法依然被许多研 究人员用来计算和分析工程实际问题。 1 1 2 无网格算法的发展现状 在实际计算过程中，网格的生成非常耗时，并且对金属成型、高速撞击、裂 纹动态扩展、流固耦合、局部化和奇异性等涉及特大变形的问题，网格可能会产 生严重的扭曲和不连续，不仅需要网格重构，而且可能导致单元定义失效，影响 计算精度。鉴于这些问题，近十年来，很多研究人员对无网格方法进行了大量细 致的研究【7 ，1 9 。3 s 】。顾名思义，无网格法采用基于互不相关的离散点的近似插值， 不需要对研究域或边界进行单元网格划分或重构，可以彻底消除单元自锁、重构、 失效等问题，不仅可以保证计算精度，而且简化了数据准备和后处理，降低了计 算难度，具有很重要的研究价值和应用前景。 目前，根据点离散特征，郎研究域点离散还是域边界点离散，无网格方法大 致可以分为两大类别：域型无网格方法和边界型无网格方法。 域型无网格方法采用在研究域内分布离散点，分别利用移动最小二乘近似 ( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 、s h e p a r d 函数插值、单位分解近似、重构核函数近似、 天津大学博士学位论文 ( 局部) 径向基函数插值等方法构造局部近似形函数，然后利用( 局部) g a l e r k i n 积分方程获得最终的离散方程组。代表性的方法主要有漫射元法俩髓s ee l e m e n t m e t i l o d ，d e m ) 凶、无单元g a l e r k i n 法( e l e m e n t f b e eg a l e r k i nm e m o d ，e f g m ) 【2 9 1 、重 构核质点法( 代i p r o d u c i n gk e m e lp a n i c l em e t i l o d ，o m ) 【3 0 】、h p 云法【3 1 】、单位分解 有限元法( p a r t i t i o no f u n 毋f i n i t ee l e m e n tm e t l o d s ，p u f e m ) 吲，无网格局部 p e 讯- g a l e r k j n 法( m e s h l e s s1 0 c a lp e 缸- o v g a l e r k i i lm e t l l o d ，m l p g ) 叫j 、局部边界积 分方程法( 1 0 c a l b o u n d a 巧硫e g r a le q u a t i o nm e t h o d ，l b i e ) 2 0 1 、点插值法( p o i n t i n t e 巾o l a t i o nm e t l l o d ，p i m ) 口1 】等。这类方法计算精度和稳定性较好，但是涉及积分 计算，计算量大，有些还需要背景积分网格。此外，还有一些无需数值积分的域 内配点方法，如光滑质点流体动力学( s m o o t h e dp a n i c l eh y d r o d y n 锄i c s ，s p h ) 法 1 2 7 j 、有限点法( f i n i t ep o h nm e t h o d ，f p m ) 3 3 】、无网格配点法0 0 i n tc o l l o c a t i o nm e t l l o d ， p c m ) 【3 4 1 、h p 无网格云团法( h p m e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ) 【3 5 1 、k a i l s a 配点方法【2 4 】、 h e n i l i t e 对称配点方、法【3 6 1 、最小二乘配点无网格法【轫，g a l e 池最小二乘配点无网 格法p 剐等。由于不需要数值积分，所以配点方法的计算效率比积分型方法高，但 是稳定性稍差。 这些无网格法之间的区别主要在于所采用的近似形函数( 如m l s 、r b f 等) 和微分方程的等效形式( 如g a l e r k i n 方程、p e 仃1 0 g a l e r k i i l 方程、配点) 。建立近 似形函数时不借助于网格，基于函数逼近近似而非插值是域型无网格法与有限元 法的主要区别。这也导致大部分域型无网格法的近似形函数不具有插值特性( 万 函数性质) ，难于采用和有限元法类似的过程处理本质边界条件。 由于本文研究的无网格方法可以看作是一种边界型无网格方法，所以，对域 型无网格法就不再详细说明，而着重介绍边界型无网格方法的发展现状。 相对于域型无网格方法，边界型无网格方法的种类较少。类似于边界元法和 t r e 蜀r 乙法，边界型无网格方法通常借助于问题的基本解或完备的t r e f 3 眩解系来保 证域内控制方程的精确满足，从而把求解重点转移到边界上。基于数值积分的边 界型无网格方法主要有边界节点法( b o u n d a r yn o d em e l h o d ，b 旧【3 州和改进的杂 交边界点法( h y b 瑚b o u n d a 巧n o d em e t l l o d ，耶n m ) 一0 1 。其中边界节点法从边界积 分方程的正则形式出发，利用m l s 方案构造近似函数，从而获得关于边界虚拟节 点变量的线性方程组。但是这个方法需要借助于背景网格来完成积分计算，因而 不能称之为纯粹的无网格方法。针对这个问题，张见明等j 基于杂交边界元和局 部边界积分方程的思想，将修正的变分原理和m l s 近似方案相结合，提出了杂交 边界点法。这个方法不需要背景积分网格，只对边界进行配点离散，是一种纯无 网格方法。此外，还有一些无需数值积分的边界配点型无网格算法，如基于基本 第一章绪论 解线性叠加的基本解法( m e t l l o do fm n d 锄e n t a ls o l u t i o n s ，m f s ) 瞄3 1 、基于高阶非奇 异的齐次通解和多重互易迭代的边界粒子法( b o 岫d a r yp a r t i c l em e n l o d ，b p m ) 瞄， 冽、以及基于非奇异t c o m p l e t c 完备解系线性叠加的t r c m z 边界配点法( m f 勉 b o 吼d a r yc o l l o c a t i o nm e t h o d ，t b c m ) 【4 1 ，4 2 】等。其中，因为简单的理论基础和相对 完整的基本解系列，基本解方法用的最为广泛。基本解法有时也常被称为虚边界 配点法( v i r n j a lb o l l i l d a r yc o l l o c a t i o nm e t l l o d ，v b c m ) 【7 j 、模拟电荷法( c h a r g e s i m u l a t i o nm e t h o d ，c s m ) 【4 3 】和f 仉m z 配点法。 为了更加清楚的说明各种无网格法，我们在图1 1 中给出了无网格方法的分类 框图。 无网格方法 域型无网格方法 。 积分型 t 浸射无法蹦 无单元g a k 曲 法( e f g m ) 霞构核质点法承 k p m l h d 云法 单位分解有碾 元法f p u f e m ) 局部边界积分 方挫法( l b i e ) 无网格局部p c t r o v 妇l e r k i n 法( m l p ( 订 点插值法( p l m ) 配点型 ( 无数值秘分) 光滑质点流体动 力学( s p h ) 有限点法( f p m ) 无网格配点法( p c m l h d 无网格云埘 法 k a n s a 方法 h c m 血c 对称配点 方法 撼小二乘配点无 网格法l s c ) g a l c 曲境小二乘 配点无网格法 边界型无网格方 法 积分型 ( 镯耍数值积分) o 边界节点法侣 n m l o 杂交边界点弦( h b n ) 图1 1 无网格算法分类图 配点型 无数值积分) o基本解法m f s j o 边界粒子法凹 m 1 ot 肥m z 配点法 天津大学博士学位论文 1 2 选题的意义 本文的工作主要集中在径向基函数的构造和光滑化、边界配点型基本解方法 和杂交t r e f 娩有限元法方面，下面分别就这些领域存在的问题和本文提出的解 决办法分别给予简要介绍。 1 2 1 基本解方法存在的局限性和解决办法 基本解方法是利用基本解的线性组合来构造问题的解答。其基本思想是在研 究域的外部分布一些假想源点，并在这些点处作用未知的虚源( 如集中力、集中 点势等) ，根据基本解的定义，以未知虚源为系数的基本解的线性组合完全解析 满足控制微分方程，并且由于虚源点在研究域的外部，基本解的线性组合可以完 全消除基本解奇异性的影响；最后通过在边界上以配点或最小二乘的形式满足给 定的边界条件可以确定所有的未知系数。 基本解方法的核心思想最早由k u p r a d z e 【4 5 】在1 9 6 4 年提出，经过几十年的发 展，这个方法已经成为一种标准的算法并被成功地用于势问题【2 3 ，妊5 2 1 、弹性问题 【5 5 8 1 、电学问题【5 蚓、板弯曲问题 4 3 ，6 1 1 、形状识别【6 2 ，删等问题的分析和计算。 l a z 础i l i 等【叫研究了虚源点位置和数目对基本解方法计算精度的影响，类似 的讨论也出现在文献【6 5 】中。总体上。基本解方法具有如下优点： 由于采用域外分布源点的方式，所以基本上消除了基本解使用过程中奇 异性的影响，简化了计算过程 夺一般只涉及边界离散 和边界元法相比，不需要额外的方程来计算域内物理量 夺收敛速度快【6 5 ，删 令计算精度高 理论基础简单，易于程序实现 但是基本解方法也有一些应用局限性： 难于处理非齐次问题。由于采用的是基本解插值，而基本解是定义在齐 次微分算子作用下的解答，所以基本解方法易于计算齐次微分方程问题。 对非齐次微分方程问题，通常的处理办法是采用域积分来计算体力的影 响，这样就减弱了基本解方法的优势，增加了计算难度。 完全依赖于问题的基本解。目前有很多成熟的基本解推导方法和相对完 善的基本解系列，但是对有些问题，比如非线性问题、非匀质材料问题 等，基本解很难得到或形式过于复杂，不利于计算使用。 第一章绪论 域外虚源点的位置不易确定。如果把域外虚源点的位置也作为待定未知 量的话，那么利用边界条件的最小残差的平方可以建立关于未知虚源和 其位置的非线性泛函，求解这个非线性方程组可以获得所有未知量。这 个算法最早由m a t l l o n 和j o l l i l s t o n 提出1 6 ，有时也被称为移动的基本解 方法。尽管可以利用一些非线性最小二乘优化软件如m i m a c k 等【6 8 】来 完成求解过程，但是由于非线性方程组求解过程过于复杂，所以很少在 实际计算中使用。比较实用的方法是把虚源点的位置提前固定，从而简 化计算，但是虚源点的位置会影响计算精度和系数阵的性态。 夺求解方程组是非对称的满阵。对大数据量的计算，线性方程组的性态可 能变坏( i 1 1 p o s e d ) ，导致计算结果的不稳定。 针对上述问题，许多研究人员和本文作者对基本解方法做出了一些改进。对 非齐次偏微分方程求解问题，径向基函数的出现使得简单地处理非齐次体力项、 内部温度场等成为可能。一般的处理过程是把问题的解答分为齐次解答和非齐次 解答( 特解) 两部分，基本解方法被用来构造齐次解答，而全局紧支( g l o b a l l y s u p p o n e d ) 径向基函数插值被用来构造特解部分，这个过程和n a r d i n i 和b r e b b i a 等【3 j 在边界元法中的处理办法类似。这种基本解方法和径向基函数插值相结合的 方法通常被称为r b f m f s 或d r m m f s l 8 9 7 3 】。l i 等在文献【7 给出了d r m m f s 和k a i l s a 方法的数值比较。此外，基本解方法和局部紧支( c o m p a c t l y p p o r t e d ) 径向基函数的联合使用也被用于p o i s s o n 问题和h e l m h o l t z 哪p e 问题的计算【7 5 ，7 引。 对第二个问题，借助于希腊学者k a t s i l ( a d e l i s 【6 j 在边界元计算中采用的相似方程法 的思想，可以用最接近原问题的微分算子作用在待定的场分布上产生和原问题等 价的线性偏微分方程，而这个方程的基本解容易得到，从而为d i t m m f s 的使用 创造便利条件。本文结合a e m 和d i t m m f s 来计算基本解难于获得的问题，减 弱了原基本解法对基本解的依赖性，同时也使特解的获得变得相对简单。关于第 三个问题，迄今为止，没有严格的数学理论来确定虚源点的位置，目前的大部分 工作都建立在数值模拟的基础之上，我们在第3 章里结合计算实例将会详细说明 这个问题。关于最后的一个问题，其核心是病态方程组的求解问题。目前有很多 种算法可以被用来获得相对稳定的解答，比如截断的奇异值分解法( s i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o n ，s v d ) 【5 0 ，7 7 】、正则化算法( r e g u l a r 妇i o n ) f 7 8 7 9 1 、多极快速算法( f a s t m u l t i p o l em e t l l o d ，f m m ) 8 0 引】等，在本文中，截断的奇异值分解法将被用于病态 线性方程组求解。 天津大学博士学位论文 1 2 2 杂交t r e f 勉有限元法存在的不足和解决办法 杂交t r e f 舷有限元方法由于继承了传统有限元法和边界元法的优点，可以有 效的处理势场问题、弹性问题、板弯曲问题、以及孔洞、裂纹、夹杂等特殊问题。 它的核心插值基函数是满足齐次控制微分方程的非奇异t r e m z 完备解系，因此， 在处理非齐次问题时普通的t r e f f 【z 有限元法可能面临一些计算困难，不可避免 地要遇到域积分的计算，降低了杂交t r e 妇眨有限元方法的计算效率和优势；在 q i n 的专著f 9 j 中，基于基本解的域积分被用来计算特解部分。另外，对t r e m z 完 备解系的依赖性也限制了杂交t r e f 勉有限元方法的进一步广泛使用。有很多复 杂问题的t r e f 舵完备解系要么形式过于复杂，不适合使用，要么很难得到。此 时普通的t r c 自f i z 有限元法就很难用于这类问题的求解。 本文采用普通t r e f 勉有限元法、径向基函数、相似方程方法的结合来求解非 齐次问题和非线性问题。对一般的非齐次问题，径向基函数插值被用于构造出非 齐次右端项对应的特解部分，剩余的齐次解答的计算则可以用普通杂交t r e f 拖 有限元法实现。而对于t r e 妇眩完备解系难于得到的非线性问题，相似方程方法 被首先用来转换原控制微分方程为等效的线性微分方程，进而径向基函数插值和 普通的杂交t r e 舵有限元法分别被用来构造对应的特解和齐次解答，在径向基 函数插值点处满足原控制微分方程可以计算出全部未知插值系数。 1 2 3 径向基函数 从上面的介绍我们可以看到，对基本解方法和杂交t r e 妇f t z 有限元法的改进都 离不开径向基函数的使用。 径向基函数由于仅和两点之间的距离有关而具有形式简单，无方向性等优 点，数学界对其进行了大量的研究，己被成功地应用于多变量插值。目前，径向 基函数大致可以分为全局径向基函数( g l o b a l l ys u p p o r t e dr a d i a lb a s i sf i l n c t i o n ， g s r b f ) 和紧支径向基函数( c o m p a c t l ys u p p 矾e dr a d i a lb a s i sf i l n c t i o n ，c s - r b f ) 两 种。全局径向基函数一般定义在全求解域，而紧支径向基函数仅仅在一个小定义 域内有效，在此区域外部则值为零。f r a n k e 【s 2 】研究了2 9 种基函数在离散数据插 值时的性能，发现h a n d y 提出的m q 函数和d u c h o n 提出的t p s 函数插值精度 较好，这两类插值函数都是径向基函数；g 0 1 b e 唱等【8 3 】给出了在d i 乇m 方法中全 局径向基函数使用方面的评价；z h a n g 等烨j 贝u 研究了使用全局和紧支径向基函数 时直接配点法和h e m i t e 配点方法的差异，并通过数值结果证明了h e 眦i t e 配点 方法在提高场导数项计算精度方面的效果。目前，大部分的工作主要集中在径向 基函数的使用方面，而较少涉及径向基函数的构造。事实上，目前广泛使用的全 第一章绪论 局径向基函数如m q 、t p s 等都有自己的物理意义，它们一般可以看作是基本解 消奇异性后的结果：而紧支径向基函数则多的是从数学角度定义。 在本文中，全局径向基函数被大量地使用，因此，为防止混淆，后文用到的 径向基函数实际指的是全局径向基函数。 本文根据径向基函数的基本定义和特点，基于所研究的问题的特征，构造出 一系列的径向基函数，并利用经典的k 锄s a 方法测试了它们的计算精度和稳定 性。此外，针对不同的光滑化方案，也即消奇异性方案，本文也构造出了一些径 向基函数，并从数值计算的角度比较了这两种不同的光滑化方案。 1 3 本文的主要工作和结构 本文针对基本解方法和普通杂交1 r e ：f j 眨有限元法存在的不足和局限性，结合 相似方程方法和