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过冷熔体凝固行为的自适应有限元相场法模拟过冷熔体凝固行为的自适应有限元相场法模拟/赵达文等?109?过冷熔体凝固行为的自适应有限元相场法模拟赵达文,杨根仓,王锦程,朱耀产(西北工业大学凝固技术国家重点实验室,西安710072)摘要通过自适应有限元法求解相场模型,对过冷熔体中自由枝晶生长行为进行了数值模拟.自适应有限元法可减少计算量,提高求解速度,井同时降低存储空间的需求.模拟结果表明,随着各向异性系数4的增加,枝晶生长速度vi线性增大,而尖端半径rti以指数方式减小.进一步研究表明界面稳定性系数d随各向异性系数的增大而增大.关键词相场模型枝晶生长自适应网格有限元phase-fieldsimulationofsolidificationbehaviorsinundercooledmeltsusingself-adaptivefiniteelementmethodzhaodawen,yanggencang,wangjincheng,zhuyaochan(statekeylaboratoryofsolidificationprocessing,northwesternpolytechnicaluniversity,xian710072)abstractinthispaper,freedendritegrowthbehaviorsinundercooledmeltsaresimulatedusingphase-fieldmethod.andtheequationofphase-fieldmodelissolvedbytheselgadaptivefiniteelementmethod,whichcangreatlyreducethecomputationalcost,decreasethememoryrequirementandincreasethecomputationaicapability.simulationresultsshowthedendritegrowthvelocityincreaseslinearlywiththeanisotropicstrength,whilethedendritetipradiusdecreasesexponentially.furtherstudyindicatesthatthestabilityparameterd.increaseswiththeanisotropicstrength4.keywordsphasefieldmodel,dendritegrowth,self-adaptivemesh,finiteelementmethod0引言1纯物质凝固相场模型凝固过程组织控制的理论基础是微观组织形成与演化规律.其中,枝晶生长是最普遍的凝固方式.近年来的研究表明,除热,溶质扩散过程外,界面能,动力学效应及二者的各向异性等因素对枝晶生长过程有着不可忽略的影响_1.枝晶生长数学模型是一个典型的自由边界问题2.其中,液/固界面形态和位置属于解的一部分,枝晶生长的数值模拟必须使用复杂算法追踪液/固界面.在最近提出的相场模型中_3”,把液/固界面为由厚度为0的尖锐界面拓展为有限厚度的弥散界面,所有物理量在计算区域中以统一的方式描述,从而避免了数值计算中追踪液/固界面的困难.同时相场模型还提供了一个合适的理论框架,可以将影响凝固过程的各种因素方便的引入到模型中.近年来,相场模型在组织演化模拟中得到广泛应用.起初相场方程大多基于规则网格剖分的有限差分法求解5.求解过程计算量随计算区域的增大而急剧增大,同时计算过程中内存的巨大需求也限制了可以模拟的空间尺度,使相场模型局限于极小区域内的凝固组织演化模拟.近年来,自适应有限元法的采用.使得求解相场方程计算量大为降低,同时降低了存储需求,极大地拓展了所能够求解的空间尺度.本文采用自适应有限元方法求解了纯物质凝固相场模型,模拟了过冷条件下自由枝晶生长行为.本文采用karma等_7提出的纯物质凝固相场模型:r(n)0一?w()+一”(1一)(1一)+ai()lvl)+a()(1)1au=dv.”+a(2)其中:w(n)为界面厚度,r(n)为驰豫时间,其四重对称性的各向异性形式为:w()一w0a()r():r0a(),ir,=wr,r1一-曼l_如)o(1-3e4l什j其中;中为相场变量,无量纲温度u兰(ttm)/(h/c),d为热扩散系数,为耦合因子,4为各向异性系数,t为热力学温度,tm为熔点,h为结晶潜热,c.为等压热容.2相场模型的自适应有限元求解2.1误差估计本文采用zhu和zienkiewicz提出的误差估计方法m,以*国家自然科学基金(50271057)赵达文:男,博士研究生tel:02988486067email:?11o?材料导报2006年4月第2o卷第4期直接计算与光滑化的梯度场的差值作为误差函数,与其它误差估计方法相比具有计算量较小的优点.该法中分别对中和u进行误差估计,使生成的网格同时保证二者的精度要求.对于标量场,定义误差函数为:p一(3)其中:为光滑化后的梯度场,qc为由节点值插值得到的.仉一nq(4)其中:n一(n一,n),ni为形函数,qs为光滑化后各节点处在x和y方向的分量.为使单元内误差函数e最小,采用galerkin加权余量法得:rrinndga3=inq加(5)屯求解上式得).为方便使用,对估计误差进行归一化处理:ril(一q)l.层一生.一(6)illv力2.2自适应网格的生成与动态调整自适应网格按照误差估计的结果,在各个场梯度较大的部分采用较细的网格以保证计算精度,而在其它部分采用较粗的网格以降低计算量.本文中采用网格细化法生成自适应网格.采用四分树作为自适应网格的数据结构,每个单元对应1个四分树,并按照单元细分程度赋予不同的细化级别l.当单元的估计误差大于误差上限e时,则将单元等分为4个子单元.如果属于相同父单元的4个子单元e均小于误差下限e2,则把4个子单元合并为1个单元.而对于含有悬挂节点的单元,则将其分为三角形单元或四边形单元.自适应网格生成细节见参考资料in.2.3相场方程的离散与求解本文中采用galerkin加权余量法离散微分方程在单元内,一ni僻,:ni,其中ni为形函数,对于三角形单元l-ll1n一3,四边形单元n4.微分方程(1),(2)离散后的矩阵形式为:rrinnr(n)a,9i)一inee-au(1952)(1一)一屯r1w(n)(mn;十n)+j.w面owrnynr)do(7)lnn“)加:一id(nnt+nt)“)加+迕屯inn39i)加(8)d其中为单位法矢量n与x轴的夹角,n一(n,n),n一(ni,n),n,n为二者的转置.针对系数矩阵的对称性和稀疏性特点,采用非零元素存储法存储矩阵的下三角阵,并采用iccg法求解线性方程组.中和u在时间域均采用向前差分格式.由于微分方程的空间对称性,本文中仅计算枝晶在第一象限内的部分,初始晶核为半径为ro的1/4圆.初始条件为:一1,u=0r一一1,u=ar>r0在本文计算中中和u均采用zero-neumann边界条件:塑一o,一02.4计算参数的确定由薄界面渐近分析可以得到相场模型与尖锐界面模型之间的参数关系:d一_wdoal(9)一_l)南百w(1o)其中:a,az与相场模型所采用的多项式函数相关在本文采用的相场模型中,al=o.8839,a20.6267.本文中,wo=1,t01,空间步长ax/w.一0.4,时间步长at/to一0.008.计算区域为409+6wo409+6wo的正方形区域.3计算结果与讨论3.1自适应网格图1(a),(b)为自适应有限元计算中20000步时的自适应网格及其局部细节.采用自适应网格减少了网格中节点数目,即所需求解的线性方程组阶数n,从而提高求解速度.在二维自适应网格中,n与计算区域长度l成正比,即nl“,而对于均匀网格nl2.以图1为例,自适应网格的节点数为9483,而均匀网格节点数为(2+1).采用自适应网格时,枝晶生长到计算区域边界所需的计算时间为l3,而均匀网格为.l4.,一.,/,0._膏.,f譬:,【a)20000步的白适应网格(b)圈【a)的局部细节图1自适应网格其次,采用自适应网格降低了求解存储空间的需求,在采用非零元素存储法存储系数矩阵时,自适应网格对应系数矩阵占用的存储空间mn,即mbl,较均匀网格占用的存储空间m降低了一阶.3.2枝晶形态演化图2为不同时刻相场,温度场云图.计算参数为a=0.85,e4一o.05,一1.5955.由于界面能各向异性作用,枝晶沿着<ioo>晶向生长.因为计算中采用的过冷度较高,枝晶尖端附近温度场不相互重叠,两枝晶臂以过冷度所允许的速率自由生长.而在枝晶臂根部温度场相重叠,温度最高过冷熔体凝固行为的自适应有限元相场法模拟/赵迭文等?111?3.3界面能各向异性系数4对枝晶尖端稳态行为的影响图3为各向异性对枝晶尖端生长行为的影响.随着各向异性系数增大,枝晶生长速度vm线性增加,而尖端半径rtip则以指数方式减小.(b)10000(0150o2(d)2ooo0步图2不同时刻的相场(上),温度场(下)云图020(a)e.0.18?0.16.014.012?010oo8.0.061.t11111111一0.000.010.0201030,040.050.06图3枝晶尖端速度vt?以及半径与各向异性系数84的关系图4为相场计算得到的界面稳定性系数d与各向异性系数关系,其中,o一2ddo/(vi).临界稳定性原理中,d一i/(4n.),与各向异性系数e无关;而相场模拟给出的d1值随c4增大而增大.图4中,只有e小于0.005时,相场模拟结果才与临界稳定性原理预测值相同.可见,由于忽略界面能各向异性,临界稳定性原理仅适用于描述弱各向异性条件下(e2<o.005)枝晶尖端稳态生长行为.而在界面能各向异性的作用下,枝晶尖端稳态生长行为必须以微观可解性理论(mst)e”进行描述.34结论本文采用自适应有限元法求解相场模型,在保证计算精度的前提下提高了计算速度,并降低了存储需求.采用自适应网格所需的计算时间为ti2,比均匀网格ti降低一阶.同5时占用的存储空间iv-i,较均匀网格占用的存储空间m降低一阶.模拟结果表明,随界面能各向异性系数4的增6加,枝晶尖端生长速度vti线性增大,而尖端半径rt;以指数方式减小,同时界面稳定性系数d随各向异性系数增大而增大.图4界面稳定性系数d与界面能各向异性系数4的关系参考文献mcfaddengb,wheeleraa,braunrj,eta1.phase-fieldmodelsforanisotropicinterfaces.physreve,1993,48:2016nashge,glicksmanme.capillaritylimitedsteady-statedendriticgrowth.i.theoreticaldevelopment.aetametall.1974,22:1283collinsjb,levineh.diffuseinterfacemode1ofdiffusion-limitedcrystalgrowth+physrevb,1985,31:6119i.angerjs.lecturesinthetheoryofpatternformation,chanceandmatter+leshouchessessionxlvi.northholland.amsterdam.1987karmaaphase-fieldmodelofeutecticgrowth.physreve,1994,49:2245mcfaddengb,wheeleraa,braunrj,eta1.phase-fieldmodelsforanisotropicinterfaces.physreve,1993,48:2016(下转第116页)昭曲仰帖时毗0啦嘶啪讲枷啪!詈曲惦蛆位临懈:拿憾=曼懈们l;帕i嬲叠露辩龊_舞誓曩敷t材料导报2006年4月第2o卷第4期7lim,shid,christofidesplndiamondjethybridhv0fthermalspray:gasphaseandparticlebehaviormodelingandfeedbackcontroldesign.industengchemres,2004,43:36328lim,shid,christofidespnmulti-scalemodelingandanalysisofanindustrialhvofthermalsprayprocess.chemengsei,2005,60:36499mostaghimij,chandras,ghafouriazarr,eta1.modelingthermalspraycoatingprocesses:apowerfultoolindesignandoptimization.surfcoattechn,2003,163164:11olim,christofidespd_modelingandanalysisofhv0fthermalsprayprocessaccountingforpowdersizedistribution.chemengsei,2003,58:84911eidelmans.yangxlthreedimentionalsimulationofhv0fspraydepositionofnanoscalematerials.nanostructmater,1997,(9):7912uml,guptavv,eta1.mathematicalmodelingofparticlevehaviorofnanocrystallineniduringhighvelocityoxy-fuelthermalspray.nanostructmater,1998,(10):71513lim,shid,christofidespd.modelingandcontrolofhvofthermalsprayprocessingofwccocoatings.powdertechn,2005,156:17714crowect,sommerfeldm,tsujiy.multiphaseflowswithdropletsandparticles.crcpress,bocaraton.fl.usa1997.2115lechpawlowski.thescienceandengineeringofthermalspraycoatings.england:johnwiley&sons,1995.7716王汉功,查柏林.超音速喷涂技术.北京:科学出版社,2005.18717gansergh.arationalapproachtodragpredictionofspheriealandnonsphericalparticles.powdertechn,1993,77:14318chengd,xuq,trapagag.eeffectofparticlesizeandmorphologyonthein-flightbehaviorofparticlesduringhighvelocityoxy-fuelthermalspraying.metallurmatertransb,2001,32:52519chengd,xuq,trapagag.anumericalstudyofhigh-vel0cityoxygenfuelthermalsprayingprocs.parti:gasphasedynamics.metallurmatertransa,2001,32:16092olim,shid,christofidespd.modelbasedestimationandcontrolofparticlevelocityandmeltinginhvoftherma1spray.chemengsci,2004,59:564721birdrb,stewartwe,lightfooten.transportphenonella.newyork:wiley,1960.40922gordons,mcbridebj.computerprogramforcalculationofcomplexchemicalequilibriumcompositionsandapplications.nasareferencepublication,lewisresearchcenter,cleveland,oh,u1994.131123lavemiaej,wuy.sprayatomizationanddeposition.newyork:wiley,1996.10624lauml,jianghg,nuchterw,eta1.thermalsprayingofnanocrystallinenicoatings.physstatussolidiaapplres,1998,166:25725lauml,guptavv,laverniaej.particlebehaviorofnanocrystalline316一stainlesssteelduringhighvelocityoxy-fuelthermalspray.nanostructmater,1999,(12):31926hejh,schoenungjmnanostructuredcatings.materseieng,2002,a336:27427cliftr,gracejr,weberme,eta1.newyork,ny:academicpress,inc,1978.14228sobolevvv,guilemanyjm,cta1.modellingofparticlemovementandthermalbehaviourduringhighvelocityoxy-fuelspraying.surfcoattechn,1994,63:18129knotek0,sehnautuprocessmodelingofhv0fthermalsprayingsystems.proceedingoftheinternationaltherma1sprayconferenceandexposition,orlando,f1orida,usa,1992.8113otawfikhh,zimmermanfmathematicalmodelingofthegasandpowderflowinhv0fsystems.jthermalspraytechn,1997,6(3):34531swankwd,finckejr,haggarddc,eta1.hvofparticleflowfieldcharacteristics.inproceedingsoftheseventhnationalthermalsprayconference.boston,ma,1994.319(责任编辑张明)(上接第111页)7karmaa,rappelwj.