数形结合思想在初中数学中的应用.doc

数形结合思想在初中数学中的应用桃李园实验学校 戚元彬数形结合思想,就是把代数知识与几何知识相互转化、互相利用的一种解题思想.初中阶段,数形结合思想的应用主要反映在以下几个方面.一、借助数轴解数与式的问题0例1图例1(山西2006中考)实数在数轴上的位置如图所示,化简:=_.解析由图可知,.原式=.点评解题的关键是读懂数轴,把图形语言转化成解题所要求的数据.借助数轴可以解决实数问题,还可以解决不等式(组)问题.二、借助平面直角坐标系解函数问题例2(河北2007中考)如图,已知二次函数的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；例2图9AO131B(3)点P()与点Q均在该函数图象上(其中),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求的值及点Q到轴的距离.解析(1)观察图象,得A(-1,-1),B(3,-9).得方程组解得该二次函数的表达式为.(2)对称轴为；顶点坐标为(2,-10).(3)将()代入表达式,解方程得., .点P与点Q关于对称轴对称,点Q到轴的距离为6.点评解题的关键是通过点的坐标把握函数的图象及其性质.借助平面直角坐标系,把数量关系通过图象直观化、形象化、动态化,同时又可以根据图象特征及相关知识探究隐含的数量关系,将图象特征具体化.三、借助直角三角形解三角比问题ABC3045例3图例3(南京2007中考)如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,A=30,B=45,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:,)解析过点C作CDAB,垂足为D.在RtCAD中,可求CD=5,AD=.在RtCBD中,可求BC=.AB=.AC+BC-AB=.所以,隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走约3.4千米.点评解题的关键是联想三角比的意义,适当构造直角三角形.借助直角三角形,将有关三角比的数量关系图形化.四、借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题例4(上海2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.ABC例4图1解析如图2,设圆心为点O,连结OB、OA,OA交线段BC于点D.AB=AC, AB = AC , OABC,且BD=DC=BC=120.ABC例4图2OD由题意,知DA=5.设OB=米.在RtBDO中,.1442.5 .所以,滴水湖的半径为1442.5米.点评解题的关键是正确将实际问题所反映的数量关系转化为几何图形语言.借助勾股定理、垂径定理、三角形相似的判定定理与性质定理等几何图形的知识,可以实现代数与几何之间的相互转化.五、借助图表解代数问题例5(重庆2007中考)小王购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示.根据图中的数据(单位:),解答下列问题:(1)用含的代数式表示地面总面积；卧室客厅厨房卫生间例5图3226(2)已知客厅面积比卫生间面积多21,且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺1地砖的平均费用为80元,那么铺地砖的总费用为多少元?解析(1)地面总面积为:( )；(2)根据题意,得解得 地面总面积为=45.铺地砖的总费用为:(元).点评解题的关键是理解题意,读懂图表.通过对图表中数据信息的分析、比较、判断和归纳,弄清数据间的内在联系