（应用数学专业论文）几类非线性算子方程解的存在性定量.pdf

摘要 摘要 本文主要讨论了几类非线性算子方程解的存在性问题，得到了这些非 线性算子方程在一定条件下有解的结论。另外，本文还运用算子不动点定 理，讨论了几类二 f 线性微分方程解的存在性问题。全文共分四章： 第1 章介绍了本文的研究工作以及与之相关的背景知识和发展概况， 并介绍了本文所需的基本概念及其性质。 第2 章通过研究弱内向1 集压缩映象的不动点指数，获得了这类映 像许多新的不动点定理。此外，我们所获得的关于算子方程a x = 艇解的 存在性定理，使许多著名的不动点定理，诸如l e r a y _ s c h a u d e r 不动点定理， r o t h e 的两个不动点定理，k _ r a s n o s e l s k i i 不动点定理，a l t m a n 不动点定理， p e t r y s h y n 不动点定理等被推广到了弱内向算子的情形。 第3 章在算予l 和n 都不必连续的情况下，利用锥理论和半序方法， 在完备度量空间中和b a n a c h 空间中分别讨论了混合单调算子方程 l x = n ( x ，y ) 耦合拟解与解的存在性问题，构造出了新的非对称迭代序列研 究了其逼近情况，得到了一些新的定理。最后，我们将所获得的结果应用 于对h a m m e r s t a i n 非线性积分方程解的存在性问题的研究。 第4 章在概率度量空间中引入半序，在不要求算子连续的情况下， 利用半序方法研究了概率度量空间中一个增算子方程组解的存在性。并 在适当的条件下讨论了解的迭代收敛性，从而推广了一些重要的结论。 关键词：弱内向1 集压缩映象；不动点指数；锥；混合单调算子； b a n a c h 空间；耦合拟解；概率度量空间：增算子 i i a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si s t od i s c u s sp r o b l e m so fs o l u t i o n sf o rs o m e n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s a n dw e o b t a i nt h ec o n c l u s i o nt h a ts u c he q u a t i o n u n d e rc e n a i nc o n d i t i o n sw i l lh a v es o l u t i o n s m o r e o v e r ，t h i s t h e s i s1 sa l s ot o s t u d vm ee x i s t e n c eo ft h e s o l u t i o n sf o rs o m ec l a s s e sn o n l i n e a rd l f f e r e n t l a i e q u a t i o n sb yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mf o rn o n l i n e a ro p e r a t o r s t h i s t h e s l s i n c l u d e sf o u rc h a p t e r s ： mc h a p t e ro n e ，ab r i e fi n t r o d u c t i o n a n da no v e r v i e wo f b a c k 伊o u n d m a t e r i a l s 锄dr e c e n td e v e l o p m e n t so fm yr e s e a r c h a r eg i v e l l b e s i d e s , w e i n t r o d u c e ds o m ee l 锄e n t 2 u 了c o n c e p t sa n d b a s i cr e s u l t sw h i c hw i l lb eu s e d1 n t h i st h e s i s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d i e dt h ef i x e dp o i n ti n d e x o fw e a k i y1 n w a r dl s e t c o n t r a c t i o nm a p p i n g s ，a n do b t a i n e ds o m en e wf i x e dp o i n t t h e o r e m so ft h e c o m p l e t e l yc o n t i n u o u sa n dw e a k l y i n w a r dm a p p i n g sa n de x i s t e n c et h e o r e m so i s o l u t i o n sf o rm ee q u a t i o n s 出= p x ，w h i c he x t e n d m a n yf a r o o l l st h e o r e m ss u c h a sl e r a y - s c h a u d e r st h e o r e m ，r o t h e st w o t h e o r e m s ，k r a s n o s e l s k i l st h e o r e m ， a l t m a n ，st h e o r e m ，p e t r y s h y n st h e o r e m ，e t c ，t ot h e c a s eo fw e a k l ym w a r d 1 1 1c h a p t e rt h r e e ，t h et h e o r e mo fc o n ea n d t h et e c h n i q u e so fp a r t l a lo r d 盯 t h e o r ya r eu s e dt 0d i s c u s st h e e x i s t e n c eo fc o u p l e d 掣【a s l 。s o l u t l o n s a n d s o l u t i o n sf o ram i x e dm o n o t o n eo p e r a t o re q u a t i o n 以2 o ，y ) l nc o m p l e t e m e t r i cs p a c ea n db a n a c hs p a c e ，w h e r en e i t h e r ln o rnn e e dt ob ec o n t l n u o u s w ea l s oc o n s t m c t e ds o m en e wn o n s y m m e t r i ci t e r a t i v es e q u e n c e s a n ds t u m e d t h e i ra p p r o x i m a t i o n ，t h e nw eg o ts o m en e wt h e o r e m s f i n a l l y ，w ea p l p l y t h e n e wr e s u l t sp r e s e n t e d i nt h i sp a p e rt oh a m m e r s t a i ni n t e g r a le q u a t l o n s i nc h a p t e rf o u r ，u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h eo p e r a t o ri s 吼- c o n t l n u o u s w e d i s c u s s e dac l a s so fg r o u p so fi n c r e a s i n go p e r a t o re q u a t i o n s i np r o b a b l l i s t l c m e t r i cs p a c e ，a n do b t a i n e dt h ee x i s t e n c e o fi t ss o l u t i o n sb yu s i n gs 锄1 0 r d e 眦g m e t h o d m o r e o v e r w ea l s op r o v e dt h ec o n v e r g e n c e o ft h ei t e r a t l v es e q u e n c e s u n d e rp r o p e fc o n d i t i o n s m e a n w h i l e ，s o m e i m p o r t a n tc o n c l u s i o n s 御e1 m p r o v e d a n dg e n e r a l i z e d k e yw o r d s ：w e a k l yi n w a r d1 s e t c o n t r a c t i o nm a p p i n g ；f i x e dp o i n t i n d e x ； c o n e ；m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r ；b a n a c h s p a c e ； p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e ；i n c r e a s i n g o p e r a t o r i i i c o u p l e dq u a s i s o l u t i o n s ； 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，：除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 瑚：缈：冲m 确 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ： 别眵 导师签名( 手写) ： 躲菱 签字日期：产，胄砷曰 签字日期：w 萨纱调_ 日 第1 章引论 第1 章引论 近些年柬，随着人们对非线性问题的广泛重视，作为处理该问题的有 力的数学一= 具，非线性泛函分析受到越来越多的关注并成为近代分析数学 的一个重要分支，它的概念与方法已经渗透到数学、物理学、工程力学、 生物学、经济学等科学技术领域，并在很多非线性问题的研究中发挥着重 要的作用。而非线性算子理论又是非线性分析的重要内容，同时在对各种 各样的数学方程，如微积分方程及数值理论的研究和探讨中人们常把问题 归结为某种算子方程加以讨论。不动点问题是迅速发展的非线性泛函分 析理论的重要组成部分，它与近代数学的许多分支有着紧密的联系，特别 是在建立各类方程解的存在唯一性问题中起着重要的作用。抽象空间中 的大量微分积分方程最终都可归结为非线性算子方程问题或不动点问题 加以研究。本章主要介绍非线性算子理论的历史背景与现状以及相关的 预备知识。 1 1 历史背景与现状 非线性泛函分析的内容可以追溯到上个世纪二、三十年代，其常用的 研究方法包括半序方法、变分方法、拓扑方法等。这些方法是非线性泛 函分析的重要组成部分。 线性方程的基本问题之一是解的存在性和唯一性，而对非线性方程人 们更关心解的存在性和多解性。研究非线性算子方程f ( x ) - - - o 或者方程 f ( x ) = p 解的存在性有各种方法，如解析方法，变分方法，单调性以及拓 扑度方法等等。鉴于很多非线性方程的解并不唯一，并且有很多实际问题 需要估计解的个数，因此多解问题也是研究非线性方程的一个重要课题。 人们自然希望建立一种与方程的多解性有关的理论，使其能够粗略地反映 出非线性方程解的个数。在这里，我们应当强调的是，由于方程解的个数 是不稳定的，即方程经小摄动之后可导致解的个数的改变，因此很难期望 有一种理论能够准确地反映出方程解的个数。与非线性方程的多解间题 有关的理论有拓扑度理论和临界点理论等，而本文的第二章是在拓扑度理 论的大方向下进行的。 第1 章引论 拓扑度理论是由b r o u w e r 在1 9 1 2 年创立的，不过他所建立的拓扑度 只是针对有限维空阳j 中的连续映射，现在人们称之为b r o u w e r 度。随着线 性泛函分析理沦体系的形成，1 9 3 4 年，l e r a y 和s c h a u d e r 将b r o u w e r 的工 作推广到b a n a c h 空f n j 中的全连续场。从而使拓扑度理论在偏微分方程等 问题的研究中发挥了重要的作用。因此，人们把全连续场的拓扑度称为 l e r a y - s c h a u d e r 度。继l e r a y 和s c h a u d e r 的工作之后，拓扑度在理论和应 用两个方面都得到了长足的发展。在理论方面，人们主要针对不同的映射 类去建立拓扑度，如：凝聚映射类，f r e d h o l m 映射类以及a p r o p e r 映射类 等，还有我们本文将要研究的弱内向映射类。在应用方面，人们应用拓扑 度理论，得到了局部分歧定理，大范围分歧定理以及各种非线性方程解的 存在性和多解性定理。现在拓扑度已经成为研究非线性问题的基本方法 之一。 经典的b a n a c h 空间中凸闭集上的不动点指数理论是众所周知的。它 是拓扑度理论的重要组成部分，并在讨论微分方程和积分方程等间题的非 负解的讨论中起重要的作用，例如可见a m a n n 1 。但这种不动点指数理 论有一个较为严格的要求，即要求( 全连续) 映射必须映凸集入凸集( 锥 映射) ，这种要求使它在具体应用时受到比较大的限制。弱内向是一种更 广泛的映射它不满足以上不动点指数的条件，它自然出现在凸集上的常微 分方程理论中。因此对它的不动点的指数的研究就具有重要的意义。在 这方面，国内外己做了许多工作。h u ，s u n 在 2 】、 3 ，利用通常的不动点 指数的定义方法定义了一类弱内向映射的不动点指数，但要求锥具有某种 收缩性质。w e b b 、l a n 在 4 】中引进一种比弱内向映射更广泛的一类映射， 并定义它的不动点指数，但是对凸集加了一些限制。h a r t 在 5 】中利用 b a n a c h 空间微分方程的理论给出了满足局部l i p 的，全连续的弱内向映射 的不动点指数，对锥或凸集没有任何限制。进一步，在【6 】中又证明了利用 该方法定义的在自反空间上的锥上的不动点指数与通常的不动点指数一 致，这样在某些时候可以更有利于不动点指数的计算。在 7 】中进一步给 出了满足局部l i p 的，严格集压缩映射的拓扑度，并且证明对全连续映射 与经典的l e r a y - s c h a u d e r 拓扑度一致，从而可以通过研究微分方程解的性 质来计算l e r a y - s c h a u d e r 拓扑度，为拓扑度的计算提供了新思路。 2 第1 带t j i 论 本文的第二章通过研究弱内向1 集压缩映象的不动点指数，获得了这 类映像许多新的小动点定理。此外，我们所获得的关于算子方程a x = 肛 解的存在性定理，把许多著名的不动点定理推广到了弱内向算子的情形。 众所周之，常用的研究非线性问题的方法( 例如拓扑度方法，变分方 法等) 大多要求问题本身具有连续性和紧性。但是，目前在理论上和应用 中出现的大量非线性问题是缺乏紧性或连续性的。例如，无穷维空间中的 微分方程和积分方程，无界区域上的各种方程大多不具有紧性，而与脉 冲、突变、断裂等问题相联系的方程大多不具有连续性。自八十年代初 以来，郭大钧和他的学生孙经先，杜一宏等利用半序方法来研究缺乏紧性 或缺乏连续性条件的非线性问题，并获得一系列新的结果。主要有：( 一) 在完全不考虑紧性的条件下，仅使用有关序的某种不等式，获得了增算子， 减算子以及混合单调算子的不动点的存在唯一性以及迭代序列的收敛性， 并应用于无界区域上的非线性积分方程。( 二) 在完全不考虑连续性的条 件下，仅使用弱紧性条件，获得了增算子的若干新的不动点定理，并应用 于右端有间断项的非线性微分方程。( 三) 将半序方法系统地应用于 b a n a c h 空间非线性积分一微分方程( 包括脉冲型方程) 。近十几年来张志 涛、许绍元、李福义等人都在研究带有凹凸性的单调算子( 主要是减算子) 的不动点的存在唯一性和迭代序列收敛问题，并且获得了不少很好的结 果。 1 9 8 7 年，郭大钧和l a k s h m i k a n t h a m v 提出混合单调算子的概念。近 几年来国内外有关此方面的文章频频发表，由于它对非线性泛函分析的理 论研究有重要意义，而且对核物理研究及传染病模型研究等具体问题有广 泛应用，因此研究势头至今仍在发展。目前研究的比较多的带有凹凸性的 混合单调算子，其次还有人在研究序对称或非对称压缩的混合单调算子。 设e 为由锥尸引导的半序b a n a c h 空间，dce ，算子彳：伙d o e 称为混 合单调算子，如果都有a ( x ，y ) 关于工不减关于y 不增。关于算子的凹凸性 常见的有：一般的凹凸，口一凹凸及u 。一凹凸。最初郭大钧他们讨论的混 合单调算子4 ( x ，y ) 关于xy 具有同一种类型的凹凸性。随后在1 9 9 6 年， 张志涛得到了具有不同种类型的凹凸性混合单调算子a ( x ，y ) ，即：例如对 第l 章引论 固定的y ，彳( ，y ) 是凹的，对固定的x ，a ( x ，) 是( - a ) 一凸的，或者是其它的 匹配关系，同样获得存在唯一不动点及迭代序列收敛的结果。2 0 0 3 年许 绍元在郭大钧与张志涛的结果的基础上通过引入矽凹( 一缈) 凸算子获得了 解决定义在序区间上的；带有删l 凸性的混合单调算子的不动点问题的一般 方法。 本文的第三、第四章是在半序方法的大方向下进行的：第三章在算子 l 和n 都不必连续的情况下，利用锥理论和半序方法，在完备度量空间中 和b a n a c h 空间中分别讨论了混合单调算子方程l x = n ( x ，j ，) 耦合拟解与解 的存在性问题。而第四章则是在概率度量空间中引入半序，在不要求算子 连续的情况下，利用半序方法研究了概率度量空间中一个增算子方程组解 的存在性。并在适当的条件下讨论了解的迭代收敛性，从而推广了一些重 要的结论。 1 2 预备知识 全文处处设e ，巨，巨均为b a n a c h 空间，dc 巨，映射a ：d - - - - e 2 定义1 2 1 8 1 若a 将d 中任何有界集s 映成易中的列紧集a ( s ) ，( 即 a ( s ) 是相对紧集，亦即它的闭包a ( s ) 是易中的紧集) ，则称a 是映d 入易 的紧映射。 定义1 2 1 1 8 1 若映射a ：d e 是连续的，而且又是紧的，则称a 是 映d 入e 的全连续映射。 定义1 2 3 1 8 i 设e 为实b a n a c h 空间，s 是e 中的有界集，令 口( j ) = i n f 万 o ：s 可表示为有限个集的并：s = u s ，使每个s i 的直径 f = l d i a m ( s i ) 万) ，( 显然0 口( s ) 0 0 ) 则称a ( s ) 为s 的k u r a t o w s k i 非紧性测 度，简称非紧性测度。 定理1 2 1 8 1 非紧性测度具有下列性质( s ，t 表示e 中有界集，a 为实 数) ： ( i ) 口( s ) = 0 s 为相对紧致； ( i i ) sct a ( s ) a ( t ) ； 4 第l 章r ；i 论 ( i i i ) 口( s ) = 口( s ) ； ( i v ) a ( s w t ) = m a x a ( s ) ，口( 丁) ； ( v ) 口( 口s ) = l a l a ( s ) ，其中a s - - x ：x = a z ，z s ； ( v i ) a ( s + t ) 口( s ) + a ( 厂) ，其中s + t = x ：x = y + z ，y s ，z t ) ； ( v i i ) 口( 盈) = 口( s ) ； ( v i i i ) l 口( s ) - a ( t ) i 2 d h ( s ，r ) ，其中以( s ，丁) 表示s 和t 之间的 h a u s d o r f f 距离，即： r、 d h ( s ，r ) = m a x ts u p d ( x ，t ) , s u pd ( x ，s ) ，这里d ( ，) 表示点到集合的距离。 lxesxe7j 定义1 2 4 1 8 i 设dce ，e 为实b a n a c h 空问，a ：d 专e 是一个算子。 ( 1 ) 如果a 是连续、有界的，并且存在常数尼0 ，使对d 中任何有 界集s ，有口( 爿( s ) ) k a ( s ) ，这里a 表示e 中的非紧性测度。则称a 是d 上的k 一集压缩映像；特别，k o ，使得当 0 z y 时，恒有n i 刎y ( 此性质称为范数关于尸是半单调的，满足此 式的最小的称为p 的正规常数) 。 给定e 中一个锥p 后则可在e 中的元素间引入半序：如果 y x p ，贝0 记为x y ，其中工，y e 定义1 2 8 1 8 i 算子彳：w c e - - - - e 称为减( 增) 算子，如果任意x ，y 形且 z y 都有4 y a x ( a y a x ) 定义1 2 9 1 9 i 设dce ，于是d dc exe 设算子a ：d x d e ( i ) 如果a ( x ，y ) 关于x 增关于y 减( 即 _ ，恐m ，y 2 d ；西x 2 ，乃儿j 么( 五，朋) - 4 ( x 2 ，兄) ) ，则称彳是混合单调 的： ( i i ) 如果4 ( x ，y ) d d 满足x = 彳( x ，y + ) ，j ，+ = 彳( x + ，y + ) ，则称 ( x ，夕) 是彳的一个藕合不动点； ( i i i ) 如果x d 满足石= a ( x ，x ) ，则称x 是a 的一个不动点。 6 第2 章弱内向1 一集压缩算子的不动，i i 问题 第2 章弱内向1 - 集压缩算子的不动点问题 f i 从h a l p e m 和b e r g m a n 在 1 0 】中提出弱内向映射的概念后，弱内象 映射的研究引起了许多人们广泛的注意。人们发现弱内向映射在许多数 学领域，如b a n a c h 空间中常微分方程理论，现代变分理论，不动点理论和 最优化理论等中，都有广泛的应用。由于弱内向映射的重要性，人们试图 建立它的不动点指数理论。从而得到了一系列不动点定理。 本文通过研究研究弱内向1 集压缩映象的不动点指数，获得了这类映 像许多新的不动点定理。此外，我们所获得的关于算子方程a x = t x 解的 存在性定理，使许多著名的不动点定理，诸如l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理， r o t h e 的两个不动点定理，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，a l t m a n 不动点定理， p e t r y s h y n 不动点定理等被推广到了弱内向算子的情形。 2 1 弱内向卜集压缩算子的不动点指数 a m m a n 在1 9 7 6 年【1 】中利用收缩核的性质引进了全连续映射的不动 点指数，并给出了不动点指数的性质。 定理2 1 1 1 1 i 令x 为b a n a c h 空间e 中的收缩核，对于x 的每个有界 ( 相对) 丌集ucx ，全连续映射a ：u x 在o u 上无不动点( 即a ( x ) x ) ， 则存在一个整数i ( a ，u ，x ) 满足下列条件： ( 1 ) ( 正规性) 常值映射a ：u 专u ，则f ( 么，u ，x ) = l ； ( 2 ) ( 可加性) u i ，为u 中不相交的开子集，且a 在u ( uu u ：) 上无 不动点，则 f ( 彳，u ，x ) = f ( 彳，u l ，x ) + f ( 彳，u 2 ，x ) ，这里i ( a ，巩，x ) = f ( 彳i 以，x ) ，k = 1 , 2 ； ( 3 ) ( 同伦不变性) 对每个紧致区间acr ，全连续映射h ：人x ujx 且 满足j j l ( 名，x ) x ，对( 兄，力2 xo u ，则f ( 五( 允，) ，u ，x ) 为良定义，且与兄人 无关； ( 4 ) ( 保持性) 若y 为 x的收缩核， 彳( 【，) cy ，则 i ( a ，u ，x ) = f ( 爿，己，ny ，】，) 这里i ( 彳，uny ，y ) = i ( aiu ny ，uny ，功； ( 5 ) ( 切除性) 若v 是开集( 关于x ) ，vcu 且a 在u 、y 上没有不动点，则 7 第2 章弱内向1 一集压缩算子的不动点问题 i 【a ，u ，彳) = z ( a ，v ，义) ； ( 6 ) ( 町解。h i ) 若i ( a ，u ，x ) 0 ，则a 在u 中至少有一个不动点。 则 f ( 彳，u ，x ) ix 为e 的收缩核，u 为x 的开集，a ：u x 为全连续映 射且在o u h 无不动点) 是由性质( 1 3 ) 唯一决定的，i ( a ，u ，x ) 称作a 在 u h 关于x 的不动点指数。 基本性质( 1 3 ) 作为公理展开整个不动点指数理论。 注2 1 1 为保证该定义为良定义的，必要条件为：a ：可专x 文 8 进一步将不动点指数推广到严格集压缩映射和凝聚映射，并 给出了在锥上的全连续映射的不动点指数，得到了锥上的不动点定理及其 多解定理。 e 为实b a n a c h 空间，非空凸集d c e ，x d ： i 鲫) = 扛+ f 吖) ：t o ，y d ) 被称为d 在x 处的内向集，且称瓦为d 在 x 处的弱内向集。 定义2 1 1 1 1 1 称算子a ：d ( 彳) cd 专e 为关于d 内向( 弱内向) 的，如果 v x d ( a ) ，有a x 厶( ，) ( 血厶( ，) ) 引理2 1 1 1 2 1 关于弱内向集瓦，我们有如下性质： ( 1 ) 对坛d ，i o ( 。) 是一个包含d 的闭凸集； ( 2 ) 若d 是e 中的楔或锥，则对比d ，l ( ，) 是e 中的楔； ( 3 ) 若d 是一个星形闭凸集，则i o ( ，) 也是星形集。 定义2 1 2 1 4 1 设e 为实b a n a c h 空间，闭凸集dce ，算子a ：d 寸e ( 1 ) 若对比劬，当x a x 时，有i x - a 4 l d ( a x ，d ) ，则称a 在d 上是广义内向算子： ( 2 ) 若j 口 o ，使对对v x 0 1 ) ，有慷一血l l ( 1 + a ) d ( a x ，d ) ，则称a 在d 上是口一致广义内向算子。 此处d ( y ，d ) = i n f y - ul ：u d ) 显然可见，a 是内向的j a 是弱内向的j a 是广义内向的a 是口 一致广义内向的，反之则不成立。 第2 章弱内向1 一集压缩算子的不动点问题 定义2 1 3 1 4o 算子，：e 专d 被称为度量投影，如果r 满足对v x e ， 有忙- - r x l = d ( x ，d ) 定义2 1 40 4 d 被称为一个m ，集( 1 ， o o ) ，如果存在连续的度量投 影厂：e 寸d ，使得0 4 r ) = i n f k ：r 是k 集压缩 = ，；若r 只是连续的，则称 d 足肼。集。 引理2 1 2 1 1 2o 设k 是b a n a c h 空间e 中的m 闭凸集，d 是e 中的有 界丌集，d n k = q o 若算孑a ：q 专e 是口一致广义内向的k 一集压缩 算子( k 1 ) ，且对v x 勰，x a x 则存在不动点指数( a ，q ) 具有以下 性质： ( 1 ) ( f 规性) 若u q ，则屯( “，q ) = 1 ，此处u ( x ) = “对v x a q 成立； ( 2 ) ( 可加性) q ，q ：为q 中不相交的开子集，且a 在q ( q ，u q ：) 上无 不动，则i k ( a ，q ) = i k ( a ，q ，) + 如( 么，q ：) ， j 吝罩( 彳，q 。) = t ( 彳lq ，q 。) ，l = 1 , 2 ； ( 3 ) ( 同伦不变性) 设连续映射h ： 0 , 1 x 【2 哼e 满足对 v t 【o ，1 ，h ( t ，) ：a q 寸e 是o t 一致广义内向算子，并且对任意满足 a ( d ) 0 的dcq ，有a ( h 0 ，1 x d ) ( 丢一1 ) 。成立。 证明：不妨设二= 石，显然x 1 设f ( x ) = x 。- 2 - ( x - d 。，彳 0 , 1 ， f 0 口1 贝u 厂( j ) = o c x “一一a ( x 一1 ) “卅 0 ，因此f ( x ) = x 口- a - ( x - d “在 ( + 1 ，o d ) 上是严格单调递增函数。由此可知，f ( x ) 厂( 1 ) ，而 f ( 1 ) = 1 - 2 0 ，贝uf ( x ) = x 。- ) - ( x - 1 ) 口 0 即勘c 扣碱立。 定义2 1 7 1 1 2 i 设k 是b a n a c h 空间e 中的m ，一闭凸集，d 是e 中的有 界开集，d nk ：q o 若算子a ：五专e 是弱内向的1 集压缩算子，且 对vz of f - ，x 血则存在万 o ，x a x l _ 8 设4 = k a ，此 处尼( 1 一言，1 ) ，且m = s u p ，。五i l 出忡j 则我们定义a 在q 上关于k 的不 动点指数如下：i 膏( a ，q ) = k ( 4 ，q ) 定理2 1 2 1 1 2 i 设k 是b a n a c h 空间e 中的m 1 一闭凸集，d 是e 中的有 界开集，d nk ：q o 若算子a ：五专e 是弱内向的1 集压缩算子，且 对vx a 万，x a x ，那么不动点指数( 4 ，q ) 具有以下性质： ( 1 ) ( 可解性) 若( 彳，q ) 0 ，则a 在q 中至少有一个不动点； ( 2 ) ( 正规螨破m 对坛两成蚴师= 悟：主； ( 3 ) ( 可加性) q 。，q ：为q 中不相交的开子集，且a 在q ( q ，u q ：) 上 无不动点，则有屯( 4 ，哟= f t ( 4 ，q 。) + ( 彳，q ：) ， 这f ( 彳，q t ，k ) = f ( 彳iq ，q t ，k ) ，尼= 1 , 2 ； ( 4 ) ( 同伦不变性) 设连续映射h ：【o ，1 】qje 满足：对v f 【o ，1 】， h ( t ，) ：a 五寸e 是弱内向算子，并且对任意满足口( d ) 0 的dc d ，有非 1 0 第2 章弱内f i j1 一集压缩算子的不动点问题 紧性测度口( 【o ，1 i xd ) 1 ，有a x 触； ( i i ) ( r o t h e ) 对v x e 讹， i a - i i - - t l a 4 2 一2 ； ( v ) ( p e t r y s h y n ) o q ，对蜥讹，有0 血l 血一x 0 ； ( v i ) ( k r a s n o s e l s k i i ) 设e 是一个实h i l b e r t 空间，0 q ，对v x a q ， 有( a x ，石) 2 ； 那么有d e g ( i a ，q ，口) = l ，从而可知a 在q 中至少有一个不动点。 在本节，我们将应用上节所讲到的不动点指数的性质来推广以上定理， 从而得出一些新的不动点定理及算子方程叙= 解的存在性定理。 定理2 2 1 设k 是b a n a c h 空间e 中的m 。一闭凸集，d 是k 中的有界 开集，且d 0 若算子a ：d e 是弱内向半闭1 一集压缩算子，并存在 x o d 及1 使得： a x - 2 x o k ( x - x o ) ，对坛0 d 及k ； ( 2 1 ) 那么算子方程a x = 肛在d 中至少有一解； 若觇0 1 ) ，a x e , w e ，( ! 彳，d ) ：1 11 第2 章弱内m1 一集 i 缩算了的不动点问题 证明：不失一般性，可设v x o d ，a x 彬( 否则定理已获证) 。令 4 = 三彳，h ( t ，x ) = t a l 工+ ( 1 一t ) x o ，其中( f ，彳) 0 ，1 i x0 d 则由假设及引理 2 1 1 可知，对v t 【o ，1 】，月( ，) 是弱内向算子；对v x 0 d 及 t 【o ，1 】，x g ( t ，戈) ；并且有( ，一爿) 是闭算子。 事实上，( 1 ) 对协一d ，有a l x l o ( x ) ，且x oe i d ( x ) ，因此有 n ( t ，石) i d ( ，) ，从而对v f o ，1 ，h ( t ，) 是弱内向算子； ( 2 ) 假设砂。国及t o 【o ，1 】，使得= h ( t o ，y o ) = t 0 4 + ( 1 一气) ， 1 由彳o y o 知，f o 0 ；由匆o 渺。知，f o 1 因此有0 岛 1 令k 。= ， 0 1 则有砂。一舰= ( y 。一x o ) ；由条件( 2 1 ) ，可知k ，亦即氏= 1 ， 0 所以t o l ，这与0 k t 相矛盾。由定理2 2 1 ，结论得证。 推论2 2 3 设k 是b a n a c h 空间e 中的m 。闭凸集，d 是k 中的有界 开集，且d 0 ，0 d 若算子a ：d e 是弱内向半闭1 一集压缩算子，且 对v x 0 d 有： 6 厶忙 ( 2 4 ) 那么a 在d 中有一不动点，且若v x 0 1 ) ，a x x ，则i k ( a ，d ) = 1 证明：( 证法一) 只需令定理2 2 1 中的x o = 秒，= 1 即可。 ( 证法一) 由推论2 2 1 ，我们只需证明条件( 2 4 ) 满足条件( l s ) 。假若 条件( l s ) 不成立，亦即3 x o 及t 。1 ，使得彳= t o x o 由条件( 2 4 ) ，可 知岛 1 因此可知0 瓴l = f 。0 而0 0 x ol ，与条件( 2 4 ) 矛盾。 定理2 2 3 设k 是b a n a c h 空间e 中的m 。一闭凸集，d 是k 中的有界 开集，且d 1 2 i ；若算子a ：d _ e 是弱内向半闭l 一集压缩算子，且有 ：a ( o d ) cd 那么i k ( a ，d ) = 1 ，从而a 在d 中有一不动点。 证明：不失一般性，可设v x 0 1 ) ，a x x ( 否则定理己获证) 。设 x o d ，h ( t ，x ) = t a x + ( 1 一t ) x o ，其中( f ，x ) 0 , 1 x0 d 则由定理2 2 1 的证 明可知，对v t 0 , 1 ，h ( t ，) 是弱内向算子；( i - a ) 是闭算子；并且对任意 口( 9 0 的q c 万，我们有口乜( 9 ) 口 下面证明对v x 扣及t 0 , 1 】，x h ( t ，x ) 假若不成立，亦即 砂o o d 及t o 【o ，1 】，使得y o = h ( t o ，y o ) = t o 舭+ ( 1 一f o ) 由j c o y o 知， t o 0 ；由峨y o 知，t o 1 因此有0 t o 0 ， 使球r ( ，) = 锄k x o l l rcd 由少oe0 d ，及彳( ) c6 知，么( y 。) c5 ， 从而j z 。d ，使得| l z 0 一a y 。0 堡立， 1 4 第2 章弱内向1 集压缩算子的不动点问题 又知对v x t ( t o z o + ( 1 一f o ) x o ，( 1 - t o ) 厂) ，有x = t o z o + ( 1 一f o ) x o + ( 1 - t o ) z ， i i z l i 1 1 血- i x l 口； ( 2 5 ) 那么( 彳，d ) = 1 ，从而a 在d 中有一不动点。 证明：不失一般性，可设v x 0 1 9 ，a x 石( 否则定理已获证) 。接下来 我们证明定理2 2 4 的条件满足( l s ) 条件。 假若不然，亦即3 x o 扣及肌1 ，使得饥= 觞显然可知，z o 1 定义函数f ( t ) = t 口一o 一1 ) 口一1 ，其中t 1 ，口1 因为f ( f ) = a t 扩1 - ( t 一1 ) 8 】 0 ，显然( f ) 在【l ，) 是严格增函数，那么 当t 1 时，f ( t ) f ( 1 ) ，亦即对v t l ，口 1 ，有t 口- 1 o 一1 ) 口因此，注 意到l i o ， 1 ，从而可得到： 0 彳x 。- - x o0 。= 0 五一0 。= ( 一1 ) 。l f 0 8 1 ，使得 陋一x 9 2 a x 2 一x2 ； 那么( a ，d ) = 1 ，从而a 在d 中有一不动点。 推论2 2 5 设k 是b a n a c h