（应用数学专业论文）一类p调和方程的多解性.pdf

摘要 在有界光滑开区域qc 一上，考虑非线性项，在无穷远处一1 ) 一次线性增 长的一类少调和方程d i r i c h l e t 边值问题 ：竺害茎二i ，a ，( 妨 z q z a q ， 解的存在性和多解性应用三个临界点定理，证明了此类p 调和方程在嚼p ( q ) 中至少有三个不同的弱解存在 关键词：p 调和算子；0 1 ) 一次线性；临界点；多解性 a b s t r a c t 1 nt 1 1 i sp a p e r ，w ee s t a b l i s ht h ee ) 凼t e n c eo fm l l l t i p l es o l u t i o n sf o rt h ef 0 u 衲g e q u a t i o ni i 0 l v i n ga 少h 锄o n i co p e r a t o r u ) ) = 入，( 钆) ， 祟：o ， n 饥q ， 帆a q w h e r eqc i sab o u n d e do p e ns m o o t hd o m a i n ，w h j i et h en o n l i n e a r i t y ，h 懿a ( p 1 ) - s u b l i n e a rg r a w t ha ti n 6 1 1 i t y u s i n ga t h r e ec r i t i c 出p o i n t st h e o r e m ，w ep r o v e t h ee 】c i s t e n c eo fa tl e a s tt l l r e e 出t i n c tw e a ks o l u t i o n si n 嚼，p ( q ) t ot h i sp r o b l e m k m d r d s ：p h a r m o l l i co p e r a t o r ；一1 ) 一s u b l i n e a r 黟o 、机h ；c r i t i c a lp o i n t s ； m m t i p l es o l u t i o 璐 仕q = u ，、ll 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：厦蹙浆日期：矽口8 年岁月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：歧蓬、策 日期：渺8 年f 月w 日 导师签名：d 卸伸1 日期：矽8 年石月2 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童诠塞堡銮卮进卮! 旦圭生；旦二生；旦三生蕉查! 作者签名：歧楚壕 日期：矽驴马年岁月w 日 导师签名：搠帆 日期：绷年f 月五日 硕士学位论文 m a s t e r s7 r h e s l s 第一节引言 本文考虑如下形式的非线性d i r i c h l e t 边值问题 ：竺言篓兰毛，入，l 三茎， c 1 1 ， i 让- 0 ，篆_ 0 ， z 锄， u j 多解的存在性这黑qc 豫是有界光滑开区域，n 为a q 的外法向量，入r 是参 变量令1 o 使得 l 口( ? ，f ) i g ( 1 + l j p 一1 ) ，vz q ，f 乏 ( c ) a 是严格凸的，即vz q ，亡【o ，1 】， f ，7 r ，有 a ( z ，+ ( 1 一t ) 7 7 ) t a ( z ，) + ( 1 一t ) a ( z ，7 7 ) ， 当且仅当亡( o ，1 ) ，7 7 时，严格不等式成立 ( d ) a 满足椭圆型条件，即存在常数q o ，使得 a ( z ，f ) q i i p ，vz q ，之 当口( z ，s ) = l s | p 一2 s 时，问题( 1 1 ) 化为p 调和方程d i r i c h l e t 边值问题当 口( z ，s ) = s 时，问题( 1 1 ) 化为双调和方程半线性d i r i c h l e t 边值问题 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 关于椭圆方程边值问题中的非线性项是次线性增长情形时解的存在性的研究， 目前已有很多结果，例如，在文献【8 】中，作者讨论了带h a r d y 项的半线性椭圆问题 二三二_ p 茬每+ 入，l 二三二， c 1 2 ， 运用b o n 锄o 【2 】从【1 1 】和【1 2 】中得到的三个临界点定理，当p ，入满足适当条件 时，作者证明了( 1 2 ) 至少有三个弱解存在在文献【3 】中，作者讨论了一类拟线性 方程边值问题 ：竺等z ，v 让) ) = 入，( 让x 三茎三， ( 1 3 ) 通过极小化技巧和极值原理，获得问题( 1 3 ) 的解的存在性与唯一性l i n 【l o 】利用 上下解方法得到了问题( 1 3 ) 的解的存在唯一性及解的渐进性在文献【9 1 中，作者 对问题( 1 3 ) 作了进一步的讨论，证明了，是( p 一1 ) 一次线性增长时它的三个弱 解的存在性这也将4 1 和【5 】中仅讨论，在无穷远是0 1 ) 一超线性的情形补充 完整了，d en 却0 1 i 和m a r i a n i 【5 】讨论了当，是( p 一1 ) 一超线性时，问题( 1 3 ) 有 m o u n t a i n p a 鼹解，d u c 和v h 4 1 讨论了。在f 5 1 中更一般的情形，o 是非一致的 受文献f 8 1 和9 1 的启发，我们将讨论问题( 1 1 ) 在o ，满足如上所述条件下多解 的存在性我们的主要结果可以归结为如下定理： 定理1 1 设qcr 是有界光滑开区域，1 ，对va a ，方程爿( z ) 一a 尸( 茹) = o 在x 中至少有三个幂同的弱解，且这三个弱解在x 中的模小于p 4 2 2引理及其证明 为了证明定理1 1 ，我们需要验证定理2 1 的条件，为达此目的，我们需要证明 如下引理 ( 最( u ) ，妒) = 上口( z ，札) 妒如一入上，( u ) 妒如v 妒瞄p ( q ) ( 爿( u ) ，妒) 2 上口( z ，钍) 妒出，( 尸( u ) ，妒) 2 上，( 让) 妒出，n，q 事实上，对v 妒嚼p ( q ) ，o l ，有 一三嚣莸= 蚰蝴如 2 觋上。( 啦u 岫讼舭妒如， l n p ，“+ h 亡妒) 妒l q ( 1 + l 让+ 后1 t 妒l p - 1 ) f 妒 q 饰一1 ( 1 训p - 1 i 妒i + i 妒l p ) + a i 妒l ， 这里饰= m a x l ，2 p - 1 ) 由l e b e s g u e 控制收敛定理有： ( ( u ) ，妒) 2 上口( 啪班曲 伊似l 彩三鏊霉茄裟m z = l i m 二f ( f f u + 妒) 一f ( 让) ) d z t 一0z ，n 。 2 她上m + 。咿) 妒d z ， t o ，n 。、 一 硕士学位论文 l 。t a s t e r st h e s i s 其中o o ，对v 七mj 亿七使得 - ，q ，| o ( z ，u n 。( z ) ) 一o ( z ，u ( z ) ) i 南 e o ( 2 1 ) - ，l 于是我们可以取( 让竹 的子列记为 。) ，使得 o ，对v 忌n ，了凡k ，使得 i ，( u n 。) 一，( u ) i 南 e 0 ( 2 2 ) 于是我们可选取 札n ) 的子列记为 五。 ，使得( 乱。】中的每一项都满足( 2 2 ) 式， 另一方面，_ u 于睇p ( q ) ，则u n _ u 于口( q ) 于是存在子列 h ) c 乱n 。) 及 口( q ) ，u 竹知l u 口e 于q ，f h ls 危 又由( ) 知： ，( h ) 一，0 ) l c ( 2 + i t 正n h l p - 1 + i 训p - 1 ) c ( 2 + 胪_ 1 + i 心i p 一1 ) 由l e b e s g u e 控制收敛定理： 也n h ) 一，( u ) l | 寿_ 0 ， 这与( 2 2 ) 式矛盾! 于是有| l ，( u n ) 一，( u ) l l 奇一o 因此有尸c ( 略p ( q ) ；( 孵p ( q ) ) ) 7 口 硕士学位论文 m a s 了e r st h e g r s 引理2 3 爿：职，( q ) _ ( 孵p ( q ) ) 满足( 4 ) 条件即对v ( ) c 略尹( q ) ，满足j 钍于睇尹( q ) ，且l i m s u p ( 爿( ) ，让n 一让) o ，则存在 ) _ n 的子列仍记为 ) ，满足- u 于睇p ( q ) 证明：令r ( z ) = ( 凸( z ，) 一q ( z ，u ) ) ( n 一乱) 由a 严格凸，即vz q ，t 【0 ，1 】，f ，7 7 r ，有： a ( z ，蚯+ 【1 一7 7 ) t a ( z ，) + ( 1 一t ) a ( z ，7 7 ) 于是有： 丝鱼! 垄三史二三生挈! _ 刿a ( z ，) 一a ( z ，7 7 ) ，t ( o ，1 】 令_ + 0 + ，有： ( a ( z ，7 7 ) ， 一印) sa ( z ，) 一a ( z ，叩) 从而，令 ：垒# ，当毒刀时，有： ( 口( z ，叩) ，一叼) = 2 ( 口 ，7 7 ) ，e 一叩) 2 ( a ( z ，( ) 一a ( z ，叩) ) ， 2 ( 吾a ( z ，) + 丢a ( z ，叼) 一a ( z ，7 ) ) ( 2 - 3 ) = a ( z ，) 一a ( z ，叩) 将上述不等式中的7 7 和互换，得 ( 口( z ，) ，7 一) o 即爿是严格单调递增，于是有r ( z ) 0 另一方面，jt 于略p ( q ) ，则有i i m ( 爿( u ) ，u n 一乱) = o 从而有： n + o o 磐z r ( z ) 出h 恕p 上r ( z ) 如 = 1 1 黑p ( 爿( ) ，让n 一缸) 一熙( ( u ) ，一让)n - ”“ o 硕士学位论文 n 【a s t e r st h e s i s 又r ( z ) o ，于是存在 r ) 】，的子列仍记为 r ( z ) ) ，有熙r 扛) = oo e 于 q 记e = ( z q ；l i mr ( z ) = o ，l u n i o 是与z o 有关的常数，而与n 无关取e 1 + e 2 充分小，使得e 1 + e 2 0 为仅与功有关的常数 由聚点定理，不妨设u n ( z o ) _ u ( z o ) u ( 跏) ，由a 严格凸知： r ( z o ) ( o ( z o ，u ( z o ) ) 一口( z o ，u ( z o ) ) ) ( u ( z o ) 一u ( z o ) ) o ， 这与i i mr ( z o ) = o 矛盾! 于是有i i m ( z ) = u ( z ) 于e 又 上l u n ( z ) 一u ( 圳p 出饰上( ! ( 划p + l u ( 圳p ) 出 c 7 p ( 1 u l p + r ( z ) ) d z ， 9 o =如 r 上 星l 即 这里饰= m a x 1 ，2 p 一1 ) ，0 o 是与z ，n 无关的常数由v i t 址定理： 规上i ( z ) 一酬删p 如一0 即u n _ u 于略p ( q ) 引理2 4 对v 入r ，泛函最：瞬p ( q ) 一r 是弱下半连续的 证明：v ( ) c 嚼p ( q ) ，让n u 于睇p ( q ) ，由于 一4 ( 心。) = 一4 ( u n ) 一4 ( 仳) + 一4 ( 让) = ( 爿( 让+ ( 一让) ) ，让n t ) + a ( “) = ( ( t + ( u n 一也) ) 一爿( 缸) ，( 一u ) ) + ( 爿( u ) ，一t 1 ) + a ( u ) ( 爿( u ) ，钆作一札) + 4 ( t ) ， 其中( o ，1 ) ，则有 h m 堕f a ( u n ) l i m ( 爿( u ) ，一t ) + 一4 ( u ) r i + n = a ( u ) 口 另一方面，让n u 于略p ( q ) ，则存在_ 【札n ) 的子列仍记为 让n 】及9 驴( q ) 使得i i 9 ，u n - uo e 于q ，_ u 于汐( q ) 从而 i f ( ) l c ( f i + l f p ) c + 夕p ) l 1 ( q ) ， 由l e b e s g u e 控制收敛定理有 l i m 厂( 缸n ) = 尸( 让) 于是有 l i m i n f 最( u 订) = h m i n f 4 ( ) 一al i m 厂( ) 之最( 珏) 即最是弱下半连续的 1 0 口 引理2 5 对va r ，泛函最：孵，p ( q ) _ r 是强制的，且满足( p s ) 条件 证明：对任意固定的入r ，由( ) ，存在6 = 艿( 入) 使得 i ，( s ) i p q 矿( 1 + f a i ) 一1 1 5 f p 一1 ， vi s l 点 对上式积分有 一 l f ( s ) i = i 巾) 训 q s ；p ( 1 + l a i ) 一1 l s i p + i s lm a x i t i 6i ，( t ) i ， vs r 于是对v 牡嚼p ( q ) ，有 最( u ) = 4 ( 札) 一a ，( u ) 4 ( 乱) 一l 丁( 缸) l 删札| | p q 瑞p 叫灿( q ) 宁膦j 巾) | 当l - + ，有最( u ) - + o 。，则最是强制的 令 ) c 孵p ( q ) ，满足 最( ) 有界，且i l ( u n ) 0 ( 嚼，( n ) ) 一o 由毋是 强制的知， ) 有界于蝣p ( q ) 于是取( 让n ) 的子列仍记为 ) ，有一于嚼p ( q ) ，且一t | 于妒( q ) i ( g ( ) ，u n t ) l l i ( u n ) i i ( 嵋，( q ) ) 0 一乱l l _ o 则 婪曼( 最( ) ，一 ) = o 住+ 。 另一方面，由( ) 知，存在c o 使得 l ，( s ) i c ( 1 + i s i p l ) ，vs r 于是有 加舷) ) i h 叫刮出茎戮嚣翟。嚣篙r 0 ，存在6 o ，使得 i ，( s ) l 芦s i p l s 尸一1 ， vl s i 矗 另一方面 i ，( s ) l c ( 1 + i s l p - 1 ) ， vs r 于是有 l f ( s ) l e s i p i s l p + 七( 6 ) l s l 4 ， vs r ， ( 2 5 ) 其中q 。，矿) ，矿= 丙笆笔，七( 6 ) o 不依赖于s 对p o ，定义 辞= u 睇柙( q ) ：a ( 钍) p ) ， 甓= ( u w 孑p ( q ) ：q i p o ，使得b ( z o ，凰) = z r ： z z o is 凰) q 由( ，3 ) ，存在s o r ，使得f ( s o ) o 对盯( o ，1 ) ，定义 叫垆艮南。争酬+ 考， z r b ( z o ，岛) ； z b ( z o ，盯岛) ； z b ( 跏，墙) b ( z o ，口蜀) 易知牡口( z ) w 学p ( q ) ，且l t 丘d ( z ) i l s o f ，vz r 由定义 ， 丁( 仳仃) = f ( ) 如+ f ( 乱口) 如 f ( s o ) 盯硝u 一m a l t l s i 幻li f ( t ) i ( 1 一仃) 硝u ， 其中为r 中的单位体积，选取盯充分接近1 ，使得上式右边大于o ，将此矿固 定下来记为印由引理2 6 ，选取j d o ( o ，1 ) 满足 伽 a ( 钍a r o ) 1 3 一 一 一 o z 碛士学位论文 m j 锈百b r s t h e s l s 竿 警警型鬻笋燮 肋 z 月【u 伽j o ，对v 入a ，方程联( 乱) = 爿( u ) 一 入尸( u ) = o 在孵p ( q ) 中至少有三个不同的弱解，且它们的瞄p ( q ) 模小于p 口 注3 1 对定理1 1 中的开区间人作估计为了得到这个估计，我们固定s o ，凡，印 并假设p o 1 ，且 竿 器加z 以l t l 知j 由( 3 1 ) 有： 五 剿 另一方面， t 正盯o f f ，= i u 。ol p 妇 ：离( 1 硼硝却 c ( s o ，0 r o ) p 蛳硝一2 p ， 其们小掣 1 4 硕士学位铅交 m a s t e 惑s 下h e s i s 4 ( u 叼) =a 0 ，缸印) d z ，p = 口( z ，) 出 ，p n ，t 上a r d ) u 口o d z ，q ， g ( 1 + i u 印l p 一1 ) l u 印i d z g ( z ，( q ) 1 一；l i u 印0 + 0 u 印l i p ) g 【c ( s 。，c r 0 ) y ( q ) 1 一；u 专一2 + c ( s o ，印p 坩掣一2 p 】， 其中t ( o ，1 ) 因此有： 螂继虢群甚篙淼笋， 1 5 硕士学位论戈 m a g 丁e 甜st h b s j 器 参考文献 【1 】r a a d 锄s ，s o b o l e vs p a u c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 5 【2 】g b o n a n n o ，s o m er e m a r l c s o nat h r e ec r i t i c 以p o i n t st h e o r e m ，n o n l i n e a ra n 8 l y s i s ，5 4 ( 2 0 0 3 ) ，6 5 1 6 6 5 【3 】h b r 6 z i sa n dl o s w a l d ，r e m 盯l 【so ns u b l i n e a re u i p t i ce ( 1 u a t i o n ，n o n l i n e a r a n a l y s i s ，1 0 ( 1 9 8 6 ) ，5 5 6 4 4 】d m d u ca n dn t v 也n o n u i l i f o m 蚵e l l i p t i ce q u a t i o l l s0 fp - l a p l a c i a nt _ y p e ， n o n h e a ra n a l y s i s ，6 l ( 2 0 0 5 ) ，1 4 8 3 1 4 9 5 【5 】p d en 幻o l ia n dm c m a u r i a n i ，m o u n t a i np a s ss o l u t i o n st oe q u a t i o n 80 f p - l a p l a u c i a nt y p e ，n o i l l i n e a ra n a l y s i s ，5 4 ( 2 0 0 3 ) ，1 2 0 5 - 1 2 1 9 l c e v a i l s ，p a r t i a ld i 行e r e n t i a le q u a t i o n s ，a m e r i c a i lm a t h e m a t i c a ls o c i e t y p r o v i d e n c e ，1 9 9 8 【7 】d g i l b a r ga n dn s n u d i n g e r ，e m p t i cp a r t i a ld 证e r e n t i a le q u a t i o n so fs 睁 o n do r d e r ，s p r i n g e r ，b e r l i i l ，2 0 0 1 【8 】a k r i s t 吞l ya n dc v 打g a ，m m t i p l es 0 l u t i o n sf ；d re l l i p t i cp r o b l e i 璐、7 l ，i t hs i n g u l a r a n ds u b l i n e 盯p o t e n t i a l s ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 3 5 ( 2 0 0 7 ) ，2 1 2 1 - 2 1 2 6 【9 】a 陆i s 锄y h l i s e i ba n dc v a 昭a ，m u l t i p l es o l u t i o 璐f o rp - l a p l 撕a nt y p e e q u a t i o 璐，n o n h n e a ra n a 王y s i s ，6 8 ( 2 0 0 8 ) ，1 3 得1 3 8 1 【1 0 】s s l i n ，o nt h e 邛血b e ro fp 0 s i t i v es 0 1 u t i o 璐f o rn o n n e a re u i p t i ce q u a t i d 璐 w h e nap 缸锄e t e ri sl a r g e ，n o n l i l l e a ra n a l y s i s ，1 6 ( 1 9 9 1 ) ，2 8 3 2 9 7 1 1 】b r i c c e r i ，0 nat h r e ec r i t i c a lp o i n t st h e o r e m ，a r c h m a t h ，7 5 ( 2 0 0 0 ) ，2 2 m 2 2 6 【1 2 】b r i