数学建模基础题梯子长度问题.doc

梯子最短长度问题的优化模型摘要 本文建立了一个关于当存在紧靠墙壁的长方体障碍物时，如何确定靠墙梯子最短长度问题的优化模型。本文首先将梯子问题抽象成一个几何问题：在平面上，过定点（2,3）的直线被轴、轴所截的线段最小长度。即：直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，被轴、轴所截的线段最小长度。模型I，模型II分别应用直角三角形边角关系原理和相似三角形相关边成比例原理，以直线与轴夹角和直线与轴交点与点的距离为变量建立了求单变量最小化的数学模型。应用牛顿迭代法中的三等分点搜索法对模型I，模型II进行求解，并同时对模型I，模型II的函数是单峰函数给出了证明。模型I和模型II的求解结果是：长度为的梯子会碰坏温室顶棚；当梯子与地面的夹角为0.8528，梯子在地面的落脚点与温室水平直线距离为2.6207时，所需梯子长度最短，最短长度7.0235。模型III应用同线向量斜率原理，以直线与轴、轴交点距原点距离为变量，建立了一个二元变量有约束非线性最优化模型。应用序列二次规划法对模型III进行求解：当梯子在地面的落脚点距离楼房的水平直线距离为4.6207，梯子靠墙处与温室地面的直线距离为6.5162时，所需梯子长度最短，最短长度为7.0235。三个模型的求解结果是一致的且当梯子取最短长度时，各变量的取值互不矛盾。关键字：单变量最小化 二元变量有约束非线性最优化 牛顿迭代法一、问题的重述与分析在一栋楼的后面有一个很大的花园，在花园的边上有一个紧靠着楼房的温室，温室伸入花园2米，高3米，在温室的正上方是楼房的窗台，现有一架7米的梯子，我们能否将这架梯子的一端放在花园中，另一端靠在楼房的墙上，使得梯子不碰坏温室棚？若否，问题梯子至少应为多长？我们所关心的是：如何使梯子长度最小，以何种函数形式表示出梯子长度L。从左视图观察我们可以把问题抽象为一个几何问题（如图1）：在平面上，过定点（2,3）的直线被轴、轴所截的线段最小长度。即：直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，被轴、轴所截的线段最小长度。我们可以分别以直线与轴夹角，直线与轴交点与点的距离，直线与轴、轴交点距原点距离为变量，得出直线被轴、轴所截的线段长度的表达式，再用最小化原理进行求解。图 1结合现实经验，在建模和求解过程中我们要注意，变量的取值范围为开集。二、变量说明表 1 文中用到的变量符号及其说明符号说明梯子与地面夹角梯子在地面的落脚点与温室的水平直线距离梯子在地面的落脚点与楼房的水平直线距离梯子靠墙处与温室地面的直线距离梯子的长度极小量，辅助变量边界的数值表示极大量且，辅助变量边界的数值表示三、模型假设 温室是与楼房等长，宽为2米，高为3米的长方体。 花园地面坚实水平，无坑洼。认为梯子架起时陷入花园地面的长度为0。 梯子恰好与温室顶棚边缘接触时不会损坏温室。若梯子长度不够，则认为一定碰坏温室棚。 当梯子恰好与温室顶棚边缘接触时长度最短。 结合实际，本文的数值解精确到小数点第四位。四、模型的建立模型I：以梯子与地面的夹角，即直线与轴夹角为变量进行建模。设梯子长度为L,梯子与地面的夹角为，梯子问题转化为直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，即由(是极小量，辅助变量边界的数值表示）逐渐增加到的过程中，求被轴、轴所截的线段最小长度。图 2 图 3如图2、图3根据、的几何关系可以得出如下的边角关系：,我们可以抽象出如下的数学模型：，模型II：以梯子在地面的落脚点与温室前沿的水平直线距离，即直线与轴交点与点的距离为变量进行建模。设梯子长度为L，梯子在地面的落脚点距温室前沿的水平直线距离为，梯子问题则转化为直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，即由逐渐增加到（是极大量且，辅助变量边界的数值表示）的过程中，求被轴、轴所截的线段最小长度。显然，线段与线段平行，则线段与线段边上被线段截断的部分成比例。图 4图 5如图4、图5，由几何关系可以得出以下的线段长度关系：,我们可以抽象出如下的数学模型：，模型III：以梯子在地面的落脚点距离楼房的水平直线距离和梯子靠墙处与温室地面的直线距离，即直线与轴、轴交点距原点距离为变量进行建模。设梯子在地面的落脚点距离楼房的水平直线距离为，梯子靠墙处与温室地面的直线距离为，则问题可转化为直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，即在区域任意一点时，求被轴、轴所截的线段长度的最小值。图 6图 7如图6、图7，由于与斜率相同，我们可以得出如下的关系式：进而，我们可以得到下面的优化模型：五、模型的求解1、用牛顿迭代法求解模型I和模型II算法一：三等分搜索法求最值模型I、II是无约束最优化问题中的单变量最小化问题，即一维搜索问题。函数，是单峰函数（证明见附件一）。根据单峰函数具有的消去性质进行反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区间，直到搜索区间缩小到给定的允许精度为止。以模型I为例：我们在的取值区间内插入两点：区间的两个三等分点。区间分为3段，和。如果，则舍去区间。然后在区间内重复以上过程，直至区间缩小到给定的允许精度为止。表 2 牛顿迭代法求解模型I的结果迭代次数N相对误差100.85457.02351.34e-002200.85287.02352.3318e-004300.85287.02354.0438e-006由表格数据可知：时，与的关系图如下： 图 8图 9模型II的求解过程与模型I同理。函数，也是单峰函数（证明见附件一）。但需注意的是：的理论取值范围是，但结合本模型背景和现实经验，我们可以认为所求最小长度的在和10之间。表 3 牛顿迭代法求解模型II的结果表迭代次数N相对误差102.61347.02358.66e-002202.62117.02351.5e-003302.62077.02352.6049e-005由表格数据可知：时，与s的关系图如下： 图 10图 11当然，模型I、II可直接应用数学软件matlab中的fminbnd函数进行求解。表 4 fminbnd函数求解模型I和模型II模型变量取值模型Irad7.0235模型II7.0235算法二：一阶导数求最值法求解模型I、II的函数是在定义域一阶可导的函数，我们可以通过求其一阶导数来确定一阶导数为0的点，即为极值点。由于导函数是严格单调函数，我们可用二分法求解一阶导数为0的点。表 5 一阶导数求最值法求解模型I和模型II模型模型I模型II一阶导数表达式，一阶导数图像极值点由图表可得，时，2、用matlab中的fmincon函数对模型III求解模型III是二元变量有约束非线性最优化问题。我们可以直接用matlab中的fmincon函数求解。求解结果是当，时，。综上：梯子问题中，长的梯子会碰坏温室棚。要想不碰坏温室棚，梯子至少为。此时，梯子与地面的夹角为0.8528，梯子在地面的落脚点与温室水平直线距离为2.6207，与楼房的水平直线距离为4.6207，与温室地面的直线距离为6.5162。6、 模型评价：1.梯子问题实际上是一个动态的几何求解问题：在平面上，过定点（2,3）的直线被轴、轴所截的线段最小长度。即：直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，被轴、轴所截的线段最小长度。模型I，模型II的建立依赖于梯子问题的几何性质，而模型III则不要求楼房墙壁和温室墙壁的垂直地面，由此模型III更有应用广度。2.模型I，模型II将梯子问题简化成单变量最小化问题。算法一对函数的单峰性质要求较高。算法二对函数的一阶可导性质要求较高。若模型I，模型II的函数不是单峰函数，便不能用三等分搜索法求解。若模型I，模型II的函数没有一阶可导的性质便不能用算法二求解。3.模型III将梯子问题转化成二元变量有约束非线性最优化问题，但求解过程复杂。可由约束方程解出代入，将模型转化为单变量最小化模型：，进而简化求解过程。7、 参考文献1 徐全智,杨晋浩.数学建模.第2版.北京:高等教育出版社,2008.2 苏金明,张莲花,刘波等.MATLAB工具箱应用.第1版.北京:电子工业出版社，2004。8、 附件清单附件一 函数的性质证明1.证明函数，是单峰函数2.证明函数，是单峰函数附件二 求解模型I，模型II的详细过程1.三等分搜索法求解模型I的程序说明及源程序2.三等分搜索法求解模型II的程序说明及源程序3.应用matlab中的fminbnd函数求解模型I的程序说明及源程序4.应用matlab中的fminbnd函数求解模型II的程序说明及源程序5.二分法求导函数，的程序说明，源程序和实验结果6.二分法求导函数，的程序说明，源程序和实验结果7.应用matlab中的fmincon函数求解模型III的程序说明及源程序 附件一 函数的性质证明常青 2010102020028 数学科学学院1. 证明函数，是单峰函数导函数，是严格单调递增的函数，且,由介值定理可知必然存在且唯一存在，使得。由此，函数，是单峰函数2. 证明函数，是单峰函数证明与1同理附件二 求解模型I，模型II，和模型III的详细过程常青 2010102020028 数学科学学院1.三等分搜索法求解模型I的程序说明及源程序a=0.01;b=pi/2-0.01;eps=b-a;N=1;while eps0.00005c=(b-a)/3+a;d=2*(b-a)/3+a;y1=2/cos(c)+3/sin(c);y2=2/cos(d)+3/sin(d);if y10.00005c=(b-a)/3+a;d=2*(b-a)/3+a;y1=sqrt(c*c+9)*(2/c+1);y2=sqrt(d*d+9)*(2/d+1);if y10.00005c=(b+a)/2; y1=2*sin(c)/(cos(c)*cos(c)-3*cos(c)/(sin(c)*sin(c); y2=2*sin(a)/(cos(a)*cos(a)-3*cos(a)/(sin(a)*sin(a);if y1*y20a=c;else b=c;endeps=abs(b-a)/2;N=N+1;endN-1d=(a+b)/2y3=2/cos(d)+3/sin(d)eps=abs(b-a)/2程序运行结果：当迭代14次时，L取得最小值7.0235，此时，绝对误差为4.7327e-005。6. 二分法求导函数，的程序说明，源程序和实验结果a=0.01;b=5;eps=b-a;N=1;while eps0.00005 c=(b+a)/2; y1=(c3-18)/(c2*sqrt(c2+9); y2=(a3-18)/(a2*sqrt(a2+9); if y1*y20 a=c; else b=c; end eps=abs(b-a)/2; N=N+1;endN-1d=(a+b)/2y3=(2/d+1)*sqrt(d2+9)eps=abs(b-a)/2程序运行结果表明：当迭代16次的时候，取得最小值7.0235，此时，绝对误差为3.8071e-005。7. 应用matlab中的fmincon函数求解模型III的程序说明及源程序编写M文件myfun2,返回x处的函数值f: