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太原理工大学硕士：研究生学位论文 一类非线性热弹板方程的初边值问题 摘要 近年来，由于数学自身的发展及物理、力学等学科中实际问题的推动， 非线性发展方程的研究已成为偏微分方程研究领域中的重要课题之一。目前， 板方程就是一个非常活跃的课题，其中考虑了热弹效应的热弹性板的研究也受 到了高度重视。 本文在r 2 中讨论了矩形区域q = ( o ，) ( o ，f ) 内的一类非线性热弹板方程 f i i + a 2 u + a a o + n ( u ，口) = o ，x ，y )( x ，y ，t ) e q ( o ，t )( 1 ) l 毋一芦a 毋一窿蠡+ a 乞0 ，疹) = g ，x ，夕) ( x , y ，t ) eq f o ，t ) ( 2 ) 在初始条件 豁0 ，弼9 ) = 冁e ，y ) 彝b ，y ，o ) = 掰；0 ，y ) 拶g ，罗，o ) = 姥g ，y )3 ) 及四边篱支边界条件 材，y ，z ) = 豁，y ，f ) = 0 据0 ，0 ，f ) = 豁e ，? ，) = o4 ) 辫。，y ，1 ) = p ，少，f ) = 0 ，0 ，t ) = u y y ( x ，? ，f ) = 05 ) o ( o ，y ，f ) = 拶9 ，罗，f ) = oe ( x ，0 ，z ) = 秽e ，? ，f ) = 0 ( 6 ) 下的初边值问题，证明了问题1 ) 一( 6 ) 整体弱解的存在唯一性，并证明了当扰动 项f = g = o 时，方程存在强解和古典解。 具体研究内容如下： 首先，文章简单介绍了国内外当前对板方程的硬究现状； 其次，给出了一些重要概念和引理，并对部分符号做了说明； 第三，利用g a l e r k i n 方法证明了问题1 ) 一6 ) 的弱解的存在唯一性； 第四，证明了非线性齐次热弹板方程 太原理工大学硕士研究生学位论文 f + a 2 u + 必曰+ i ( 甜，秒) = o t 矽一届a 目一口矗+ 2 ( 甜，矽) = o ( x ，y ，f ) q ( o ，t )( 7 ) ( x ，y ，) q ( o ，t ) ( 8 ) 在初始条件( 3 ) 及四边简支边界条件( 4 ) 一( 6 ) 下的强解存在性； 第五，进一步证明了问题( 3 ) ( 8 ) 古典解的存在性。 本文的主要特点是在r 2 中的矩形区域q = ( o ，) ( o ，) 内讨论了一类非线性 热弹板方程的在四边简支边界条件下的初边值问题，而由于矩形区域q 的边界 不具有光滑性，所以给我们在证明强解及古典解时带来了一定的困难。最终， 我们通过一系列复杂而细致的先验估计解决了上述困难。 关键字：热弹性，板方程，g a l e r k i n 方法，弱解，强解，古典解 i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 王n l t l a l b o u n d a l 专yv r a l u ep r o b l e m sf o ra c l a s so fn o n l i n e a rt h e r m o e l a s t i c p l a t ee q u a t i o ns a b s t r a c t r e c e n t l 弘d u et ot h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i ca n dp r o m o t i o no f p h y s i c sa n d o t h e rm e c h a n i c s ，t h es t u d yo fn o n l i n e a rd e v e l o p i n ge q u a t i o nh a v eb e e nb e c o m ea n i m p o r t a n ts u b j e c ti nt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nr e s e a r c hf i e l d s n o w , p l a t e e q u a t i o n s a r et o p i c p r o b l e m ，e s p e c i a l l y , t h et h e r m o e l a s t i cp l a t ee q u a t i o n si n p r e s e n c eo ft h e r m a le f f e c th a v eb e c o m ei m p o r t a n tt om a n ym a t h e m a t i c i a n 。 i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so fac l a s so f n o n l i n e a rt h e r m o e l a s t i cp l a t ee q u a t i o n s | i i + a 2u + a a o + n ，0 ，秽) = 确，x ，y )x , y ，) q o ，t ) ( 1 ) i 痧一届a 1 9 一口矗+ 2 0 ，矽) = g o ，x ，y )( x , y ，r ) 联q ( o ，t ) ( 2 ) i na r e c t a n g u l a rd o m a i nq = ( o ，1 ) x ( 0 ，) o fr 2w i t ht h ei n i t i a lc o n d i t i o n s 静，y ，0 ) = u o ( x ，力蠡，弘o ) = 筠0 ，y ) o ( x ，y , 0 ) = 0 0 ( x ，力 ( 3 ) a n dt h ef o u re d g e ss i m p l ys u p p o r t e db o u n d a r yc o n d i t i o n s u ( 0 ，y ，f ) = u ( 1 ，弘f ) = 0 j ，f ) = ，y ，f ) = 0 u ( x ，0 ，f ) = 材b ，z ，f ) = o u r y ( x ，0 ，f ) = g ，f ，) = 0 4 ) ( 5 ) o ( o ，y ，) = 矽( ，y ，) = o 口g ，0 ，) = 口b ，7 ，0 = 0( 6 ) a n dw ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a lw e a ks o l u t i o no ft h es y s t e m ( 1 ) 一( 6 ) ，t h e nw ea l s op r o v et h ee x i s t e n c eo fs t r o n gs o l u t i o na n dc l a s s i c a ls o l u t i o n w h e n f = g = 0 i l l 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h ed e t a i l sw i l lg oa sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ec u r r e n ts t u d ys i t u a t i o n i nt h ew o r l da b o u tp l a t e e q u a t i o n si s i n t r o d u c e d ； s e c o n d l y , w ep u tf o r w a r ds o m ei m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n dl e m m a s ， a n d e x p l a i ns o m em a r k ss i m u l t a n e o u s l y ； t h i r d l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o no ft h e p r o b l e m ( 1 ) 一( 6 ) b ym e a n so f t h eg a l e r k i nm e t h o d ； f o u r t h l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es t r o n gs o l u t i o no ft h en o n l i n e a r t h e r m o e l a s t i cp l a t ee q u a t i o n s 薹二篇韶三 ( 工，y ，t ) n x ( 0 ，t )( 7 ) ( x , y ，f ) n x ( o ，t )( 8 ) w i t ht h ei n i t i a l c o n d i t i o n s ( 3 ) a n d t h ef o u re d g e ss i m p l ys u p p o r t e db o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 4 ) - ( 6 ) ； f i f t h l y , w es t u d y t h ee x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 3 ) - ( 8 ) t h em a i nc h a r a c t e r i s t i co ft h i sp a p e ri st h a tw ed i s c u s s e dt h ei n i t i a l b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so fac l a s so fn o n l i n e a rt h e r m o e l a s t i c p l a t ee q u a t i o n s i na r e c t a n g u l a rd o m a i nqo fr 2 ，w i t ht h ef o u re d g e ss i m p l ys u p p o r t e dc o n d i t i o n s b e c a u s eo ft h eb o u n d a r yo ft h er e c t a n g u l a rqh a sn os m o o t h n e s s ，w em e e ts o m e p r o b l e m sw h i c ha r ed i f f i c u l tt ob eo v e r c o m e dw h e nw ep r o v et h ee x i s t e n c e t h e o r e m s o fs t r o n gs o l u t i o na n dc l a s s i c a ls o l u t i o n a tl a s t ，w es o l v et h e s e d i f f i c u l t i e sb yu s i n gt h ec o m p l i c a t e da n dm e t i c u l o u sp r i o r ie s t i m a t e s k e yw o r d s ：t h e r m o e l a s t i c ，p l a t ee q u a t i o n s ，g a l e r k i nm e t h o d ，w e a ks o l u t i o n ， s t r o n gs o l u t i o n ，c l a s s i c a ls o l u t i o n i v 太原理工犬学硕士研究生学位论文 q c “( q ) c 。( q ) e ( q ) d “ h 8 ( q ) 胃? ( q ) ( ，) ( ，) 量 i | 1 i 尹 j 上2 ( o ，疋爿) f ( 0 ，f ；胃 r ( 0 ，r ：) 符号说明 霆2 中的舞子集( 如q = 0 ，1 ) x ( o ，芗) ) ； q 上r 1 1 次连续可微函数全体； c 。( q ) 一n c ”( q ) ，即无穷可微连续函数全体； m = l 在q 中其有紧支集的c ”( q ) 的函数； 甜的穰阶广义导数； 筇”( q ) = 嚣蝴( 蛹= 釜：d 拉拓三2 ( 辅i 扰| 掇； c 孑( q ) 在日”( q ) 中的闭包； h i l b e r t 空间r ( q ) 上的内积； h i l b e r t 空间x 上的内积； 空间r ( q ) 中的范数： 空闻秽( q ) 孛的范数； b a n a n c h 空间x 中的范数； 从( o ，r ) 到h i l b e r t 空间好的平方可积函数全体； 从( 毽趵到h i l b e r t 空间筇的f 函数全体； 从( 0 ，r ) 到h i l b e r t 空间何的本性有界函数全体。 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作暑签名：乓；妇 日期：垄2 j l 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关吉g f - j 送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签i 名：盏堕垒魄签i 名：璺丝尘鱼日期： 导师签名： 加孑6 f 太原理工大学硕士研究生学位论文 l 。1 板方程的概述 第一章绪论 随蔫科学技术的发展，在自然科学和社会科学领域中广泛存在的非线性问题越来越引 起人们的关注，而且许多非线性阀题的研究最终可归结为用非线性发展方穰来描述，尤其 在解决许多工程、物理和力学问题时，人们提出了形形色色的非线性发展方程。由于这些 方程都有着深刻的物理和力学背景，所以对它们动力行为的研究更具有重大的实际意义。 近年来，关于弹性杆、梁方程动力行为的研究出筒单到复杂，从无外力的筒单振动到 麓加外力阻尼后的复杂运动，研究的空间也从一维发展到维的情形等等。由于在实际应 用中，不仪需要知道弱解的整体存在性，还需要知道强解、古典解存在性，以及解的渐近 性等动力学幸亍为，所以关于弹性杼、梁方程解的存在性和渐近性等动力学行为的研究一直 都是国内外的燕点，丽对于热弹性板方程的整体动力学行为的研究剡相对薄弱。 板是房屋、桥梁、隧道、水库、堤坝等工程领域中基本但歪关重要的构件，所以对板 方程的研究具有十分煎要的理论价值和实际用途，近年来引起了国内外数学、物理、工程 技术工佟者的广泛关注。 t i m o t h y t l 】研究了一类板方程 | + a 2 籍= g ( i t ，x ，拼) o ，x ) 太q | 材。a u = 0，x ) 露a q 的周期解存在性，其中q 是r 2 中的方形区域或等边三角形区域，是参数。之后t i m o t h y 2 】 又研究了另一类板方程 f + a 2 群一8 ( ) f = h ( i t ，而嚣) ( f ，x ) 露q iu = a u = 0( f ，x ) 尺鼬 的周期鳃存在性，其中q 是露2 中等边三定形区域，是参数。 a n n e l 3 1 讨论了由粘弹性板的非线性振动所产生的一类板方程 太原理工大学硕士研究生学位论文 + a 2 甜- 【州】= p ( x ) x q ，f 0 甜i 袍= 孰= o 甜l ，：。= ( j ) ，a , u l ，：。= 甜。( x ) 的弱解存在性定理，其中q 是尺2 中具有光滑边界的有界区域。 m a u r o l 4 1 研究了一类边界条件中带记忆项的k i c h h o f f 型板方程 + a 2 甜= 0 x q ， 0 甜i m = 舅i 铀= o x 1 - o , 舢 - u + j ：g 。( f s ) 孵：甜( s ) 凼= 0 ( 工，) r 。( o ，o o ) 考+ f 9 2 ( ) 吼刖凼= 。( 列) e f lx ( 0 , o o ) ”( o ，x ) = ( x ) ， t ( 0 , x ) = ( x ) 的解的存在性、正则性及能量衰减估计，其中q 是r 2 中有界开区域且具有光滑边界。 j a i m e l 5 1 研究了一类带积分项的齐次粘弹性板方程 j 2 + 2 甜一f g ( ，_ f ) 2 甜( ，f 沙= 0 ( ) r q 【u = a u = o ( i t , x ) er 孢 解的存在性、光滑性等解的渐近性行为。 文献 6 1 1 4 1 分别研究了不同的板方程在不同边界条件下的动力学行为，在此就不再一 一进行详细阐述。 由于材料受热的胀缩，产生了热弹性问题，所以也就相应地出现了一些关于热弹性板 方程的研究。 j a i m e 1 5 】研究了一类热弹板方程 - y a u n + 2 甜+ a a b = 0 ，0 ，j q 只一r a 8 一c e a u , = 0 ，2 0 ，工q “( o ，x ) = u o ( x ) ，甜，( o ，x ) = 材。( x ) ，o ( o ，x ) = o o ( x ) 在一类带记忆项边界条件下的解的存在性、正则性及奇异传播性，其中q 是r 2 中有界开区 域且具有光滑边界。 g e o r g e i l 6 1 对一类热弹性板方程 2二 太原理工大学硕士研究生学位论文 j + a 2 甜+ c t a o = a u i f 0 ，x q 谚一届盘移一a a u , = a u 2 f o ，石墨q l 艇( o ) = 殇，辑o ) = u i ，护o ) = o o 分别在边界条件护= 豁= a u = 0 、分= 担= 娑= o 及自由边界条件下的零可控性和最小能量泛 ( 函的奇异性进行了系统的研究，其中q 是露2 中边界具有c 2 光滑性的有界区域。 l a g n e s e 1 7 】研究了一类齐次热弹板方程 | i i + a 2 u + a a o = 0t o ，x q l q 届a p a r a u , = 0t 2 0 ，x q 在齐次边界条件0 = u = a u = o 下的边界稳定性。 k i m 吲研究了上述方程在齐次边界条件p = z f = 譬= o 下的能量衰减估计。 口y h u g o 1 9 】讨论了一类非线性热弹板方程 l i i + a 2 “+ 口p = 彳( ，“，0 ) t 0 ，i e q 辞一肛护一a a u t = 五( f ，雄，0 ) f o x q p = 嚣= 勉= 0 o ，x 鲍 其中q 是霆( n 1 ) 中边界具有足够光_ 滑性的有界区域。由于q 的边界具有足够光滑性， 所以作者剥用生成解析半群的方法在维空间中证明了上述方程一类有界鳃的存在性、稳 定性和光滑性。 s a n t o s l 2 0 1 在r 2 中利用g a l e r k i n 方法研究了一类考虑热弹效应的k i r c h h o f f 板方程在带 有记忆项的自由边界条件下解的存在性、唯一性及渐近性行为。 文献 2 1 】一1 2 4 分舅| j 研究了热弹叛方程在多种情况下的动力学行为，在此就不再一一进行 详细阐述。 文献1 2 5 研究了一类热弹杆方程解的存在性、衰减性等动力学行为。 文献【2 6 h 2 7 】在力学角度研究了热弹性圆板的非线性振动方程。文献1 2 8 从力学角度研 究了在四边简支边界条件的有初挠度矩形板后屈曲特性。 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 2 本文的工作 本文在借鉴前人研究的基础上，讨论了r 2 中矩形区域q = ( o ，) ( o ，) 内的一类非线性 热弹板方程 f i i + a 2 u + a a a + n , ( u ，口) = 丸，x , y )( x , y ，) e f 2 x ( 0 ，t )( 】2 1 ) 【a - p a a a a h + n ：0 ，目) = g o ，j r ，j ，)( x ，y ，) q x ( o ，t ) ( 1 2 2 ) 在初始条件 甜g ，y ，o ) = g ，y ) 西g ，y ，o ) = 甜。g ，y ) 口g ，y ，o ) = e o ( x ，y )( 1 2 3 ) 及四边简支边界条件 u ( o ，y ，f ) = ”( ，y ，f ) = 0”g ，0 ，f ) = z ，g ，) = o( 1 2 4 ) 甜。( o ，y ，) = “。( ，y ，) = 0 甜，g ，0 ，f ) = 甜w g ，) = 0 ( 1 2 5 ) 秒( o ，乃f ) = 秒p ，y ，) = o秒g ，0 ，f ) = 口g ，f ) = o( 1 2 6 ) 下的初边值问题，证明了问题( 1 2 1 ) ( 1 2 6 ) 整体弱解的存在唯一性，并证明了当扰动项 = g = 0 时，方程存在强解和古典解。 本文与前人的研究相比，主要特点是在r 2 中的矩形区域q = ( o ，o x ( o ，) 内讨论了一类 非线性热弹板方程的在四边简支边界条件下的初边值问题，而由于矩形区域q 的边界不具 有光滑性，所以给我们在证明强解及古典解时带来了一定的困难。最终，我们通过一系列 复杂而细致的先验估计解决了e 述困难。 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 。1 函数空问 第二章预备知识 在本苹审主要给出_ 本文涉及到朗一些主费檄忿搜主雯引理，列孵对又中出现鄹一些记 号给出了说明。 记r ( q ) 为q 上实值l e b e s g u e 可测函数厂= g ) 所组成的h i l b e r t 空间，l f l 。o ，其 * l l f l l = 1 1 ：1 1 2 = ( 够g 势2 出) j 。三2 妞) 中的两函数及g 的内积记作移，g ) = 羔雠g 皿 我们雳z - ( o ，罗) 表示 歹) 上本性有界可测实值函数类。妒，f ) 是b a n a c h 空间，其模为 i t f l l - ( 0 r ) = 蒜 s u 卜p 胁】卜舢协协礁啦妒) 以l 司样的方式定义若 g c 懈制卜阂矧2 出卜唧蚓酬。 的那些溉组成 的子集，我们定义s o b o l e v 空间好” ) 为0 ”心) 在模。下的完备化，即爿”位) 是由 掰三2 幻) 中，具有强导数箬f 心) ，( o 是群) 的一切函数组成+ d 在群”q ) 中的 叭 阕包记为h o 哟，帮”心) 及霹心) 都是h i l b e r t 空闻，用h - 掰妞) 表示舅孑心) 的对偶空闻， 我们把r 心) 与其对偶空间税为恒嗣，则d 心) cw 心) cr ) c 封”心) cp 心) 。h i l b e r t 空阉h ”坌可类似的定义，箕元素的种模为 妒也他，忸 l l j 鼬l 其中指标r 与s 为非负整数，丽导数为强导数。 设x 为b a n a c h 空间，令1 p ，若以x 中的度量关系关于，可测，且使 l l 州p 。，r ) o ，y ( f ) s 口( ，) + g ( f ) 吵( f ) ，贝0 y 蚪y ( 0 ) + 舛肛 以下为g r o n w a l l 不等式的其它两种形式： ( 1 )设r ( o ，丁) l 七o ，c 。为常数，若对一切f i o ，t 】 儿) + j i f 儿灿 则 ( ，) sc o e b 。 ( 2 )设所在( 0 ，丁) 可积，册 o ，妒c o ，r 】，c 01 q 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 则 o 妒o ) 5 c + f 所g 弦g v ，i o ，r 】 妒o ) 篓j ：m “皿矾，丁】o 引理3 t 2 9 1 ( 庞加莱不等式) 设h 1 ( q ) ，且设对某个孝孬，有g ) = o ，则 期，i i 。 引理4 t 2 9 1 设盖，y 为h i l b e r t 空间或霹分的b a n a c h 空间，其对偶空间为x ，y ，设y 连 续且稠密地嵌入到x 中，若 槲越专材在r ( o ，t ；x ) 中弱木收敛； f i t , 专z 在r ( o ，t ；y ) 中弱奉收敛； 则 z = 矗在( 0 ，t ；y 7 ) 中成立。 引理5 1 2 9 1 设v ，h 为h i l b e r t 空间，v ，h 分别为v ，h 的对偶空间，( v 按h 中拓扑， 它只是b a n a c h 空闻，v 为v 接h 中拓扑的共轭空闻) 。若y 连续且稠密地嵌入到h 中，剐 h 连续稠密地嵌入到y 中，特别的vc h = h cv 。 弓l 理蚓( h 6 1 d e r 不等式) 如果l p ，窜 量三+ 一i ：i ，剃对任何，g q ) ，有 f f f 店眇s p m ，。 引理7 f 3 1 】( g a g l i a r d o - n i r e n b e r g ) 设1 ， q 佃和p 竖譬，则有如下不等式成立： 删胪，- 。为常数，为空间维数，秒= ( 专+ 歹1 一吉) ( 号+ ；1 一古 且。 秽s ，。 特疑遗，若r = 2 ，q = 4 ，p = 2 ，k = o ，m = l ，n = 2 ，则 i i | 1 - 1 1 。- 呈+ 意；例如：当胛= 2 时， 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 有2 ( q ) 寸c 。( 西) ，h 3 ( q ) 寸c 1 ( 孬) ，h ”( q ) 一c ”2 ( 五) 。 2 3 一些假设 在这篇论文中非线性项l ( “，目) 和2 ( 1 1 9 0 ) 满足 i 2 ( u , o ) = n 2 ，( 甜) + 2 ：( 0 ) 2 。( ) c 1 ( 月) ，i m 。( 甜) 怿鸩，n ：。( 0 ) = o l 2 ：( 0 ) c 1 ( 月) ，i 心( 秒) | 心，心( o ) = o 睇( ) l u 。g ，y ) 在是中强收敛；u m ( o ) - - u 。，j 甜。g ，y ) 在r q ) 中 强收敛；o o ( o ) = o o 。- , o o ( x ，y ) 在r q ) 中强收敛。 在( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 式中取妒= 劬( f = 1 ，2 ，m ) ，得 丢( 甜。，q ) + ( 咄，哆) + 口( 免，哆) + ( l ( ，吨) ，q ) = ( 厂，q ) 丢( 眈，q ) 一( 以，q ) 一口( 如，哆) + ( 2 ( ，吒) ，q ) = ( g ，o , 3 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) i 一时取 g 砌( 0 ) = 专，g 。，( 0 ) = f 胁，k ( 0 ) = ( f = 1 , 2 ，坍)( 3 2 5 ) 其中常数乞，分别是( x ，y ) 、“。( x ，y ) 和o o ( x ，y ) 在是和r q ) 中展开成f o u r i e r 级数时的f o u r i e r 系数，即 乞= ( 4 0 ( x ，y ) ，q ) & ，乞- - ( 甜l ( x ，y ) ，q ) ，y , m = ( 岛( x ，y ) ，q ) ( f = l ，2 ，所) 符号( ，) & 和( ，) 分别表示最和r ( q ) 中的内积。 这样( 3 2 3 ) ( 3 2 5 ) 就转化为一个关于g , m ( ，) 和啊。( ，) 的非线性常微分方程组的柯西问 题。由常微分方程理论可知存在f ， 0 ，使得在【o ，f 。】存在唯一解g ，。( ，) 和h , m ( f ) ( f = 1 , 2 ，所) ， 从而由( ，) = g ，。( ，) qg ，y ) 和以( ，) = 啊，o h g ，y ) 可知存在唯一的逼近解o ) 和 ，= li = l 以( ，) ( o ， 0 均有意义。 1 0 太原理工大学硕。t 研究生学位论文 3 ，3 先验估计 珏( 3 2 。1 ) 式甲取妒3 西。，得 芴d 、。，颤) + ，颤) + 窿( 锻，西。) + ( 越( ，壤) ，曩。) = ，磊。) 将( 3 3 1 ) 两端同时烟上，如) 移减去( 瓴，颤) ，褥 沥d 、。，丸) + ( ，蠢。) + 口( a m ，吒) + ( i ( ，或) ，“) + ( u m ，壤) ( a u 。，西，) = ( ，屯) 一( a u m ，轧) + ( 厂，u m ) 由于 以) = ( 争十等以) = ( ，壤) + ( ，_ 3 。3 1 ) ( 3 3 2 ) = ff 等。撕+ f f 。撕 = 如等卜l 警声+ 如等卜f 盟a y 卜 = 一ff 警铷一f f 等钞 一2 ld 靳r 州阱 代八( 3 3 2 ) 式，得 三孙删删吨| | 2 + | | 州+ 8 鲁州l 等| | 2 ) + 口( 吃，哦) + 啊f ，& ) ，丸) = ( ，如) 一，螽。) + ( 厂，屯) 在( 3 2 。2 ) 式中取妒= 氏，得 面d 、o 。，瓯) 一( 鳃，吃) 一饼( 以，瓯) + ( 2 ( ，醵) ，巳) = ( g ，免) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 由于 c 咖一等+ 等) = r 等心，可a 2 e ) = ff 吃等螂+ f r 吃等螂 = f 鲁砂+ f 知等出 = f b 警卜f 警挚户+ f ( 既等卜睽a y 柏a y 咖卜 = 一警鲁蚴+ ff 等等蚴 = 假| | 2 + | 阱 旭小，等+ 等) 书割+ 卜矿a 2 e ) = f “可a 2 e 出砂+ f “可a 2 e 螂 = m 哮咖+ 肚学出 = r ( 丸警卜f 等警出) 砂+ f 一万a e 卜f 等等咖卜 = 一( f f 警鲁撕+ f f 等等撕 = 一( ff 警蚋+ ff 等舭 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 = f ( 警“一f 争免凼卜攻等吼一：等或妙卜 = f f 等吃姗+ ff 等既撕 = ( 巴，如) 甜愕| | 2 _ 咆渤小班h 以) ( 3 弼 n ( 3 3 3 ) 式和( 3 3 5 ) 式相加，缛 吉孙灯+ i | 划| 2 + m 1 2 + l l 警| | 2 + l l 等蚶 + ( | | 警十l 等| | 2 ) - - ( j ，壤) + ( ，薮。) g ，或) 一( ，奴) 一( m ；( ) ，壤) 一( 效：( ) ，如) 一( n 2 ，( ) ，最) 一2 ：( ) ，熊) 记 则有 由( 2 3 1 ) 得 毒 得 脚以蚓蚶+ | | 蚶1 1 + | | 甜i t + 劁2 倒卜 三瓦d 西( ，；，以) + l v 或1 1 2 = ( 厂，矗。) + ( ，以) + ( g ，纯) 一( ，) 一( ，( 材。) ，卉。) 一n i ：( 瓯) ，露，) 一( n 2 ，( 掰，) ，靠) 一c 2 ：( 以) ，巳) 于是由弓| 理l 可褥 | i n ，( ) 忙m | i t t ，| i n , ：w ) i i - m ：i i o , i | | | 鹅，( u ) t l - ，先证明 协材口，哆) 一b ，q ) 在r ( o ，r ) 中弱丰收敛。 即证 而 下证 太原理工大学硕士研究生学位论文 + 等，争+ 等卜 。匆2 缸2 。咖2j ( 争+ 等等 a 2 q 融2+ 等卜，棚木收敛o = ( 争，等) + ( 等，等 + ( 等，争 + ( 等，等 专( 鲁，等 即对v 妒z ( 0 ，t ) ，有 又因为 故只需证 陆割 在r ( 0 ，丁) 中弱宰4 殳敛。 r ( 等，誓卜一j c r ( 窘，卜 ( 等，等 f f 争等螂 = 幢等卜f 等等出户 = 一f 以缸一“等 m 等撕 卜等) 出p 塑矿 塑掰 ，。l 丝掰 ，。_ 垫妒 太原理工大学硕士研究生学位论文 即 f 卜等卜f 卜卜 f 卜等驴卜f l 等妒p 注意到 a 玉4 0 ) 。j 妒三1 ( 毽z ；f q ) ) ci 。，f ；) ，由 在r ( 。，置是) 中弱章收敛知 于是 同理可证 f 卜等驴卜r 卜等缈p ( 争，等) 。( 器，等) 在聃珊孙收敛。 ( 争，等) 叶瞄等) ( 等，h 雾，等 均在三曲，) 牛弱枣收敛。 综上可知 ( a 牧，哆) 寸( z ，哆) 在r ( o ，) 中弱刈复敛。 其次证明 即证对v 妒e ( o ，丁) ，有 也即 0 ，哆) 斗g ，q ) 在r ( 0 ，丁) 中弱牛收敛。 r q 声，哆妇。f g ，q 妇 垫妒塑矿 厂刈 垫矿监矿 太原理工大学硕士研究生学位论文 r q ，哆伊妇一f g ，哆妒切 注意到q 伊_ ( o ，丁；r ( q ) ) 及协j 在r ( 0 ，丁；r ) ) 中弱收敛，则上式显