（基础数学专业论文）一族离散的可积模型的分解及流的拉直.pdf

摘要 本文给出一个新的离散谱问题，并且导出与之相联系的一族非线性微分差分方程有 趣的是这个族中的第二个非平凡的微分差分方程的连续极限，恰为导数非线性s c h r 甜i i l g e r 方程利用对特征值问题非线性化方法，导出一个新的辛映射及其守恒积分借助母函数 方法，证明守恒积分的两两对合性及其函数独立性，这表明这个辛映射是l v m e 完全可 积的这族非线性微分差分方程被分解为h m i l t o n 微分方程及一个可积辛映射最后引 入a b e l _ ja c 0 _ b i 坐标拉直各种流，包括连续流和离散流 关键词：孤子方程；1 + 1 维方程；p 0 i 8 8 0 n 括号；h m i l t o n 系统 a b s t r a c t a 哪d i 嘲僦e 印e c t r a lp r o b l 咖i 8p r o p 佣e d ，蛐dn 出盯d i 圩曲e n t i 小d i 脑e n c ee q u a t b n so f 也e o o r r 曲p 彻d i n g h i e r 8 r c h y a r e o b t a i n e d i t i 8 i n t e 瑚t i l l g t h a t t h ec 0 t i 删。瑚h m i t 8o f t h eb e c o n d n o n t r i v 锄d i h 研e n t i 止d i f f e r e n c ee q u a t i o n si nt h eh i e r a r c h y 盯ed n l se q u 8 七i o l l 8 r h ei n t e f d b k s y m p l e c t i cm 印w 主七hl t 8c 0 | 1 8 e r v e di t e 窜d 1 8 增o b t a i n e dt h r o u g hn l en o n l i n e a r k a t i o na p p r 谳 o f 西学i l v 山ep r o b k m 8 ，ag e n e r 8 t i n gf u n c t i o n8 p p r 0 8 c hl si n t r o d u c e dt 0p r a v et h e m v o l u t i v i 移 o fc o n s e r v e di n l 砖翠a j s 缸l d 妇m 吐i o r 忸li n d e p 啦d e n c e i ti 8b h 吣t h a tt h e8 y m p l e 呲i cm a p i 8o o m p l e t e l yi l l t e 字a b l emt h el j o u v k8 e n s e n o n l i n e 雎d i 圩e r e l l t i a l d i 髓r e n c ee q u a t i o n so f 乇h e h i e r 盯c h ya r ed e c o m p o s e di n t oh a m i l t o n i a nd i 疗矗e n t i a le q u a 七i o n sa i l dai n t e 萨a b k 盯m 驴l t i c m a p t h 曲t h ea b d _ j o b ic o o r d i n 雠睇r ei n _ r o d u c e dt 0 啦r a i g h t e no u tt h ec o r r 朗p o n d i n g 丑。稍，i n c l u d i n gc o n 恤l u o l l 8 丑o wa dt h ed i 8 c r e t e 丑a w k e yw 时d s ：8 0 h t o ne q u a t i o n ，1 + l - d i m e n 8 i o n a l ，p o i 8 b o nb r 8 d 吼，h 嬲l j l t o n8 y 咖m 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反 学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 果，特此郑重声明 学位论文作者 番垂、尹 2 矿口石年4 月z 。日 o引言 可积系统是国内外孤立子理论中具有挑战性的研究课题，它经历个长期的历史发 展过程最早的一系列可积模型：如j ”o b i 椭球测地流，球面上的谐振子( c n e u m a m 系 统) ，几种可积的经典陀螺等这些例子( 常微分方程组的可积模型) 最终被纳入著名的 l 伽v i l b a r n o l d 理论，其关键在于通过寻求作用角变量( 圣，j ) 使得可积的h a 商l t o n 系 统，在此坐标下可写成简单拉直“形式” 毒= u ( 工) ，j = 0 因而解可以形式地给出： 壬( t ) = 圣( o ) + u t ，j ( t ) = j ( 0 ) 利用对空闻坐标反演，给出原问题的解 上世纪6 0 年代孤子方程的兴起，实际上是把可积模型从常微分方程发展到偏微分方 程和离散方程由于发展极为迅速，现已产生一系列成熟的基本方法如：反散射方法， b 矗l u n d 变换，h i r o t a 方法，代数曲线方法【10 1 【1 7 】等 l 8 x 表示和零曲率表示在可积系统中起着重要应用寻找和扩充l “或l i o u v i l l e 意 义下的可积系统是孤立子理论研究的重要课题，同时寻找新的可积系统，并与具有物理意 义的方程联系起来十分困难b i _ h m n t o 结构是证明非线性方程完全可积的有效方法 曹策问提出的非线性化方法是构造有限维可积h a m n t o n 系统的有效方法，在b 8 r g m m n 或n e u m n 约束下可将特征值问题非线性化为有限维完全可积h m i l o n 系统如k d v ， a k n s ，j 删e n t _ m i o d e k ，k a u p _ n e w e u 族等 5 ，1 9 ，3 5 】此方法亦称为“约束流方法”此方法 另一重要应用是将与特征值问题相联系的孤子方程的求解问题转化为求解相容的常微分 方程 关于离散可积模型的研究引起人们的强烈兴趣，因为多数已知的离散系统具有物理背 景连续问题的成功使得人们努力去探讨离散情形的平行问题直到1 9 鹞年才有q u i s p e l 等人提出一个猜想 3 7 ：驻定的离散孤子流是离散的有限维可积模型后来r 醒m i s c o ，曹 策问等人在研究t o d a 特征值问题时发现经过非线性化，特征值问题产生一个可积辛映射 | 4 1 ，这一结果为离散问题的一般理论框架的建立奠定了基础 特征值问题非线性化作用，不仅在于获得新的有限维可积系统( r 2 ，咖 曲晶。) 与新 的可积辛映射s ，更进步的作用在于提供一种手段来分解孤子方程这在某种意义下可 看成非线性分离变量t o d a 链的有限带解化为求解常微分方程组) 和映射8 的作用 进而在a b e l j8 c l d b i 坐标垂下，s 流与昂一流都直化为 雪地，釜_ n 0 ， ( ) 皿 故t b d a 链在a b e l j 0 b i 坐标垂下的显示解的表达式； 壬m ，z ) = 壬o + n n 。+ z q o ( 0 2 ) 经过恰当的反演，便得到t 0 d a 链在原坐标下的显式解 3 0 】 本文在非线性化理论框架下，对一个离散谱问题寻找它的可积辛映射，并得到与之相 应的对合的守恒积分进而通过引入a b d - j ”o b i 坐标，对所得孤子方程进行分解及流的 直化文中首先导出一族离散的演化方程，它的前两个是 u ( n ) 一赢( 一矸而高等端 一两而尚罄器i 而+ 币尚劈南一揣) ， f 0 4 1 ”( n ) 一一+ 雨南丽( 一矸而高群聩帛丽而 一再羽躺篙蒜端可丽一端+ 而芒稿；两) 全文框架如下：第一节引入离散谱问题并且获得与之相关的孤子族，第二个孤子方 程( o 4 ) 的连续极限，恰为导数非线性s c h r 矾i l l g e r 方程第二节在b a r g m a n n 约束下获得 辛映射及其守恒积分第三节孤子方程分解为h 8 i i l i l t o n 系统及辛映射第四节借助于椭 圆坐标及拟a b e l j ”o b i 坐标，辛映射的可积性和函数独立性得以证明第五，六节引入 a b e l ja c l d b i 坐标，连续流和离散流得以直化， 2 一 l 离散的非线性孤子族 此部分通过引入离散谱问题，借助零曲率方程获得非线性孤子族，并求得孤子方程 ( o 4 ) 的连续极限恰为d n l s 方程 考虑离散谱问题，它是f 2 列的谱问题的扩展 脚m m m ；南。 a 是一个常谱参数，u ( n ) ，”( n ) 是两个势能，e 是移位算予e ，( n ) = ，+ 1 ) ，加一1 ) ，= e 一1 ，+ = 曰一1 ( 1 1 ) e 一1 ，( n ) = 为了获得与( 1 1 ) 相关的离散的非线性方程，引进l e n ”d 梯度序列嚣( n ) = ( q 机+ 1 ) ，岛( n ) ，山( n ) ) 7 ，满足递归方程 鲫1 ( 札) = 厶毋( n ) ，厶卯( n ) ；o ， j 1 ， ( 1 2 ) 其中，厶是两个矩阵算子【2 3 】 蚰( 礼) =f 硝 l 荫l l j 这个作为初始值，并且女e r = c 鲰( n ) lv c ) ，那么( n ) 由递归方程( 1 2 ) 唯一确定 g l ( n ) f 百桶( 一茌干诹i 第罱旱g 帮导可可可而一扭；可可爱毒镑三吉尘褊一百犏+ i = 面高粤西装i 面) 1 l 丽辆( 一蕊耐端揣丽一丽丽鞣蒜两+ 丽器商) 卜) 面嗣秽趟嚣柄 假定m ) 满足离散谱问题f 1 1 ) 和辅助问题 3 ) k = y 矿( n ) ( m ) = 其中 4 妒) = 如( n ) a 一 j = 0 璐“) = 岛( n ) a 一 j = 0 那么由( 1 1 ) 和( 1 4 ) 的相容条件，有离散零曲率方程 g 驴) = q ( n ) 一 j = o 矿( n ) m + u ( 礼) y 加) ( m ) 一y + 1 ) ( m ) u m ) = o ( 1 4 ) 卜， m s ， 其中 帅，= 言) ( 篙一一“咄 p 为投影映射( 7 1 ，忱，) 7 - ( 1 1 ，垤) 7 u m ) 。 怫= 蔫 ! 鱼二1 2 1 + u ( n 1 ) ( n 一1 ) “( n ) f 雨赤丽( 一研而怒擗揣搿两而 一面而器糌掣玎而+ 雨尚 一揣) ， f 1 6 1 ”( n ) 一一+ 雨南而( 一面丽舞群勰岛而丽 一矸丽嬲尚蒜犏一稿+ 雨滓赫两) 下面我们将讨论1 + 1 维孤子方程( 16 ) 的连续极限，与【3 2 1 3 3 】【3 4 】相同的方法 为了在个较小步长的晶格上考虑方程( 1 6 ) ，定义 u ( f 1 ) = 2 “扛) h ， 伽) = ( z ) ，i 吵( “) = 删扣+ 南 ) ，e ( ) = ”扛+ 南 ) 4 把上式代人方程( 1 6 ) ，关于 幂展开，则有 在变换 下并取 一。得 池= 乱b z 2 + 4 3 + 2 u 2 t h 3 + o ( 3 ) ， 魄= 叱z 2 4 i 帆k 3 一蕊“z ”2 h 3 + d ( h 3 ) t = i 4 t x = z i t 寸= 一”x x 一4 伽啊一2 ”2 u x 令u = 矿，那么上式约化为d n l s 方程 即 i 竹十 x x + 瓠( 扣1 2 w ) _ ( = o 引进母函数鲰( n ) 其中g ( n ) 满足 肌( n ) = 鲫( n ) a 7 1 j = o 命题1 1 泌恒等式 4 1 ) 令一0 ( n ) ， ( n ) ，a ) 是如下定义的线性映射 m 如c 蛳，帅，= ( 鬻黑) ， 那么离散的交换关系为 ( f y ( n ) ) u m ) 一矿( n ) y m ) = 以伽) ，”m ) ，a ) ( p ( 一a 矗h ( n ) ) 对任意函数7 ( n ) = ( 1 1 ( n ) ，铲( n ) ，1 3 ( n ) ) t ， 其中 巩c u c ，；，”t n ，一，( ：；) = 芝1 。；。u t u c n ，十e s u c n ，”c n ，+ s a ”c n ，a ， = 志( 冲州搿州咖” 5 ( 1 ” ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 推论1 2 方程( 一 ) 1 ( n ) = o ，暗含如t 口h ( n ) 1 = 常数，且不依糗于n 证明有( 1 1 0 ) y = 盯n ) 】满足矿+ 1 ) = 矿( n ) y 唧) u ( n ) 故d e t y ( n + 1 ) = d e t v ( n ) 口 由推论1 2 知d 甙幽 】- 常数，因为l a r d 梯度序列是关于“( n ) 和 ( n ) 的多项式， 这个常数由”( n ) ，u ( n ) 唯一确定当n o 。，”( n ) ，u ( n ) 迅速衰减，借助于( 1 9 ) 式，则有 1 d e t 口队1 = 一 ( 1 1 1 ) 2 辛映射 本节的主要工作是在b ”肿m n 约束下，通过母函数流的方法，证明了辛映射及其守 恒积分 在连续的情况下，特征值问题的非线性化产生一个可积系统，然而在离散情形下它将 产生一个可积事映射假定。b 和( n ) = ( p ( n ) k ，g ( n ) k ) t ( 1 ) 是离散谱问题( 1 1 ) 的 个不同的特征值和相应的特征向量 引理2 1 证明 v n k =( 耋h 并) 诋倒= 降 ，( 粗， ，( 。( 咄。( n 舭) f 寺。k 】_ f 毗m 啦一毗慨r1 ；毗靠， ( 2 2 ) d k ( 瓠) 2 一n k m 骶 ( 一o j n ) v o k = o ， e ( d k 旬b ) 矿( n ) u ( n ) ( n k e k ) = o 高一搿c 嘲( 01 1 ) 2 r ( ”( 咖* + 铋) 2 = n k ( e 靠) 2 ， 6 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 下面证明( 2 3 ) ，o l一，o i 一。( 。)。( 。) 即 褊= 打鬻c ( ：) = 一去( 1 + 刚2 = 一( m ) 2 ， 毒，1 + 篙攀) ( “鬟 + ( 礼) ) ) o u ( n ) ( 1 + f ) ii 一( m ) 。 l “( n ) 口( n ) ， p k 靠 ( m ) 2 = 一o k 【( 1 + 缸( n ) ”( n ) ) ( m ) 2 + “( 竹) ( 1 + e 慨口硝， k ( e 口) 2 = ( a ) 2 ( 1 + 让( n ) ( n ) ) ( 。印e ) 2 十凸 ( n ) ( 1 + 脚p i 窜k ， 一( 礼) 血女( 肋 ) 2 一 m ) 印女) 2 + 肌啦= o 通过直接的计算，可以获得( 2 1 ) ，( 2 3 ) 根据( 1 9 ) ，( 22 j 是显然成立的 一对一的，利用( 1 1 0 ) ，方程( 2 3 ) 等价于( 2 4 ) 口 引进b 8 r g m a n n 约束【1 1 _ v p 卯) = p 亏n k = 1 也即是 因为线性映射c 是 ( 2 5 ) ( 煮) = 嚣，筘) ，) = 叱盼协e ，ir 褊j 一一 | ”( n ) j 。口( n ) j 。 其中 是r 中的标准内积，a = d 缸g ( n l ，n ) ，a l = d t o g ( 川r f 面，们i 再丽) ，p ( n ) = ( p 1 ，p 2 ，p ) 7 ，q ( n ) = ( q 1 ，q 2 ，日) 7 ，把谱问题( 1 1 ) 写成分量形式 e = 志r 搿咖加。，) 江砷 定义映射妒： e ( 州a o 。) 1 秽咖叫= m s ， 命蘑2 1 妒在( 且”，d p a 由) 中是一个辛映射 证明令f = e 叠，f = 功，借助( 2 8 ) 知筇 面= d p 由 口 为了证明妒的可积性，在辛空间( 铲，却a 由) 中引进两个函数的p 0 i 8 m 括号 和兄“上的双线性函数 考虑| 2 4 洲砌) g 0 0 p l 。 + 墨 g o o 卸 k 可 随 、， 口 卿 “叭 一 一 l 一2 口“ + q = 坂 0 = 坛 ) r矿 8 一 矿 h e 根据推论1 2 ，b = 拙h 在辛映射妒下是不变的，并且产生如下母函数的运动积分 b=抵h = 一睦+ q ( a n 窖) 】2 + a q ( p ，p ) q ( a g ，口) = 一 q ( a p ，q ) 一q ( a 弘口) 2 + a q ，p ) o ( a g ，q ) ( 2 1 2 ) = 一 + 。南， 1 娲= 一 + f 1 = 一 一 2 + + m 1 = 一 一 目= 0 m + ，m 2 在此利用下面等式 仉( ，q ) = 一1 为了证明 ) 的对合性，母函数方法是简便的在辛空间( r ”，d p a d g ) ，考虑h a 嘶l t o n i a n 流乃，设毋的流变量为n 直接计算给出日一流的正则方程 杀一小( 娄卜如t ， 仁埘 其中 事实上 用相同的方式则有 肛去f 麓芸 8 f x d 吼 玖( 1 2 ) 一h ( 1 1 ) + u ( 1 1 ) h ( 2 1 ) ：一2 i 竺丝生u ( 1 1 ) 一；竺嫩u ( 1 2 ) 一o 一n 女 鬻一羔叫+ 慧卿 9 0 1 k 笆l 一o 、llij， 幢 0 0 h t y k m 麓恶 故 ( 誊) = 去( 描尝) ( ：) 一叫( 竺) 口 命题2 3 l 8 x 矩阵沿着r 流满足l “方程 杀k = m ) ，吲， ( 2 1 4 ) ( 以t n ) = o ，p g ， 慨1 5 1 ( n ，弓) = o ，功，= o ，1 ，2 f 2 1 6 ) 证明 借助( 2 1 3 ) 通过直接的计算可知 誓：_ lf “h 0 2 怛”一a u 怡”k ( 1 2 ) 现h ( 1 1 ) k f l 一2 p 玖( 1 。) ( 圳1 嘞卜iq 州俨蚴岬俨硼( 1 2 西) + 蒜，) 荔，2 ) j 竺；：i ：竺竺立：之程( 2 。1 4 ) 暗含昂= d e t 沿着毋流是不变的，叉因为函数日沿着毋 流恰为括号，则有 ” ( 昂t 以) = 杀毛。蕺) = o 故 3 孤子方程的分解 耻熹南 口 此节将非线性方程分解为有限维h m n t o n 系统及辛映射 蝣慨作用5 ) k 次，并且注意弛峨柏心) ，1 昔助于( 1 2 ) ，( 2 3 删有 三哟崎砘+ c 哦“+ 蛳( 嘲) ，( 3 1 )j ；1l ”- 1j 其中是常数 ：霎；：三辛映射_ p 产生的离散流的解( p ( 咄g ( n 炉：矿( p 0 胁) r 通过，映成定态的离散 非线性方程 一 x n + e n t x n l + + c n j n x ) ：q ( 3 2 ) nr 上 一 !| f f 七 b 吣 = 七 巧 0 j | r弓 的解 证明定义多项式 o ( ) = ( 一哟) = o 一 妒 j = l k = o 一 翰，一k = 口一耳+ n 一耳一f c f l = 1 把p ( n ) 作用于( 3 4 ) 产生( 3 2 ) 口 命题3 2 在约束( 3 1 ) 下，函数g 和鲰有如下直接的关系 其中 “= 1 + 证明记南= ( o ，o ， 一 ) 7 g = 耋鼍一；a 。 = l _ ( 鲰+ c 1 瓤一1 + + 讯蚰) + a _ 1 9 0 = c 肌 口 女= l 进一步可得到l a x 矩阵坛以及守恒积分的母函数兄 h = 一( a ) 【g 】= a ( a ) b 蚓， 足= “2 抛一 虮】- 一：“2 借助c = l 一4 巩，引进另一母函数风，则有 借助于 地= 日k 一1 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 蚰善j | | 耋 n 吲 删 从 讹 k 力 晰鼢 并 = “ 以 乘 p 把即 不难得到 日m ( + l = 一4 皿。) 凰= 晶，皿= ( f l + f 0 2 ) ， = f m + ”；，暑孙。日j 甄，( m 1 ) _ 特别 凰= 一； + ； 命题3 3 峨 是对合的 证明因为 1 6 巧，b ) = ( 1 4 凰) 2 ，( 1 4 j 札) 2 ) = 1 6 1 6 耳乃 吼，地 ， 故 风，凰) = 可毋) = 0 有( 3 9 ) 知命题成立 口 分别以“和定义毋一流和日。流利用p o i 8 s o n 括号的l e i b n i t z 法则 借助于( 3 8 ) ，可得到【2 5 1 似风 = 去似n ) ， 其中妒是任意函数故 事实上 即 因此 d1d d t 2 吼d n 似( 1 4 风) 2 一2 ( 卜4 巩) ( 一4 ) 仰，风) = 一8 。 ，峨 砂，一4 。r ) = 一8 “ 母，日 ) m 巩) = 去似n ) 1 2 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 借助予( 2 6 ) ，( 2 1 3 ) ，( 3 ，4 ) 和( 3 1 3 ) ，沿着n 一流， * 流，则有 最) = ( ：篡= 怒= 三篡芏三警毓 丢) 一厶姒 事实上 u 。= 孥等( u 2 一 ) ， = 等兰字( 一铲 ) 借助下面等式 = 一印 ( a 2 e 口，翰) + 2 q ( a e p ，e q ) = 卧( a p ，p ) 一2 吼( a p ，口) ， 一札q ( a e 吼肋) 一口q a 。，p ) + 一1 q ( a ng ) ；o ， 可得( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) 命题3 4 令p ( ，t 。) ，g ( n ，t 。) ) 1 是离散流【p ( 2 1 3 ) 和丑孟的相容解 毫( 垆v ( 蓍) 那么( ( n ，) ，”( n ，) ) 7 = ，p ( n ，k ) ，口( n ，) ) 解决了1 + 1 维离散方程( 1 6 ) 的解 命题3 5 d | b ，q 、：i 弋h t 。- x 。 = 毫( 剐训v 1 3 口 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 4 椭圆坐标与函数独立性 本节通过引入椭圆坐标，证明守恒积分是独立的 易知f ，一1 ”，暌2 1 都是 的有理函数，并且在哟处有单一极点，因为在毋中n 一唧) 2 的系数为o ， 毋= q 扫，p ) ( q ( q ，口) 一 ) 一( + a q 0 ，口) 一 ) 2 f 4 1 1 = 一黼= 一茄， 以“) 一一a q ( p ，p ) = 一 ：措， ( 4 2 ) 以钏= 恸( 伽) 一 = 器， ( 4 f 3 ) 此时 a ( a ) = n n a ) ，p ( a ) = ( a 一仇) ， r ( a ) = 。( ) 卢( ) = ( a h ) ， m ( a ) = ( a m ) ，n ( a ) = n 一嘲， 其中k = a 女，1 _ v + k = 仇，k = 1 ，2 ，n ，和称为椭圆坐标 在( 4 2 ) 和( 4 3 ) 的展开式中，比较 一的系数，可以得到 娑警：窆( 州旷硝蝴， ( 4 4 ) 各、 。1 g 筹：窆( 州旷嘶” ( 4 5 ) 蛊一一 。 、。 命题4 1 证明 根据方程 辈：! 巡丛型型，( 4 6 ) d n 一“ 里螋：! ! 坠! ! ! ! 堕竺塾坠! 竺丝竺! d 丁a 一卢 篆书n k 1 4 ( 4 7 ) ( 4 6 ) 和( 4 7 ) 是显然成立的 口 根据( 4 1 ) ，则有 v ( 1 1 ) 一圃 p 女 一2 d ( p i ) 1 ，( 1 1 ) 一盟 一2 ( 地) 1 札k m ( a ) 而丽2 一万丽而丽硒 1 d 吨 n ( a ) 丽石2 万i 预而丽 ( 4 8 ) ( 4 9 ) 通过次数不大于g ：一1 的多项式插值公式，记0 = 1 ，2 一1 ) ，可得椭圆坐标沿n - 流 的演化方程 喜篇筹= 一砉丽篇舻1 = 一希， 耋菇岛筹= 耋丽坩1 = 篆等 考虑由仿射方程 o ：砌) = o ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 严生的椭圆曲线l 、 因为d 印r = 2 ，所以亏格为一1 定义p ( a ) = ( a ，f = 俑) ，在r 上有 1 个 线性无关的全纯微分为 牺7 ：黑矾，j ：1 ，2 ，乩 ( 4 1 2 ) 呜2 赫矾，j “，2 ，肛1 ( 4 1 2 取r 上的固定点岛，引进拟a b e l j 0 b i 坐标 而= 盖( 呖，而= 丢。( 奶，- 曼。， ( s ) 其中 d l = p ( 坳) j = 1 那么( 4 1 0 ) 和( 4 1 1 ) 可以记为如下命题 命题4 2 ( f 一流的直化) 堕一些堕一些 d n n ( ) 1d a a ( a ) 1 5 ( 4 1 4 ) 叶 p ， i | 2 d 证明 安；詈叠等= 警赫等 7 ：= ：口p 7 1五z 、，直【p b j “7 求助于( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) ，则有嫠= 一筹、 口 推论4 3 ( r 一流的直化) 设靠是f 0 流的变量，那么 ，彩耐却、 瓦瓦而五户一 la l 01 o0 a 一2 a _ 一3 ( 4 1 5 ) 和麓= 一麓，a 是下式的展开系数 2 6 j ； 赫= 再矛南而丽泓一， ( 4 1 6 ) 丽2 f 丽再f 可二i 硒+ 惫q “。 峥“叫 山可以通过n 女的幂和表示 唧；登，：1 ，4 ，：s 1 ， 2 ： ( s 2 + s 1 2 ) ， 一 a 3 = ( 2 s 3 + 3 s l s 2 + s 1 3 ) ， 递归公式为 2 扣+ 。妻腔，勘协 ( 4 1 7 ) z 十，= r ，4 ，l 证明根据p o i 8 s o n 括号的定义 芸= 瓶n ，= 薹六佩靠，= 嘉南关， 记 d ，d 1d 咖一1 、 丽叫瓦百， 娶：一蒜：一妻栌一， d n ( ) 鲁。 比较展式按中a 一”的系数则有 蓑= 佤= a 卅s + l ，l 兰s 一1 ，”l 0 1 6 定义a 一 ：o ，( = l ，2 ，) 因此，我们证明了以上结论，其中石= ( 面，知一1 ) 7 口 命题4 4 ( i ) f o ，f l ，f 一1 ) 是函数独立的， ( n ) 日0 ，研，鼢一l 是函数独立的 证明在辛结构下p o i s s o n 括号的表达式为 u 2 = 4 p a 由： 1 ， 2 = 一( d 2 ，j 柏1 ) 假定。董1 饥d 最：o ， 则有 o ：皇1 讥d 风( f d 面) ：譬1 佻。2 ( i d r ，j d 面) ：譬1 傩( 而r ) k = o 齄2 一 “o ( 4 1 8 ) ：笠1 傀袅( 1 兰j 兰一1 ) ， ” k = 0 这暗含7 0 一= 一1 = o ， 由( 4 1 5 ) 可知系数行列式为l ，因此，f 打一l 是函数独立的 利用( 3 1 0 ) ，可得 d f 0 d f l = 2 1oo 10 d 日。 d 日1 d h n 一1 ( 4 1 9 ) 因而d 矾，d 皿，d 日n 一1 也是线性独立的鉴于毋在辛映射( 2 8 ) 作用下是不变的，这意 味易也是不变的注意到( 2 1 7 ) 可得以下定理【2 l 2 8 j 定理4 5 ，由( 2 8 ) 定义的妒在l i o u v i l l e 意义下是完全可积的 证明根据( 2 1 7 ) 和定理( 4 4 ) ，结论是显然的 口 定理4 6 系统( 舻“：d p a 电j l m ) 和( r 2 “d p a 由，日。) 在l i o u v i u e 意义下是完全可积的 1 7 5 连续流的直化 这部分根据r i e m n 曲面的基本知识，引入a b 出j 0 b i 坐标，然后利用上一节的椭 圆坐标沿女一流的演化方程，得到a b d j 8 c o b i 坐标沿培流的演化方程取椭圆曲线r 上 的正则闭链6 l ，吩，b ，彼此独立，并且 g = ( 山k ) 矗g ，山女= 吗 ( 5 - 1 ) 那么r 上的g 个全纯微分巧经线性规范为 岫= 而， u = g 白= ( u l ，岣) 7 ， ( 5 2 ) j = l 且具有以下特性 z 。屿= 厶u s = ， ( 5 3 ) 由r i e m a n n 双线性关系，可证明矩阵b = ( 玩) 对称，且虚部正定，因而可定义r 上的e 函数【2 9 】 3 2 】 9 ( e ) = e x p 丌 j ( + 2 ) ，( t g 9 ( 5 4 ) z e ；9 设岛为r 上的固定点，p 为动点 定义a b e l 映射a ：d 伯( r ) ，( r ) a ( p ) = ( u 其定义域可扩展到除子群d 妇( f ) 下面引入a b e l j a c o b i 坐标 = c g 压 a ( n m ) = n a 慨) ( 5 5 ) 曲= a ( d 1 ) = g ，妒= a ( d 2 ) = c 妒 通过直接的计算得到以下结论 引理5 1 令【3 0 1 轧= + + a 毛十2 ，那么 湍= 塾一， 系数满足递归公式 a o = 1 ，a 1 = s l ， a * 2 壶( 8 一委脏。8 ；a ，) ( 5 6 ) ( 5 7 ) ( 5 ，8 ) 引理5 2 令【删q ，g ，岛是c 的列同量，那么 揣( 吖1 卜鸭一) = 争一， 展开系数可记作 m = i ( a 女c l + 札一1 岛+ + 越一日+ 1 岛) 定义a 一。= 0 ，s = o ，1 ， 特别q o = q ，n l = ( a l q + 砚) ，踢= ；( a 2 q + a l 仍+ 岛) 定理5 3 ( 连续流的直化) a b e l j 0 b i 坐标以沿矾一流的演化方程为 蓑一蒜矾出 出k ” 证明根据( 4 1 3 ) 和( 5 6 ) ，则有 芸= e 筹4 nn = 一蒜( r b + 叫肛u 1 ) ， 、 ( 5 9 ) ( 5 如) ( 5 1 1 ) 根据( 3 8 ) 和( 4 1 ) 可得“n ( ) = 舡i 可，利用引理( 5 2 ) ，因此 联= 去丧= 一蠢蒜( a 1 q + - + a 一( “1 一1 ) = 一摘( a 一1 a + h a 叫叫国一1 ) ( 5 1 2 ) ：一萎n d 4 1 用相同的方法得到 尝：萎咐“， 出 高 这暗含( 5 1 1 ) ，因为对任意函数，均有 粤：手粤一一口 d n 高4 积分方程( 5 1 1 ) 容易得到= 一n 如，妒= 咖+ “并且利用a b e l j a c o b i 坐标西进一步刻画凰流： = 如一q k “，妒= 咖+ n 缸 1 9 6 离散流的直化 本节通过引入b a k e r 函数，直化离散流 从谱问题( 1 1 ) 出发令x ( n ) = ( p ( n ) ，口( n ) ) 7 ，基解矩阵 记 f c n ，= c x l c n ，x 2 c 扎，= ( ： ：； ，1o m ( o ) = i ， ( 6 1 ) o1 且彳( n + 1 ) = u 如) 矿0 1 1 ) - 矿( 0 ) 用数学归纳法易证 删刈= 志( 口h m ( 2 ) = 1 + p ( 1 ) ( n ) = p ( 2 ) ( 札) = 窜( 1 ) ( 竹) = 口( 2 ) ( 扎) = + ( 1 ) ( 1 ) ) ( 1 + u ( 0 ) ( o ) ) ( o ) + 1 + “( 1 ) ”( 1 ) + u ( 1 扣( o ) ) + 1 “( o ) ”( o ) 弘( 1 ) + u ( o ) + 口( 1 ) ( 6 2 ) 丽谛嚣( ，+ 训”+ 。1 ( 蒿t ；靠+ 薹面再精鞠) 】， i 商而蚋) 嚣( ，十q 扩+ 舻。1 ( 篝南十薹研丽祷 + 诵爵) 1 ， 丽谛咖一1 ) 嚣( 1 + q 训舻。+ 扩2 ( 善南+ 薹矸丽黼( 6 3 ) 两意耩) + 丽褊+ 面丽鼍辆+ 】- b 满足离散交换方程( 2 n ) 是直化由辛映射妒产生的流的关键这意味着线性方程( 1 1 ) ， 即e = 矿以在u 的作用下是不变的令p 和x 是u 解空间中的特征值与特征函数并 2 0 、il 如 2 2 p q 怖蚺 卅 n 矿 ) i 矿， 蔫 且满足 z 玟= u x ，h x = p ( 6 4 ) 易知d 耽( p u ) = 矿+ 毋= o ，因而有两个特征值萨= 士p 并且借助( 4 ，1 ) 有 ，= 需 ( 6 s ) 命题6 1 l “矩阵h 的特征值p 是辛映射妒的守恒积分 珥。) 的母函数，l 矩阵h 的 特征函数经过标准化后称为b a l 【e r 函数，可记作 x 士( n ) = x ( 1 ) ( n ) + b x ( 2 ) ( 竹) ，( 6 6 ) 贾士( n ) = c 士x ( 1 ) ( n ) 十x ( 2 ) ( 扎) ，( 6 7 ) 其中 船铲，占鬻 ( 6 8 ) 定理6 2 令p + ( n ，a ) 和庐( n ，a ) 各自是b a k b r 函数x + ( n ， ) 的第一个分量，以及b a k e r 函 数殳士( n ， ) 的第二个分量，那么 川抓垆鞣= 虢葚荆，慨。， 九旷h 垆鞣= 器萝删埘 证明利用( 2 1 1 ) 和( 6 2 ) ，得到 b m ( n ) = m ( n ) u ( o ) ，( 6 1 1 ) 从此式可得( 6 9 ) 和( 6 1 0 ) 命题6 3 当a + 。，则有 p + ( 豫a ) = ( 1 + ”( o ) ”( o ) ) 嚣( 1 + n d ) ”o ) ) i 了岩砖f l + 。以。) j ，口= 1 。 p 一( n ， ) = 一! 。i a i 坐i ：r j 一l 铲【1 + 。( 1 ) 】， ( 6 1 2 ) ( 1 + ( ，扣u ) ) 州) = 刁器耘嚣( 1 + 嘲俐刀f 1 + 哪1 n 口一( n ，a ) = s ! ：g ! ! 薯_ 三i = i l d 铲【l 十。( 一1 ) 1 ( 6 j 1 3 ) n ( 1 + ”o ) u ) ) 2 1 证明 即 其中 一= 妒岘，= ；一z 塞耽一= 扣一， 1 ) ( o ) = ；+ 刚却( 0 ) g ( 0 ) ) = ；+ 哪。1 ) ， h ( 1 2 ) ( o ) = 0 函( o ) ，p ( o ) ) = 一 ( 1 + o n 一1 ) ) ， h ( 2 1 ) ( 0 ) = 0 ( a q ( o ) ，g ( 0 ) ) = a 一1 ( 1 + o d 一1 ) ) 矿= 黹= 一丽杀哪- 1 ) ， c + = 餐肾= 赤c - 删1 ， p + ( ”) = p ( 1 ) ( n ) + 6 + p 牡) ( 竹) ， q + ( n ) = c + 口( 1 ) ( 他) + 9 ( 2 ) ( n ) p 一( n ) = p ( 1 ) ( 礼) + 6 一p ( 2 ) ( 扎) ， q 一( n ) = c q ( 1 ) ( n ) + q ( 2 ) ( 讥) 因此得到以上结论 口 命题6 4 b a k n 函数p ( n ，p ) 性质是 ( i ) 在p l ( n ) ，p 一l ( n ) 存在一1 个单重零点， 极点； ( i i ) 在p l ( 0 ) ，m 一1 ( o ) 存在n 一1 个单熏零点， 零点 命题6 5 b a k e r 函数q ( n ，p ) 性质是 ( i ) 在n ( o ) ，一l ( o ) 存在一1 个单重零点， 极点； ( i i ) 在n ( n ) ，一，啊一1 ( n ) 存在一1 个单重零点， 零点 定理66 ( 离散流的直化) ( 6 1 4 ) ( 6 1 5 ) 并且在f 的上半叶层。z 处有一个n 阶 并且在r 的下半叶层0 0 1 处有一个n 阶 并且在r 的上半叶层o 。z 处有一个n 阶 并且在r 的下半叶层。o 。处有一个n 阶 ( 竹) = ( n + 1 ) 一( n ) = n p 砂( n ) = 妒( n + 1 ) 一1 l ( 竹) = n 口 ( 6 1 6 ) ( 6 1 7 ) 其中；j 等u 证明考虑r 上的亚纯微分 u 妒( n ) = 击l n p ( n ，p ) ) 烈， ( 6 1 8 ) 在极点蜥( n ) 和脚( o ) 各自留数为1 和一l ，在极点。0 2 和o 。l 各自留数为”和n 微分 ( 6 1 8 ) 是第一类微分屿的线性组合，第二类微分n 和第三类微分u ( p q ) ，p 和q 处的留 数为1 和一1 这些微分有以下性质 j ( ；啦。) - 0 上，邶q ) 曲仃f 屿 ( 6 1 9 ) 那么( 6 1 8 ) 可写为【3 1 1 ( n ) = q + ( l ，o 。2 ) + u ( n ) ，蜥( o ) 】+ 屿， ( 6 2 0 ) 其中复数( 6 ，1 8 ) 沿着毗积分可得讥= 2 丌，j 吼，然而( 6 2 0 ) 沿着靠积分给出 等愿? 啡= n f 2 u m + 蔷c 吼叫蹦，m ! 。 c e m ， 其中q ，仃i j 为确定的数因此，( 6 1 6 ) 成立 用相似的方法考虑r 上的亚纯微分 。( n ) 2t 云1 n q ( ，p ) m ， ( 6 2 2 ) 可以证明 詈艨? 龇= n e 2 u t + 薹c 。慨也铷”曼m 屯 c 。， 至此最终完成了定理6 6 的证明 口 推论6 7 垂( ，。) 一( o ) = n n 口， ( 6 2 4 ) 妒( n ) 一妒( o ) = n n ，( 6 2 5 ) 基于定理5 3 ，66 和推论6 7 ，在a b “j a c o b i 坐标下通过简单的线性叠加各种流的相容解可 以获得因此对于离散方程( 1 5 ) ，可得到 ( 仃，t m ) = 7 i n 一t 仇n m + ，( 6 2 6 ) 砂m ，t m ) = n n 。+ t m q 仇+ 母o ， m o ( 6 2 7 ) 参考文献 h lg w g 幻tx g g 钮9 1i t n o n l