对数正态型产品基于验后概率的Bayes序贯检验技术.docx

一般科学技术对数正态型产品基于验后概率的 序 贯 检 验 技 术bayes琦*唐旻刘( 国防科学技术大学信息系统与管理学院，长沙 410073)摘 要 现代高技术装备由于小子样的条件限制，运用传统统计方法对装备性能参数进行假设检验存在困难。对于维修时间服从对数正态分布的装备，提出了基于验后概率和小概率事件原理的基本假设，建立了对数正态型产品基于验后概率的 bayes 序贯检验( bstolp) 模型，推导了验后风险的计算公式，归纳了基于验后概率的 bayes 序贯检验法则，并给出计算所得的 实际验后风险低于给定验后风险的证明。最后结合装备示例，进行可靠性分析，验证了该方法的可行性及优越性。关键词 bayes 方法 验后概率序贯检验对数正态型产品中图法分类号 tb114;文献标志码 a一种 bayes 序贯概率比试验方法; 该方法在考 虑 了灵敏性、稳 健 性 及 操作性的监测进程中效率很高。 araujo 等3考虑了验前信息不足的条件下 bayes 方 法对于非 嵌 套 模 型 的 应 用。upadhyay 等4 在 序 贯 检验中引入 gibbs 抽样算法，分析了具有复 杂 验 后 分布结构的对数正态退化模型。guo 等5研究了服 从对数正态分布的产品平均维修时间，给出了相关 统计推 断，建 立 了 检 验 mtt 的 spot 模 型。黄 秀 平等6采用序贯验后加权检验的方法，给出了对数 正态型产品在抽样试验之前确 定假设检验问题所 需样本容量和决策阈值的计算方法。刘琦等7，8 针 对复杂假设条件下，对于方差的 bayes 序贯检验，建 立了 bsvt 模型及 mbsvt 模型，对“强制”截尾条件 下的 假设检验判决准则进行了论 述，并 给 出 了 mbsvt 模型平均样本量的求解算法。通过 建 立 对 数 正态型产品基于验后概率的 bayes 序贯检验( bayesian sequential test technique of lognormal product based on posterior probability，bstolp) 模型，给出了两类假设 的实际验后概率的 计算方法。最 后 结 合对数正态型产品的算例进行 了可靠性试验分析。现代高技术装备具有研制、试验与采购费用十分昂贵，样本 数 量 有 限 等 特 点，难以运用经典统计 方法来对 装 备 进 行 大 样 本 试 验。对数正态分布作 为一种寿命分布在发动机、电子仪器等设备的可靠 性与维修性设计和分析中应用非常广泛。bayes 方 法充分利用各种验前信息，能在小子样条件下完成 装备的试验鉴定，因而众多学者对 bayes 方法 在 装 备试验与评价中的应用做了大量的研究工作1。利用 bayes 序贯 分 析 方 法，对装备的维修性参 数进行 假 设 检 验，可 以 有 效地减少现场试验样本 量，缩短试 验 周 期，并且降低试验成本。但 由 于 常 用的序贯概率比检验方法没有充分利用先验信息， 实际的试 验 次 数 仍 然 较 多。国内许多外专家学者 对于 bayes 序贯检验从多方面进行了研究分 析，取 得了许多重要成果。ganesan 等2创新性地提出了2013 年 6 月 28 日收到第一作 者 简 介: 唐 旻 ( 1990) ，男，硕 士 研 究 生。研 究 方 向: 系 统 评价与决策分析。e-mail: tangmin3756 126 com。* 通信作者简介: 刘 琦。副教授。博士。研究方向: 装备试验与评 价、系统评价与决策分析。e-mail: liuqigfkd yahoo. com. cn。31 期唐 旻，等: 对数正态型产品基于验后概率的 bayes 序贯检验技术9295由式( 5) 可基于 的验前信息推导出 的验前1bstolp 模型的基本假设n01n0 ilnx( 0)分布相关参数信息，通过计算可取作为1. 1分布的假设在对数正态型产品的试验鉴定中，装备的维修i = 1n0 1( 0)( 0) 2 的估计，取 n ( n 1) ( lnxi lnx)作为时间 x 为服从对数正态分布的连续变量，即 x00i = 1ln( ，2 ) 9。其中，2 为已知值， 未知，x 的密度函数如式( 1) 所示。2 的估计。验后概率的计算对参数 进行假设检验时，由以上的假设可通1. 421exp ( lnx )，xf( x) 0=22x 槡2过计算得到 h 成立的验后概率 p( hy)为式( 6) ，00( 1)0，维修时间 x 的期望( 即 mtt) 为x 0其中，p( y)y)为 似 然 函 数。同 理，h1 成 立 的 验 后也可通过相似方法计算得到。概率 p( h1= e + 2 /2( 2) mtt=参数的假设检验0p( y) ( ) d01. 2 !p( hy)=( y) d =0+ !p( !在装备研制之前使用方和研制方通过协商，基于双方对装备维修时间的要求，给出原假设和备择 假设: !y) ( ) d()1+ !(2)( ) d槡n ( y ) exp22/ n2槡20h0 : 0 ; h1 : 1( 3)1 +()exp0(2)槡n ( y )在上述假设中，0 表示使用方与研制方通过合同规定的 的取值，1 表示使用方要求的 最大取( ) d 22/ n2 !槡2( 6)值，且 0 1 。设试验数据为 xi ( i= 1，2，n) ，2令 yi = lnxi ，那么 y 服从正态分布 n( ， )。2bstolp 模型的构建22令 0 = ln0 /2 ，1=ln1 /2 ，将式下面 给 出 对 数 正态型产品基于验后概率的 bayes 序贯检验的两个基本假设。( 3) 转化为对 y 的分布参数的假设h0 : 0 ; h1 : 1( 4)若 p( h0y) 1 ，则接受 h0 假设2. 1对于装备的维修时间，在给定生产方风险 和使用方风险 的条件下，由于 x = ey ，那么对 做假 设检验等价于 的假设检验，本文即对 进行假设 检验。1. 3 验前分布的假设运用 bayes 方法对参数 进行统 计 推 断 时，假 设 的验前分布为 ( ) 。在装备的关于 的验前如果要拒绝 h1 ，接受 h0 ，那么参数的验前分布和现场试验数据应该以较大的概率支持 h0 的 成 立。从验后概 率 上 来 看，接 受 h0 假设时采伪概率 应较小:p( h1y) ，可推出p( h0y) 1 ( 7)令 h( y)= p( hy)，见式( 8) ，假设 y= y +010信息 x( 0)( 0)( 0)( i = 1，n0 )的基础上，因为 yi= lnxi，、h( y1 )iy ，y 为 增 量，可 得 到 h( y0 )，见 式 ( 9 ) 、根据共轭分布相关知识可知 的验前分布为正态分布，即()2( y ) y式 ( 10 ) 。易 知，exp0是 关 于 的222/ n( )1( )( 5)=exp22槡22单调递增函数，所以有式( 11) ，可以推出式( 12) 。9296科学技术与工程13 卷( y ) 2( y ) 21( ) + !exp ( ) 1+ !1 +( )exp0() dd222/ n2/ nh( y) =( 8) ，h( y ) =00 1 +( 9)00(2)( y0 )2) ( y )0 !( ) dexpexp( ) d22 / n22 / n !y( y0 )2)(2( y0 ) y)21+ !() expexpexp( ) d222 / n22 / n2/ nh( y1 ) =01 +( 10)(2)()20( y0 )2( y0 ) y(22 / n )yexpexpexp ( ) d22 / n22 / n !y(2)(12)()+ !( y1 )+ !( y0 )2( y0 0 ) y(2) exp( ) d( ) dexpexpexp2 022 / n22 / n22 / n2/ n0( 11) 2 2 0( y1 )0( y0 )2( y0 0 ) y22 / n ) 2 y exp( ) d( ) dexpexpexp22 / n22 / n22 / n ! !(2)(2)1+ !( y1 )+ !( y0 ) 0( ) d( ) dexpexp22 / n22 / n01 +1 +( 12)(2)(2)0( y1 )0( y0 ) !( ) d( ) dexpexp22 / n22 / n !即证 h( y1 ) h( y0 )，所以 h( y) 为 y 的单调递g( y)1y) = 1 = p( h1( y) d( 15) !减函数。根据公式( 6) ，在给定 n 、2 、 ，以 及 10y ) d 是 y 的单调递减函数，易由于 ( 的 条 件 下，随 着 y 的 增 加，2的验前 分 布 n( ， ) !2知，在给定的试验次数 n ，方 差 以 及 1 的 条 件p( h0p( h0y )y)不 断 减 小。 对 于p( h0y )，满 足下，g( y)为 y 的单调递增函数。根据 2. 2 假设，满 1 的试验方案如下由于在给定试验次数 n ，方差 2 以及 的条足 p( hy) 1 的试验方案如下。01是关于 y 的单调递减函数。要以较是 关 于 y 的 单 调 递 增 函 数。要件下，p( h0y)由于 p( h1y)大概率拒绝 h1 假设，即满足 p( h0y) 1 ，记以较大概率拒绝 h 假设，即满足 p( hy) 1 ，01符合式( 7) 的最大的 y 为 s 。那么对于给定的各参数，有式( 13) 。记符合式( 14) 的最小的 y 为 c 。那么对于给定各参数，有式( 16) :s = max yy) 1 ( 13)p( h0c = min y( 16)p( hy) 1 1若 p ( h1y ) 1 ，则接受 h1 假设2. 22. 3序贯试验的判别规则当根据现场 n 次试验数据，上述两种假设都不根据“小 概 率 事 件 ”原 理，若 要 拒 绝 h0 ，接 受h1 ，那么参数的验前分布和现场试验数据应该以较 大的概率支 持 h1 的 成 立。从验后概率上来看，接成立时，说明不能以较大概率接受 h 假设或 h 假01设。此时需要继续进行抽样试验。由 2. 1、2. 2 小节，归纳对数正态型产品基于验 后概率的 bayes 序贯检验步骤如下:1) 对于给定的试验次数 n ，计算 c 、s 值。2) 进 行 n 次 试 验，结合现场试验数 据，计 算受 h1 假设时弃真概率应较小:推出y ) ，可p ( h0p ( h1y ) 1 ( 14)运用 2. 1 中相似方法，令 g( y) 为31 期唐旻，等: 对数正态型产品基于验后概率的 bayes 序贯检验技术9297p( h0y)和 p( h1y) 。( yi n) 2()+ !f( ) ydlim exp3) 运用如下检验法则: 若 y c ，即 x 的几何22/ nn + ! i = 01t=( yn( ) 2)+ !f( ) ydn n + !nlimexpic平均 gx 满 足 gx 槡xi e ，则 接 受 h1 ，拒 绝=22 / n !i = 0i = 1+ !( s ) 2exp ( )( ) dsh0 ; 若 y s ，即 gx e ，则接受 h0 ，拒绝 h1 ; 22 / n1( 19)+ !exp !2( ( s )若 s y c ，则不做决策，取 n = n + 1 ，转到步骤( ) d22 / n1) ，继续进行试验。由式( 19) 可知 t p( h1s)，因为 0 1 ，3bstolp 模型的实际验后风险那么p( h0因此推出:t p( h1s) + p( h1s) 1( 20)在实际的工程试验过 程 中，要从概率上保证 h0 、h1 成立的正确性，就要确保接受 h0 、h1 的实际 验后概率 满 足 条 件。由 2. 1 小 节 可 知，当 采 纳 h0 时，其成立的验后概率较大，此时拒绝 h1 的概率为s) 1 p( h0s)( 21) 式( 21) 说明，在考虑验后概率的条件下，拒绝 h1 的实际验后风险满足给定的使用方风险 。同理，根据 2. 2 小节可知，当采纳 h1 时，其成立1 p( h0y) ，即小于给定的使用方风险 。要从风险上证明，在拒绝 h1 时，实际验后风险的值同样小于给定的 ，证明过程如下由 h0 、h1 假 设 可 知，在 接 受 h0 、拒 绝 h1 时，n次试验中的 数 据 应 该 满 足 y s 。将 n 次 试 验 中y s 的事件作 为“试 验 成 功”的 事 件，那 么 根 据 验后风险的定义，实际的验后风险为的 验 后 概 率 较 大，此 时 拒 绝 的 概 率 为 1h0p( h1y) ，即小于给定的生产方风险 。要从风险上证明，在拒绝 h0 时，实际验后风险的值同样小于给定的 。由 h0 、h1 假 设 可 知，在 接 受 h1 、拒 绝 h0 时，n次试验中的数据应该满足 y c 。将 n 次 试 验 中y c 的事件作为“试 验 失 败”的 事 件，那 么 根 据 验后风险的定义，实际的验后风险为y s)= p( h1( 17)t由式( 17 ) 可 知，实 际 的 验 后 风 险 是，在 现 场 试验数据满足 y s 时，应拒绝备择假设 h1 ，但备择假设 h1 成立，其验后概率表示为 t 。对式( 17 ) 进行y c)= p( h0( 22)t由式( 22 ) 可 知，实 际 的 验 后 风 险 是，在 现 场 试验数据满足 y c 时，应 拒 绝 原 假 设 h0 ，但 原 假 设计算，可得式( 18) 。设 n 为足够大的整数，令 y=s / n ，yi成立，其验后概率表示为 。与证明 方h= iy (= 0，1，n ) ，因为 g( y)i是关于0tt法类似，对式( 22) 计算，可得式( 23)y 的单调递增函数，所以最终可得到式( 19) 。 p( hc) 1 p( hc)( 23) t01+ ! f( y s ) ( ) 式( 23) 说明，在考虑验后概率的条件下，拒绝 h0 的实际验后风险满足给定的生产方风险 。= td =+ ! f( y s !1) ( ) d4算例分析 ()+ !s(2)槡n ( y )dy ( ) dexp22/ n21 !槡2在某装备的可靠性试验中，其维修时间服从对( 槡n ) xp ( y ) + !s(2)2数正态分布 ln( ， ) ，方差已知为 0. 5 ，要对 进( ) dedy22/ n2 ! !槡2行检验。 = 3. 68 ，= 3. 92 ， 的 验 前 分 布 为01( 18)n( 3. 667，0. 428) ，要求在 = 0. 1 、 = 0. 1 条件下进9298科 学 技术与 工 程13 卷行序贯试验设计。对 进行检验的两类假设即为备维修时间进行检验，得到的实际的两类风险小于给定值。h0 : 3. 68; h1 : 3. 92( 24)对于参数 而言，可由第 3 节的 bstolp 模型，通过 matlab 软件快速实现 s 、c 的 计 算 求 解。令 试 验次数 n 的取值范围为 0 19，计算结果见表 1。表 1 中: t 为 n 次试验中，出现 y c 时，采纳h1 的验后弃真概 率; t 为 n 次 试 验 中，出 现 y s时，采纳 h0 的验后采 伪 概 率。图 1 给 出 了 bstolp模型基于 y 样本空间划分，图 2 则给出了 bstolp 模型基于 gx 的样本空间划分。观察图 1 和图 2 可以得知: 当 y 和 gx 的值落在拒绝域中时，接受 h1 ; 落在接受域中时，接受 h0 ; 落 在继续试验域中，则继续进行试验。分析表 1 可以 得知，随着试验次数 n 的增大，s 值逐渐增大，c 值逐 渐减小，而 t 值与 t 值都是逐渐 减 小。实 际 的 弃 真风险 t 与采伪风险 t 都小于给定的弃真风险 和采伪风 险 。说 明 采 用提出的基于验后概率的 bayes 序贯检验 方 法，对于服从对数正态分布的装 表 1算例仿真结果nsescectt01234567891011121314151617182. 3602. 8813. 0683. 1683. 2323. 2783. 3123. 3383. 3603. 3783. 3943. 4073. 4183. 4283. 4383. 4463. 4533. 46010. 59117. 83221. 49923. 76025. 33026. 52327. 44028. 16328. 78929. 31229. 78530. 17530. 50830. 81531. 12531. 37531. 59531. 8175. 0304. 4954. 3024. 1994. 1344. 0874. 0534. 0254. 0033. 9853. 9693. 9563. 9443. 9343. 9243. 9163. 9093. 902152. 93389. 56873. 84766. 62062. 42759. 56157. 57055. 98054. 76253. 78552. 93252. 24851. 64551. 11150. 60350. 19949. 84949. 5010. 053 50. 039 50. 032 30. 027 90. 024 80. 022 70. 021 10. 020 00. 019 00. 018 10. 017 40. 016 80. 016 30. 015 80. 015 60. 015 20. 014 80. 014 60. 052 90. 038 90. 031 60. 027 10. 023 90. 021 70. 019 90. 018 30. 017 20. 016 20. 015 40. 014 60. 013 90. 013 30. 012 90. 012 40. 011 90. 011 5 19 3. 466 32. 009 3. 895 49. 156 0. 014 5 0. 011 2 图 1y 样本空间划分结果图 2 gx 样本空间划分结果建模仿真，验证了该方法的正确性。5结论参 考 文 献通过建立 关 于 装 备 mtt 的基于验后概率的 bstolp 模型，给出了检验方法和决策准则。该方法 不仅能够使接受 h0 假设时，采伪概率较小，接受 h1 假设时，弃真 概 率 较 小; 而且从风险上提高了装备 试验决策的可信性和准确性。同时，文章还结合了 具体算例进行计算分析，利用 matlab 软件工具进行唐雪梅，张金槐，邵凤昌，等 . 武器装备小子样试验分析与评估北京: 国防工业出版社，2001ganesan ，ao a n v，das t k. a multiscale bayesian spt ap- proach for online process monitoring ieee transactions on semicon- ductor manufacturing，2008; 21( 3) : 399412( 下转第 9311 页)1231 期朱 淼，等: 高邮凹陷花庄地区阜三段断块-岩性油藏成藏特征研究9311study on fault block-lithological oil eservoirs forming characteristicsof fu3 member in huazhuang area，gaoyou sagzhu miao，hu wang-shui* ，yan meng-ying，hong qiu-you( key laboratory of exploration technologies for oil and gas esources，ministry of education，yangtze university，wuhan 430100，p china)abstract delta deposition was developed in the studied area，and main reservoir bodies include the subaque-ous distributary channel sand bodies，distal bar and front matting shaped sand bodies，with a stable distribution and higher porosity and permeability. there are main four favorable conditions of reservoir，they are the good reservoir sands ，fu2 member source rock，complex fault system and fault blocks and faulted noses，fu4 member mudstone cap and mudstone in fu3 member. the reservoir in this area is main controlled by the fault，reservoir physical properties and magmatic activity secondary. so the type of oil reservoir are mainly of fault-nose，fault-block and structure-lithological oil reservoirskey words huazhuang areafu3 memberreservoir forming conditionmain control factors檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸( 上接第 9298 页)3 araujo m i，pereira b d b. a comparison of bayes factors for separa-ted models: some simulation results，communications in statistics- simulation and computation，2007; 36( 2) : 2973094 upadhyay s k，peshwani m. posterior analysis of lognormal regression models using the gibbs sampler statistical papers，2008; 49( 1) :59855 guo bo，jiang ping，xing yunyan. a censored sequential posterior odd test ( spot) method for verification of the mean time to repair ieee transactions on eliability，2008; 57( 2) : 2432476黄秀平，周经伦，冯 静 . 装备部件平均修复时间的序贯验后加权检验方法 装备制造技术，2008; ( 6) : 13刘 琦，王 囡 . 基于验后概率的 bayesian 序贯方差检验技术( i) 航 空动力学报，2011; 26( 7) : 15311536刘 琦，王 囡 . 基于验后概率的 bayesian 序贯方差检验技术( ii) 航空动力学报，2011; 26( 7) : 15371542武 小 悦，刘 琦 . 装 备 试 验 与 评 价 . 北 京: 国 防 工 业 出 版 社，2008789baye