数学模型法.doc

目 录第一节 枚举法第二节 类比法第三节 归纳法第四节 分析法第五节 综合法第六节 化归法第七节 数学模型法第八节 关系映射反演（RMI）法第九节 猜想与论证数学方法论是研究数学中发明、发现规律及数学中一些基本方法的新学科。著名的数学教育波利亚曾经说过：“希望教给学生正确思考问题的方法的教师应当自己首先掌握它。”本章对小学数学中的重要方法：枚举法、类比法、归纳法、分析法、综合法、化归法、数学模型法、RMI法和数学猜想与论证作了由浅入深地论述。思考题将为读者提供了参考空间。希望本章内容能有利于读者对数学的理解，提高数学教学能力。第一节 枚举法我国古代数学家在算经中出了一道题：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”意为：公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡3只1元。用100元买100只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各多少？此题用常规的算术方法和初中代数方法是无法求解的，这是只有2个方程的三元一次方程组求整数解问题。我们用“枚举法”来解此问题。所谓枚举法就是将各种组合的可能性全部一一考虑到，对每一组合检查它是否符合给定的条件，将符合条件的找出即可。今设公鸡有X只，母鸡有Y只，那么小鸡有Z=100XY只，显然有各种X，Y，Z的组合，我们先使X=0，Y=0，而Z=100XY=100，看这一组的价钱加起来是否为100元，今5X+3Y+Z/3=50+30+100/3=33.33，不等于100，所以这一组不符合条件；再保持X=0，Y=1，Z=100-0-1=99，经查也不符合条件；。保持X=0，使Y由0变到100，然后再使X=1，Y由0变到100，再使X=2，Y又由0变到100，直到X=100，Y又由0变到100。这样就把全部可能的组合一一测试过了。共测试了101101=10201组。实际上，我们不需要验算10201组。公鸡X只，母鸡Y只，小鸡Z只，X，Y，Z均为整数，价钱为：5X+3Y+Z/3，价钱要等于100，必须：（1）Z为3的倍数（保证价钱为整数）；（2）0Y33（因为母鸡3元/只，100元最多只能买33只）；（3）0X19（因为100元刚好买20只公鸡，百钱全买了公鸡又不符合“百钱买百鸡的要求”）。我们设计出另外一“枚举”方案：保持X=0，使Y由0变到100，然后再使X=1，Y由0变到100，再使X=2，Y又由0变到100，直到X=100，Y又由0变到100。并且将Z不能被3整除的组合去掉，就把这样全部可能的组合一一测试过。共只需测试227组。测试次数为原来方案的2.22%，结果见下表：公鸡母鸡小鸡价钱结果公鸡母鸡小鸡价钱结果公鸡母鸡小鸡价钱结果公鸡母鸡小鸡价钱结果0199365293621038788154811140496445590701068496157781220793525887781098110415107513001090605118486101278112151372138013876851481941015751201516691460168476517781021018721281519661540198184520751101021691361522631620227892523721181024661441525601700257510052669126102763152152857178028721085296613410306016015315418603169116532631421033571681608410810993861936411287901638111613964664907211584981667812416935467878011881106169751321990626108488111178114161272140112877061381961114751221615691481158478616781041117721301618661561188186619751121120691381621631641217894622721201123661461624601721247510262569128112663154162757180公鸡母鸡小鸡价钱结果公鸡母鸡小鸡价钱结果公鸡母鸡小鸡价钱结果公鸡母鸡小鸡价钱结果1277211062866136112960162163054188130691186316314411325717016335119613366126709366121879217281118229648739074124841001757812625935676878212781108178751342890647984901210781161711721422118772712819812137512417146915021484807157810612167213217176615821781887187511412196914017206316622078967217212212226614817236017422375104724691301225631561726571822267211272766138122860164172954190229691207306314612315717217325119823266128733601541308794181811203196508290761338410218478128349358858784136811101877513637906688849213978118181072144310877481181100131275126181369152313848281478108131572134181666160316819081775116131869142181963168319789882072124132166150182260176322751068236913213246315818255718432572114826661401327601661828541923286912282963148133057174183151200331661308326015613335418219081122409652919078142841041937813043936094878614581112196751384690689784941487812019972146498776910811021411751281912691544128484913781101414721361915661624158192916751181417691441918631704187810091972126142066152192160178421751089226913414236316019245718642472116925661421426601681927541944276912492863150142957176193051202430661329316015814325418419334821043363140100908015184106从上表中看出，满足要求的组合有：公鸡母鸡小鸡价钱结果公鸡母鸡小鸡价钱结果02575100811811004187810012484100“枚举法”看上去好像很笨，要把全部可能性一一测试。但是这种方法确实能解决总是尤其是某些用一般数学方法解决不了的问题，用枚举法可能会奏效。因此它被认为是“没有办法时的办法”，好在现在有了运算速度很快的计算机，计算次数多一些也能很快出结果。小孩子想知道他的小篮子里有多少个苹果，就一个一个地往外拿，如果苹果拿完了，也就数出来了，他用的也是枚举法，也就是把一个集合中的元素一一列举出来，不重复，不遗漏，从而也可计算出元素的个数。但在复杂的情形下，就需要想出好办法，可能已大大不同于幼儿点物，因为实际的事物总是复杂得多，我们经常用改进枚举法。例4.1.2 下图中有多少条线段？方法1：我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作基本线段，那么：由1 条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条；由2 条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条；由3 条基本线段构成的线段有AC、BE共2条；由4 条基本线段构成的线段只有AE这1条；所以图中共有线段：4+3+2+1=10（条）。方法2：以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE共4条； 以B为左端点的线段有BC、BD、BE共3条； 以C为左端点的线段有CD、CE共4条； 以D为左端点的线段只有DE这一条；所以图中共有线段：4+3+2+1=10（条）本例我们的两种方法采用了分类枚举法，不难得出与分类枚举法有关的一条计数原理：加法原理：如果做某件事的方法有n类，其中第1类有m1种方法，第2类有m2种方法，第n类有mn种方法，且各类互不重迭，那么完成此事共有：种方法。例4.1.3由甲地去乙地，可以乘飞机、火车、汽车或者坐轮船到A地中转。到达A地后，可乘汽车、火车从A到乙地；问从由甲地到乙地共有几种走法？为了计算，应当注意到，从甲地到乙地，是分两步完成的：第一步由甲地到A，有4种交通工具，就是说有4种走法；第二步，由A到乙地，有两种交通工具即有两种走法。那么搭配起来，共有42=8种方法本例我们运用的方法是分步骤枚举法，不难得出与枚举法有关的另一条计数原理：乘法原理：如果做某件事须经过n个步骤完成，其中第1步骤有m1种方法，第2步骤有m2种方法，第n步骤有mn种方法，那么完成此事共有：种方法。我们再看一个例子：例4.1.4 在十进制下，三位数共有多少个？方法1 首位数是1的三位数：100，101，102，199，共有100个数；首位数是2的三位数：200，201，202，299，也是100个数；首位数是9的三位数：900，901，902，999，仍为100个数。因此，总共有100+100+100=900个十进制的三位数。方法2：三位数可以写成abc，其中a可以取1，2，9，有9种方式；b和c均可取，各有十种取法，因构成一个三位数要依次选定百位数码（a:），十位数码（b）和个位数码（c）是分三步完成的。因此三位数有1010=900（个）。其中方法1由于列举出（构造出）不同首位数的三位数，每次列举的都是完整的三位数，是分类进行且互不重复（分类枚举法），因而用加法；方法2是分三步构造三位数（分步枚举法），所以用乘法。数学问题，千姿百态，妙趣横生。本节我们从最“笨”的也是最简单和最自然的方法：数数（枚举法）开始逐渐深入和加以改进；以问题为先导，从问题中提炼出新的思想方法，先后发现了两条原理并建立了数学模型。思考题：1. 有2张伍元币，4张贰元币，8张壹元币。要支付12元钱，可以有多少种支付方法？2 P进制数的个数。我们知道，P进制用P个数码。在每位上，都是“逢P进1”，一个P进制下的m位数可以写成 求P进制m位数的个数。 第二节 类比法一名小学生向老师请教这样一个问题：妈妈去商店买布，所带的钱刚好买花布2米或黄布3米，若打算两种布都买同样多的米数，问最多能各买几米？老师并没有直接告诉他怎么做，而是要求他与课本上学过的工程问题例题作比较：一项工程，甲队单独做要2个月，乙队单独做要3个月，两队合做要用几个月？学生发现原题与我们熟知的工程问题相似，从而求出了原问题的解。老师教会学生使用了类比法。华罗庚是当代世界著名数学家之一，他的三个“谈起”（从杨辉三角谈起、从祖冲之的圆周率谈起、从孙子的神奇妙算谈起）脍炙人口。在从孙子的神奇妙算谈起这本著名小册子中，他用类比的方法，作出了令人惊奇的发现。在数学的应用中，经常只有有限个数据，怎样从这有限个数据出发来确定描述客观事物的函数，这是一门叫做“插入法”的学问。在高等数学中，是用“拉格朗日插值公式”来解决的。怎样用初等方法来简单地推导这个公式？这是华罗庚多年来一直思考的问题，但始终未能如愿。把插值问题说清楚一点，就是：要找一个函数在x1，x2，x3，xn各点的值分别y1，y2，y3，yn。设函数，那么依题意就有解方程（1），求出待定数，就可以确定未知的函数表达式，但是解方程组（1），谈何容易！？我们用限定的方法，先看一个特例。试求一个二次函数，使得当x=1，2，3时，y分别等于-1，5，0。这里n=3，“函数”为二次函数，相应的方程组是我们当然可以解出来（读者不妨一试），但是一方面，随着n的增大，计算量将成倍地增加；另一方面，对每个具体的n，都要“从头算一次”不是太“手工业”气息了吗？于是有人想出解“n元线性方程组”的方法。有没有简单明快的好办法呢？有一次，华罗庚研究“孙子算题”：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？程大位老夫子算法统宗中的一支歌决闯入他的视野：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。”歌诀的意思是：三除所得余数乘以70，五除以余数乘以21，七除的余数乘以15，加起来，总数大于105时，则连减去105直到小于105（且大于零）为止。如果设三、五、七除的余数分别为a、b、c，那么得数为s=70a+21b+15c-k.105这里，k是一个使得0s105的适当的整数（因0a3,0b5,0c7,故不难证明k=0，1或2）。很明显，105是3、5、7的最小公倍数，但这里的70、21、15有什么性质？它们是怎样求出来的？华罗庚仔细观察，结合3、5、7进行试算，终于发现：70是5和7的公倍数中，3除以1的一个（是其中最小的）；21是3、7的公倍数，5除余1的一个；15是3、5的公倍数中，7除余1的一个，于是 就是3除余a,5除余b，7除余c的数，而s是最小的，至于70、21、15，可以试凑，也可以用别的方法。最让人不可思义的是，华罗庚竟然发现了上述解法中隐藏着某种一般原理。华罗庚将上述问题加以推广：“有数不知大小，除余a，除余b，除余c，这数是什么？”不难知道，根据程大位的口诀，从原则上看，仍然适用：先求，公倍数中a除余1的数p，再求类似的q, 于是，qa+pb+cr即为所求（欲求最小的须减去，最小公倍数的若干倍），然后考虑如下的插值问题：有函数不知其式，在处取值a,在处取值b，在取值c，函数（解析式）是什么？通过类比，发现与“有物不知数”结构相同。因此试用类似的解法：先作函数P(x),在，处取值为0，处取值为1，再作函数q(x)使得q()=q()=0，q()=1；再作r(x)使得r()=r()=0，r()=1，那么ap(x)+bq(x)+cr(x)就是要求的函数了。现在的关健是求p(x)、q(x)、r(x)。怎样求？设p(x)=A(x-)(x-)由p()=1，即知A=1/（-）（-），这样就求得p(x)=可类似求出q(x)、r(x)，这比“方程组法”，不仅简单、明快，而且可顺利地推广作用于n点的情形。插值问题求解的成功，使华罗庚体会到类比的威力。类比法是数学发现中最常用最有效的方法，数学发展史上充满了类比。通过类比，人们把自然数的运算法则、运算规律推广到整数、有理数、实数、复数；通过类比，人们从线段的性质推测出直线的性质；通过类比，把有限个自然数的律推广到所有的自然数；通过类比，人们把正方形面积概念“顺理成章”（类比之“理”、归纳之“章”）地类推到三角形、一般四边形、多边形和曲边封闭图形；应用类比，人们将平面图形的研究引向空间，甚至高维空间。类比的成功激励着人们，人们运用类比策划着更多、更大的成功。两类（个）对象A与B“类似”，从它们在某些方面相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同，这种推理方法就是类比法。推理模式可描述为：A具有性质F1 ，F2 ，Fn ，PB具有性质F1 ，F2 ，FnB可能具有性质P例4.2.1设 0 (i=1,2,3,.,n) 且,求证 1原问题涉及n元，比较复杂，一时难以下手。先退一步，只考虑二元情形。二元情形与n元类似，但比较简单，解决起来相对容易，取得经验后，再看能不能“以此类推”到n元情形中去。考虑二元的类似问题：设,且, 求证： 1。有已知及平均不等式易知 0=1, 12即 12 1. (证毕)二元情形的证明，我们重要用的是平均不等式与配方法。这对n元情形的证明是很有启发性的。现在我们就将这两点“类推”到n元的情形中去：由已知及平均不等式可知 0,1ijn让i与j在1i0，（）当0时，xy0，又有x-zy-z0，x-y0，故：x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z) y(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)= y(x-y)2 0又有z(z-x)(z-y) 0两式相加原不等式得证。（）当0，且x-zx-y0，y-z0，故y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) (y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) (y-z)又有x(x-y)(x-z) 0两式相加原不等式得证。综上述（）（）可知，原不等式获证。综合法是由条件到结论的顺序，分析法是由结论到条件的倒推，从逻辑推本身要求来说，综合法显得自然，而分析法在探求证题途径方面则优于综合法，比较好的办法是将综合法与分析法两者结合起来，既从已知条件出发，又从欲证结论出发，经过推理找到证题的途径，即对于一个解题思路不明显的问题，先从倒推入手，把目标探究到一定程度，再回到条件着手顺推，如果两个方面得以汇合，问题的条件与目标之间的联系就随之清楚，与此同时，解题途径也就自然明朗。把分析法与综合法结合起来，在分析法中有综合法，在综合法中有分析法或交叉使用去论证、求解命题的思维方法，它通常是从一个命题的两点向中间“挤”，这样，容易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果。例.5.3 设在ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，A=，B=，C=，这里、是弧度数，试证：分析：首先假定结论成立，即则3(a+b+c) (a+b+c)即(3-)a + (3-)b + (3-)c0由+=，消去上式的 ,即得（2-）a+(2-)b+(2-)c0至此难以逆推上去，同时由条件也似乎难以与式联系起来；现我们对已知条件作分析，根据三角形的边角的不等关系，有（a-b）(-) 0，(b-c)( -) 0，(c-a)( -) 0展开上面三个式子，左右两端相加，提取a、b、c即得：（2-）a+(2-)b+(2-)c0本例是把分析法与综合法结合起来，在分析法中有综合法。它通常是从一个命题的两点向中间“挤”，这样，容易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果。思考题1用综合法探求下面两题证明途径的思考过程，并作出证明。（1） 如果AB/CD，直线MN交AB于P，交CD于Q，APQ和BPQ的平分线分别交CD于S、T，那么SQ=TQ；（2）全等三角形对应边上的中线相等。2以分析法探求证题途径，并以综合法表述证明过程：（1）若,且