（系统理论专业论文）粗集与它的若干特性研究.pdf

山东大学博士学位论文 粗集与它的若干特性研究 李健 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 指导教师：史开泉教授 摘要 1 9 8 2 年，z p a w l a k 教授提出了粗集理论，它是一种新的处理模糊和不确定性知 识的数学工具，其主要思想是在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问 题的决策或分类规则粗集理论与概率方法、模糊集方法和证据理论等其他处理不确 定性问题的理论的最显著区别是它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验 知识由于该理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制，所以与其他处理不 确定性问题的理论有很强的互补性粗集理论在数据挖掘、知识发现、模式识别、决策 分析等诸多领域取得了广泛的应用2 0 0 2 年史开泉教授将z p a w l a k 粗集进一步推广， 提出了奇异粗集( s i n g u l a rr o u g hs e t s ) ，简称s 一粗集，它有三种形式：单向s 一粗集，单 向s 粗集对偶和双向s 一粗集s 一粗集将z p a w l a k 粗集的静态形式扩展成粗集的动 态形式，使粗集具有了更为广泛的应用2 0 0 5 年史开泉教授再次提出函数s 一粗集，它 是建立在函数论域基础上的由于函数与规律等价，因此函数s 一粗集可以广泛地应用 于规律挖掘，规律识别等 本文的主要研究内容是：给出了粗集粗相似度的公理化定义；提出了粗模糊集中 粗相似度和粗贴近度的概念，及其在模糊模式的粗识别方面的应用；提出了集合的条 件熵的定义，并用以刻画粗集的不确定性；给出了基于粗糙熵的不协调信息系统中的 知识约简方法；提出一种变精度粗模糊集的形式：臼一粗模糊集；最后对s 一粗集的动态 结构进行了研究，讨论了单元素迁移与s 一粗集结构的关系 第一章绪论，首先叙述了z p a w l a k 粗集理论的提出背景、发展和研究近况，给出 了z p a w l a k 粗集的定义和性质；其次给出了理论上的扩展s 一粗集和函数s 一粗集的 定义 第二章给出粗集粗相似度的公理化定义，设u 的幂集夕( u ) 上的二元函数s ： 莎( u ) x 莎( 矿) ， 0 ，1 ，( x ，y ) 一s ( x ，y ) ，若 5 r 满足下列条件：( 1 ) s ( x ，y ) = j 5 r ( y 7x ) ；( 2 ) s ( x ，y ) = 1 年= 争x ry ；( 3 ) r xnr y = 矽毒s ( x ，y ) = o ；( 4 ) x y z 穹s ( x ，z ) | ( s ( x ，y ) as ( z ) ) ，则称s ( x ，y ) 是x 与 y 的相似度并根据上粗相似度和下粗相似度，给出几种常用的粗相似度形式，证明 了几种粗相似度形式都满足公理化定义，讨论了它们的具体性质粗集的粗相似度是 山东大学博士学位论文 精确集相似度的推广 在第三章中，将粗相似度的定义推广到粗模糊集中( 模糊集和粗集都用来解决不 确定性问题，所以d d u b o i s 和h p r a d e 将两者结合，提出了粗模糊集的概念并给出 了粗模糊集的一般形式) ，提出了粗模糊集中粗相似度( a ，b ) r 的定义，即( a ，b ) 咒= m i n 鲁恻，善捌) ，给出了它的基本性质，得到了定理3 2 1 0 和定理3 2 1 1 ， j 垒ru 旦r ij a 咒ud r i 它们分别是( a ，b ) r = 0 的充要条件是对任意的zeu ，都有丛r ( z ) = 0 或旦r ( z ) = 0 和( a ，s r = 1 的充要条件是对任意的z u ，都有丛r ( z ) = 垦r ( z ) 且a r ( x ) = s r ( x ) 在模糊集理论中，常用贴近度刻画不同模糊集间的相似程度，本章通过定义均值 模糊集和粗隶属度的概念，将贴近度引入到粗模糊集中，称之为粗贴近度定义了粗模 糊集的h a m m i n g 粗贴近度、e u c l i d 粗贴近度、最小一最大粗贴近度和最小平均粗贴近 度，给出了它们的具体性质，得到了定理3 3 8 和定理3 3 9 还给出了粗相似度与最小 最大粗贴近度的关系定理，即定理3 3 1 0 粗相似度和粗贴近度都可用来度量粗模糊 集之间的相似程度，其中粗相似度侧重于局部( 利用上、下近似求得) ，粗贴近度侧重于 整体( 利用粗隶属度求得) 在一个模糊系统中，可以用不同模糊集之间的粗相似度量建立粗聚类模型和粗识 别模型，基于本章介绍的这两种新度量，可以对近似空间中现有的粗模糊集进行聚类， 然后根据聚类结果，利用最大相似度原理，对新的模糊样本进行粗识别，来判断它属于 哪个模式文中应用一个简单的例子解释了这种粗模式识别模型 第四章关于粗集的不确定性度量进行了研究首先描述了知识的粗糙性，介绍了 知识的粗糙熵概念，以及信息系统中知识与粗糙熵之间的关系针对目标信息系统，介 绍了知识的条件粗糙熵的概念，并在此基础上提出了一种新的刻画粗集不确定性的度 量一一集合的条件粗糙熵，简称条件熵，给出集合条件熵的具体性质和相关定理在近 似空间中，等价类划分越细时，知识的粒度越小，知识的不确定性就越小定理4 5 4 说明集合的条件熵也具有此性质，所以用其刻画粗集的粗糙性是合理的，而且，通过一 个例子说明用条件熵刻画粗集不确定性比粗集的粗糙度要好定理4 5 1 0 说明在同一 个近似空间中，将集合x 和y 合并后，它们的粗糙熵即不确定性会变小，由此可应用 于目标信息系统( 决策系统) 中，每一个决策集都可看作是一个粗集，将不同决策集合 并会使得决策集的不确定性变小 另外，在目标信息系统( aud ，厂) 中，目标属性集d 在u 上导出的划分为 矿r n d ( d ) = o ) i = m ：h a ( d j ) o 或 i = 1i - - - - 1 mm ：h b ( d j u t ) o ) i = m ：巩( d j u , ) o ) i ；bc a 是下近似协调集的充要 j = 1j = l 条件是i 矗：h b ( d u k ) = o ) l = i 忌：巩( d u k ) = o 进而提出了一种新的处理不协 调信息系统知识约简的方法，基本步骤是先找出属性集的核，然后向核中添加重要性 大的属性，最后可以得到不协调信息系统的分布约简、上近似约简( 分配约简) 和下近 似约简通过一个实例验证了该方法的有效性 第六章讨论了变精度粗模糊集的内容给出一种新的变精度粗模糊集的概念：口一 粗模糊集，其中p 是误差参数，0 p 1 定理6 2 7 说明随着精度伊的减小，粗模糊 集的正域和负域将扩大，边界域将缩小，从而近似精度增大，粗糙度减小特别地，若 臼= l ，则a 9 和万分别退化为粗模糊集意义下的a 和才，而筮和苍分别退化为 厶和a 口这说明p 一粗模糊集是粗模糊集在变精度意义下的推广定理6 2 9 是粗模 糊集4 依参数0 r = 1i fa n do n l yi ff o ra n yz u ，w eh a v ea r ( z ) = 旦r ( z ) a n d a n ( x ) = b r ( z ) i nf u z z ys e t st h e o r y , w eu s u a l l yu s et h ec l o s ed e g r e et om e a s u r et h es i m i l a r i t yd e g r e e b e t w e e nt w of u z z ys e t s i nt h i sc h a p t e r ，b yp r o v i d i n gt h ec o n c e p t so fm e a n v a l u ef u z z y s e t sa n d r o u g hm e m b e r s h i pm e a s u r e ，t h ec l o s ed e g r e ei si n t r o d u c e di n t or o u g hf u z z ys e t s ， w h i c hi sc a l l e dr o u g hc l o s ed e g r e e t h eh a m m i n gr o u g hc l o s ed e g r e e ，e u c l i dr o u g hc l o s e d e g r e e ，m i n i m a l m a x i m a lr o u g hc l o s ed e g r e ea n dm i n i m a l a v e r a g er o u g hc l o s ed e g r e e a r ed e f i n e d t h e i rp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e da n dt h e o r e m3 3 8a n dt h e o r e m3 3 9a r e i n t r o d u c e d t h e o r e m3 3 1 0d i s c u s s e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e e a n dm i n i m a l m a x i m a lr o u g hc l o s ed e g r e e b a s e do nt h et w om e wm e a s u r e m e n t s ，w ec a nc l u s t e rt h er o u g hf u z z ys e t si nt h e a p p r o x i m a t i o ns p a c e ，t h e na c c o r d i n gt ot h ec l u s t e rr e s u l t ，w ec a nd e a lw i t ht h er o u g h p a t t e r nr e c o g n i t i o no fn e wf u z z ye x a m p l e s a tl a s t ，as i m p l ee x a m p l ei su s e dt oe x p l a i n t h er o u g hp a t t e r nr e c o g n i t i o nm o d e li nt h i sc h a p t e r c h a p t e rf o u rg i v e st h er e s e a r c ho nu n c e r t a i n t ym e a s u r eo fr o u g hs e t s f i r s t l y ，t h e r o u g h n e s so fk n o w l e d g ei sd e s c r i b e d ，a n dt h ec o n c e p to fr o u g he n t r o p yo fk n o w l e d g ea s w e l la st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nk n o w l e d g ea n dr o u g he n t r o p yi ni n f o r m a t i o ns y s t e m s a r ei n t r o d u c e d t od e c i s i o ni n f o r m a t i o ns y s t e m s ，t h ec o n c e p to fc o n d i t i o n a lr o u g h e n t r o p yi si n t r o d u c e d ，a n db a s e do ni tan e wm e a s u r e m e n tw h i c hc a nb eu s e dt om e a s u r e t h eu n c e r t a i n t yd e g r e ei nr o u g hs e t s ，t h ec o n d i t i o ne n t r o p yo fs e t s ，i sp r o p o s e d i n a na p p r o x i m a t i o ns p a c e ，t h eu n c e r t a i n t yo fk n o w l e d g ed e c r e a s e sm o n o t o n o u s l ya st h e g r a n u l a r i t yo fi n f o r m a t i o nb e c o m e ss m a l l e rt h r o u g hf i n e rp a r t i t i o n s t h e o r e m4 5 4 i n d i c a t e st h a tt l l ec o n d i t i o n a le n t r o p yh a st h e8 a i l l ec h a r a c t e r i s t i c s ou s i n gi tt om e a s u r e t h er o u g h n e s so fr o u g hs e t si sr e a s o n a b l e a ne x a m p l es h o w st h a tt h ec o n d i t i o ne n t r o p y i i 山东大学博士学位论文 日只( x ) i sb e t t e rt h a nt h er o u g hd e g r e ep r ( x ) i nm e a s u r i n gt h eu n c e r t a i n t 3 d e g r e e t h e o r e m4 5 1 0s t a t e st h a ti na na p p r o x i m a t i o ns p a c e ，u n i t i n gxm i dym a k e st h e r o u g he n t r o p yd i m i n i s h a n di nad e c i s i o ns y s t e m ，s i n c ee v e n td e c i s i o ns e ti sa r o u g h s e t u n i t i n gd i f f e r e md e c i s i o ns e t sm a k e st h eu n c e r t a i n t ) 7l o w e r m o r e o v e r i nt h ed e c i s i o ns y s t e m ( u ，aud ，) ，l e tt h ep a r t i t i o ne d u c e db 3 t h e d e c i s i o ns e tdb eu i n d ( d ) = d 1 ，d 2 ，d m ) a n dt h ec o n d i t i o n a le n t r o p 3 o f k n o w l e d g edg i v e nb b eh ( d b ) ，t h e nh ( d b ) = 而1 h e ( d j ) ，w h i c hi st h e o r e m 4 6 2 i tr e v e a l st h er e l a t i o n s h i pi ne s s e n c eb e t w e e nt h ec o n d i t i o n a le n t r o p 3 ro fk n o w l e d g ea n dt h eo n eo fs e t s f o rt h ed e c i s i o ns y s t e m ( 职a ud ，厂) ，t h ec o n d i t i o n a le n t r o p 3 7 o fdm e a s u r e st h ew h o l eu n c e r t a i n t yd e g r e eo ft h ed e c i s i o ns y s t e m ，a n dt h eu n c e r t a i n t y d e c r e a s e sm o n o t o n o u s l ya st h ep a r t i t i o ne d u c e db yc o n d i t i o n a la t t r i b u t e sa b e c o m e s s m a l l e t e a c hd e c i s i o ns e td im e a s u r e st h ep a r t i a lu n c e r t a i n t 3 rd e g r e e ，a n dt h eu n c e r t a i n t yo fe a c hd ia l ld e c r e a s e sm o n o t o n o u s l ya st h ep a r t i t i o ne d u c e db ya b e c o m e s s m a l l e t ，w h i c he x p l a i n st h ef a c tt h a tt h ew h o l eu n c e r t a i n t yd e g r e eb e c o m e ss m a l l e r c h a p t e rf i v er e s e a r c h e st h ea p p r o a c h e st ok n o w l e d g er e d u c t i o ni ni n f o r m a t i o ns y s t e m sb a s e do nr o u g he n t r o p 3 r f i r s t l yt h ea p p r o a c ht ok n o w l e d g er e d u c t i o ni nn o n d e c i s i o ni n f o r m a t i o ns y s t e mi si n t r o d u c e d ，a n dt h e nt h ed e c i s i o ni n f o r m a t i o ns y s t e mi s s t u d i e d s i n c et h ec o n s i s t e n ts y s t e mc a nb er e g a r d e da sa ns p e c i a lf o r mo fi n c o n s i s t e n ts y s t e m w eo n l yd i s c u s st h em e t h o do fk n o w l e d g er e d u c t i o ni ni n c o n s i s t e n ts y s t e m s t h ec o n c e p t so fr o u g he n t r o p 3 ro fe l e m e n ta n dd e c i s i o ns e ti nd e c i s i o ns y s t e m s a r eg i v e n t h er e l a t i o n sb e t w e e nr o u g he n t r o p ya n da l t e r n a t i v et y p e so fk n o w l e d g e r e d u c t i o ni ni n c o n s i s t e n ts y s t e m sa r ed i s c u s s e d ，w h i c hi ss t a t e db 3 ，t h e o r e m5 3 8 i na 1 1i n c o n s i s t e n ts y s t e m ( u ，aud ，厂) ，b ca i sad i s t r i b u t i o nc o n s i s t e n ts e ti f a n do n l yi ff o ra n yu u ，五b ( d 钆i ) = 三( d t 上i ) ；bc ai s ad i s t r i b u t i o n c o n s i s t e n ts e ti fa n do n l yi ff o ra n yd i ，1 j m ，w eh a v eh e ( d j ) = 巩( d j ) ； b ca i sa ，p o s s i b l ec o n s i s t e n ts e t ( u p p e ra p p r o x i m a t i o nc o n s i s t e n ts e t ) i fa n do n l yi f l d ：h b ( d j ) o ) = ：h 4 ( d j u t ) o ) io r m ：h b ( d j u i ) o ) = t = 1 z = 1 j 。l m ：巩( 马) o ) i ；b a i sal o w e ra p p r o x i m a t i o nc o n s i s t e n ts e ti fa n do n l y i fi _ 惫：h b ( d u k ) = o ) i = i 惫：h a ( d u k ) = o ) ，1 n t h ea p p r o a c ht o k n o w l e d g er e d u c t i o nb a s e do nc o n d i t i o n a le n t r o p yi st h a t f i r s tw ef i n do u tt h ec o r eo f a t t r i b u t es e t ，t h e nw ea d dt h em o s ti m p o r t a n ta t t r i b u t et ot h ec o r e ，a n df i n a l l yw e c a l lg e tl 1 l es m a l l e s tr e d u c to ft h ei n f o r m a t i o ns y s t e m t h ea l g o r i t h mf o rd i s t r i b u t i o n r e d u c t ，p o s s i b l er e d u c t ( u p p e ra p p r o x i m a t i o nr e d u c t ) a n dl o w e ra p p r o x i m a t i o nr e d u c t i i i 山东大学博士学位论文 i sg i v e n f i n a l l y , a ni n s t a n c ei ss o l v e d ，w h i c hv e r i f i e st h ev a h d i t yo ft h ea p p r o a c h e s c h a p t e rs i xd i s c u s s e st h ev a r i a b l ep r e c i s i o nr o u g hf u z z ys e t s an e wd e f i n i t i o n f o r mo fv a r i a b l ep r e c i s i o nr o u g hf u z z ys e t s 口一r o u g hf u z z ) 7s e t s ，i sp r e s e n t e d t h e o r e m 6 2 7s t a t e st h a ta st h ep r e c i s i o npb e c o m e ss m a l l e r ，t h ep o s i t i v er e g i o na n dn e g a t i v e r e g i o nw i l lb el a r g e rw h e r e a st h eb o r d e r l i n er e g i o nw i l lb es m a l l e r ，s ot h ea p p r o x i m a t i o n p r e c i s i o nw i l lb el a r g e ra n dt h er o u g h n e s sw i l lb es m a l l e r s p e c i a l l y ，i f 目= 1 ，t h e n a 8 a n d 万w i l lr e s p e c t i v e l yd e g e n e r a t ei n t o aa n d 才u n d e rr o u g hf u z z ys e t sm e a n i n g ； a n d 筮a n d 麓w i l lr e s p e c t i v e l yd e g e n e r a t ei n t o 厶a n d 乃，t h e r e f o r e ，o - r o u g h f u z z ys e t si st h eg e n e r a l i z a t i o no fr o u g hf u z z ys e t su n d e rv a r i a b l ep r e c i s i o nm e a n i n g t h e o r e m6 2 9i st h a tt h e0 - l o w e ra p p r o x i m a t i o n 篷a n d0 - u p p e ra p p r o x i m a t i o n 鸽 o fr o u g hf u z z ys e taw i t ht h ep a r a m e t e r0 q 1r e s p e c t i v e l ye q u a lt h e 目一l o w e r a p p r o x i m a t i o no fq c u ts e ta n d0 - u p p e ra p p r o x i m a t i o no fz - c u t s e to fa s p e c i a l l y ，i f ai sac l a s s i c a ls e t ，t h e nf o ra n y ，( 0 ，1 ，厶a n d 山r e s p e c t i v e l yd e g e n e r a t ei n t ot h e l o w e ra p p r o x i m a t i o n 旦( a ) a n dt h eu p p e ra p p r o x i m a t i o nr ( a ) u n d e rp a w l a km e a n i n g ； a n d 筮a n d 才：r e s p e c t i v e l yd e g e n e r a t ei n t op 一岛( a ) a n d 伊一瓦( a ) t h e r e f o r e ， o - r o u g hf u z z ys e t si st h eg e n e r a l i z a t i o no fv a r i a b l ep r e c i s i o nr o u g hs e t su n d e rf u z z y m e a n i n g f i n a l l y ，t h ec o n c l u s i o n si nt h i sc h a p t e ra r ev e r i f i e db ya ne x a m p l e c h a p t e rs e v e ni n t r o d u c e st h es i n g l ee l e m e n tt r a n s f e ri ns - r o u g 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n gt ox 4 = x u x ，一x ，w ec a na s s u m ex + i sf r o mf i r s t e x p a n d i n gt h e nc o n t r a c t i n go fx a n dxe x p a n d si n t ox ot h r o u g hpt i m e so ft r a n s f e r i n t h e nx 。c o n t r a c t si n t ox 4t h r o u g hqt i m e so ft r a n s f e ro u t e v e r ys i n g l ee l e m e n t t r a n s f e rw i l la f f e c tt h es t r u c t u r eo fr o u g hs e t s ，w h i c hc a nb ej u d g e db yt h e o r e m7 2 2 a n dt h e o r e m7 3 2 t h ei n n o v a t i v ev i e w p o i n t so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： i n n o v a t i v ep o i n t1 g i v i n gt h ea x i o m a t i z e dd e f i n i t i o no fr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e e i v 山东大学博士学位论文 b a s e do nt h eu p p e rr o u g hs i m i l a r i t 3 ，d e g r e ea n dl o w e rr o u g hs i n f i l a r i t 3 rd e g r e e s e v e r a l n e wf o r m so fr o u g hs i m i l a r i t ) rd e g r e ea r eg i v e n p r o p o s i n gt h ec o n c e p t so fr o u g hs i m i l a r i b d e g r e ea n dr o u g hc l o s ed e g r e ei nr o u g hf u z z 3 7s e t sa n dd i s c u s s i n gt h e i ra p p l i c a t i o n s i nr o u g hr e c o g n i t i o no ff u z z yp a t t e r n s i n n o v a t i v ep o i n t1c a nb ef o m l di nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 i n n o v a t i v ep o i n t2 b a s e do nt h ec o n d i t i o n a le n t r o p 3 rt h e o r 3 ，d e f i n i n gt h ec o n d i t i o n a le n t r o p 3 ，o fs e t sw h i c hc a nb eu s e dt om e a s u r et h eu n c e r t a i n t ) rd e g r e eo fr o u g h s e t s i ti sa p p l i e di nd e c i s i o ns y s t e m s f o rad e c i s i o ns y s t e m t h ec o n d i t i o n a le n t r o p ) r o fe a c hd e c i s i o ns e t , m e a s u r e st h e p a r t i a lr o u g h a m s sa n dt h es u mc o n d i t i o n a le n t r o p yo f a l ld e c i s i o ns e t sm e a s u r e st h eu n c e r t a i n t 3 d e g r e eo ft h ew h o l ed e c i s i o ns y s t e m i n n o v a t i v ep o i n t2c a nb ef o u n di nc h a p t e r4 i n n o v a t i v ep o i n t 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