第五章微分方程模型习题解答.doc

萧澜 8题目：在5.5的香烟过滤嘴模型中(1)设M=800mg,=80mm,=20mm,b=0.02,=0.08,v=50mm/s,a=0.3求Q和/.(2)若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上.比较全部吸完和只吸到处的情况下,人体毒素量的区别.模型假设:1.烟草和过滤嘴的长度分别是和,香烟的总长度为l=+,毒物M(毫克)均匀分布在烟草中,密度为= .2点燃处毒物随烟雾进入空气中和沿香烟穿行的数量比例是/a , + a=1;3.未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾的穿行毒素的吸收率(单位时间内毒素被吸收的比例)分别是常数b和.4.烟雾沿香烟穿行的速度是常数v,香烟的燃烧速度是常数vu,模型建立:设t=0时在x=0处燃烧香烟,坐标系如图所示,吸入的毒素量Q由毒物穿过香烟的流量所控制,后者又与、毒物在烟草中的密度有关,为研究的各种关系,我们定义两个基本函数:毒物流量:q(x,t)表示时刻t单位时间内通过香烟截面x处(0xl)的毒物量; 毒物密度:(x,t)表示时刻t截面x处单位长度烟草中的毒物的含量(0x)由假设1中(x,0)= .如果知道了流量函数q(x,t),吸入的毒物量Q就时x=l处的流量在一支烟时间内的总和,注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设,我们可以得到 Q=, T=;我们来求Q的表达式(由数学模型教材中的推导可得)1.求t=0瞬间由烟雾携带的读物单位时间内通过x处的数量q(x,0)由假设四中关于vu的假定,可以认为香烟点燃处x=0静止不动. Q(x)= 2.在香烟燃烧的过程中的任意时刻t,求读物单位时间内通过x=l的数量q(l,t).Q(l,t)=au(ut,t),3.确定(ut,t)因为在香烟的燃烧的过程中点燃的烟草不断的吸收烟雾中的毒物,所以毒物在烟草中的密度(x,t)由初值逐渐的增加,考虑烟草的截面x处t时间内毒物密度的增量( x,t+t)- (x,t)根据守恒定律它应该等于单位长度香烟中毒物被吸收的部分,按照假设可推导:4.通过1,2,3步骤的推导可得Q的表达式:Q=aM (1) (2)模型求解: 将M=800mg,=80mm,=20mm,b=0.02,=0.08,v=50mm/s,a=0.3带入到(1)和(2)式中可得: Q=230毫克; =0.976若将香烟全部吸完与吸到处进入人体的毒素之比为:=1.25 9题目： 在人口的预测和控制模型中，总和生育率和生育模式是两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。一 问题分析目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重，所以现在开始提倡晚婚晚育，一对夫妻只能生一个孩子以及定下了一些关于生第二胎的政策。所以在此我们可以考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。二 模型的假设 时刻年龄小于的人口即人口分布函数记作； 婴儿的出生率记为； 时刻年龄的人的死亡率记为； 表示时刻年龄在内单位时间的死亡人数； 是人口调查得到的已知函数； 婴儿的出生率记为；三 模型的建立与求解 由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数，即人口分布函数为：由于在社会安定的局面下和不太长的时间里，死亡率大致与时间无关，于是可近似的假设=因为与可由人口统计数据得到，所以可由粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况，我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率了，下面我们就来讨论。记女性的性别函数为，即时刻年龄在的女性人数为，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作，则育龄区间为，则：=再将定义为 =其中满足 于是就有 =可以看出就是时刻单位时间内平均每个育龄女性的生育率。如果所有的育龄女性在她的育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么即为生育总和。从上式我们得到是年龄为女性的生育加权因子，即生育模式。在稳定环境下可近似地认为它与无关，即=，表示了哪些年龄生育率高，哪些低。所以取得一定的值的时候，生育率能达到最高。由人口统计资料可以知道当前实际的。作理论分析时常采用的的一种形式是借用概率论中的分布： 并取=2，=，这时有：=即意味着晚婚，而增加意味着晚育。所以生育率和生育模式是可以控制人口发展过程的两种手段，可以控制生育的多少，而可以控制生育的早晚与疏密。我国的计划生育正是通过这两种手段实施的。 所以一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率为1，所以1；晚婚晚育相当于生育模式中使和增大；生育第二胎的一些规定可相当于总和生育率略高于1，即略高于1，且曲线扁平一些，因为规定了生二胎要间隔多少年。四 模型的评注在上面的模型中密度函数或分布函数固然是人口发展过程中最完整的描述，但是使用起来不是很方便，在人口统计学中常用一些所谓人口指数来简明扼要地表示一个国家或地区的人口特征。不过根据上面的生育率和生育模式我们还是可以很方便的预测和控制人口的增长，并针对我国的人口情况做一些相关的计划生育策略。使得人口能够更优更好的发展。13题目：人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走的废物的血管相通，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾。 设血液和人工肾中液体的流速为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长。建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型。 模型分析与建立：以血液流动方向为正方向建立坐标X，血液和人工肾中废物浓度分别记作和血液和人工肾中液体流动的速度分别记作和，考察（X,X+X）血液中废物浓度的变化得：，于是：同理可得：边界条件为，可解的： ，其中单位时间内人工肾带走的血液中的废物量为： 表示人工肾性能的指标清除率定义为原题目:在5.5的香烟过滤嘴模型中(1)设M=800mg,=80mm,=20mm,b=0.02,=0.08,v=50mm/s,a=0.3求Q和/.(2)若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上.比较全部吸完和只吸到处的情况下,人体毒素量的区别.模型假设:1.烟草和过滤嘴的长度分别是和,香烟的总长度为l=+,毒物M(毫克)均匀分布在烟草中,密度为= .2点燃处毒物随烟雾进入空气中和沿香烟穿行的数量比例是/a , + a=1;3.未点燃的烟草和过滤嘴对烟雾的穿行毒素的吸收率(单位时间内毒素被吸收的比例)分别是常数b和.4.烟雾沿香烟穿行的速度是常数v,香烟的燃烧速度是常数vu,模型建立:设t=0时在x=0处燃烧香烟,坐标系如图所示,吸入的毒素量Q由毒物穿过香烟的流量所控制,后者又与、毒物在烟草中的密度有关,为研究的各种关系,我们定义两个基本函数:毒物流量:q(x,t)表示时刻t单位时间内通过香烟截面x处(0xl)的毒物量; 毒物密度:(x,t)表示时刻t截面x处单位长度烟草中的毒物的含量(0x)由假设1中(x,0)= .如果知道了流量函数q(x,t),吸入的毒物量Q就时x=l处的流量在一支烟时间内的总和,注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设,我们可以得到 Q=, T=;我们来求Q的表达式(由数学模型教材中的推导可得)1.求t=0瞬间由烟雾携带的读物单位时间内通过x处的数量q(x,0)由假设四中关于vu的假定,可以认为香烟点燃处x=0静止不动. Q(x)= 2.在香烟燃烧的过程中的任意时刻t,求读物单位时间内通过x=l的数量q(l,t).Q(l,t)=au(ut,t),3.确定(ut,t)因为在香烟的燃烧的过程中点燃的烟草不断的吸收烟雾中的毒物,所以毒物在烟草中的密度(x,t)由初值逐渐的增加,考虑烟草的截面x处t时间内毒物密度的增量( x,t+t)- (x,t)根据守恒定律它应该等于单位长度香烟中毒物被吸收的部分,按照假设可推导:4.通过1,2,3步骤的推导可得Q的表达式:Q=aM (1) (2)模型求解: 将M=800mg,=80mm,=20mm,b=0.02,=0.08,v=50mm/s,a=0.3带入到(1)和(2)式中可得: Q=230毫克; =0.976若将香烟全部吸完与吸到处进入人体的毒素之比为:=1.25Matlab语言程序:4题目：建立铅球掷远模型。不考虑阻力，设铅球初速度为，出手高度为，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与,的关系式，并在, 一定的条件下求最佳出手角度。模型假设：）铅球被看作是一个质点；）铅球运行过程中忽略空气的阻力；）投掷角和初速度是相互独立的；建立模型：以铅球投掷点的铅垂方向为轴（向上为正），以轴与地面的交点到铅球落地点方向为轴构成平面直角坐标系，在此坐标系内考虑铅球的运动，记为铅球出手时的速度，为投掷角，为铅球出手的高度，为铅球运动的时间(=0时，铅球出手），则由物理学的知识可以得到铅球的运动方程：方程中消去t可以得到铅球运动轨迹的方程： (1)若铅球投掷的远度为，则轨迹将于(,0)点与轴相交，将它代入（1）式得到： (2)模型求解;由模型（2）对s关于求导，得到f()，令f()=0，便可以得到最优解=，用Mathematica求解如下:D结果是:即最佳出手角度为: 9题目. 在人口的预测和控制模型中，总和生育率和生育模式是两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。解:一 问题分析目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重，所以现在开始提倡晚婚晚育，一对夫妻只能生一个孩子以及定下了一些关于生第二胎的政策。所以在此我们可以考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。二 模型的假设 时刻年龄小于的人口即人口分布函数记作； 婴儿的出生率记为； 时刻年龄的人的死亡率记为； 表示时刻年龄在内单位时间的死亡人数； 是人口调查得到的已知函数； 婴儿的出生率记为；三 模型的建立与求解 由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数，即人口分布函数为：由于在社会安定的局面下和不太长的时间里，死亡率大致与时间无关，于是可近似的假设=因为与可由人口统计数据得到，所以可由粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况，我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率了，下面我们就来讨论。记女性的性别函数为，即时刻年龄在的女性人数为，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作，则育龄区间为，则：=再将定义为 =其中满足 于是就有 =可以看出就是时刻单位时间内平均每个育龄女性的生育率。如果所有的育龄女性在她的育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么即为生育总和。从上式我们得到是年龄为女性的生育加权因子，即生育模式。在稳定环境下可近似地认为它与无关，即=，表示了哪些年龄生育率高，哪些低。所以取得一定的值的时候，生育率能达到最高。由人口统计资料可以知道当前实际的。作理论分析时常采用的的一种形式是借用概率论中的分布： 并取=2，=，这时有：=即意味着晚婚，而增加意味着晚育。所以生育率和生育模式是可以控制人口发展过程的两种手段，可以控制生育的多少，而可以控制生育的早晚与疏密。我国的计划生育正是通过这两种手段实施的。 所以一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率为1，所以1；晚婚晚育相当于生育模式中使和增大；生育第二胎的一些规定可相当于总和生育率略高于1，即略高于1，且曲线扁平一些，因为规定了生二胎要间隔多少年。四 模型的评注在上面的模型中密度函数或分布函数固然是人口发展过程中最完整的描述，但是使用起来不是很方便，在人口统计学中常用一些所谓人口指数来简明扼要地表示一个国家或地区的人口特征。不过根据上面的生育率和生育模式我们还是可以很方便的预测和控制人口的增长，并针对我国的人口情况做一些相关的计划生育策略。使得人口能够更优更好的发展。16题目：建立铅球掷远模型。不考虑阻力，设铅球初速度为v，出手高度为h，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与v,h,的关系式，并在v,h 一定的条件下求最佳出手角度。模型的求解：）铅球被看作是一个质点；）铅球运行过程中忽略空气的阻力；）投掷角和初速度是相互独立的；以铅球投掷点的铅垂方向为y轴（向上为正），以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为x轴构成平面直角坐标系，在此坐标系内考虑铅球的运动，记v为铅球出手时的速度，为投掷角，h为铅球出手的高度，t为铅球运动的时间（t=0时，铅球出手），则由物理学的知识可以得到铅球的运动方程：方程中消去t可以得到铅球运动轨迹的方程： (1)若铅球投掷的远度为s，则轨迹将于(s,0)点与x轴相交，将它代入（1）式得到： (2)由模型（2）对s关于求导，得到f()，令f()=0，便可以得到最优解=，用Mathematica求解。8（2）香烟过滤嘴的作用 尽管科学家们对于吸烟的危害提出了许多无可辩驳的证据，不少国家的政府和有关部门也一直致力于减少或禁止吸烟，但是仍有不少人不愿抛弃对香烟的嗜好。香烟制造商既要满足瘾君子的需要，又要顺应减少吸烟危害的潮流，还要获取丰厚的利润，于是普遍地在香烟上安装了过滤嘴。过滤嘴的作用到底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关系，要从定量的角度回答这些问题就要建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与哪些因素有关，以及它们之间的数量表达式。 吸烟时毒物吸入人体的过程大致是这样的：毒物基本上均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃处的烟草大部分化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分直接进入空气，另一部分沿香烟穿行。在穿行过程中又部分地被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而沉积下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到那里的时候又通过烟雾部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一直延续到香烟至过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入。 实际的吸烟过程非常复杂并且因人而异。点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例，与吸烟方式、环境等多种因素有关；烟雾穿过香烟的速度随着吸烟动作的变化而不断地改变；过滤嘴和烟草对毒物的吸收作用也会随着烟雾穿行速度等因素的影响而有所变化。如果要考虑类似于上面这些复杂情况，将使我们寸步难行。为了能建立一个初步的模型，可以设想一个机器人在典型环境下吸烟，他吸烟的动作、方式及外部环境在整个过程中不变，于是可以认为毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例、烟雾穿行的速度、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。（1）设，求和（2） 若有一支不带过滤嘴的香烟，参数同上。比较全部吸完和吸到处的情况下，进入人体毒物量的区别。模型假设 基于上述分析，这个模型的假设条件如下。1 烟草和过滤嘴的长度分别是和，香烟总长，毒物均匀分布在烟草中，密度为。2 点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例是，。3 未点燃的烟草和过滤嘴对随烟草穿行的毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别是常数和。4 烟雾沿香烟穿行的速度是常数，香烟燃烧速度是常数，并且。分析：首先，提高过滤嘴吸收率、增加过滤嘴长度、减少烟草之中毒物的初始含量，显然可以降低吸入毒物量。其次，当毒物随烟雾沿香烟穿行的比例和烟雾速度减少时，预料也会降低，至于在假设条件中涉及的其他因素，如烟草毒物的吸收率、烟草燃烧速度，对的影响就不同意估计了。模型建立 设时在处点燃香烟，坐标系如下图。吸入毒物量由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为研究这些关系，定义两个基本函数。如果知道了流量函数，吸入毒物量就是处的流量在吸一支烟时间的总和。注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设，我们得到 ， 下面分四步求。1求瞬间由烟雾携带的毒物单位时间通过处的数量。由假设4中关于的假设，可以认为香烟点燃处静止不动。为简单起见，记，考察一段香烟（如上图），毒物通过和处的流量分别是和，根据守恒定率这两个流量之差应该等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是由假设2、4有 其中是烟雾穿过所需时间。令得到微分方程 在处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作，根据假设1、3、4可以写出方程的初始条件为 ， 求解、式时先解出，再利用在处的连续性确定。其结果为 2在香烟燃烧过程的任意时刻，求毒物单位时间没通过的数量。因为在时刻香烟燃至处，记此时点燃的烟草单位时间放出的毒物量为，则 根据与第1步完全相同的分析和计算可得 实际上在式中将坐标原点平移至处即可得到式。由、式能够直接写出 3确定 因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断地吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度由初始值逐渐增加。考察烟草截面处时间内毒物密度的增量，根据守恒定律它应该等于单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，按照假设2、4有 令并将、式代入得 方程的解为 其中（假设2）5 计算。 将代入式得 （10）最后将（10）代入式积分得到 （11） 为便于下面计算将上式化简得 （12）记 ， （13）则（12）式可写作 （14）把第二支烟设想成吸收率为的假过滤嘴，这样由（11）式可得 （15）与（11）式的相比得 （16）结果 1. 将，代入（12）可得，。2. 全部吸完与吸到处进入人体毒物量之比为 9.题目： 在人口的预测和控制模型中，总和生育率和生育模式是两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。解:一 问题分析目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重，所以现在开始提倡晚婚晚育，一对夫妻只能生一个孩子以及定下了一些关于生第二胎的政策。所以在此我们可以考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。二 模型的假设 时刻年龄小于的人口即人口分布函数记作； 婴儿的出生率记为； 时刻年龄的人的死亡率记为； 表示时刻年龄在内单位时间的死亡人数； 是人口调查得到的已知函数； 婴儿的出生率记为；三 模型的建立与求解 由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数，即人口分布函数为：由于在社会安定的局面下和不太长的时间里，死亡率大致与时间无关，于是可近似的假设=因为与可由人口统计数据得到，所以可由粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况，我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率了，下面我们就来讨论。记女性的性别函数为，即时刻年龄在的女性人数为，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作，则育龄区间为，则：=再将定义为 =其中满足 于是就有 =可以看出就是时刻单位时间内平均每个育龄女性的生育率。如果所有的育龄女性在她的育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么即为生育总和。从上式我们得到是年龄为女性的生育加权因子，即生育模式。在稳定环境下可近似地认为它与无关，即=，表示了哪些年龄生育率高，哪些低。所以取得一定的值的时候，生育率能达到最高。由人口统计资料可以知道当前实际的。作理论分析时常采用的的一种形式是借用概率论中的分布： 并取=2，=，这时有：=即意味着晚婚，而增加意味着晚育。所以生育率和生育模式是可以控制人口发展过程的两种手段，可以控制生育的多少，而可以控制生育的早晚与疏密。我国的计划生育正是通过这两种手段实施的。 所以一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率为1，所以1；晚婚晚育相当于生育模式中使和增大；生育第二胎的一些规定可相当于总和生育率略高于1，即略高于1，且曲线扁平一些，因为规定了生二胎要间隔多少年。四 模型的评注在上面的模型中密度函数或分布函数固然是人口发展过程中最完整的描述，但是使用起来不是很方便，在人口统计学中常用一些所谓人口指数来简明扼要地表示一个国家或地区的人口特征。不过根据上面的生育率和生育模式我们还是可以很方便的预测和控制人口的增长，并针对我国的人口情况做一些相关的计划生育策略。使得人口能够更优更好的发展。 13题目：.人工肾单位事件带走废物的模型人工肾是帮助人体从血液中带走飞舞地装置,它通过一层薄膜与需要带走废物地血管相通,如下图.人工肾中通以某种液体,其流动方向与血液在血管中地流动方向相反,血液中地废物通过薄膜进入人工肾.设血液和人工肾中液体地流速均为常数,废物进入人工肾地数量与它在这两种液体中地浓度差为正比.人工肾总长L.建立单位时间内人工肾带走废物数量地模型.解:以血液流动方向为正方向建立坐标x,如下图，血液和人工肾中废物浓度分别记做u(x),v(x),血液和人工肾中液体流动的速度分别记做ku和kv 考察（x,x+）血液中废物浓度的变化，得ku(x)=ux-v(x)dx+ku(x+dx),于是k=-(u-v), 0.同理，k=-(u-v),边界条件为u(0)=u,v(l)=0,可解得u(x)=u,v(x)=u 其中单位时间内人工肾带走的血液中的废物量为Q=-k=ku-u(l)=uk表示人工肾性能的指标清除率I定义为I=16题目另解:建立铅球掷远模型不考虑阻力，设铅球初速度为v，出手高度为h，出手角度为a（与地面夹角），建立投掷距离与v，h，a的关系式，并求v，h一定的条件下求最佳出手角度解： 在右图坐标下铅球运动方程为，ORxyh ，a解出，后，可以得铅球掷远为 这个关系还可表为 由此计算，得最佳出手角度，和最佳成绩设h=1.5m，v=10m/s，则，第9题 计划生育问题一、 问题阐述：在人口的预测和控制模型中，总和生育率和生育模式是两种控制人口增长的手段。试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。二、问题的提出：目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，