数学建模论文之输油管的布置.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛输油管的布置摘要本文解决的是一个输油管的布置问题。题目要求我们根据不同的情形建立数学模型，给出一个输油管的合理布置以及车站的合理设置方案，并用模型求解两个具体的输油管的布置实例。我们建立数学模型的方法是：写出问题的目标函数，把问题化为求目标函数值最小的最优化问题。我们通过建立直角坐标系来分析问题，对于问题一，我们写出铺设管线费用的函数，利用求偏导的方法，得出具体当时和当时管线的铺设方案。对于问题二和问题三，考虑了城区的管线需要增加拆迁和工程补偿等附加费用，为了对此项附加费用进行估计，此时就牵涉到了权重的问题，我们引人了，分别代表三个公司的权重系数，用来估算拆迁和工程补偿的附加费用。我们列出相对应的数学规划，利用lingo软件编程求解，得到了管线铺设方案和最小费用。关键字：管线铺设；最小费用；权重；Lingo；非线性规划；偏导 一 问题提出某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，讨论若有共用管线时，考虑共用管线费用与非共用管线费用相同和不同的情形。2.对一更为复杂的情形进行具体的设计。已知两炼油厂的具体位置，其中A厂位于郊区，B厂位于城区，所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 但铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请了三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算并给出估算结果，为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用不变。为设计院给出管线最佳布置方案及相应的费用。二 模型假设（1）假设两炼油厂及新增火车站视为质点A,B,P；(2) 铁路是平直的，铺设的管线是直的；（3）假设对于共用管线时，接口处的管线费用不计；（4）管线建设费用只考虑管线的铺设费用及拆迁和工程补偿费用，其他费用不计；（5）假设铺设管线时不会受地质影响；（6）假设拆迁和工程补偿等附加费用为；（7）根据公司资质的不同，由工程造价咨询资质等级申报标准（附录六）我们取，从而得出K=21.4，作为铺设在城区管线的拆迁和工程补偿等附加费用。三 符号说明：炼油厂A离铁路线的垂直距离；：炼油厂B离铁路线的垂直距离；：炼油厂A与B之间的水平距离； : 每千米非共用管线的铺设费用；: 每千米共用管线的铺设费用；:三家工程咨询公司的权重系数，；：各种情况下的总费用，；：拆迁和工程补偿等附加费用。四 问题分析（1）问题一的分析：针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的不同及与进行讨论，找出什么情况下应铺设公共管线和什么情况下不需铺设公共管线。若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，并求相应的最小费用。（2）问题二的分析：问题二中考虑了郊区与城区管线铺设费用的不同，因此在考虑总费用最省的时候，既要考虑到郊区铺设管线的距离最短也要考虑到城区铺设管线的距离最短。对于拆迁和工程补偿等附加费用的估计，我们可采用权重分析法对其进行选择K的值。设，根据公司资质的不同，由工程造价咨询资质等级申报标准（附录六）我们取，从而得出K=21.4.作为铺设在城区管线的拆迁和工程补偿等附加费用。（3）问题三的分析：问题三中只是改变了，的值且K值与问题二相同，然后把数据代入即可。五 模型的建立与求解1. 问题一的模型建立与求解：针对问题一，根据假设建立直角坐标系，以铁路为X轴，以垂直于铁路且过A炼油厂为Y轴，设A、B与铁路的距离分别为a、b，AB之间水平距离为，C为非共同管线与共同管线的结点，P为车站。图（1）1.1 当时（是铺设非共同管线单位费用，单位是万元/千米，是共同管线的单位费用，单位是万元/千米），如图（1），则从A、B炼油厂到车站P的铺设管线费用为：由 得 图（2）讨论：（1）当即时，不需用公共管线，如图（2）,P点为车站，则从A、B炼油厂到车站P的铺设管线费用为： -（1）我们可以对关于求导得： 令0，即：=0得：，即解得P的坐标位置。此时，铺设管线最小费用为：当时，则，即A厂与新增火车站建在一起，B厂建在离铁路线距离为b处的地方。当时，则，即A,B两厂与新增火车站建在垂直于铁路线的同一直线上。当时，则，即B厂与新增火车站建在一起，A厂建在离铁路线距离为a处的地方。当时，即A厂建在离铁路线垂直距离为a处的地方，B厂建在离铁路线垂直距离为b处的地方，A ,B之间水平距离为l，则新增火车站建在铁路线上C点处，坐标为。（2）当即时，则需用公共管线，如图（1），非共同管线与共同管线的节点C的坐标为，车站P点的坐标位，此时铺设管线的最小费用为：1.2 当时，如图（1），则从A、B炼油厂到车站P的铺设管线费用为： -（2）由 得： -（3）上式为，当给定可解出的值，即得到了公共管线和非公共管线的节点C的位置()和车站P点的位置()，再代入（2）式可求得最小费用。此题用Matlab求解结果复杂。见附录（五）。讨论：（1）当时，不需用公共管线，结果同1.1讨论（1）。（2）当时，则需用公共管线，由上（3）式解出x、y的值，代入（2）式可求得最小费用（略）。2. 问题二的模型建立与求解：相对于问题一，问题二在此基础上有了郊区与城区的差别，铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费，所以铺设管线总费用也有了相应的改变，可以分为以下两种情况：2.1 首先考虑没有共用管线时的情况：如图（3）图（3），假设管线在城区与郊区的分界线上交点F的坐标，列出数学模型： -（4）由题目及问题分析知a = 5，b = 8，c = 15，= 20，根据公司资质的不同，由工程造价咨询资质等级申报标准（附录六）我们取，从而得出K=21.4，作为铺设在城区管线的拆迁和工程补偿等附加费用。代人（4）式所以可得要使总费用最小，可用lingo软件编程求解，程序详见附录一，得到最优解为： 即车站建在于离炼油厂A的水平距离为6.149700千米的铁路线上，并且管线在城区与郊区的分界线上交点F的坐标为时费用最少，最少费用为284.0304万元。P图（4） 2.2 考虑共用管线时的情况：如图（4）所示，假设管线在城区与郊区的分界线上的坐标为，因此： -（5）类似于2.1把数值a = 5，b = 8，c = 15，= 20，K=21.4代入（5）式中得到：再利用lingo软件进行编程求解。程序详见附录二，可得到最优解。即车站建在于离炼油厂A的垂直距离为5.451345千米的铁路线上，共用管线的长度为1.852665千米，并且管线在城区与郊区的分界线上交点F的坐标为时费用最少，最少费用为282.1934万元。讨论：由上2.1和2.2两种不同的方案，方案2.2的方案比2.1的方案好，即用公共管线的方案的费用较小，所以方案2.2是最佳方案，故我们采用方案2.2。3. 问题三的模型的建立与求解：问题三在问题二的基础上，做了这样的改变：在生产能力不同的前提下，铺设管线费用分别降为输送A厂成品油的费用为每千米5.6万元，输送B厂成品油的费用为每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，在问题三与问题二的图形一致的前提下，建立的模型与问题二的模型是一样的，只需改变的值即可得出相应的最优解。3.1 不共用管线时可建立模型： 问题三的解答与问题二的解答很类似，不同的是问题三考虑了炼油厂的生产能力，不同的生产能力对应了不同的管线费用，由Lingo软件求得最优解为： 即车站建在于离炼油厂A的水平距离为6.754461千米的铁路线上，并且管线在城区与郊区的分界线上交点F的坐标为时费用最少，最少费用为251.4702万元。3.2 共用管线时可建立模型-（7）由Lingo软件求得最优解为:即车站建在于离炼油厂A的垂直距离为6.735477千米的铁路线上，共用管线的长度为0.1376769千米，并且管线在城区与郊区的分界线上交点F的坐标为时费用最少，最少费用为251.4633万元。讨论：由上3.1和3.2两种不同的方案，方案3.2的方案比3.1的方案好，即用公共管线的方案费用较小，所以方案3.2是最佳方案，故我们采用方案3.2。六 模型的评价在实际的管线铺设中，通常要考虑到地质的不同，有时铺设的管线可能不是直线，这就需要更多的费用（来购买，运输和铺设管线，造成浪费）。模型的优点在于用优化的方法准确地对目标函数进行了求解，得到了较为理想的结果。三个问题分别求解，适用性强。从问题出发，分析了问题的各种情况，建立了一般的数学模型。而缺点在于为了计算简便，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要因素。七 模型的改进以及推广在建立模型的过程中，可以在模型中考虑各种现实中的情况而对模型进行改进。例如，在公共管线和非公共管线节点处需增加费用，管线沿着郊区与城区的边界线上铺设时拆迁和工程补偿等附加费用可以适当减少等。建立模型的思想和方法可以推广到我国几大重要的油田当中去（大庆，胜利，四川）以及其他类似问题，比如水泥厂的选址问题。本文建立的模型可以估算出最小费用的问题，为中国的经济带来了可行性的发展。八 建模体会数学建模，简单地讲就是将生活中实际的问题转化为数学语言描述的数学问题的过程。其难点就是对该问题进行分析，然后建立相应的数学模型，通过对模型的求解可以获得相应实际问题的解决方案或对相应实际问题有更深入的了解。数学建模不只是纯粹的数学问题，它和我们的实际的生活息息相关，以输油管道布置为例，我国的石油产地（大庆、胜利等）很多，都涉及到管道的铺设与运输问题，那么如何设计才能使材料和运费等费用最少呢，这就是至关重要的问题。本题的数学模型也是管线的费用最低。首先针对问题一中两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间距离的不同，以及共用管线与非公共管线费用相同或不同的情况建立相应的模型，给定参数并设计出管线的路线。问题二更为复杂，考虑了郊区与城区的区别，因为铺设在城区的管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用，所以要使城区内的管线尽量短以减少费用。我们又考虑了有共用管线和非共用管线两种情况，利用模型中的公式代入数据得出结果。又由于聘请的三家的工程公司的资质不同，从而导致其附加费用不同。假设三个公司的权重系数分别为0.6，0.2，0.2，利用公式确定附加费用为21.4万元/千米，再用Lingo求得到最优解。问题三更接近实际问题，根据两厂生产能力的不同，导致输送费用的不同，利用前面的模型求解即可。三个人经过三天三夜的并肩作战，论文终于完成了，我们感觉团队精神是数学建模是否取得好成绩的最重要因素。一个队三个人要相互支持，相互鼓励，齐心协力，只有大家一起讨论才能解决问题。另外，leader是很重要的，他是全队的核心。在他的带领下合理地安排时间完成了论文的写作。从这次数学建模中深感数学的伟大，数学既来源于实践，又用于实践，并利用数学指导实践。九 参考文献1 华东师大数学系编，数学分析（下册）（第三版）M，北京：高等教育出版社,2007。2 赵静，数学建模与数学实验（第2版）M，北京：高等教育出版社，2003。3 洪毅，数学模型M，北京：高等教育出版社，2004。4 姜启源，数学模型（第3版），北京：高等教育出版社，2003。5 熊启才，数学模型方法及应用，重庆：重庆大学出版社，2005。十 附 录附录一：问题二不共用管线时的程序：min=7.2*(x2+25)0.5+(15-x)2+y2)0.5+(8-y)2+25)0.5)+21.4*(8-y)2+25)0.5);bnd(0,x,20);bnd(0,y,8); 程序结果Local optimal solution found. Objective value: 284.0304 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 114 Variable Value Reduced Cost X 6.149700 0.000000 Y 7.195717 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 284.0304 -1.000000附录二：问题二共用管线时的程序min=7.2*(5-y)2+x2)0.5+(z-y)2+(15-x)2)0.5+y+ (8-z)2+25)0.5)+21.4*(8-z)2+25)0.5;bnd(0,x,20);bnd(0,y,8);bnd(0,z,8);程序结果：Local optimal solution found. Objective value: 282.1934 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 148 Variable Value Reduced Cost Y 1.852665 0.3753908E-07 X 5.451345 -0.7922154E-08 Z 7.365583 -0.1069567E-07 Row Slack or Surplus Dual Price 1 282.1934 -1.000000附录三 问题三不共用管线时的程序：min=5.6*(25+x2)0.5+6*(15-x)2+y2)0.5+(8-y)2+25)0.5)+21.4*(8-y)2+25)0.5;bnd(0,x,20);bnd(0,y,8);程序结果： Local optimal solution found. Objective value: 251.4702 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 116 Variable Value Reduced Cost X 6.754461 0.000000 Y 7.268288 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 251.4702 -1.000000附录四 问题三共用管线时的程序：min=7.2*y+5.6*(y-5)2+x2)0.5+6.0*(z-y)2+(15-x)2)0.5+(8-z)2+25)0.5)+21.4*(8-z)2+25)0.5;bnd(0,x,20);bnd(0,y,8);bnd(0,z,8);程序结果： Local optimal solution found. Objective value: 251.4633 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 154 Variable Value Reduced Cost Y 0.1376769 0.000000 X 6.735477 0.000000 Z 7.276818 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 251.4633 -1.000000附录五syms a b u1 u2 x y l f2=(x=(a-y)*l/(a+b-2*y); f1=(u1*(a-y)/sqrt(a-y)2+x2)+u1*(b-y)/sqrt(l-x)2+(b-y)2)-u2=0); x,y=solve(f1,f2,x,y) s1=simple(x) s1 = 1/2*(4*a2*u12-a2*u22-8*u12*a*b+2*u22*b*a+4*b2*u12-b2*u22-l2*u22)*(40*u12*b4*u24*l2-40*u12*b2*u24*l4+40*u12*u24*a4*l2-40*u12*a2*u24*l4-5*b4*u26*l2+10*b2*u26*l4-5*a4*u26*l2+10*a2*u26*l4-80*u14*a4*l2*u22-80*u14*l2*u22*b4-40*u12*u22*a*b4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+40*u12*a3*u22*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+80*u12*u22*a2*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-b5*u24*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-16*u14*b5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+16*u14*a5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+u24*a5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-160*u12*a*b3*u24*l2-160*u12*u24*a3*b*l2+80*u12*a*b*u24*l4-480*u14*a2*l2*u22*b2+240*u12*u24*a2*b2*l2+320*u14*a*l2*u22*b3-30*a2*b2*u26*l2+20*a3*u26*b*l2+20*a*b3*u26*l2-20*a*b*u26*l4+320*u14*a3*u22*b*l2-l6*u26-30*a*b2*u24*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+10*u24*a3*b2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+8*u12*u22*b5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-8*u12*u22*a5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+80*u14*a*b4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+160*u14*a3*b2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+30*a2*b*u24*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-10*u24*a2*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+5*u24*a*l4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+10*l2*u24*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-5*u24*a4*b*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-5*b*u24*l4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-80*u14*a4*b*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+5*u24*a*b4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-10*a3*u24*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-160*u14*a2*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-40*u12*l2*u22*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-80*u12*u22*a3*b2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-120*u12*a2*b*u22*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+40*u12*u22*a4*b*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+120*u12*a*b2*u22*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)/l/u22/(64*u16*b6-u26*b6-a6*u26-48*u14*u22*b6+64*u16*a6+6*u26*b5*a-15*u26*b4*a2+6*u26*b*a5-15*u26*b2*a4+20*u26*b3*a3-720*u14*b4*a2*u22+288*u14*b*a5*u22-120*u12*b4*u24*l2+60*u12*b2*u24*l4-120*u12*u24*a4*l2+180*u12*u24*b2*a4-72*u12*u24*b5*a-240*u12*u24*b3*a3-72*u12*u24*b*a5+180*u12*u24*b4*a2+60*u12*a2*u24*l4+15*b4*u26*l2-15*b2*u26*l4+15*a4*u26*l2-15*a2*u26*l4+960*u16*b2*a4-384*u16*b5*a+960*u16*b4*a2-384*u16*b*a5-1280*u16*b3*a3+960*u14*a3*u22*b3+240*u14*a4*l2*u22+288*u14*b5*a*u22-720*u14*b2*a4*u22+240*u14*l2*u22*b4+240*u12*u22*a*b4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-80*u12*a3*u22*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-480*u12*u22*a2*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+6*b5*u24*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+96*u14*b5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-96*u14*a5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-6*u24*a5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+480*u12*a*b3*u24*l2+480*u12*u24*a3*b*l2-120*u12*a*b*u24*l4+1440*u14*a2*l2*u22*b2+12*u12*u24*b6-720*u12*u24*a2*b2*l2-48*u14*a6*u22-960*u14*a*l2*u22*b3+12*u12*a6*u24+90*a2*b2*u26*l2-60*a3*u26*b*l2-60*a*b3*u26*l2+30*a*b*u26*l4-960*u14*a3*u22*b*l2+l6*u26+60*a*b2*u24*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-60*u24*a3*b2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-48*u12*u22*b5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+48*u12*u22*a5*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-480*u14*a*b4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-960*u14*a3*b2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-60*a2*b*u24*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+60*u24*a2*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-6*u24*a*l4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-20*l2*u24*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+30*u24*a4*b*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+6*b*u24*l4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+480*u14*a4*b*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-30*u24*a*b4*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+20*a3*u24*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+960*u14*a2*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+80*u12*l2*u22*b3*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+480*u12*u22*a3*b2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)+240*u12*a2*b*u22*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-240*u12*u22*a4*b*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2)-240*u12*a*b2*u22*l2*(l2*u22*(2*u1-u2)*(2*u1+u2)(1/2) 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s2=simple(y) s2 = 1/2*(-540*u12*a4*l*u25*b2-800*u12*a3*b*u25*l3+240*u12*a3*l*u25*b3+60*u12*b6*u25*l+280*u12*a4*u25*l3-36*u12*b2*l5*u25-40*u12*b4*u25*l3-l7*u27+20*a*b3*u27*l3-30*a*l5*u27*b+18*a*u27*b5*l+45*a4*l*u27*b2-20*a3*l*u27*b3-30*a5*l*u27*b+100*a3*b*u27*l3-15*a2*l*u27*b4-90*a2*b2*u27*l3+7*a6*l*u27+21*a2*l5*u27-35*a4*u27*l3-5*b6*u27*l+5*b4*u27*l3+9*b2*l5*u27-9*a2*b5*u26*(-u22+4*u12)(1/2)+5*u26*a3*b4*(-u22+4*u12)(1/2)+5*a6*