数学建模实验指导书.doc

数学建模实验指导书Experiment Instruction BookOf Mathematical Modeling 数学与信息科学学院Apr. 20032008年2月数学建模实验是数学建模课程的一个重要组成部分，实验的设置是为了配合课堂教学，使学生亲自实践建模、求解、解释和结果分析的全过程，进一步掌握和理解课堂教学内容，培养动手能力，提高他们分析问题和解决问题能力。同时，通过上机练习，也可以提高应用数学软件和计算机技术的能力。实 验 一实验项目：初等模型实验实验目的：1实践参数估计及多项式拟合的方法；2学习掌握用数学软件包进行参数估计和多项式拟合的问题。实验内容：1建模实例，汽车刹车距离问题等； 2编程计算实例1（汽车刹车距离问题）某司机培训课程中有这样的规则：正常驾驶条件下, 车速每增16公里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。这个规则的合理性如何，是否有更合理的规则。下表是测得的车速和刹车距离的一组数据。车速(km/h)20406080100120140刹车距离(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5实验方法与步骤：1建立模型刹车距离的拟合多项式为2Matlab计算求解建立M文件exp1.mv=20:20:140/3.6;v2=v.2;x=v;v2;d=6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118,153.5;a=xd;dd=x*a;ddd=6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118,153.5;b=polyfit(v,ddd,2)y=polyval(b,v)plot(v,ddd,ro,v,dd,b)t=y./vy = 6.2024 17.7571 34.5643 56.6238 83.9357 116.5000 154.3167t =1.1164 1.5981 2.0739 2.5481 3.0217 3.4950 3.96813结果分析车距时间：车速(km/h)20406080100120140实际刹车距离m6.517.833.657.183.4118153.5计算刹车距离m6.2017.7534.5656.6283.93116.50154.31车距时间s1.111.592.072.543.023.493.96实 验 二实验项目：简单优化模型实验实验目的：1进一步巩固、加强极值求解能力；2学习掌握用数学软件包进行图形方法求解的相关命令。实验内容：1建模实例，最佳定价策略问题等； 2编程画图求解实例1某产品的市场销售量预测得到其中p为价格。一制造商的市场占有率为h=0.5，制造成本为其中x为该公司的生产量。该制造商将如何定价。实验方法与步骤：1建立模型该制造商的最佳定价策略为数学模型2Matlab画图求解建立M文件exp2.mh=0.5;a=0;b=8;n=80;d=(b-a)/n;for i=1:n+1 pr(i)=a+(i-1)*d; p=pr(i); n=-78*p2+655*p+125; x=h*n; r=p*x; c=50+1.5*x+8*(3/4); l(i)=r-c;endplot(pr,l)grid onxlabel(价格p);title(利润曲线(R(p)3确定最优解从函数图形上可以看到，最优定价策略：进一步考虑h取其他值时的最优价格，并进行比较。实 验 三实验项目：数学规划模型实验实验目的：1进一步巩固、加强数学规划的建模能力；2学习掌握用数学软件包进行求解的相关命令。实验内容：1建模实例，广告编排问题等； 2编程求解实例1一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告，其目的是争取尽可能多的影响顾客。下表是公司进行市场调研的结果：电视网络媒体杂志白天最佳时段每次做广告费用(千元)45862512受每次广告影响的顾客数(千人)350880430180受每次广告影响的女顾客数(千人)260450160100这家公司希望总广告费用不超过750(千元)，同时还要求：（1）受广告影响的妇女超过200万；（2）电视广告的费用不超过450(千元)；（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；（4）通过网络媒体、杂志做出的广告要重复5到8次。实验方法与步骤：1建立模型2Matlab计算求解建立M文件exp3.mc=-350 -880 -430 -180;a=45 86 25 12;-260 -450 -160 -100;45 86 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;b=750;-2000;450;8;8;lb=4;2;5;5;x,fval=linprog(c,a,b,lb,)%无等式约束条件和x的上界，取表缺省x = 4.0000 3.1395 8.0000 8.0000fval = -9.0428e+003实 验 四实验项目：微分方程模型实验实验目的：1进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；2学习掌握用数学软件包求解微分方程数值解的相关命令。实验内容：1建模实例，广告编排问题等； 2编程求解实例1设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线。当乙舰行驶多远时，导弹将它击中？实验方法与步骤：1建立模型设任意时刻t，乙舰坐标为（X(t),Y(t)），导弹的坐标为（x(t),y(t)）。则由于导弹头始终对准乙舰，导弹头的速度向量平行于乙舰与导弹头位置的差向量，即解之得假设v0=1，乙舰坐标为于是有导弹运行轨迹2Matlab计算求解建立M文件exp4f.mfunction dy=exp4f(t,y)dy=zeros(2,1);%初始化dy的两个分量dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);dy(2)=5*(1-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);再建立M文件exp4.mto=0;tf=2;%初始值和终值t,y=ode45(exp4f,t0,tf,0,0);%解方程plot(y(:1),y(:2),-) %画出导弹轨迹x=0:0.01:1.5;y=0.2:0.2;hold on %在同一坐标上继续作图plot(x,y,-)3结果分析导弹大致在（1，0.21）处击中乙舰，进一步考虑v0取其他值时的情况。实 验 五实验项目：差分方程模型实验实验目的：1进一步巩固、加强差分方程模型的建模、求解能力；2学习掌握用数学软件包求解差分方程数值解的相关命令。实验内容：1建模实例，按揭购房的利率问题等； 2编程求解实例1下表是某公司的一则房产广告建筑面积总价30%首付70%按揭月还款85.98m236万10.8万30年1436元不难算出，你向银行总共借了25.2万，30年内总共要还51.696万，约为当初借款的两倍。贷款的年利率是多少？实验方法与步骤：1建立模型设为第k个月的欠款数，a为月还款数，r为月利率。迭代关系式于是有由a=0.1436,x0=25.2,x360=0得到解之r，年利率R=12r。2Matlab计算求解建立M文件exp5f.mfunction y=exp5f(x) y=25.2*(1+x)360-0.1436*(1+x)360-1)/x建立M文件exp5.mr=fzero(exp5f,0.0198/12);%0.0198/12活期月利率R=12*rR = 0.05533结果分析用当前的利率作为初值计算贷款利率。实 验 六实验项目：离散模型实验实验目的：1进一步巩固、加强离散模型的建模、求解能力；2学习掌握用数学软件包求解了离散问题的相关命令。实验内容：1建模实例，最短路问题等； 2编程求解实例1下图给出了5个城市的路线图，计算任意两点间的最短距离。实验方法与步骤：1Floyd 算法;1）输入带权邻接矩阵A=a(i,j)。对所有i,j，d(i,j)=a(i,j);当a(i,j)=时，path(i,j)=0,否则path(i,j)=j；k=1.2）更新d(i,j)，path(i,j)。对所有i,j，若d(i,k)+d(k,j)=d(i,j)，则转3）；否则d(i,k)+d(k,j)=d(i,j)，path(i,j)=path(i,k)，k=k+1，继续执行3）。3）重复2）直到k=n+1.2Matlab计算求解建立M文件exp6f.mfunction D,path=exp6f(a)n=size(a,1);%设置D和path的初值D=a;path=zeros(n,n);for i=1:n for j=1:n if D(i,j)=inf path(i,j)=j; end endend%做n次迭代，每次迭代均更新D(i,j)和path(i,j)for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 7 0 50 65 90 100 110 60;plot(x1,y,+)plot(x2,y,+)2多元线性回归x=ones(10,1) x1 x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b = 111.6918 0.0143 -7.1882bint = 56.0503 167.3334 -0.0120 0.0406 -13.2306 -1.1458r = 9.9523 5.0477 -5.7188 -5.7109 -8.4750 -2.0929 -4.3368 1.3344 1.2867 8.7133rint = -4.2550 24.1597 -11.3965 21.4