高考数学复习第7讲三角函数的图像与性质专题突破练理.docx

第7讲三角函数的图像与性质1.(1)2017全国卷改编 已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则为了得到曲线C2,要把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度. (2)2016全国卷 函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.试做命题角度三角函数的图像变换关键一:化为同名三角函数.关键二:两种途径,“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”.关键三:x+=.2.(1)2017全国卷 函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.(2)2014全国卷 函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为.试做命题角度三角函数的最值问题方法一:利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于sin x或cos x的二次函数,采用配方法求最值.方法二:利用诱导公式、辅助角公式将函数化为f(x)=Asin(x+)+b(或f(x)=Acos(x+)+b),0的形式,再根据三角函数的有界性求最值.3.(1)2018全国卷 若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.(2)2015全国卷 函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图M2-7-1所示,则f(x)的单调递减区间为()图M2-7-1A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ试做命题角度三角函数的单调性 (1)将函数化为f(x)=Asin(x+)+b(或f(x)=Acos(x+)+b),0的形式;(2)把x+(0)看成整体,利用正弦函数、余弦函数的单调性求解.4.(1)2017全国卷 设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是 ()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图像关于直线x=对称C.f(x+)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减(2)2016全国卷 已知函数f(x)=sin(x+)0,|,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则的最大值为 ()A.11B.9C.7D.5试做命题角度三角函数性质的综合考查解决三角函数图像与性质问题:关键一,将函数化为y=Asin(x+)+b(或y=Acos(x+)+b),0的形式;关键二,把x+(0)看作一个整体代入y=sin x或y=cos x的单调区间或对称轴方程;关键三,最小正周期为.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是个周期.小题1三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1 (1)在平面直角坐标系中,若角的终边经过点Psin,cos,则sin(+)= ()A.-B.-C.D. (2)若(0,),sin(-)+cos =,则sin -cos 的值为()A.B.-C.D.-听课笔记 【考场点拨】应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的失分点:(1)确定不了函数值的符号,如由sin2=求sin 的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误.【自我检测】1.若cos=,则sin=()A.B.C.-D.-2.已知角的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则=.3.已知是第三象限角,且sin=,则tan+=.小题2三角函数的图像及应用2 (1)设0,若将函数y=2cos的图像向右平移个单位长度后与函数y=2sin的图像重合,则的最小值是 ()A.B.C.D.(2)函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,00,|,其图像与直线y=3的相邻两个交点的距离为,若f(x)2对任意x恒成立,则的取值范围是 ()A.B.C.D.4.已知函数f(x)=Acos(x+)的部分图像如图M2-7-3所示,f=-,则f(0)=.图M2-7-3小题3三角函数的性质及应用3 (1)已知函数f(x)=2sin(x+)(0,00,|0)的形式,再对比y=sin x的性质,即把x+看成一个整体处理,但是一定要注意0,否则易出错;其次一定要结合图像进行分析.【自我检测】1.若已知函数f(x)=sin(0)的最小正周期为,则该函数的图像()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称2.若函数f(x)=sin x-cos x(0)在上单调递增,则的取值不可能为()A.B.C.D.3.设函数f(x)=cos(x+),其中常数满足-0, 0)的图像上相邻两个最高点的距离为6,P是该函数图像上的一个最低点,则该函数图像的一个对称中心是 ()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)小题4三角函数的值域与最值问题4 (1)已知将函数f(x)=2sincos x+的图像向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图像,则g(x)在上的值域为 ()A.B.C.D.(2)函数f(x)=2sin2 +2sincos在区间上的最小值为. 听课笔记 【考场点拨】有关三角函数的值域与最值问题的解题策略:(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,要根据三角恒等变换把函数化为y=Asin(x+)+k的形式,再借助三角函数的图像与性质确定值域与最值;(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,转化为二次函数去求解;(3)形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函数,可先设t=sin xcos x,再转化为关于t的二次函数去求解.【自我检测】1.函数y=cos 2x+2sin x的最大值为 ()A.B.1C.D.22.将函数f(x)=sin xcos x+cos2x-的图像向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图像,则g(x)在上的值域为 ()A.B.C.D.3.已知函数f(x)=sin x+cos x(0)在区间上的最小值为-1,则=.4.已知函数y=cos2x+sin 2x-,x,则该函数的值域为.第7讲三角函数的图像与性质 典型真题研析1.(1)(2)解析 (1)曲线C1,即y=sin,把其上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin,再把该曲线向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像.(2)函数y=sin x-cos x=2sinx-的图像可由函数y=sin x+cos x=2sinx+的图像至少向右平移个单位长度得到.2.(1)1(2)1解析 (1)f(x)=-cos2x+cos x+=-+11,当且仅当cos x=,即x=时,等号成立,所以最大值为1.(2)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)=sin(x+)+-2sin cos(x+)=sin(x+)cos -cos(x+)sin =sin x,故其最大值为1.3.(1)A(2)D解析 (1)f(x)=cos x-sin x=cos,由2kx+2k(kZ),得函数f(x)的单调递减区间为(kZ).函数f(x)在上单调递减,得a的最大值是.(2)由图知=-=1,所以T=2,即=2,所以=.因为函数f(x)的图像过点,所以当=时,+=+2k,kZ,解得=+2k,kZ;当=-时,+=-+2k,kZ,解得=-+2k,kZ.所以f(x)=cos,由2kx+2k,解得2k-x2k+,kZ,故选D.4.(1)D(2)B解析 (1)由题知,函数f(x)的周期为2k(kZ),故选项A正确;将x=代入f(x)=cos,得f=cos 3=-1,故选项B正确;f=cos=0,故选项C正确;函数f(x)=cos的图像可由y=cos x的图像向左平移个单位得到,故f(x)的图像如图所示,则f(x)在上先单调递减后单调递增,故D选项错误.故选D.(2)由已知可得-+=k,kZ,+=m+,mZ,两式相加,得2=(k+m)+.因为|,所以k+m=0或k+m=-1,即=,两式相减得=2(m-k)+1,即为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-,即12.当=时,f(x)=sinx+,则k-+且+k+,kZ,解得.由于12,故k最大取1,此时4.59,此时的最大值为9.当=-时,f(x)=sinx-,则k-且-k+,kZ,解得.由于12,故k最大取0,此时,此时的最大值为5.综上可知,的最大值为9.考点考法探究小题1例1(1)A(2)C解析 由已知得点P的坐标为,sin =,sin(+)=-sin =-.故选A.(2)由诱导公式得sin(-)+cos =sin +cos =,则(sin +cos )2=1+2sin cos =,则2sin cos =-0,cos 0.因为(sin -cos )2=1-2sin cos =,所以sin -cos =.故选C.【自我检测】1.D解析 cos=,sin=sin=-cos=-.故选D.2.10解析 由角的终边过点P(3,4),得tan =,所以有=10.3.解析 由题意知,sin=sin=-cos=,cos=-.是第三象限角,sin=-,故tan=.小题2例2(1)C(2)C解析 (1)函数y=2cos的图像向右平移个单位长度后,得到y=2cos的图像,其与函数y=2sin=2sin=2cos的图像重合,则-+=-+2k,kZ,解得=-10k,kZ.因为0,所以当k=0时,取得最小值,此时=.故选C.(2)由题意可得A=2,函数f(x)的周期T满足T=-=,=2,当x=时,x+=2+=2k+(kZ),=2k+(kZ),00,|,其图像与直线y=3的相邻两个交点的距离为,最小正周期T=,=2.若f(x)2,则sin(2x+),+2k2x+2k,kZ.又x,|,2x+,解得,的取值范围是.4.解析 由图像可得最小正周期为2=,所以f(0)=f.因为+=2,所以由图像可得f=-f,故f(0)=f=-f=.小题3例3(1)C(2)解析 (1)由题意可得,函数f(x)的最小正周期T=2=3,则=,故A中说法错误;当x=时,x+=+=k(kZ),=k-(kZ),00,|2,所以01,所以=.把=代入f=2sin=0,可得+=k,kZ,因为|0),令-+2kx-2k+,kZ,得-+x+,kZ.f(x)=sin x-cos x(0)在上单调递增,易知-且,0.故选D.3.A解析 由题意得g(x)=f(x)+f(x)=cos(x+)-sin(x+)=2cos,函数g(x)为偶函数,+=k,kZ.又-0,=-.故选A.4.C解析 由题意可得函数f(x)的最小正周期T=6,则=.结合点P的坐标可得A=2,且+=2k-(kZ),得=2k-(kZ),f(x)=2sin=-2sinx(kZ).令x=k(kZ),得x=3k(kZ),取k=1可得该函数图像的一个对称中心是(3,0).小题4例4(1)C(2)1-解析 (1)因为f(x)=2cos x+=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin,所以g(x)=sin=sin.因为-x,所以02x+,则-sin1,故-g(x)1.故选C.(2)由题意得,f(x)=1-cos+sin=1+sin 2x+cos 2x=1+sin.x,2x+,-1sin-,1-1+sin0,函数f(x)在上的最小值为1-.【自我检测】1.C解析 由题意得y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2+,所以当sin x=时,y取得最大值,最大值为.2.B解析 将函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin的图像向左平移个单位长度得到函数y=g(x)=sin=sin(2x+)=-sin 2x 的图像.x,2x,-sin 2x,则g(x)在上的值域为,故选B.3.5解析 由题意得f(x)=2sin,x,x+.函数f(x)的最小值为-1,+=,=5.4.解析 由题意得函数y=cos2x+sin 2x-=sin 2x+cos 2x=sin,x,2x+,sin.备选理由 例1考查诱导公式及同角三角函数基本关系式,要善于观察已知角与所求角之间的关系,巧妙合理的使用诱导公式;例2为识图问题,根据函数的性质,由整体性质到局部性质,再结合函数图像的差异性进行分析;例3主要考查正弦函数的周期性、值域,函数的恒成立问题,属于中档题;例4为在指定区域内的值域问题,应立足正弦函数的值域进行处理.例1配例1使用 当(0,)时,若cos=-,则tan的值为()A.B.-C.D.-解析 A因为(0,),所以-(-,0),所以-.因为cos=-0,所以排除选项C,D;当x=时,y=0,所以排除选项B.故选A.例3配例3使用 已知函数f(x)=2sin(x+)+1,其图像与直线y=-1的相邻两个交点的距离为,若f(x)1对任意x恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.解析 D函数f(x)=2s